1107 Phương pháp phần tử hữu hạn trung tâm bậc thấp cho bài toán đàn hồi tuyến tính tại trạng thái gần như không nén được.docx

Hồng Thị Thảo Phương tgk Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRUNG TÂM BẬC THẤP CHO BÀI TỐN ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH TẠI TRẠNG THÁI GẦN NHƯ KHƠNG NÉN ĐƯỢC HỒNG THỊ THẢO PHƯƠNG*, VÕ ĐỨC CẨM HẢI**, ƠNG THANH HẢI*** TĨM TẮT Chúng tơi giới thiệu phương pháp số cho toán đàn hồi trạng thái gần không nén, gọi phương pháp phần tử hữu hạn trung tâm bậc thấp (PTHHBT) Công thức hỗn hợp sử dụng, với hai biến độ dịch chuyển hàm áp suất xấp xỉ hàm tuyến tính phần hàm phần lưới khác Sự tồn nghiệm, ổn định hội tụ phương pháp chứng minh Các mô số tiến hành để kiểm định hiệu phương pháp đề xuất tốn thử khác Từ khóa: đàn hồi tuyến tính, phần tử hữu hạn bậc thấp, điều kiện macroelement ABSTRACT A low-order cell-centered finite element method for the nearly incompressible linear elasticity problem We propose a new numerical method for the nearly incompressible linear elasticity problem, called the low-order cell-centered finite element method A mixed formulation is used in which the displacement and the pressure are respectively approximated by piecewise linear and piecewise constant functions on different meshes The well-posedness, stability and convergence are proved Numerical simulations are carried out to investigate the performance of the method on different test cases Keywords: linear elasticity, low-order finite elements, macroelement condition Giới thiệu Các vật liệu cao su có tính đàn hồi giống cao su sử dụng phổ biến cơng nghiệp chúng có khả chịu sức căng lớn mà phục hồi lại hình dạng cũ thay đổi Khi vật liệu chịu lực tác động đạt gần đến trạng thái cân (hay cịn gọi trạng thái khơng nén được), sử dụng phương pháp số thông thường phương pháp phần tử hữu hạn, sai phân hữu hạn để xấp xỉ dịch chuyển, biến dạng vật liệu này, nghiệm xấp xỉ khơng xác khơng ổn định, tượng gọi “locking effect” Đã có nhiều phương pháp số đề xuất để khắc phục tình trạng phương pháp phần tử hữu hạn loại h [3], phương pháp B-bar [7], sử dụng công * TS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM; Email: phuonghtt@hcmup.edu.vn ThS, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG TPHCM *** TS, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG TPHCM ** thức hỗn hợp [2], [5] Ngồi ra, có số báo khảo sát cơng thức trung bình áp suất nút (trong trường áp suất số tập tam giác tứ diện) Cụ thể [8] tác giả sử dụng hàm áp suất gián đoạn lưới kép hàm bubble lưới ban đầu để làm giàu không gian xấp xỉ độ dịch chuyển Trong [10], tác giả đề xuất phương pháp dựa nguyên lí Hu-Washizu Gần đây, có hai phương pháp đời dựa sở toán học đầy đủ để xấp xỉ nghiệm toán đàn hồi trạng thái gần không nén Ở phương pháp thứ [9], ta xấp xỉ độ dịch chuyển phương pháp phần tử hữu hạn bậc thấp xấp xỉ áp suất rời rạc Petrov-Galerkin Ở phương pháp thứ hai [12], độ dịch chuyển hàm áp suất xấp xỉ [8], độ biến dạng toán tử divergence rời rạc trung bình hóa lưới kép Các phương pháp kể có mặt hạn chế định như: i) cho xấp xỉ ma trận độ cứng khơng xác; ii) khơng áp dụng lưới tổng quát; iii) để xấp xỉ độ dịch chuyển, ta phải sử dụng hàm xấp xỉ bậc cao, hàm bậc thấp bổ sung thêm ẩn cạnh/mặt đỉnh bên cạnh ẩn trung tâm phần tử; điều khiến thuật toán trở nên tốn mặt tính tốn Trong báo này, chúng tơi trình bày phương pháp số để xấp xỉ nghiệm tốn đàn hồi tuyến tính trạng thái gần không nén, gọi phương pháp phần tử hữu hạn trung tâm bậc thấp (PTHHBT), phát triển từ phương pháp trung tâm cho toán khuyếch tán [11] Trong phương pháp PTHHBT, hàm dịch chuyển hàm áp suất xấp xỉ hàm tuyến tính phần hàm phần lưới khác Phương pháp có ưu điểm sau: i) có sở tốn học với chứng minh ổn định hội tụ sử dụng kĩ thuật macroelement [13]; ii) áp dụng lưới tổng quát; iii) sử dụng hàm bậc thấp để xấp xỉ đem lại độ xác cao cách xây dựng lưới, phương pháp trung tâm nên tốn mặt tính tốn; iv) tiến hành mơ số dễ dàng dựa phần lập trình phương pháp phần tử hữu hạn lưới tam giác Bố cục báo sau: mục 2, ta giới thiệu mơ hình tốn phương pháp PTHHBT (bao gồm xây dựng lưới, định nghĩa không gian xấp xỉ viết toán rời rạc tương ứng); tồn nghiệm toán rời rạc, ổn định hội tụ phương pháp chứng minh Ở mục 3, kết số so sánh phương pháp PTHHBT với phương pháp MINI [1] trình bày Bài tốn đàn hồi tuyến tính trạng thái gần khơng nén rời rạc hóa PTHHBT Chúng ta giới thiệu mơ hình tốn dạng hỗn hợp trình bày rời rạc hóa cách sử dụng PTHHBT Cụ thể ta xây dựng lưới sử dụng phương pháp, định nghĩa khơng gian xấp xỉ, viết tốn rời rạc tương ứng tồn nghiệm toán Cuối ta nêu hệ phương trình đại số tuyến tính liên kết với tốn rời rạc ẩn đặt trung tâm phần tử lưới ban đầu (đối với độ dịch chuyển) lưới kép (đối với áp suất) 2.1 Mơ hình tốn Cho miền Ω bị chặn □ d (d = 2,3) với biên ∂Ω Lipschitz Xét tốn đàn hồi tuyến tính dừng dạng hỗn hợp sau: −div(σ (u)) divu − p λ u =f Ω, (1) = Ω, = ∂Ω đó: u độ dịch chuyển vật liệu đàn hồi, p áp suất, ( σ ứng suất ) f lực tác dụng, f ∈ L (Ω) d Để đơn giản, ta xét trường hợp biên Dirichlet Khi vật liệu đàn hồi đẳng hướng, ứng suất định nghĩa bởi: σ (u) = με (u) + λ ( divu ) Id, (2) với Id ma trận đơn vị □ d , ε (u) độ biến dạng cho công thức: ε (u) = T ∇u + (∇u) , ( ) (3) (ở A kí hiệu ma trận chuyển vị A ), λ μ hệ số Lamé: T λ= νE , (1+ ν )(1− 2ν ) μ= E , (4) 2(1+ ν ) với ν tỉ số Poisson E môđun Young Từ định nghĩa ta viết lại toán (1) dạng: ( −div 2με (u) + pId divu − λ ) = f Ω, (5) = Ω, p = ∂Ω u Để xây dựng toán biến phân tương ứng với (5), ta giới thiệu không gian sau: { } L0 (Ω) := q ∈ L (Ω) : Ω qdΩ = , V0 := ∫ ( H (Ω)) d , kí hiệu • • chuẩn L2 (Ω) V Ta định nghĩa dạng song tuyến tính tuyến tính sau: Với kí hiệu trên, ta viết tốn biến phân (5) sau: Tìm u ∈V p ∈ L0 (Ω) thỏa mãn: a(u,v) + b(v, p) b(u,q) − c( p,q) λ = Lf (v), ∀v ∈V 0, = 0, ∀q ∈ L (Ω) (6) 2.2 Sự xây dựng lưới không gian xấp xỉ Để đơn giản, ta xét trường hợp tốn khơng gian hai chiều Ta xây dựng lưới sau: lưới ban đầu , lưới kép lưới kép phụ Sau đó, ta định nghĩa không gian xấp xỉ gồm hàm tuyến tính phần phần tử lưới kép phụ (đối với độ dịch chuyển) hàm phần phần tử lưới kép (đối với áp suất) Giả sử Ω miền đa giác lưới tổng quát Ω bao gồm tập khơng giao nhau, đóng, liên thông khác rỗng Ω: Đối với phần tử K , ta chọn điểm CK thuộc phần K gọi điểm lưới K ; ta giả sử đoạn thẳng nối hai điểm lưới hai phần tử liền kề lưới ban đầu chứa hồn tồn Ω Lưới kép thu cách nối điểm lưới phần tử lưới ban đầu với với trung điểm cạnh nằm biên ∂Ω (xem Hình 1): Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Hoàng Thị Thảo Phương tgk _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ M phần tử lưới kép ta kí hiệu CM điểm lưới M (nhắc lại CM điểm M ) Cuối ta xây dựng lưới kép phụ Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ lưới tam giác phụ với _ _ _ _ _ sau: Số 6(84) năm 2016 _ _ rạc _ _hóa - _Sự _ tồn _ _tại _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ rời nghiệm Bài tốn rời rạc hóa sử dụng PTHHBT phát biểu sau: , ta nối CM với đỉnh (7) M thu phần tử tam giác, h _ T ì p m h thỏa mãn ∈Q kí hiệu T , lưới kép phụ (xem Hình 1): u ∈ V h h h h a ,p ) = ∈ ( L (v ), ∀v V h u f h (8) , , v h Hình Lưới ban đầu (đường đen liền nét), lưới kép đứt) (nét ví dụ số phần tử tam giác lưới kép phụ (nét chấm gạch) Không gian2.3 B xấp xỉ cho độ dịch i t chuyển áp suất o là: n ) + b ( v h h b(u ,q ) − h c( p ,q ) = 0, ∀q ∈Q h λ h h h h Định lí Tồn nghiệm (u , p ) ∈V × tốn rời rạc (8) Hơn nữa, Q ta có ước lượng sau: u − uh + p − ph ≤ C inf ( h h h h u − vh + qinf p − qh ∈Q v ∈V h h h ) , (9) h (u, p) ∈V0 × L0 (Ω) nghiệm toán liên tục (6) C số độc lập với kích thước lưới Chứng minh Ta áp dụng lí thuyết phần tử hữu hạn hỗn hợp [6, Chương 2] để chứng minh tồn nghiệm (8) Cụ thể ta cần kiểm tra điều kiện sau: ( ⋅ ,⋅ ) Dạng song tuyến tính a đối xứng, liên tục thỏa mãn điều kiện kháng α > cho: ≥ α v h , ∀v ∈V0 := v ∈V : b v ,q { (uniform coercivity), nghĩa tồn số ( a vh , vh ) h h ( ⋅ ,⋅ ) Dạng song tuyến tính b h ( h h h ) } = 0, ∀q ∈Q h h (10) liên tục thỏa mãn điều kiện inf-sup đều, nghĩa tồn số β > cho: inf sup qh ∈Qh v ∈V h ( b v h ,qh vh qh ) ≥β, v h ≠ 0, qh ≠ (11) h ( Dạng song tuyến tính c ⋅ ,⋅ ) đối xứng, liên tục nửa xác định dương, nghĩa là: ( c qh ,qh ) ≥ 0, ∈Qh (12) ∀qh Các điều kiện đối xứng liên tục dễ dàng kiểm tra từ định nghĩa dạng song tuyến tính Điều kiện nửa xác định dương (12) chứng minh đơn giản Điều kiện kháng (10) thỏa mãn nhờ bất đẳng thức Korn Còn lại điều kiện inf-sup (11) thường điều kiện khó kiểm tra việc chứng minh tính ổn định phương pháp số giải toán đàn hồi trạng thái gần không nén Ở đây, ta sử dụng kĩ thuật macroelement [13] để chứng minh bất đẳng thức (11) Chú ý với cách xây dựng lưới PTHHBT phần tử M lưới kép macroelement Ta cần không gian N M chiều, với  N = q M ∈Q  M  : ∫ qh div(v ) = 0,∀v h ∈V 0,M , M h   Hoàng Thị Thảo Phương tgk Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Q M = { q h ∈ Q h : q h = t r o n g Ω \ M } , V , M = { v 11 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ _ _ ∈V _ _ :_v _ =_ 0_ _ _ _ _ _t _ _ h h h r Ω\ M ê n Thật vậy, theo định nghĩa không gian xấp c xỉ PTHHBT, với q ∈Q ta có: c } ∫ qh div(vh ) = qM ∫ div(vh ) = qM ∫ v h ⋅ n = 0, ∀vh ∈V0,M M M ∂M Suy N M ≡ QM nên N không gian chiều với macroelement Ta áp dụng Định lí 2.1 [13, tr 5] để có điều cần chứng minh 2.4 Hệ phương trình đại số tuyến tính p h ầ n t c ủ a l i Hệ phương trình đại số tuyến tính liên kết với toán (8) thu cách lấy hàm thử hàm sở không gian xấp xỉ Vh Qh b a n Hơn nữa, cách xây dựng lưới PTHHBT, ta đưa ẩn điểm lưới lưới ban đầu lưới  kép - λ nghĩa là phương pháp PTHHBT phương pháp trung tâm với ẩn xấp xỉ giá trị trung bình độ dịch chuyển độ biến dạng 12 v đ ầ u l i k é p Số 6(84) năm 2016 _ ( c c p h é p b i ế n đ ổ i đ ợ c t i ế n h n h d ự a t r ê n ý _ _ _ _ _ t n g t h u đ ợ c t r ì n h c ó b y t r o n g [ 1 ] ) d n g  B H ệ p h n g t r ì n h  − C P s a u : _ _ _ _   tr on g A ,B , C F lầ n lư ợt cá c m a tr ận liê  n kế  t vớ  i cá  c  ng so 1 ng U tu yế n  F tí nh  a   ( ⋅ , _ _ ⋅ _ _ _ _ _ y ận đối ế xứng, , n b tí ( n ⋅ h xá c địn h dư ơn g, , Lf ⋅ ( ) ⋅ , ); c h ( ⋅ n , n ⋅ ữ ) a ) h ta v c ó d A n m g a tu tr C ma trậ n đư ờn g ch éo; ẩn đặt trọ ng tâ m củ a ph ần tử lướ i ba n Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM đầu (đối với độ dịch chuyển) trọng tâm phần tử lưới kép (đối với áp suất) Hoàng Thị Thảo Phương tgk Kết số Ta tiến hành mơ số cho thuật tốn PTHHBT so sánh kết với phương pháp MINI [1] Ta định nghĩa hai loại sai số phương pháp PTHHBT sau: Sai số loại một, re l DIS kí hiệu erl2 , sai số tương đối theo chuẩn L độ dịch chuyển định nghĩa lưới ban đầu; Sai số loại hai, kí hiệu , sai số tương đối theo chuẩn L độ dịch chuyển sử dụng phần tử hữu hạn tam giác (FEM-T3) lưới kép phụ: 13 Sai số loại dùng để kiểm tra tính trung tâm PTHHBT so sánh khác biệt giá trị điểm lưới nghiệm xấp xỉ nghiệm xác Sai số loại hai đưa phương pháp PTHHBT tương đương với FEM-T3 3.1 Bài toán màng Cook Đây toán thường sử dụng để kiểm tra tính xác phương pháp số mơ hình hóa uốn cong vật liệu đàn hồi nhạy phương pháp tượng "volumetric locking" Miền tính tốn (Hình 2) bao lồi cho { } bởi: Ω = conv (0,0),(48,44),(48,60),(0,44) Hình Miền tính tốn tốn màng Cook, rời rạc phần tử tam giác Biên trái Ω giữ cố định, biên phải chịu tác động tải trọng có độ lớn theo phương thẳng đứng Vật liệu đặc trưng hai thông số: mô đun Young E = tỉ số Poisson ν = 0.4999999 Vì tốn khơng có nghiệm giải tích nên ta so sánh nghiệm xấp xỉ độ dịch chuyển theo phương thẳng đứng trung điểm biên phải với nghiệm tham chiếu 18.50002 Hồng Thị Thảo Phương tgk Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Hình Sự hội tụ độ dịch chuyển điểm (48,52), nghiệm tham chiếu biểu diễn đường đen liền nét Giá trị độ dịch chuyển theo phương thẳng đứng điểm (48,52) xấp xỉ phương pháp PTHHBT, MINI ASMD [4] Chúng ta thấy PTHHBT cho nghiệm xấp xỉ gần với giá trị tham chiếu Ở Hình 4, ta phác hoạ phân phối áp suất qua màng với lưới kích cỡ khác (lưới 64 phần tử lưới 256 phần tử) Kết cho thấy hai phương pháp MINI PTHHBT ổn định Hình Sự phân bố áp suất dọc đường thẳng x = 24 lưới tam giác ban đầu gồm 64 phần tử (hình trái) 256 phần tử (hình phải) 3.2 Bài tốn dầm tải trọng đầu Xét dầm có chiều dài L = 48m, chiều rộng D =12m độ dày T=1m Tấm dầm chịu tác động lực kéo P = 1000N đầu thả tự Hình 15 Hình Mơ hình tốn dầm tải trọng đầu Điều kiện ứng suất phẳng giả định, mơđun Young E = 3.0 × 10 N/m, hệ số Poisson ν = 0.4999999 Nghiệm giải tích tốn cho bởi: = u x uy = − Py  (6L − 3x)x + (2 + ν ) y2 − D   ,     EI      P  D x 2 + (3L − x)x  ,  3ν y ( L − x) + (4 + 5ν )  EI  đó, I moment qn tính dầm có tiết diện hình chữ nhật độ dày đơn vị, xác định bởi: I = D Với nghiệm giải tích trên, ta tính ứng suất 12 sau: (x, (x, y) = 0;  − y) =  P − y P ( L − x ) y σ ( x, y) = τ ; D σ xx I yy xy  2I    Để tìm nghiệm xấp xỉ tốn, ta chia miền tính tốn thành phần tử tam giác (lưới ban đầu) từ xây dựng lưới kép, lưới kép phụ Hình Ta so sánh sai số tương đối theo chuẩn L độ dịch chuyển xấp xỉ phương pháp PTHHBT MINI Bảng Hình Miền tính tốn tốn dầm chia lưới tam giác ban đầu (hình trái) lưới kép phụ tương ứng (hình phải) Bảng Sai số tương đối theo chuẩn L độ dịch chuyển xấp xỉ phương pháp PTHHBT MINI cho toán dầm cỡ lưới tam giác khác Lưới 16 × × 24 × × 32 × × 40 × 10 × 48 × × Số bậc tự u (MINI) 426 926 1618 2502 3578 Số bậc tự u (PTHHBT) 256 576 1024 1600 2304 8.38 e-02 3.92 e-02 2.23 e-02 1.44 e-02 1.00 e-02 2.98 e-02 1.12 e-03 5.83 e-04 3.56 e-04 2.40e-04 2.65 e-03 9.66 e-04 4.89 e-04 2.94 e-04 1.96 e-04 DIS erl2 (MINI) rel erl2 DIS rel (PTHHBT) Ta thấy với cỡ lưới, số bậc tự độ dịch chuyển PTHHBT nhỏ nhiều so với MINI (số bậc tự áp suất hai phương pháp nhau) Trong đó, sai số theo chuẩn L độ dịch chuyển cho PTHHBT tốt nhiều sai số cho MINI Để giải thích cho điều này, ta ý lưới kép phụ mịn nhiều so với lưới ban đầu (Hình 6), PTHHBT xấp xỉ nghiệm lưới kép phụ nên cho sai số nhỏ Tuy nhiên, phương pháp PTHHBT trung tâm cách xây dựng lưới (xem mục 2.4) nên số bậc tự thấp MINI Bậc hội tụ theo chuẩn L độ dịch chuyển trường hợp phương pháp MINI 1.92, với PTHHBT 2.32 (sai số loại 1) 2.40 (sai số loại 2) Như vậy, PTHHBT hiệu MINI cho nghiệm xấp xỉ với độ xác cao với chi phí tính tốn thấp MINI Số 6(84) năm 2016 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ G h i c h ú : N g h iê n c ứ u n y đ ợ c t i tr ợ b i T r n g Đ i h ọ c 18 Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh khuôn khổ đề tài mã số CS2015.19.60 TÀI LIỆU THAM KHẢO Arnold, D N., Brezzi, F., & Fortin, M (1985), “A stable finite element for the Stokes equations”, Calcolo, 21 (1984), 337-344 Arnold, D N., & Winther, R (2002), “Mixed finite elements for elasticity”, Numer Math., 92, 401-419 Babuska, I & Suri, M (1992), “Locking effects in the finite element approximation of elasticity problems”, Numer Math., 62, 439-463 Belytschko, T & Bindeman, L P (1991), “Assumed strain stabilization of the 4- node quadrilateral with 1-point quadrature for nonlinear problems”, Comput Methods Appl Mech Engrg., 88, 311340 Braess, D (1996), “Stability of saddle point problems with penalty”, RAIRO M o d e l M a t h A n a l N u m e r , , 7 B r e z z i , F & F o r t i n , M ( 9 ) , M i x e d a n d h y b r i d f i n i t e H u g h e s , T ( ) , T h e f i n i t e e l e m e n t m e t h o d : l i n e a r s t a t i c a n d d y n a m i c f i n i t e e l e m e n t a n a l y s i s , L a m i c h h a n e , B P ( 0 ) , “ I n f s u p s t a b l e f i n i t e e l e m e n t p a i r s b a s e d o n d u a l m e s h e s a n d b a s e s L a m i c h h a n e , B P ( ) , “ A s t a b i l i z e d m i x e d f init e ele me nt me tho d bas ed on gbio rth og on al sys te ms for nea rly inc om pre ssi ble ela stic ity ”, Co mp ute rs an d Str uct ure s, 14 0, 4854 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM 10 Lamichhane, B P., S t Reddy, B D & o Wohlmuth, B I k (2006), e “Convergence in s the incompressible limit of finite p element r approximations o based on the Hub Washizu l formulation”, e Numer Math., 104, m 151-175 s 11 Le Potier, C & Ong ” Thanh Hai (2012), , “A cell-centered scheme for M heterogeneous a anisotropic t diffusion problems h on general meshes”, International C journal on Finite o Volumes, m 12 Ong Thanh Hai, p Heaney, C E., Lee, C K., Nguyen , Xuan Hung & Liu, G R (2015), “On stability, convergence and , accuracy of bESFEM and bFS-FEM for nearly incompressible elasticity”, Comput Methods Appl Mech Engrg., 285, 3158 345 13 Stenberg, R (1990), “Error ( analysis of some N finite element g methods for the 20 y T ò a s o n n h ậ n đ ợ c b i : 5 ; n g y p h ả n b i ệ n đ n h g i : 6 ; n g y c h ấ p n h ậ n đ ă n g : 6 ) Số 6(84) năm 2016 ... phương pháp phần tử hữu hạn trung tâm bậc thấp (PTHHBT), phát triển từ phương pháp trung tâm cho toán khuyếch tán [11] Trong phương pháp PTHHBT, hàm dịch chuyển hàm áp suất xấp xỉ hàm tuyến tính phần. .. ẩn trung tâm phần tử; điều khiến thuật tốn trở nên tốn mặt tính tốn Trong báo này, chúng tơi trình bày phương pháp số để xấp xỉ nghiệm tốn đàn hồi tuyến tính trạng thái gần không nén, gọi phương. .. [10], tác giả đề xuất phương pháp dựa nguyên lí Hu-Washizu Gần đây, có hai phương pháp đời dựa sở toán học đầy đủ để xấp xỉ nghiệm toán đàn hồi trạng thái gần không nén Ở phương pháp thứ [9], ta xấp