Đánh giá gradient cho phương trình elliptic tựa tuyến tính qua toán tử cực đại cấp phân số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Huỳnh Ngọc Hương Thanh ĐÁNH GIÁ GRADIENT CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TỰA TUYẾN TÍNH QUA TOÁN TỬ CỰC ĐẠI CẤP PHÂN SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Huỳnh Ngọc Hương Thanh ĐÁNH GIÁ GRADIENT CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TỰA TUYẾN TÍNH QUA TỐN TỬ CỰC ĐẠI CẤP PHÂN SỐ Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÀNH NHÂN Thành phố Hồ Chí Minh - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn thạc sĩ với đề tài “Đánh giá gradient cho phương trình elliptic tựa tuyến tính qua tốn tử cực đại cấp phân số” tơi thực Các kết luận văn trung thực không chép luận văn khác Trong trình thực luận văn, thừa kế kết nhiều báo công bố nhà khoa học với trân trọng biết ơn Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cám ơn thơng tin trích dẫn luận văn ghi rõ nguồn gốc phép công bố Học viên thực Huỳnh Ngọc Hương Thanh LỜI CẢM ƠN Trong suốt q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn, nhận nhiều giúp đỡ, động viên từ q Thầy Cơ, gia đình bạn bè Trước tiên, xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Thành Nhân, người giới thiệu cho đề tài này, trực tiếp hướng dẫn tận tình tạo điều kiện tốt để tơi hồn thành tốt luận văn Bên cạnh tơi xin trân trọng cảm ơn Phòng Sau Đại học, Thư viện Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho thực tốt luận văn Xin chân thành cảm ơn q Thầy, Cơ Khoa Tốn - Tin học trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh truyền đạt cho kiến thức quý báu suốt năm học vừa qua quý Thầy, Cô Hội đồng chấm luận văn góp ý giúp cho luận văn hồn chỉnh Cuối cùng, tơi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè tập thể lớp Tốn Giải tích K29 hết lịng ủng hộ giúp đỡ tơi suốt q trình học tập trình thực luận văn Học viên thực Huỳnh Ngọc Hương Thanh Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Các kí hiệu Giới thiệu Tóm tắt luận văn 1 Giới thiệu tổng quan Cấu trúc luận văn Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Miền thỏa điều kiện p-capacity 9 1.2 Không gian Lorentz 11 1.3 Toán tử cực đại cấp phân số 15 Chương Các đánh giá so sánh với phương trình 20 2.1 Đánh giá tồn cục không gian Lebesgue 20 2.2 Đánh giá địa phương bên 22 2.3 Đánh giá địa phương biên 25 Chương Đánh giá gradient không gian Lorentz 29 3.1 Bổ đề phủ Vitali ý tưởng 29 3.2 Đánh giá qua toán tử cực đại 31 3.2.1 Xây dựng bất đẳng thức dạng good-λ 31 3.2.2 Đánh giá không gian Lorentz 42 3.3 Đánh giá qua toán tử cực đại cấp phân số 44 3.3.1 Toán tử cực đại dạng cut-off 44 3.3.2 Xây dựng bất đẳng thức dạng good-λ 48 3.3.3 Đánh giá không gian Lorentz 58 Kết luận 61 Tài liệu tham khảo 62 CÁC KÝ HIỆU R Tập hợp số thực Ω Miền mở, bị chặn Rn Ωc Phần bù miền Ω Rn ∂Ω Biên miền Ω diam (Ω) Đường kính miền Ω Br (x) Quả cầu mở tâm x, bán kính r > Rn A Tốn tử elliptic tựa tuyến tính ∇u Gradient hàm u : Rn → R div(F ) Divergence hàm vectơ F : Rn → Rn Ln (E) Độ đo Lebesgue tập đo E ⊂ Rn f (x)dx Tích phân trung bình hàm khả tích f tập E đo E ⊂ Rn M Toán tử cực đại Hardy-Littlewood Mα Toán tử cực đại cấp phân số với α ∈ [0, n] capp (B, Ω) p-capacity tập B ⊆ Ω Cc∞ (Ω) Không gian hàm trơn, có support compact Ω Lp (Ω) Khơng gian Lebesgue hàm đo được, có lũy thừa p khả tích Ω W 1,p (Ω) Khơng gian Sobolev Ω 1,p Wloc (Ω) Không gian Sobolev địa phương Ω Lq,s (Ω) Không gian Lorentz Ω Kết thúc chứng minh Giới thiệu Tóm tắt luận văn Nội dung luận văn trình bày lại số kết báo [23], liên quan đến tính quy nghiệm khơng gian Lorentz phương trình elliptic tựa tuyến tính với hàm liệu có dạng divergence điều kiện biên Dirichlet khơng nhất, có dạng   div(A(x, ∇u)) = div(|F |p−2 F ) Ω,   u =σ ∂Ω, hàm liệu F ∈ Lp (Ω; Rn ) điều kiện biên Dirichlet σ ∈ W 1,p (Ω) Tốn tử tựa tuyến tính A giả thiết cho div(A(x, ∇u)) div |∇u|p−2 ∇u Ngoài ra, đánh giá gradient thực thơng qua tốn tử cực đại cấp phân số Mα không gian Lorentz Lq,s (Ω), cụ thể chứng minh kết sau: Mα (|F |p + |∇σ|p ) ∈ Lq,s (Ω) =⇒ Mα (|∇u|p ) ∈ Lq,s (Ω) Phương pháp khảo sát luận văn kỹ thuật good-λ nghiên cứu số báo gần Các kết báo trình bày lại cách rõ ràng, chi tiết từ ý tưởng đến kỹ thuật giải khó khăn phát sinh đánh giá qua toán tử cực đại cấp phân số Giới thiệu tổng quan Khi nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng, chủ đề nhận quan tâm nhiều nhà tốn học tính quy nghiệm Liên quan đến tính chất này, nghiên cứu đưa cho lớp phương trình Laplace, sau mở rộng cho tốn elliptic tuyến tính phi tuyến Trong lớp phương trình phi tuyến, phương trình có nhiều ứng dụng thường quan tâm phương trình p-Laplace, có dạng   div |∇u|p−2 ∇u = f   = u Ω, (1) ∂Ω, hàm liệu f ∈ L1 (Ω) với p > Ω miền mở bị chặn Rn với n ≥ Phương trình p-Laplace (5) xem dạng đặc biệt lớp phương trình elliptic tựa tuyến tính, chúng tơi tập trung khảo sát luận văn Cụ thể, chúng tơi xét phương trình elliptic tựa tuyến tính với liệu dạng divergence, có dạng sau:   div(A(x, ∇u)) = div(|F |p−2 F ) Ω,   u =σ (2) ∂Ω, hàm liệu F xét thuộc không gian Lp (Ω; Rn ) điều kiện biên Dirichlet σ ∈ W 1,p (Ω) toán tử tựa tuyến tính A hàm giá trị vector Carathédory Ngồi ra, ta giả thiết toán tử A thỏa điều kiện sau: tồn hai số dương Λ1 , Λ2 cho |A(x, ξ)| ≤ Λ1 |ξ|p−1 , A(x, ξ) − A(x, η), ξ − η (3) ≥ Λ2 |ξ| + |η| p−2 |ξ − η|2 , (4) với (ξ, η) ∈ Rn × Rn \ {(0, 0)} Với hai điều kiện này, ta thấy A(x, ξ), ξ |ξ|p , ξ ∈ Rn Một dạng đặc biệt phương trình A(x, ξ) = |ξ|p−2 ξ, ξ ∈ Rn Trong trường hợp này, phương trình (2) trở thành phương trình pLaplace (5) với điều kiện biên Dirichlet Để giới thiệu tổng quan số kết đánh giá gradient cho nghiệm phương trình (2), trước hết xét trường hợp đơn giản phương trình dạng (2) tồn khơng gian với p = 2, tức phương trình Laplace có dạng −∆u = −div(F ), Ω = Rn (5) 50 Theo Bổ đề 2.1.1, đồng thời kết hợp với (3.35) (3.37), ta có: ˆ ˆ Mα (|∇u|p ) (y)dy ≤ CT0α Ω (|F |p + |∇σ|p ) (y)dy Ω ≤ CT0n T0α (|F |p + |∇σ|p ) (y)dy BT0 (x1 ) ≤ CT0n Mα (|F |p + |∇σ|p ) (x1 ) ≤ Cεb λLn (BT0 (x1 )) ≤C T0 R n εb λLn (BR (0)) ≤ Cεb λLn (BR (0)) (3.38) Từ (3.38) (3.36) ta có: Ln (Vλα ) ≤ Cεa+b Ln (BR (0)) ≤ CεLn (BR (0)) , số C phụ thuộc vào n, T0 a ∈ (0, 1) với tham số b > chọn cho a + b ≥ Bước chứng minh xong Bước : Lấy x0 ∈ Ω ta cần chứng minh với x ∈ BT0 (x0 ), r ∈ (0, 2R] λ > kết luận rằng: Ln (Vλα ∩ Br (x)) ≥ CεLn (Br (x)) ⇒ Br (x) ∩ Ω ⊂ Wλα Áp dụng Bổ đề 3.1.1, phương pháp phản chứng ta cần chứng minh rằng: Ln (Vλα ∩ Br (x)) < CεLn (Br (x)) , với giả thiết phản chứng Vλα ∩Br (x) = ∅ Br (x)∩Ω∩ Wλα c = ∅ Khi đó, ta có tồn x2 , x3 ∈ Br (x) ∩ Ω cho: MMα (|∇u|p )(x2 ) ≤ λ, (3.39) 51 Mα (|F |p + |∇σ|p )(x3 ) ≤ εb λ (3.40) Từ Bổ đề 3.3.1 cho ta khẳng định sau: Ln (Vλα ∩ Br (x)) ≤ Ln {MMα (|∇u|p ) > ε−a λ} ∩ Br (x) (3.41) ≤ max{Q1 , Q2 , Q3 }, đó, số hạng Q1 , Q2 Q3 xác định sau: Q1 = Ln {Mr Mrα (|∇u|p ) > ε−a λ} ∩ Br (x) , Q2 = Ln {Mr Trα (|∇u|p ) > ε−a λ} ∩ Br (x) , Q3 = Ln {Tr Mα (|∇u|p ) > ε−a λ} ∩ Br (x) Với y ∈ Br (x) ta dễ dàng kiểm tra Bρ (y) ⊂ B2ρ (x) ⊂ B3ρ (x2 ), ∀ρ ≥ r Áp dụng Bổ đề 1.3.4 với α = f = Mα (|∇u|p ), kết hợp với (3.39) ta được: Tr Mα (|∇u|p )(y) ≤ 3n MMα (|∇u|p )(x2 ) ≤ 3n λ Hơn nữa, với ρ ∈ (0, r), y ∈ Bρ (y) z ∈ Bρ (y), Bδ (z) ⊂ Bδ+3r (x2 ) với δ ≥ r nên ta có: ˆ Tαr (|∇u|p ) (z) = sup δ δ≥r α−n |∇u|p (ξ)dξ Bδ (z) 52 ˆ ≤ sup δ α−n δ≥r = sup δ≥r |∇u|p (ξ)dξ Bδ+3r (x2 ) n−α 3r + δ δ ˆ (3r + δ)α−n |∇u|p (ξ)dξ Bδ+3r (x2 ) ≤ 4n−α Mα (|∇u|p ) (x2 ) Áp dụng (3.39) ta được: Mr Tαr (|∇u|p ) (y) = sup 0 max{4n−α , 3n } n Do với λ > 0, ta chọn ε0 cho ε−a > để thu được: Ln (Vλα ∩ Br (x)) ≤ Q1 , ∀ε ∈ (0, ε0 ) Tương tự Định lý 3.2.1, ta xét hai trường hợp B2r (x) ⊂⊂ Ω B2r (x)∩ ∂Ω = ∅ Trường hợp 1: B2r (x) ⊂⊂ Ω Giả sử ngược lại, xét ω nghiệm phương trình (3.14) theo Bổ đề 3.3.3 ta thu được: p −a Ln (Vλα ∩ Br (x)) ≤ Ln {M2r α (χB2r (x) |∇u| ) > ε λ} ∩ Br (x) ≤ S1 + S2 , S1 S2 xác định p −a S1 = Ln {M2r α (χB2r (x) |∇u − ∇ω| ) > ε λ} ∩ Br (x) (3.42) 53 p −a S2 = Ln {M2r α (χB2r (x) |∇ω| ) > ε λ} ∩ Br (x) Theo tính chất bị chặn hàm cực đại Mα ta có đánh giá: n ˆ n−α S1 ≤ ≤ = C (ε−a λ) C (ε−a λ) |∇u − ∇ω|p dy n n−α n n−α C n (ε−a λ) n−α B2r (x) r n2 n−α |∇u − ∇ω|p dy n n−α B2r (x) rn rα |∇u − ∇ω|p dy n n−α B2r (x) Theo Bổ đề 2.2.2 ta có: rα |∇u − ∇ω|p dy ≤ Crα B2r (x) (|F |p + |∇σ|p )dy B2r (x) rα +C |∇u|p dy p−1 p rα |∇σ|p dy p (3.43) B2r (x) B2r (x) Với |x − x2 | < r |x − x3 | < r ta thấy B2r (x) ⊂ B4r (x2 ) B2r (x) ⊂ B4r (x3 ) Khi đó, sử dụng (3.39) (3.40) ta có: |∇u|p dy ≤ Crα rα B2r (x) |∇u|p dy B4r (x2 ) ≤ CMMα (|∇u|p )(x2 ) ≤ Cλ, rα (|F |p + |∇σ|p )dy ≤ Crα B2r (x) (|F |p + |∇σ|p )dy B4r (x3 ) ≤ CMα (|F |p | + |∇σ|p )(x3 ) 54 ≤ Cεb λ Kết hợp với bất đẳng thức (3.43), ta được: r α n n−α p (|∇u − ∇ω| )dy b ≤C ε λ+λ p−1 p b (ε λ) n n−α p B2r (x) ≤ Cε bn p(n−α) ε b(p−1) p n n−α +1 n λ n−α Từ suy n S1 ≤ Cr ε a+ pb n n−α ε b(p−1) p n n−α +1 ≤ Crn ε a+ pb n n−α (3.44) Đối với S2 , áp dụng Bổ đề 1.3.4 v bt ng thc Hăolder B 2.2.1, tồn số Θ = Θ(n, p, Λ1 , Λ2 , c0 ) > p C = C(n, p, Λ1 , Λ2 , c0 , Θ) > cho: S2 ≤ Crn (ε−a λ) ≤ n Θ p n−α Θ p Crn (ε−a λ) Θ n p n−α Θ p rα |∇ω|Θ dy n n−α Θ p B2r (x) rα |∇ω|p dy Θn p n−α Θ p ( ) (3.45) B4r (x) Theo Bổ đề 2.2.2, ta có: rα |∇ω|p dy ≤ Crα B4r (x) |∇u|p dy + Crα B4r (x) ≤ Crα B4r (x) |∇u|p dy + Crα B4r (x) +C |∇u − ∇ω|p dy rα |∇u|p dy B4r (x) ≤ C λ + εb λ + λ p−1 p b (|F |p + |∇σ|p )dy B4r (x) p−1 p rα |∇σ|p dy B4r (x) (εb λ) = Cλ + εb + ε p p p 55 Do đó, theo (3.45) ta thu ước lượng S2 n S2 ≤ Cr ε n aΘ p n−α Θ p −Θn p n−α Θ p λ( ) λ + εb + ε pb Θn p n−α Θ p ( aΘn ) ≤ Crn ε p(n−α Θp ) (3.46) p n − α Θp Chọn tham số a = Θn ∈ (0, 1) b cho a + b = Với p số a, b chọn ta thấy rằng: a+ b p n b = ≥ a + b > a + p n − α Θp Do đó, từ (3.42), (3.44) (3.46) ta kết luận rằng: Ln (Vλα ∩ Br (x)) ≤ Crn ε Trường hợp 2: B2r (x) ∩ ∂Ω = ∅ Trước tiên, lấy x4 ∈ ∂Ω cho |x − x4 | = d(x, ∂Ω) ≤ 2r Khi ta thấy B2r (x) ⊂ B10r (x4 ) Giả sử ω nghiệm phương trình:   divA(x, ∇ω) = B10r (x4 )   ω (3.47) ∂B10r (x4 ) = u−σ Trên cầu B10r (x4 ), theo Bổ đề 2.3.2 thực so sánh ∇u ∇ω , ta thu được: |∇u − ∇ω|p dy ≤ C B10r (x4 ) (|F |p + |∇σ|p )dy B10r (x4 ) |∇u|p dy +C B10r (x4 ) p−1 p |∇σ|p dy B10r (x4 ) p 56 Trong trường hợp này, ta viết p Ln (Vλα ∩ Br (x)) ≤ Ln {M2r > ε−a λ} ∩ Br (x) α χB10r (x4 ) |∇u| p ≤ Ln {M2r > ε−a λ} ∩ Br (x) α χB10r (x4 ) |∇u − ∇w| p + Ln {M2r > ε−a λ} ∩ Br (x) α χB10r (x4 ) |∇w| = S1B + S2B (3.48) Các số hạng vế phải (3.48) đánh giá tương tự trường hợp Cụ thể, ta có đánh giá: p S1B = Ln {M2r > ε−a λ} ∩ Br (x) α χB10r (x4 ) |∇u − ∇w| ≤ ≤ = ˆ C |∇u − ∇w|p dy n (ε−a λ) n−α C (ε−a λ) n n−α C (ε−a λ) n n−α n n−α B10r (x4 ) r n2 n−α |∇u − ∇w|p dy n n−α B10r (x4 ) rn rα |∇u − ∇w|p dy n n−α (3.49) B10r (x4 ) Với x2 , x3 xác định trước đó, ta có d(x, ∂Ω) ≤ 4r, từ kiểm tra B10r (x4 ) ⊂ B12r (x) ⊂ B13r (x2 ), B10r (x4 ) ⊂ B12r (x) ⊂ B13r (x3 ) Do ta suy |∇u|p dy ≤ Crα rα B10r (x4 ) |∇u|p dy ≤ CMMα (|∇u|p )(x2 ) ≤ Cλ; B13r (x2 ) rα (|F |p + |∇σ|p )dy ≤ Crα B10r (x4 ) (|F |p + |∇σ|p )dy B13r (x3 ) 57 ≤ Mα (|F |p + |∇σ|p )(x3 ) ≤ Cεb λ Áp dụng hai đánh giá vào (3.49), ta nhận được: r α n n−α p |∇u − ∇w| dy b ≤C ε λ+λ p−1 p b (ε λ) p n n−α B10r (x4 ) b p ≤C ε λ n n−α ε b(p−1) p +1 n n−α Điều dẫn đến: S1B n ≤ Cr ε a+ pb n n−α ε b(p−1) p +1 n n−α ≤ Crn ε a+ pb n n−α Để đánh giá S2B , sử dụng Bổ đề 2.3.1, tồn số Θ > p C > cho: Crn S2B ≤ (ε−a λ) n Θ p n−α Θ p |∇w|Θ dy B10r (x4 ) Crn ≤ (ε−a λ) Θ n p n−α Θ p n n−α Θ p |∇w|p dy Θn p n−α Θ p ( ) (3.50) B14r (x4 ) Mặt khác, ta kiểm tra rằng: B14r (x4 ) ⊂ B16r (x) ⊂ B17r (x2 ), B14r (x4 ) ⊂ B16r (x) ⊂ B17r (x3 ) Điều dẫn đến đánh giá: rα |∇u|p dy ≤ rα C B14r (x4 ) |∇u|p dy ≤ CMMα (|∇u|p )(x2 ) ≤ Cλ, B17r (x2 ) rα (|F |p + |∇u|p )dy ≤ rα B14r (x4 ) (|F |p + |∇u|p )dy B17r (x3 ) 58 ≤ Mα (|F |p + |∇u|p )(x3 ) ≤ Cεb λ Sử dụng Bổ đề 2.3.1, ta có: rα |∇w|p dy ≤ Crα |∇u|p dy + Crα B14r (x4 ) B14r (x4 ) ≤ Crα |∇u − ∇w|p dy B14r (x4 ) |∇u|p dy + Crα B20r (x4 ) B20r (x4 ) rα +C (|F |p + |∇σ|p )dy |∇u|p dy p−1 p B20r (x4 ) ≤ C λ + εb λ + λ p−1 p rα |∇σ|p dy B20r (x4 ) (εb λ) p b = Cλ + εb + ε p Trở lại (3.50), ta đánh giá S2B sau S2B n ≤ Cr ε aΘ n p n−α Θ p −Θn p n−α Θ p λ( Bằng cách chọn a = ) λ + εb + ε pb p n−α Θp nΘ Θn p n−α Θ p ( aΘn ) ≤ Crn ε p(n−α Θp ) b = p(1 − a), ta thu mệnh đề cần chứng minh 3.3.3 Đánh giá không gian Lorentz Định lý 3.3.5 ([23]) Cho p > Ω ⊂ Rn miền mở bị chặn thỏa điều kiện p-capacity ứng với số c0 , r0 > Giả sử u nghiệm yếu phương trình (2) ứng với liệu F ∈ Lp (Ω) σ ∈ W 1,p (Ω) Khi tồn số Θ = Θ(n, p, Λ1 , Λ2 ) > p cho với ≤ α < np Θ, 0 λ}) q =q dλ λ Thực phép đổi biến λ ε−a λ tích phân trên,ta thu được: ˆ ∞ MMα (|∇u|p ) s Lq,s (Ω) λs Ln {MMα (|∇u|p ) > ε−a λ} = ε−as q s q dλ λ Áp dụng Định lý 3.3.4, tồn số ε0 > cho: Ln {MMα (|∇u|p ) > ε−a λ} ≤ CεLn ({MMα (|∇u|p ) > λ} ∩ Ω) + Ln {Mα (|F |p + |∇u|p ) > εb λ} ∩ Ω , với ε ∈ (0, ε0 ) Điều dẫn đến: p MMα (|∇u| ) s Lq,s (Ω) −as+ qs ≤ Cε ˆ ˆ s λs Ln ({MMα (|∇u|p ) > λ} ∩ Ω) q q ∞ + Cε−as q ∞ λs Ln {Mα (|F |p + |∇σ|p ) > εb λ} ∩ Ω s q dλ λ Thực phép đổi biến tích phân cuối cùng, ta có: MMα (|∇u|p ) s Lq,s (Ω) s ≤ Cε−as+ q MMα (|∇u|p ) s Lq,s (Ω) + Cε−as−bs Mα (|F |p + |∇σ|p ) s Lq,s (Ω) dλ λ 60 Khi đó, với < s < ∞ < q < a = nΘ pn−αΘ ta có s q − a > Ta chọn ε ∈ (0, ε0 ) đủ nhỏ cho s Cε q −a ≤ , để thu bất đẳng thức (3.51) Trường hợp s = ∞ chứng minh hoàn toàn tương tự 61 Kết luận Trong luận văn này, tác giả trình bày lại số kết đánh giá gradient cho nghiệm yếu phương trình elliptic tựa tuyến tính với liệu hàm dạng divergence không gian Lorentz Kết đánh giá gradient khảo sát tồn cục miền Ω có biên khơng trơn, thỏa mãn điều kiện p-capacity Đặc biệt đánh giá gradient thực tác động toán tử cực đại cấp phân số Đây dạng đánh giá mới, vừa nghiên cứu thời gian gần Phương pháp trình bày luận văn để chứng minh đánh giá gradient gọi kỹ thuật good-λ, đưa tác giả Q.-H Nguyen, sau xây dựng phát triển tác giả M.-P Tran T.-N Nguyen Trong trình thực luận văn, tác giả cố gắng mô tả rõ ràng ý tưởng chứng minh báo, đồng thời trình bày cách thật chặt chẽ chi tiết hầu hết chứng minh mấu chốt Tác giả mong luận văn tài liệu tham khảo tiếng Việt có ích cho sinh viên, học viên quan tâm đến chủ đề tính quy nghiệm lớp phương trình elliptic phi tuyến kỹ thuật good-λ 62 Tài liệu tham khảo [1] K Adimurthi, N C Phuc, Global Lorentz and Lorentz-Morrey estimates below the natural exponent for quasilinear equations, Calc Var Partial Differential Equations 54(3) (2015), 3107–3139 [2] S.-S Byun, D K Palagachev, P Shin, Global Sobolev regularity for general elliptic equations of p-Laplacian type, Calc Var Partial Differential Equations 57 (2018), pp 135 [3] S.-S Byun, S Ryu, Global weighted estimates for the gradient of solutions to nonlinear elliptic equations, Ann Inst H Poincaré Anal Non Linéaire 30 (2013), 291–313 [4] S.-S Byun, L Wang, Elliptic equations with BMO coefficients in Reifenberg domains, Comm Pure Appl Math 57 (2004), 1283–1310 [5] S.-S Byun, L Wang, Elliptic equations with BMO nonlinearity in Reifenberg domains, Adv Math 219(6) (2008), 1937–1971 [6] S.-S Byun, L Wang, Nonlinear gradient estimates for elliptic equations of general type, Calc Var Partial Differential Equations 45(3-4) (2012), 403– 419 [7] S.-S Byun, L Wang, S Zhou, Nonlinear elliptic equations with BMO coefficients in Reifenberg domains, J Funct Anal 250(1) (2007), 167–196 63 [8] S.-S Byun, F Yao, S Zhou, Gradient estimates in Orlicz space for nonlinear elliptic equations, J Funct Anal 255(8) (2008), 1851–1873 [9] L.A Caffarelli, I Peral, On W 1,p estimates for elliptic equations in divergence form, Comm Pure Appl Math 51(1) (1998), 1–21 [10] G D Maso, F Murat, L Orsina and A Prignet, Renormalized solutions of elliptic equations with general measure data, Ann Scuola Norm Super Pisa (IV) 28 (1999), 741–808 [11] L Grafakos, Classical and Modern Fourier Analysis, Pearson/Prentice Hall, 2004 [12] T Iwaniec, Projections onto gradient fields and Lp -estimates for degenerated elliptic operators, Stud Math 75(3) (1983), 293–312 [13] J Kinnunen, S Zhou, A local estimate for nonlinear equations with discontinuous coefficients, Commun Partial Differ Equ 24(11-12) (1999), 2043– 2068 [14] G Mingione, Gradient potential estimates, Journal of the European Mathematical Society 13 (2011), 459-486 [15] B Muckenhoupt, R L Wheeden, Weighted norm inequalities for fractional integrals, Trans Amer Math Soc 192 (1974), 261–274 [16] Q.-H Nguyen, Potential estimates and quasilinear parabolic equations with measure data, arXiv:1405.2587v2 [17] Q.-H Nguyen, N C Phuc, Good-λ and Muckenhoupt-Wheeden type bounds, with applications to quasilinear elliptic equations with gradient power source terms and measure data, Math Ann 374 (2019), 67–98 [18] T.-N Nguyen, M.-P Tran, Lorentz improving estimates for the p-Laplace equations with mixed data, Nonlinear Anal 200 (2020), 111960 64 [19] T.-N Nguyen, M.-P Tran, Level-set inequalities on fractional maximal distribution functions and applications to regularity theory, J Funct Anal 280(1) (2021), 108797 [20] E Reifenberg, Solutions of the plateau problem for m-dimensional surfaces of varying topological type, Acta Math 104 (1960), 1–92 [21] M.-P Tran, Good-λ type bounds of quasilinear elliptic equations for the singular case, Nonlinear Anal 178 (2019), 266-281 [22] M.-P Tran, T.-N Nguyen, Generalized good-λ techniques and applications to weighted Lorentz regularity for quasilinear elliptic equations, C R Acad Sci Paris, Ser I 357 (2019), 664–670 [23] M.-P Tran, T.-N Nguyen, New gradient estimates for solutions to quasilinear divergence form elliptic equations with general Dirichlet boundary data, J Differential Equations 268 (2020), 1427–1462 [24] M.-P Tran, T.-N Nguyen, Global Lorentz estimates for non-uniformly nonlinear elliptic equations via fractional maximal operators, J Math Anal Appl., Special Issue (2020), 30 pages [25] M.-P Tran, T.-N Nguyen, Lorentz-Morrey global bounds for singular quasilinear elliptic equations with measure data, Commun Contemp Math 22(5) (2020), 1950033 [26] M.-P Tran, T.-N Nguyen, G.-B Nguyen, Lorentz gradient estimates for a class of elliptic p-Laplacian equations with a Schră odinger term, J Math Anal Appl 496(1) (2021), 124806 ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Huỳnh Ngọc Hương Thanh ĐÁNH GIÁ GRADIENT CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TỰA TUYẾN TÍNH QUA TOÁN TỬ CỰC ĐẠI CẤP PHÂN SỐ Chuyên... đánh giá tính bị chặn gradient nghiệm qua hàm liệu tác động toán tử cực đại không gian Lorentz Chúng khảo sát hai trường hợp, tương ứng với tác động toán tử cực đại toán tử cực đại cấp phân số. .. Lq,∞ (Ω) Bổ đề chứng minh 1.3 Toán tử cực đại cấp phân số Định nghĩa 1.3.1 ([11]) Ta định nghĩa toán tử cực đại cấp phân số (toán tử cực đại bậc khơng ngun) Mα tốn tử xác định bởi: Mα (f )(x) =