(Luận văn) bài toán cauchy đối với phương trình truyền nhiệt không thuần nhất

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VŨ THỊ THANH HUYỀN lu an n va to p ie gh tn BÀI TỐN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT d oa nl w KHÔNG THUẦN NHẤT ll u nf va an lu oi m z at nh LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2016 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VŨ THỊ THANH HUYỀN lu an n va BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI gh tn to PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT p ie KHƠNG THUẦN NHẤT d oa nl w ll u nf va an lu Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 oi m LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z m co l gm @ Người hướng dẫn khoa học: TS Phạm Thị Thủy an Lu THÁI NGUYÊN - 2016 n va ac th si Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các tài liệu luận văn trung thực Luận văn chưa công bố cơng trình Tác giả luận văn lu an n va tn to Vũ Thị Thanh Huyền ie gh Xác nhận người hướng dẫn khoa học p Xác nhận Khoa chuyên môn d oa nl w nf va an lu TS Phạm Thị Thủy z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th i si Lời cảm ơn lu an n va p ie gh tn to Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình TS Phạm Thị Thủy Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn hướng dẫn hiệu kinh nghiệm q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết, mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Em xin chân thành cảm ơn! w oa nl Thái Nguyên, tháng 04 năm 2016 d Tác giả luận văn nf va an lu z at nh oi lm ul Vũ Thị Thanh Huyền z m co l gm @ an Lu n va ac th ii si MỤC LỤC Lời cam đoan…………………………………………………………………i Lời cảm ơn……………………………………………………………… .ii MỤC LỤC……………………………………………….………………… iii MỞ ĐẦU…………………………………………………………………… Chƣơng MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ………………………… 1.1 Phân loại phương trình đạo hàm riêng……………………… 1.2 Phép biến đổi Fourier ………………………………8 1.3 Phép biến đổi Fourier …………………………… 13 lu 1.4 Các công thức đơn giản biến đổi Fourier………………… 19 an n va 1.5 Biến đổi Fourier vài hàm số đơn giản………………….22 NHIỆT KHÔNG THUẦN NHẤT…………………………………………29 2.1 Bài tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt khơng p ie gh tn to Chƣơng BÀI TỐN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN …………………………………………29 w với hệ số oa nl 2.1.1 Bài toán Cauchy………………………………………… 29 d 2.1.2 Tìm nghiệm tốn (2.1.1), (2.1.2)………………… 29 lu an 2.2 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt khơng …………………………………………31 u nf va với hệ số ll 2.2.1 Bài toán Cauchy………………………………………… 31 m oi 2.2.2 Tìm nghiệm tốn (2.2.1), (2.2.2)………………… 31 z at nh 2.3 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt khơng với hệ số phụ thuộc biến thời gian ……………… 33 z gm @ 2.3.1 Bài toán Cauchy………………………………………… 33 l 2.2.2 Tìm nghiệm tốn (2.3.1), (2.3.2)………………… 34 m co KẾT LUẬN…………………………………………………………………39 an Lu TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………40 n va iii ac th si MỞ ĐẦU lu an n va p ie gh tn to Lý chọn đề tài Trong số lớp phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, phương trình parabolic lớp phương trình mơ tả q trình truyền nhiệt, khuyếch tán Các tốn có chứa phương trình parabolic nghiên cứu từ lâu lý thuyết phương trình đến tương đối hồn chỉnh Khi nghiên cứu tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt, nhà tốn học Pháp Poisson thiết lập cơng thức tính nghiệm, mang tên ơng có nhiều ứng dụng Ngày có nhiều phương pháp để nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng tuyến tính phương pháp biến đổi Fourier nhiều trường hợp tỏ quan trọng hiệu Phương pháp biến đổi Fourier giúp cho việc nghiên cứu lớp phương trình khác thiết lập công thức biểu diễn nghiệm tốn Khơng phương pháp biến đổi Fourier cịn nghiên cứu tính chất cơng thức biểu diễn nghiệm Theo hướng nghiên cứu chúng tơi chọn “ Bài tốn Cauchy phương trình truyền nhiệt khơng ” làm đề tài nghiên cứu Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp biến đổi Fourier áp dụng việc giải tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt khơng 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau - Trình bày tổng quan phương trình đạo hàm riêng, phép biến đổi Fourier L1 (Rn ), L2 (Rn ), tính chất chúng - Tìm nghiệm tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt khơng với hệ số R1 , hệ số Rn hệ số phụ thuộc biến thời gian Rn d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si lu an n va p ie gh tn to Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp phương trình đạo hàm riêng, phương pháp giải tích, sử dụng hệ thống phép biến đổi Fourier, cơng thức Poisson để nghiên cứu tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt khơng Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 41 trang có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Trình bày số kiến thức chuẩn bị để thực nội dung chương sau: Phân loại phương trình đạo hàm riêng, trình bày hệ thống phép biến đổi Fourier L1 (Rn ), L2 (Rn ), công thức đơn giản biến đổi Fourier, biến đổi Fourier vài hàm số đơn giản Chương Là nội dung luận văn, trình bày kết nghiên cứu tốn Cauchy phương trình truyền nhiệt khơng với hệ số R1 , hệ số Rn hệ số phụ thuộc biến thời gian Rn Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ lu Trong chương này, ta nhắc lại số kiến thức quan trọng làm tảng để nghiên cứu chương sau, kiến thức phương trình đạo hàm riêng biến đổi Fourier Các nội dung chương trích dẫn từ tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [4], [5], [6], [9],[10], [11] an n va tn to 1.1 Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai trường hợp hai biến ie gh 1.1.1 Phân loại phương trình đạo hàm riêng p Định nghĩa 1.1.1.1 Cho k số nguyên dương U tập mở Rn Một biểu thức có dạng
F x, u (x) , Du (x) , , Dk u (x) = 0, x∈U (1.1.1) d oa nl w an lu gọi phương trình đạo hàm riêng bậc k với k nf va F : U × R × Rn × · · · × Rn → R, lm ul hàm cho trước, u : U → R hàm cần tìm z at nh oi Phương trình đạo hàm riêng (1.1.1) gọi giải tìm tất hàm số u thoả mãn (1.1.1) z Định nghĩa 1.1.1.2 Phương trình đạo hàm riêng (1.1.1) gọi tuyến tính phương trình có dạng X aα (x)Dα u = f (x) , m aα (x), f (x) hàm số cho co l gm @ |α|≤k an Lu Phương trình tuyến tính gọi f ≡ n va ac th si Định nghĩa 1.1.1.3 Giả sử u = u (x, y) hàm xác định R2 , a (x, y) , b (x, y) , c (x, y) ∈ R2 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai trường hợp hai biến phương trình có dạng a (x, y) uxx + 2b (x, y) uxy + c (x, y) uyy + F (x, y, u, ux , uy ) = a) Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai trường hợp hai biến Xét phương đạo hàm riêng trình tuyến tính cấp hai với hệ số thực auxx + 2buxy + cuyy + F (x, y, u, ux , uy ) = 0, (1.1.2) có biệt thức ∆ = b2 − ac lu Xét điểm (x0 , y0 ) cố định Phương trình (1.1.2) điểm (x0 , y0 ) gọi an va n - Thuộc loại elliptic điểm b2 − ac < tn to - Thuộc loại hypecbolic điểm b2 − ac > ie gh - Thuộc loại parabolic điểm b2 − ac = p Nếu điểm miền G mà phương trình (1.1.2) thuộc loại ta nói phương trình (1.1.2) thuộc loại miền G b) Dạng tắc phương trình tuyến tính cấp hai trường hợp hai biến d oa nl w an lu Ta đưa phương trình (1.1.2) dạng tắc sau nf va - Với b2 − ac > dạng tắc phương trình loại hypecbolic uxx − uyy = Φ hay uxy = Φ lm ul z at nh oi - Với b2 − ac < dạng tắc phương trình loại elliptic uxx + uyy = Φ z - Với b2 − ac = dạng tắc phương trình loại parabolic uxx = Φ @ Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai trường hợp nhiều biến l gm 1.1.2 m co Định nghĩa 1.1.2.1 Giả sử u = u (x1 , x2 , , xn ) hàm xác định Rn Phương trình tuyến tính cấp hai trường hợp n− biến phương trình có dạng an Lu n va ac th si n X aij uxi xj + F (x1 , , xn , u, ux1 , , uxn ) = 0, (1.1.3) i,j=1 với aij = aji hàm biến x1 , , xn a) Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai trường hợp nhiều biến Ta ký hiệu x = (x1 , x2 , , xn ) điểm không gian Ơ – clit n chiều với tọa độ x1 , , xn Xét ma trận A(x) = kaij (x)k (1.1.4) lu an n va gh tn to Coi (1.1.4) ma trận đối xứng
Ta cố định điểm x0 = x1 , , xn Khi ma trận A(x) trở thành ma trận A(x0 ) Phương trình det(A(x0 ) − λE) = 0, (1.1.5) p ie E ma trận đơn vị, λ vơ hướng, gọi phương trình đặc trưng điểm x0 phương trình (1.1.3) Từ ta có
d oa nl w - Phương trình (1.1.3) gọi thuộc loại elliptic điểm x0 = x1 , , xn điểm đó, tất n nghiệm λ phương trình đặc trưng (1.1.5) khác khơng dấu lu nf va an - Phương trình (1.1.3) gọi thuộc loại hypecbolic điểm
x0 = x1 , , xn điểm đó, tất n nghiệm λ phương trình đặc trưng (1.1.5) khác khơng có n − nghiệm dấu, cịn nghiệm cuối cịn lại có dấu khác z at nh oi lm ul z - Phương trình (1.1.3) gọi thuộc loại parabolic điểm
x0 = x1 , , xn điểm đó, n nghiệm λ phương trình đặc trưng (1.1.5) có nghiệm khơng, cịn n−1 nghiệm cịn lại khác khơng dấu gm @ m co l Nếu điểm miền Ω không gian E mà phương trình (1.1.3) thuộc loại, ta nói phương trình (1.1.3) thuộc loại Ω an Lu n va ac th si Z Z f (u) e−ihu,ξi du ≤ n Z