Luận văn bài toán neumann đối với phương trình elliptic tựa tuyến tính trên một miền lùi trong mặt phẳng

i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu mình, kết nêu luận văn trung thực Người cam đoan Nguyễn Thị Nhung ii LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn kính trọng TS Vũ Trọng Lưỡng, Thầy giao đề tài tận tình hướng dẫn cho tác giả suốt trình làm luận văn Đồng thời, tác giả xin chân thành cảm ơn thầy, cô trực tiếp giảng dạy lớp Thạc sĩ Tốn giải tích khố trường Đại Học Hồng Đức; cảm ơn Ban Giám Hiệu trường Ban chủ nhiệm khoa Khoa Học Tự Nhiên, Trường Đại học Hồng Đức giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn Cuối cùng, tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè ln động viên, khích lệ tác giả học tập sống iii MỤC LỤC Một số ký hiệu dùng luận văn iv Lời mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các không gian hàm 1.2 Các định lý nhúng Chương Điều kiện giải tốn Neumann phương trình elliptic tựa tuyến tính miền lùi mặt phẳng 2.1 Bài toán Neumann mối liên hệ tính giải với đặc trưng hóa khơng gian đối ngẫu 2.1.1 Bài toán Neumann 2.1.2 Định nghĩa nghiệm toán (2) - (3) 2.1.3 Mối liên hệ tính giải tốn Neumann với đặc trưng hóa không gian đối ngẫu 2.2 Một lớp miền phẳng kết hỗ trợ 10 2.3 Không gian TWp1 (Ω)∗ miền phẳng với điểm lùi 16 2.4 Không gian TWp1 (Ω)∗ miền phẳng với điểm lùi 25 Kết luận 27 Tài liệu tham khảo 28 iv MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN R: tập số thực C: tập số phức k.k: chuẩn Ω: miền R2 Ω: bao đóng Ω ∂ Ω: biên  Ω  ∂ ∂ ∂ ∇= , , , ∂ x1 ∂ x2 ∂ xn k C (Ω): không gian hàm khả vi liên tục cấp k Ω (k ∈ N) C(Ω): không gian hàm liên tục Ω C∞ (Ω): không gian hàm khả vi vô hạn Ω C0∞ (Ω): không gian hàm khả vi vô hạn Ω với giá compact L p (Ω): không gian hàm đo Lebesgue TWp1 (Ω): không gian vết biên Wp1 (Ω) TWp1 (Ω)∗ : không gian đối ngẫu không gian TWp1 (Ω) LỜI MỞ ĐẦU Các tốn biên phương trình hệ phương trình đạo hàm riêng thường có nguồn gốc từ ngành khoa học tự nhiên kỹ thuật Vì nghiên cứu toán biên người ta quan tâm đến tồn nghiệm; phụ thuộc liên tục nghiệm vào liệu cho khơng gian Cho đến tốn biên phương trình hệ phương trình tuyến tính dạng elliptic, parabolic hay hyperbolic miền có biên trơn nghiên cứu đạt kết tương đối hoàn chỉnh Tuy nhiên thực tế phần lớn toán ứng dụng quan trọng dẫn đến tốn biên phương trình đạo hàm riêng miền có biên khơng trơn Do tốn dạng thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học Trong luận văn chúng tơi nghiên cứu tốn Neumann cho phương trình elliptic tựa tuyến tính miền phẳng biên miền có chứa đỉnh Với số điều kiện, vấn đề tính giải tốn Neumann cho phương trình elliptic tựa tuyến tính quy mơ tả khơng gian đối ngẫu không gian TWp1 (Ω) hàm thuộc lớp Sobolev Wp1 (Ω) < p < ∞ Không gian đối ngẫu đặc trưng thông qua lớp Sobolev đường cong Lipchitz thông qua không gian hàm khoảng (0, 1) đường thẳng thực Kết nghiên cứu Định lý 2.3.1 Định lý 2.4.1 Chứng minh kết chủ yếu dựa mơ tả tường minh không gian TWp1 (Ω) TWp1 (Ω)∗ miền phẳng có chứa đỉnh Chúng tơi cịn đưa điều kiện cần đủ cho q để toán Neumann giải với giả thiết hàm biên thuộc Lq (∂ Ω) Luận văn gồm hai chương Chương I Kiến thức chuẩn bị Chương II Điều kiện giải toan Neumann phương trình elliptic tựa tuyến tính miền lùi mặt phẳng Mặc dù có nhiều cố gắng, chắn luận văn khó tránh khỏi khiếm khuyết, sai sót Tác giả mong nhận góp ý, phê bình thầy cơ, bạn bè đồng nghiệp Thanh hóa, ngày 20 tháng năm 2014 CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các không gian hàm Định nghĩa 1.1.1 (Không gian Banach) Cho X không gian tuyến tính Hàm ||.|| : X → R gọi chuẩn thỏa mãn ||x|| > ∀x ∈ X; ||x|| = ⇔ x = ||λ x|| = |λ |||x|| với λ ∈ K, x ∈ X ||x + y|| ||x|| + ||y||, ∀x, y ∈ X (X, ||.||) gọi không gian định chuẩn Không gian định chuẩn X không gian Banach dãy Cauchy X hội tụ (với {xn } ⊂ X : ||xn − xm || → m, n → ∞ xn → x0 ∈ X) Định nghĩa 1.1.2 (Tập compact) Tập A ⊂ X gọi tập compact ∀{xn } ⊂ A, ∃{xnk } ⊂ {xn } : xnk → x ∈ A (trong X khơng gian Banach) Định nghĩa 1.1.3 (Không gian đối ngẫu) Giả sử X khơng gian Banach, | f (x)| Khi (X ∗ , ||.||X ∗ ) X ∗ = { f : X → R| f tuyến tính liên tục} với || f ||X ∗ = sup ||x|| x∈X không gian Banach gọi không gian đối ngẫu X Định nghĩa 1.1.4 (Không gian Lebesgue L p (Ω)) Giả sử Ω miền Rn ; p ∞ ta ký hiệu L p (Ω) lớp hàm đo f xác định Ω cho Z | f (x)| p dx < +∞ Ω với chuẩn định nghĩa sau  1/p R  p  ;  | f | dx Ω || f ||L p (Ω) =   ess sup | f (x)|; x∈Ω 16 p n 10 2.2 Một lớp miền phẳng kết hỗ trợ Cho Ω miền với biên compact R2 Giả sử O ∈ ∂ Ω đường cong ∂ Ω \ {O} đồ thị hàm Lipchitz cách địa phương Xét tọa độ Đềcác (x, y) với gốc O Cho ϕ− ϕ+ hàm số thuộc C0,1 [0, 1] cho ϕ± (0) = 0; ϕ±0 (t) → t → +0 hàm số ϕ = ϕ− + ϕ+ tăng đoạn [0, 1] Định nghĩa 2.2.1 Một điểm O gọi điểm lùi Ω điểm có lân cận U thỏa mãn U ∩ Ω = {(x, y) : x ∈ (0, 1), ϕ− (x) < y < ϕ+ (x)} Định nghĩa 2.2.2 Một điểm O gọi điểm lùi Ω với lân cận U O cho U \ Ω = {(x, y) : x ∈ (0, 1), ϕ− (x) < y < ϕ+ (x)} Giả sử ∂ Ω ∩ U = {O} ∪ Γ− ∪ Γ+ , Γ± = {(x, ϕ± (x)) : x ∈ (0, 1)} Cho Γ = Γ− ∪ Γ+ Với hàm v xác định Γ ta đặt v− (x) = v(x, ϕ− (x)) v+ (x) = v(x, ϕ+ (x)), x ∈ (0, 1) Ta viết v = (v− , v+ ) Ta ký hiệu v˜ hàm xác định Γ điều kiện (v) ˜ − = (v) ˜ + = (v+ + v− )/2 Định nghĩa 2.2.3 Với f ∈ TWp1 (Ω)∗ hàm Lipchitz λ ∂ Ω, ta đặt < λ f , v >=< f , λ v >, v ∈ TWp1 (Ω) Ta nói hàm f ∈ TWp1 (Ω) có giá đường cong γ ⊂ ∂ Ω (và viết supp f ⊂ γ) v|γ = dẫn đến < f , v >= Định nghĩa 2.2.4 (Định nghĩa phân hoạch đơn vị ∂ Ω \ {0}) Xét dãy {xk } xác định x0 ∈ (0, 1) xk+1 + ϕ(xk+1 ) = xk với k = 0, 1, 11 Dễ thấy {xk } giảm −1 xk → 1, ϕ(xk+1 )−1 ϕ(xk ) → xk → 0, xk+1 Cho {µk }k>1 phân hoạch đơn vị đoạn (0, x1 ] với giá ∆k = (xk+1 , xk−1 ) (k = 1, 2, ) nói cách khác µk ∈ C0∞ (∆k ) thỏa mãn điều kiện µk ∑ µk (x) với x ∈ (0, x1 ] k>1 Phân hoạch xây dựng cho (i) dist(suppµk , R \ ∆k ) > constϕ(xk ) |µk0 | constϕ(xk )−1 , (9) số phụ thuộc vào ϕ (ii) Đẳng thức ∑ µk (x) = với x ∈ (0, δ ] với δ > x1 Đặt k>1 µ0 (x) =   0 x < x1  1 − µ1 (x) x > x1 Rõ ràng ∑ µk (x) = với x ∈ (0, 1] k>0 Phân hoạch định nghĩa phụ thuộc vào x0 hàm ϕ Sau đây, ta giả sử cố định đặt Γ0 = ∂ Ω \ {(x, y) ∈ Γ : x x1 } Lưu ý phân hoạch đơn vị (0, 1] cảm sinh phân hoạch đơn vị ∂ Ω \ {O} phần tử định nghĩa µ0 = Γ \ Γ; µk (x, y) = µk (x) với (x, y) ∈ Γ x ∈ ∆k k > 0; k > 1, µk = ∂ Ω \ Γ Với miền phẳng có điểm lùi ngồi, khơng gian TWp1 (Ω) mơ tả trường minh [5], [6] chứa tất hàm thuộc lớp L p,loc (∂ Ω \ {0}) với 12 chuẩn hữu hạn 1/p  ||v|| Z1 1−1/p Wp (Γ0 ) +  (|v+ | p + |v− | p )ϕ(x)dx + |v+ | p + |v− | p Z1 + (10) 1/p  |v+ (x) − v− (x)| p ϕ(x)1−p dx , 1/p   |u| p =  ZZ {t,τ∈(0,1)} |u(t) − u(τ)| p χ |t − τ| p   |t − τ|  dtdτ  M(t, τ) (11) M(t, τ) = max{ϕ(t), ϕ(τ)} χ hàm đặc trưng khoảng (0, 1) Lưu ý chuẩn (10) tương đương với chuẩn ||v||TWp1 (Ω) Bổ đề 2.2.1 Mọi hàm v ∈ TWp1 (Ω) biểu diễn thành tổng ba số hạng v = µ0 v + (1 − µ0 )v˜ + (1 − µ0 )(v − v) ˜ Mỗi số hạng hàm tuyến tính liên tục v thuộc vào TWp1 (Ω) Chứng minh Chúng ta chứng minh ||µ0 v||TWp1 (Ω) c||v|| 1−1/p Wp (Γ0 ) (12) Ta cần chứng tỏ ||µ0 v|| p 1−1/p Wp (Γ0 ) c||v|| p 1−1/p Wp (Γ0 ) (13) |µ0 v± | pp c||v|| p 1−1/p Wp (Γ0 ) Bất đẳng thức (13) rút từ [µ0 v] pp,Γ0 Z 6c p |v(Q)| dsQ Γ0 Z |µ0 (Q) − µ0 (M)| p dsM |Q − M| p Γ0 Z +c Γ0 p Z µ0 (M) dsM Γ0 |v(M) − v(Q)| p dsQ |M − Q| p (14) 13 tính liên tục Lipchitz hàm µ0 ∂ Ω (Nhắc lại [.] p,Γ0 nửa chuẩn (1)) Ta chứng minh (14) cho hàm v− Ta có |µ0 v− | p c Z1 Zt p |v− (t)| dt |µ0 (t) − µ0 (τ)| p dτ |t − τ| p t−ϕ(t) Z1 +c Zt |v− (t) − v− (τ)| p dτ |t − τ| p dt t−ϕ(t) Số hạng đầu bên vế phải không vượt c||v||Lp p (Γ− ∩Γ ) , µ0 |(0, x1 ) = Ở số hạng thứ hai, tích phân thực lấy t > τ > x1 ; số hạng không vượt c[v] pp,Γ− ∩Γ0 , [.] p,Γ− ∩Γ0 ký hiệu cho nửa chuẩn (1) Tương tự (14) cho v+ Bởi (12) Bây giờ, ta chứng tỏ ||(1 − µ0 )v|| ˜ TWp1 (Ω) c||v||TWp1 (Ω) (15) Vì dist(supp(1 − µ0 ), Γ0 \ Γ) > ta có ||(1 − µ0 )v|| ˜ Lp p (Γ ) ||v|| ˜ Lp p (Γ ∩Γ) Z1 6c |v+ + v− | p ϕ(x)dx (16) x1 Đối với hàm w = (1 − µ0 )v, ˜ ta có Z p |w(Q)| dsQ Γ0 ∩Γ Z dsM c||v|| ˜ Lp p (Γ \Γ) ; p |M − Q| Γ0 \Γ kết hợp bất đẳng thức với (16) ta thu c[w] pp,Γ0 [w] pp,Γ0 ∩Γ + Z1 |v+ + v− | p ϕ(x)dx x1 Tiếp theo [w] pp,Γ0 ∩Γ ZZ c[v] ˜ pp,Γ0 ∩Γ + c M,Q∈Γ0 ∩Γ |µ0 (M) − µ0 (Q)| p p |v(M)| ˜ dsQ dsM p |M − Q| (17) 14 Bất đẳng thức với (17) dẫn đến  Z1 c[w] p,Γ0 [v− + v+ ] p,(x1 ,1) +   |v+ + v− | p ϕ(x)dx (18) Từ (16) (18) suy ||(1 − µ0 )v|| ˜ p 1−1/p Wp (Γ0 ) c||v|| p 1−1/p Wp (Γ0 ) (19) Để hoàn thành việc kiểm chứng (15) ta cần chứng minh |(1 − µ0 )v| pp Z1 6c |v(x)| p dx + c|v| pp , (20) v(x) = v− (x)+v+ (x) Thật vậy, từ định nghĩa (11) vế trái (20) không vượt tổng Z1 c p |v(t)| dt Zt |µ0 (t) − µ0 (τ)| p dτ + c |t − τ| p t−ϕ(t) Z1 Zt dt |v(t) − v(τ)| p dtdτ; |t − τ| p t−ϕ(t) Số hạng thứ tổng không vượt số hạng thứ bên vế phải (20) số hạng thứ hai không vượt số hạng thứ hai bên vế phải (20) Để kết thúc chứng minh bổ đề, ta cần lưu ý từ (12) (15) ta có ước lượng ||(1 − µ0 )(v − v)|| ˜ TWp1 (Ω) c||v||TWp1 (Ω) 1−1/p Bổ đề 2.2.2 Ánh xạ Wp (∆k ) u 7→ (−µk u, µk u) ∈ TWp1 (Ω) liên tục với k = 1, 2, Chứng minh Cho Ωk = {(x, y) ∈ W : x ∈ ∆k } Xét hàm số v ∂ Ωk định nghĩa v(x, y) = với x = xk±1 , v(x, ϕ− (x)) = −µk (x)u(x), v(x, ϕ+ (x)) = µk (x)u(x) Bởi µk ∈ C0∞ (∆k ) ϕ± ∈ C0,1 ([0, 1]), 1−1/p v ∈ Wp (∂ Ω), ||v|| 1−1/p Wp (∂ Ωk ) ck ||u|| 1−1/p Wp (∆k ) , 15 số khơng phụ thuộc vào u Theo định lý Gagliavdo [2], 1−1/p tồn toán tử mở rộng liên tục Wp (∂ Ωk ) v 7→ V ∈ Wp1 (Ωk ) 1−1/p Đặt V |Ω\Ωk = 0, thu toán tử mở rộng liên tục Wp (∂ Ωk ) v 7→ V ∈ Wp1 (Ω) Từ ||V ||Wp1 (Ω) ck ||u|| 1−1/p Wp (∆k ) Cuối lưu ý V− = −µk u V+ = µk u Bổ đề 2.2.3 Nếu v ∈ L p,loc (∂ Ω \ {O}) v(x, y) = bên tập {(x, y) ∈ Γ : x < x0 } chuẩn ||v||TWp1 (Ω) tương đương với chuẩn (10) (bỏ số hạng thứ nhất) Chứng minh Chỉ cần kiểm tra đánh giá ||v|| p 1−1/p Wp (Γ0 ) c|v− | pp + |v+ | pp + c Z1 (|v− | p + |v+ | p )ϕ(x)dx (21) Bởi giá v có khoảng cách dương tới Γ0 \ Γ ||v||Lp p (Γ ) = ||v||Lp p (Γ ∩Γ) Z1 6c (|v− | p + |v+ | p )ϕ(x)dx, (22) [v] pp,Γ0 Z 6 [v] pp,Γ0 ∩Γ + c Γ0 ∩Γ [v] pp,Γ0 ∩Γ + c Z1 p |v(Q)| dsQ Z dsM |Q − M| p Γ0 \Γ (|v− | p + |v+ | p )ϕ(x)dx Hơn nữa, c[v] pp,Γ0 ∩Γ [v] pp,Γ0 ∩Γ− + [v] pp,Γ0 ∩Γ+ Z + Γ0 ∩Γ− Z dsQ Γ0 ∩Γ+ |v(Q) − v(M)| p dsM |Q − M| p Ở tích phân cuối |Q − M| > const > Từ tích phân khơng vượt q c[v]Lp p (Γ ∩Γ) Ta phải đánh giá [v] pp,Γ0 ∩Γ± Rõ ràng [v] pp,Γ0 ∩Γ− ZZ 6c t,τ∈(x1 ,1) |v− (t) − v− (τ)| p dtdτ (t − τ) p 16 Ta biểu diễn tích phân cuối tổng hai tích phân tập |t − τ| < max{ϕ(t), ϕ(τ)} phần bù Tích phân trước bé |v− | pp tích phân sau bé |t − τ| > const > Do [v] pp,Γ0 ∩Γ− c|v− | pp + c Z1 |v− | p ϕ(x)dx x1 Ước lượng thu cách thay v− v+ bất đẳng thức suy cách tương tự Điều chứng minh (21) Bổ đề 2.2.4 Giả sử u ∈ L p,loc (0, 1) u(x) = với x > x0 Khi x0 đủ nhỏ, nửa chuẩn (11) chuyển đổi thành chuẩn tương đương thừa số χ(|t − τ|/M(t, τ)) tích phân thay χ(|t − τ|/(2M(t, τ))) 2.3 Không gian TWp1 (Ω)∗ miền phẳng với điểm lùi Cho Wp (0, 1) không gian L p,loc (0, 1) với chuẩn hữu hạn  1/p Z1 ||u||Wp (0,1) =  |u(x)| p ϕ(x)dx + |u| p , |.| p nửa chuẩn xác định (11) Không gian TWp1 (Ω)∗ miền phẳng với điểm lùi ngồi mơ tả định lý sau Định lý 2.3.1 Cho Ω ⊂ R2 miền chứa điểm lùi ngồi {µk } phân hoạch đơn vị ∂ Ω \ {O} xây dựng (i) Nếu f ∈ TWp1 (Ω)∗ f = f (1) + f (2) + f (3) D E (1) TWp (Ω) v 7→ f , v = h f , µ0 vi , D E (2) TWp (Ω) v 7→ f , v = h f , (1 − µ0 )vi ˜ , D E TWp1 (Ω) v 7→ f (3) , v = h f , (1 − µ0 )(v − v)i ˜ Các hàm số f ( j) có tính chất sau: 17 f ( j) ∈ LWp1 (Ω)∗ với j = 1, 2, 1−1/p0 Hơn f (1) ∈ Wp0 (Γ0 ) supp f (1) ⊂ Γ0 Các hàm số f (2) , f (3) có giá nằm tập {(x, y) ∈ U ∩ ∂ Ω : x < x0 } Hàm số f (2) thuộc vào lớp Wp (0, 1)∗ theo nghĩa D E (2) f , v c||v− + v+ ||Wp (0,1) , (23) số không phụ thuộc vào v Hàm số f (3) có biểu diễn D E (3) f ,v = ∑ h fk , v+ − v− i , (24) k>1 hàm số fk xác định 1−1/p Wp (∆k ) u 7→ h fk , ui = h f , (−µk u, µk u)i −1/p0 thuộc vào lớp Wp0 (∆k ) Hơn nữa, p0 !1/p0 ∑ || fk ||W −1/p k>1 (3) c f TWp1 (Ω)∗ p , (25) số phụ thuộc vào p Ω −1/p0 (ii) Giả sử rằng, k > 1, hàm số fk ∈ Wp0 (∆k ) có giá nằm bên ∆k tổng bên vế trái (25) hữu hạn Thế thì, hàm số TWp1 (Ω) v 7→ D E (3) f , v định nghĩa (24) liên tục có giá {(x, y) ∈ U ∩ ∂ Ω : x < x0 } Hơn !1/p0 (3) f TWp1 (Ω)∗ 6c ∑ k fk kWp −1/p (∆k ) k>1 , (26) p c = c(p, Ω) −1/p0 Giả sử thêm h ∈ Wp0 (Γ0 ) g ∈ Wp (0, 1)∗ Cho f (1) = µ0 h cho D E (2) f , v = hg, (1 − µ0 )(v− + v+ )/2i với v ∈ TWp1 (Ω) (27) −1/p0 Thế f (1) , f (2) ∈ TWp1 (Ω)∗ f (1) ∈ Wp0 (Γ0 ) 18 ∈ TWp1 (Ω) suy từ bổ đề 2.2.1 Trong Chứng minh (i) Bao hàm f ( j) −1/p0 chứng minh bổ đề đó, bao hàm f (1) ∈ Wp0 (Γ0 ) thiết lập (xem bất đẳng thức (13)) Ước lượng (23) suy từ bổ đề 2.2.1 (xem (16), (18), (20)) −1/p0 Bây chứng minh (25) Từ bổ đề 2.2.2, fk ∈ Wp0 đặt αk = || fk || −1/p0 Wp0 1−1/p chọn uk ∈ Wp ||uk || 1−1/p Wp (∆k ) Với số nguyên dương N, ta có * N p0 ∑ αk (∆k ) cho αk h fk , uk i N p0 −1 f , ∑ αk 62 k=1 (∆k ) Ta + (−µk uk , µk uk ) (28) k=1 Rõ ràng, µk = (1 − µ0 )µk với k > Ta có µ1 = (1 − µ0 )µ1 [x2 , x1 ] µ1 = − µ0 đoạn [x1 , x0 ] Xét hàm ν1 ∈ C0∞ (∆1 ) định nghĩa ν1 = µ1 [x2 , x1 ], ν1 (x) = với x ∈ [x1 , x0 ] x ∈ suppµ1 , ν1 = lân cận x0 Hàm số µ1 biểu diễn dạng (1 − µ0 )ν1 Đặt νk = µk với k > Khi đó, µk = (1 − µ0 )νk với k > 1, bất đẳng thức (28) viết lại dạng N ∑ αkp h f , (1 − µ0 )vi , (29) k=1 N v = ∑ αkp −1 vk với vk = (−νk uk , νk uk ) (30) k (Nhắc lại biểu thức v = (u, w) có nghĩa v hàm Γ với v− = u, v+ = w) Đặt νk uk = bên ∆k , mở rộng vk lên ∂ Ω Từ đó, hàm v (29), (30) định nghĩa ∂ Ω, v˜ = 0, (29) hàm ý N ∑ k=1 αkp D 62 f (3) E ,v (31)