Báo cáo bài tập lớn giải tích 2 Đề tài số 6 a tích phân bội ba

Tích phân bội ba là một kiến thức quan trọng trong bộ môn giải tích này.. Tích phân bội ba là một công cụ mạnh mẽ được sử dụng để tính toán các đại lượng khác nhau như diện tích, thể tíc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM

ĐH QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

BÁO CÁO

BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2

ĐỀ TÀI SỐ 6

Giảng viên hướng dẫn: TS Ph an Thị Mỹ Duyên

Nhóm: L20 - 6

TP Hồ Chí Minh, tháng năm 20235

1

DANH SÁCH THÀNH VIÊN

tập 12 - 13

2

L I M Ờ Ở ĐẦ U

Giải tích là một trong những phân môn quan trọng của Toán học, áp dụng trong rất nhiều lĩnh vực: Hóa học, vật lí, kinh tế, kĩ thuật, y học,

Tích phân bội ba là một kiến thức quan trọng trong bộ môn giải tích này Tích phân bội ba

là một công cụ mạnh mẽ được sử dụng để tính toán các đại lượng khác nhau như diện tích, thể tích, khối lượng và xác suất

Trong bài báo cáo này, ta sẽ tập trung vào những lí thuyết cơ bản của tích phân bội ba, một

số hệ tọa độ được dùng trong không gian 3 chiều, cách ứng dụng vào một số bài toán đơn giản

3

M C L C Ụ Ụ

M c l c ụ ụ 3

I NỘ I DUNG TÍCH PHÂN B I BA 5 Ộ 1 Định nghĩa tích phân bội ba 5

1.1 Đặ ấn đề 5 t v 1.2 Định nghĩa 5

2 Tích phân bội ba trong t ọa độ De scartes 6

2.1 Đị nh lý Fubini 6

2.2 Tích phân b i ba trên mi n b ộ ề ị chặ n t ng quát ổ 𝜴 6

3 Tích phân bội ba trong trong h t ệ ọa độ trụ 7

3.1 H t ệ ọa độ trụ 7

3.2 Tích phân b i ba trong h t ộ ệ ọa độ trụ 8

4 Tích phân bội ba trong h t ệ ọa độ ầu 9 c 4.1 H t ệ ọa độ ầ 9 c u 4.2 Tích phân b i ba trong h t ộ ệ ọa độ ầ 10 c u 5 Công th c bi ứ ến đổ ổng quát 11 i t 5.1 Đị nh th c Jacobian ứ 11

5.2 Tích phân b i ba khi th c hi ộ ự ện đổ i bi n ế 11

5.3 Đị nh th c Jacobian trong m t s ứ ộ ố trườ ng h p ợ 11

II Ứng d ụng 12

1 Ứng dụng trong tính khối lượ ng 12

2 Ứng dụng trong tính th tích ể 12

3 Ứng dụng trọng tìm t ọa độ 13

4 Ứng dụng trong tính giá tr trung bình ị 14

III Bài toán á p dụng 15

4

DANH M C HÌNH Ụ ẢNH

Hình 2.1 _ 7 Hình 2.2 7 Hình 3.1: H t ệ ọa độ trụ _ 8 Hình 3.2: V ật thể Ω trong h t ệ ọa độ trụ 8 Hình 4.1 H t ệ ọa độ ầ 9 c u Hình 4.2 Thể tích của miền cầu nhỏ _ 10 Hình 2.2.1 Hình minh h a mi – ọ ền Ω 13 Hình 2.4.1 Hình minh h a mi n E – ọ ề 16 Hình 2.4.2 Hình minh h a hình chi u E trên Oxy – ọ ề 17

5

I NỘI DUNG TÍCH PHÂN B I BA Ộ

1 Định nghĩa tích phân bội ba

1.1 Đặt vấn đề

Cho m t kh i h p ch nhộ ố ộ ữ ật được đặt trong mi n v i hàm mề 𝛺 ớ ật độ𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) Tính khối lượng của t th này vậ ể

Đầu tiên, chúng ta chia miền thành nh𝛺 ững hình hộp ch nhật nhỏ Chúng ta chia đoạn ữ [𝑎, 𝑏] thành 𝑚 đoạn nhỏ [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖] với độ dài ∆𝑥 =𝑚𝑏−𝑎, chia đoạn [𝑐, 𝑑] thành 𝑛 đoạn nhỏ [𝑦𝑗−1, 𝑦𝑗] với độ dài ∆𝑦 =𝑑−𝑐𝑛, và chia đoạn [𝑟, 𝑠] thành 𝑝đoạn nhỏ [𝑧𝑘−1, 𝑧𝑘] với độ dài

∆𝑧 =𝑠−𝑟

𝑝 B ng cách v nhằ ẽ ững đường th ng song song v i các tr c tẳ ớ ụ ọa độ và đi qua các điểm chia, chúng ta thu được hình hộp chữ nhật nhỏ với thể tích ∆𝑉 = ∆𝑥 ∆𝑦 ∆𝑧

𝛺 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ : 𝑥𝑖𝑗𝑘 3 𝑖−1≤ 𝑥 ≤ 𝑥 , 𝑦𝑖 𝑗−1≤ 𝑦 ≤ 𝑦𝑗, 𝑧𝑘−1≤ 𝑧 ≤ 𝑧𝑘}

Nếu chúng ta chọn một điểm tùy (𝑥∗𝑖𝑗𝑘, 𝑦𝑖𝑗𝑘∗ , 𝑘𝑖𝑗𝑘∗ ) ∈ 𝛺𝑖𝑗𝑘 thì ta sẽ được tổng Riemann của tích phân bội ba Như vậy, khối lượng của vật thể được tính gần đúng là:

𝑀 ≈ ∑ ∑ ∑ 𝑓(𝑥𝑖𝑗𝑘∗ , 𝑦𝑖𝑗𝑘∗ , 𝑘𝑖𝑗𝑘∗ )∆𝑥∆𝑦∆𝑧

𝑝 𝑧=1

𝑛 𝑗=1

𝑚 𝑖=1

1.2 Định nghĩa

Tích phân b i ba c a hàm s ộ ủ ố𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) trên mi n là: ề 𝛺

∭ 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧( )

𝛺

= ∭ 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉( )

𝛺

= 𝑙𝑖𝑚𝑚,𝑛,𝑝→∞∑ ∑ ∑ 𝑓(𝑥𝑖𝑗𝑘∗ , 𝑦𝑖𝑗𝑘∗ , 𝑘𝑖𝑗𝑘∗ )∆𝑥∆𝑦∆𝑧

𝑝 𝑧=1

𝑛 𝑗=1 𝑚

𝑖=1

6

n u gi i h n này t n t i Lúc này ế ớ ạ ồ ạ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) đượ ọi là “hàm khả tích” trên miề 𝛺c g n Cho v t th trong không gian có phân b khậ ể𝛺 ố ối lượng không đồng đều theo th tích c a nó ể ủ

S phân b này trong hự ố ệ trục tọa độ 𝑂𝑥𝑦𝑧 được mô t b i hàm mả ở ật độ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) (hay còn

g i là khọ ối lượng riêng (𝑘𝑔/𝑚3)) Hãy tính khối lượng 𝑀 của vật thể, biết vật thể 𝛺 là hình hộp chữ nhật:

2 Tích phân bội ba trong t ọa độ De scartes

2.1 Định lý Fubini

Cho 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) là hàm liên t c trên mi n ụ ề 𝛺 = { 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ : 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑, 𝑟 ≤( } 3

𝑧 ≤ 𝑠}

Khi đó:

∭ 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧( )

𝛺

= ∫ ∫ ∫ 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =( )

𝑠 𝑟

∫ [∫ [∫ 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑧( )

𝑠 𝑟

] 𝑑𝑦

𝑑 𝑐

] 𝑑𝑥

𝑏 𝑎

𝑑 𝑐 𝑏

𝑎

Lưu ý: Vì vai trò của 𝑥, 𝑦, 𝑧 lànhư nhau nên ta có 6 cách lấy tích phân khác nhau

2.2 Tích phân b i ba trên mi n b ộ ề ị chặn t ng quát ổ 𝜴

Cho là mi n b 𝛺 ề ị chặn, ta có th l y hình h p ch nhể ấ ộ ữ ật 𝐸 chứa mi n ề 𝛺, sau đó, chúng ta xây dựng một hàm mới

𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = {𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧 ,) (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝛺

0, (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝐸\𝛺 Khi đó:

∭ 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧( )

𝛺

= ∭ 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧( ) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

𝐸

Định lý: Cho mi n ề 𝛺 = { 𝑥, 𝑦, 𝑧 : (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷, 𝑧( ) 1(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑧 ≤ 𝑧2(𝑥, 𝑦), trong đó 𝐷 là hình chi u c a mi n xu ng m t ph ng ế ủ ề 𝛺 ố ặ ẳ 𝑂𝑥𝑦 Khi đó:

𝛪 = ∭ 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧( )

𝛺

= ∬[ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑧)

𝑧 (𝑥,𝑦) 2

𝑧 1 (𝑥,𝑦)

] 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐷

7

Hình 2.1: Miền 𝛺 = { 𝑥, 𝑦, 𝑧 : (𝑥,𝑦) ∈ 𝐷, 𝑧( ) 1 (𝑥,𝑦) ≤ 𝑧 ≤ 𝑧 2 (𝑥, 𝑦)

Lưu ý: Vì vai trò của 𝑥, 𝑦, 𝑧 lànhư nhau nên ta có 2 cách lấy tích phân khác

Với 𝛺 = { 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑥, 𝑧 ∈ 𝐷, 𝑦( ): ( ) 1(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑦 ≤ 𝑦2(𝑥, 𝑦 }: )

𝛪 = ∭ 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧( )

𝛺

= ∬[ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑦)

𝑦 2 (𝑥,𝑧)

𝑦 1 (𝑥,𝑧)

] 𝑑𝑥𝑑𝑧

𝐷

Với 𝛺 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧): (𝑦, 𝑧) ∈ 𝐷, 𝑥1(𝑦, 𝑧) ≤ 𝑥 ≤ 𝑥 ( )2 𝑦, 𝑧 }:

𝛪 = ∭ 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧( )

𝛺

= ∬[ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥)

𝑥 2 (𝑦,𝑧)

𝑥 1 (𝑦,𝑧)

] 𝑑𝑦𝑑𝑧

𝐷

Hình 2.2 : 𝛺 = { 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑥, 𝑧 ∈ 𝐷, 𝑦 ( ): ( ) 1 (𝑥, 𝑦) ≤ 𝑦 ≤ 𝑦 2 ( 𝑥, 𝑦)} bên trái, 𝛺 = { ( 𝑥, 𝑦, 𝑧 : (𝑦, 𝑧) ∈ 𝐷, 𝑥 ) 1 (𝑦,𝑧) ≤

𝑥 ≤ 𝑥 𝑦,𝑧 } 2 ( ) bên ph i ả

3 Tích phân bội ba trong trong h t ệ ọa độ trụ

3.1 Hệ tọa độ trụ

Điểm 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧) trong h trục tệ ọa độ 𝑂𝑥𝑦𝑧 được xác định duy nhất b i bở ộ (𝑟, 𝜑, 𝑧) Bộ (𝑟, 𝜑, 𝑧) được g i là ọ “tọa độ trụ” ủa điểm 𝑀 c

8

Hình 3.1: H tệ ọa độ trụ

Công thức đổi biến từ tọa độ Decasters sang tọa độ trụ:

{𝑦 = 𝑟.𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜑𝑠𝑖𝑛𝜑

𝑧 = 𝑧 ⇔ {

𝑟2= 𝑥2+ 𝑦2

𝑡𝑎𝑛 𝜑 =𝑦𝑥

𝑧 = 𝑧 3.2 Tích phân bội ba trong hệ tọa độ trụ

Trong h tệ ọa độ trụ , cho mi n ề 𝛺 được xác định như sau:

𝛺 = { 𝑟, 𝜑, 𝑧 : 𝛼 ≤ 𝜑 ≤ 𝛽, 𝑟( ) 1(𝜑) ≤ 𝑟 ≤ 𝑟2( )𝜑 , 𝑧1(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑧 ≤ 𝑧2(𝑥, 𝑦)}

Khi tính tích phân b i ba ta chia mi n ộ ề 𝛺 thành những miền nhỏ Lúc này ta xem miền trụ nhỏ này gần bằng với hình hộp với các chiều dài, chiều rộng và chiều cao lần lượt là , ∆𝑟 𝑟∆𝜑 và

∆𝑧 (cung của đường tròn bán kính 𝑟, có góc tâm là ở ∆𝜑) Do đó thể tích của miền trụ nhỏ này là:

∆𝑉 = ∆𝑟 𝑟∆𝜑 ∆𝑧

S d ng tính gử ụ ần đúng của gi i hớ ạn khi tính tích phân đố ới i v 𝑟 và , ta có: 𝜑

𝑑𝑉 = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑𝑑𝑧

Hình 3.2: V t th trong h tậ ể Ω ệ ọa độ trụ

9

Định lý: Cho mi n ề 𝛺 = { 𝑥, 𝑦, 𝑧 : (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷, 𝑧( ) 1(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑧 ≤ 𝑧2(𝑥, 𝑦), trong đó 𝐷 là hình chi u c a mi n xu ng m t ph ng ế ủ ề 𝛺 ố ặ ẳ 𝑂𝑥𝑦𝑧 và 𝐷 xác định trong hệ tọa độ cực

𝛪 = ∭ 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧( )

𝛺

= ∬[ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑧)

𝑧 (𝑥,𝑦) 2

𝑧 1 (𝑥,𝑦)

]

𝐷

𝑑𝑥𝑑𝑦

= ∫ ∫ [ ∫ 𝑓(𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜑 , 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜑 , 𝑧)

𝑧 (𝑟 2 𝑐𝑜𝑠 𝜑,𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜑)

𝑧 (𝑟 1 𝑐𝑜𝑠 𝜑,𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜑)

𝑑𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦]

𝑟 2 (𝜑)

𝑟 1 (𝜑)

𝛽

𝛼

Khi tính tích phân b i ba trong h tộ ệ ọa độ trụ, ta phải xác định được m t trên ặ 𝑧 = 𝑧 (𝑥, 𝑦)2 , mặt dưới 𝑧 = 𝑧 (𝑥, 𝑦)2 , hình chi u ế 𝐷: { 𝛼 ≤ 𝜑 ≤ 𝛽

𝑟1(𝜑) ≤ 𝑟 ≤ 𝑟2(𝜑)

Ta có công thức rút gọn:

𝛪 = ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑑𝑟 ∫ 𝑓(𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜑 , 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜑 , 𝑧 𝑟𝑑𝑧)

𝑧 𝑟,𝜑 2 ( )

𝑧 𝑟,𝜑 1 ( )

𝑟 2 (𝜑)

𝑟 1 (𝜑)

𝛽 𝛼

4 Tích phân bội ba trong h t ệ ọa độ ầu c

4.1 Hệ tọa độ cầu

Điểm 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧 trong h trục tệ ọa độ 𝑂𝑥𝑦𝑧 được xác định duy nhất b i bở ộ (𝜃, 𝜑, 𝜌) Bộ (𝜃, 𝜑, 𝜌) được g i là ọ “tọa độ ầ ” ủa điểm 𝑀 c u c

Công thức biến đổi từ tọa độ Decasters sang tọa độ cầu:

{𝑦 = 𝜌𝑥 = 𝜌𝑠𝑖𝑛 𝑠𝑖𝑛𝑠𝑖𝑛𝜃𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜑𝜑

𝑧 = 𝜌 𝑐𝑜𝑠 𝜃 , 𝜃 ∈ [0, 𝜋 , 𝜑 ∈ 0,2𝜋 , 𝜌 > 0 ] [ ]

Hình 4.1 H tệ ọa độ ầ c u

10

Lưu ý: Hệ trục tọa độ cầu thường dùng đối với miền thể tích là hình cầu hoặc giao của hình nón và hình cầu

4.2 Tích phân bội ba trong hệ tọa độ cầu

Trong h tệ ọa độ ầ c u cho mi n ề 𝛺 được xác định như sau:

𝛺 = { 𝜃, 𝜑, 𝜌 : 𝜌( ) 1≤ 𝜌 ≤ 𝜌2, 𝛼 ≤ 𝜑 ≤ 𝛽, 𝑐 ≤ 𝜃 ≤ 𝑑}, với 𝜌1≥ 0, 𝛽 − 𝛼 ≤ 2𝜋, 𝑑 − 𝑐 ≤ 𝜋 Khi tính tích phân b i ba ta chia mi n thành nh ng mi n nhộ ề 𝛺 ữ ề ỏ (mảnh c u nh trong h tầ ỏ ệ ọa

độ cầu) Lúc này, ta xem miền cầu nh này gần bằng với hình h p với các chiều dài, chiều ỏ ộ rộng và chi u cao lề ần lượt là 𝛥𝜌, 𝜌𝛥𝜃 (cung của đường tròn bán kính 𝜌, có góc ở tâm là ) 𝛥𝜃

và 𝜌 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝛥𝜑 (cung của đường tròn bán kính 𝜌 𝑠𝑖𝑛 𝜃, có góc tâm là ở 𝛥𝜑) Do đó thể tích của miền cầu nhỏ này là:

𝛥𝑉 = 𝜌2 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝛥𝜌𝛥𝜑𝛥𝜃

S d ng tính gử ụ ần đúng của gi i hớ ạn khi tính tích phân đố ới i v 𝑟 và , ta có: 𝜑

𝑑𝑉 = 𝜌2 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑑𝜌𝑑𝜑𝑑𝜃

Hình 4.2 Thể tích c a mi n c u nh ủ ề ầ ỏ𝑑𝑉 = 𝜌 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑑𝜌𝑑𝜑𝑑𝜃 2

Định lý: Khi đổi biến t h từ ệ ọa độ Decasters sang h tệ ọa độ ầ c u theo công thức ở trên thì tích phân b i ba c a hàm ộ ủ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) trên mi n trong không gian ề 𝑉 𝑥𝑦𝑧 được xác định như sau:

∭ 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧( )

𝛺

= ∭ 𝑓 𝜌.( 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜑 , 𝜌.𝑠𝑖𝑛 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜑 , 𝜌 𝑐𝑜𝑠 𝜃)𝜌2 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑑𝜌𝑑𝜑𝑑𝜃

𝛺

Như vậy để tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ cầu, ta làm như sau:

- V t th ậ ể𝛺 trong hệ tọa độ cầu được giới hạn bởi: { 𝜑1𝜃1≤ 𝜑 ≤ 𝜑≤ 𝜃 ≤ 𝜃22, 𝜑 ∈ [0,2𝜋], 𝜃 ∈ [0, 𝜋]

𝜌(𝜑, 𝜃) ≤ 𝜌 ≤ 𝜌(𝜑, 𝜃 , 𝜌 ≥ 0)

11

- Công thức tính tích phân bội ba:

𝛪 = ∫ 𝑑𝜃

𝜃 2

𝜃 1

∫ 𝑑𝜑

𝜑 2

𝜑 1

∫ 𝑓(𝜌 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝑠𝑖𝑛𝜃, 𝜌.𝑠𝑖𝑛 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜑 , 𝜌 𝑐𝑜𝑠 𝜃) 𝜌2 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑑𝜌

𝜌 2 (𝜑,𝜃)

𝜌 1 (𝜑,𝜃)

5 Công th c bi ứ ến đổ ổng quát i t

5.1 Định thức Jacobian

Cho là phép bi𝑇 ến đổi bi n mi n ế ề 𝛺 được xác định trong không gian 𝑢𝑣𝑤 thành mi n ề 𝑉 trong không gian 𝑥𝑦𝑧 theo những công thức sau

𝑥 = 𝑥 𝑢, 𝑣, 𝑤 , 𝑦 = 𝑦 𝑢, 𝑣, 𝑤 , 𝑧 = 𝑧 𝑢, 𝑣, 𝑤( ) ( ) ( )

Khi đó định thức Jacobian được tính theo công thức

𝐽 = |𝑥𝑢

′ 𝑥𝑣′ 𝑥𝑤′

𝑦𝑢′ 𝑦𝑣′ 𝑦𝑤′

𝑧𝑢′ 𝑧𝑣′ 𝑧𝑤′| 5.2 Tích phân bội ba khi thực hiện đổi biến

Định lý: Tích phân bội ba c a hàm ủ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) trên miền trong không gian 𝑉 𝑥𝑦𝑧 được xác định như sau:

∭ 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∭ 𝑓(𝑥 𝑢, 𝑣, 𝑤 , 𝑦 𝑢, 𝑣, 𝑤 , 𝑧 𝑢, 𝑣, 𝑤 ) 𝑑𝑢𝑑𝑣𝑑𝑤( ) ( ) ( ) ( ) |𝐽|

𝛺 𝑉

5.3.1 Định thức Jacobian trong trường h p h tợ ệ ọa độ trụ

𝐽 = |

𝑥𝑟′ 𝑥𝜑′ 𝑥𝑧′

𝑦𝑟′ 𝑦𝜑′ 𝑦𝑧′

𝑧𝑟′ 𝑧𝜑′ 𝑧𝑧′| = 𝑟 5.3.2 Định th c Jacobian trong h tứ ệ ọa độ ầ c u

𝐽 = |

𝑥𝜌′ 𝑥𝜑′ 𝑥𝜃′

𝑦𝜌′ 𝑦𝜑′ 𝑦𝜃′

𝑧𝜌′ 𝑧𝜑′ 𝑧𝜃′| = −𝜌2𝑠𝑖𝑛 𝜃 5.3.3 Định th c Jacobian và tích phân b i ba trên mi n ellipsoid ứ ộ ề

𝑥2

𝑎2+𝑦𝑏22+𝑧𝑐22= 1 Công thức đổi biến trên miền ellipsoid (hệ tọa độ cầu mở rộng) là:

12

{

𝑥

𝑎 = 𝜌 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝑥

𝑎 = 𝜌 𝑠𝑖𝑛 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜑 𝑧

𝑐 = 𝜌 𝑐𝑜𝑠 𝜃 Định thức Jacobian:

𝐽 = |

𝑥𝜌′ 𝑥𝜑′ 𝑥𝜃′

𝑦𝜌′ 𝑦𝜑′ 𝑦𝜃′

𝑧𝜌′ 𝑧𝜑′ 𝑧𝜃′| = −𝑎𝑏𝑐𝜌2 𝑠𝑖𝑛 𝜃 Khi đó:

𝛪 = ∭ 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧( )

𝑉

= ∭ 𝑓(𝑎𝜌 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜑,𝑏𝜌 𝑠𝑖𝑛 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜑 , 𝑐𝜌 𝑐𝑜𝑠 𝜃)|𝐽|𝑑𝜌𝑑𝜑𝑑𝜃

𝛺

= ∭ 𝑓(

𝛺

𝑎𝜌 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜑 , 𝑏𝜌.𝑠𝑖𝑛 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜑 , 𝑐𝜌 𝑐𝑜𝑠 𝜃) 𝑎𝑏𝑐𝜌2 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑑𝜌𝑑𝜑𝑑𝜃

II Ứ ng d ng ụ

1 Ứng dụng trong tính khối lượng

Khối kim loại có hình dạng vật thể giới hạn b i mặt cong z = 0; z = 0,6; y =ở 𝑥2; y = 6,82 và

khối lượng riêng là 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑦 Tính khối lượng c a kh ủ ối

m = ∭ 𝜌 ⅆ𝑥 ⅆ𝑦 ⅆ𝑧𝛺 = ∭ 2𝑦 ⅆ𝑥 ⅆ𝑦 ⅆ𝑧

𝛺

𝑥2= 6,82=≻ 𝑥 = ±6,8

⇒ E = {-6.8 ≤ x ≤ 6.8; x² ≤ y ≤ 6.8²; 0 ≤ z ≤ 0.6}

∭ 2𝑦 ⅆ𝑥 ⅆ𝑦 ⅆ𝑧

𝛺

= ∫ ⅆ𝑥

6,8

−6,8

∫ ⅆ𝑦

6,8 2

𝑥 2

∫ 2𝑦𝑑𝑧

0,6

0

=2 ∫ ⅆ𝑥−6,86,8 ∫ 𝑦 ⅆ𝑦𝑥6,82 ∫ ⅆ𝑧00,6 = 2 ∫ ⅆ𝑥 −6,86,8 ∫𝑥2 6,8 (𝑦22)|

𝑦=𝑥 2

𝑦=6,8 2

𝑑𝑦 0,6

= 0,6∫−6,86,8(6, 82)2− (𝑥2)2ⅆ𝑥 ≈13957 76 ,

2 Ứ ng dụng trong tính th tích ể

Cho khối 𝛺 ớ ạ ở ặ gi i h n b i m t ph ng z = 0, m t tr r = 5,6sin2 và m t c u tâm O bán kính ẳ ặ ụ 𝜑 ặ ầ 5,6 trong hình v ẽ dưới đây Tính thể tích khối 𝛺

13

0 ≤ 𝑧 ≤√5,62− 𝑥 − 𝑦2 2

𝐷𝑥𝑦= {𝑟 = 5,6𝑠𝑖𝑛2𝜑}

Đặt {𝑦 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜑 ⇒ {𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜑 0 ≤ 𝜑 ≤𝜋2

0 ≤ 𝑟 ≤ 5,6𝑠𝑖𝑛2𝜑

∫ ⅆ𝜑𝜋2

0 ∫05,6𝑠𝑖𝑛2𝜑ⅆ𝑟∫0√5,6 −𝑥 −𝑦2 2 2 𝑟 ⅆ𝑧 =∫ ⅆ𝜑𝜋2

0 ∫05,6𝑠𝑖𝑛2𝜑𝑟( )|𝑧 √5,60 2−𝑟2𝑑𝑟

=∫ ⅆ𝜑𝜋2

0 ∫5,6𝑠𝑖𝑛2𝜑𝑟√5,62− 𝑟2ⅆ𝑟

t=√5,6 − 𝑟 ⇔ 𝑡2 2 2=5,62− 𝑟2⇔ 2tdt = -2rdr -tdt = rdr ⇔

(*) =∫ −𝜋2

0 (𝑡33)|

0

5,6 𝑠𝑖𝑛 2𝜑

𝑑𝜑 −=∫𝜋2

0 (√5,62−𝑟323)|

0

5,6 𝑠𝑖𝑛 2𝜑

𝑑𝜑 = 52,93

3 Ứng dụng trọng tìm t ọa độ

Cho v t th gi i h n b i: y = 0, z = 0, z = 3x, 2x + y = 2 Tìm tậ ể𝛺 ớ ạ ở ọa độ trọng tâm G c a vủ ật thể bi t v t th ng ch t và khế ậ ể đồ ấ ối lượng riêng tại điểm M(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 là

L i gi ờ ải:

m = ∭ 𝜌 ⅆ𝑥 ⅆ𝑦 ⅆ𝑧

𝛺

𝑥𝐺 = 𝑚1∭ 𝑥𝜌 ⅆ𝑥 ⅆ𝑦 ⅆ𝑧

𝛺

𝑦𝐺 = 𝑚1∭ 𝑦𝜌 ⅆ𝑥 ⅆ𝑦 ⅆ𝑧

𝛺

𝑧𝐺 = 𝑚1∭ 𝑧𝜌 ⅆ𝑥 ⅆ𝑦 ⅆ𝑧

𝛺

{ 𝑧 = 0𝑧 = 3𝑥 → { 0 ≤ 𝑥 ≤ 1

0 ≤ 𝑦 ≤ 2 − 2𝑥

m = ∫ ⅆ𝑥01 ∫02−2𝑥ⅆ𝑦∫ 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 𝑑𝑧03𝑥 = ∫ ⅆ𝑥01 ∫02−2𝑥(𝑥𝑧 𝑦𝑧 + +𝑧2)|03𝑥𝑑𝑦

= ∫ ⅆ𝑥01 ∫02−2𝑥3𝑥2+ 3 + 9𝑥𝑥𝑦 2ⅆ𝑦 = ∫ (3𝑥1 2𝑦 + 3𝑥𝑦22+ 9𝑥2𝑦

0 )|02−2𝑥𝑑𝑥

= ∫ 3𝑥1 2(2 − 2𝑥) + 3𝑥(2−2𝑥)2 2 + 9𝑥2(2 − 2𝑥) ⅆ𝑥

2

Hình 2.1 Hình minh h a mi 2. – ọ ền Ω

14

𝑥𝐺 = 𝑚1∫ ⅆ𝑥01 ∫02−2𝑥ⅆ𝑦∫ 𝑥(𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 )𝑑𝑧3𝑥

0

=25∫ ⅆ𝑥01 ∫02−2𝑥(𝑥2𝑧 + 𝑥𝑦𝑧 +𝑧2𝑥)|03𝑥𝑑𝑦

= 52∫ ⅆ𝑥01 ∫2−2𝑥3𝑥3 + 3𝑥2𝑦 + 9𝑥3

= 52 ∫ (3𝑥3𝑦 + 3𝑥2 𝑦2

2+ 9𝑥3𝑦

1

0 )|2−2𝑥0 𝑑𝑥

= 52∫3𝑥3(2 − 2𝑥) + 3𝑥2 (2−2𝑥)2

2 + 9𝑥3(2 − 2𝑥)

1

25

Tượng t ta có ự 𝑦𝐺= 2512; 𝑧𝐺= 5150 suy ra tọa độ kh i tâm là G (ố 2514; 1225 ; 51

50)

4 Ứng dụng trong tính giá trị trung bình

Trong một căn phòng, xem như các bức tường được t o thành b i các m t y = 0, y = ạ ở ặ 12 +𝑥

4,

x = 0 và x = 12, trong đó khích thước được đo bằng feet Ngoài ra, trần của căn phòng là hình vòm và được xác định b i m t ph ng z = 16ở ặ ẳ −6−𝑥𝑦

3 Một lò sưởi được đặt ở góc phòng tại (0, 0, 0) và làm cho nhiệt độ phòng nóng lên T i mạ ột điểm (x, y, z) trong phòng, nhiệt

độ được xác định bởi

𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 80

1+1000𝑥2+1000𝑦2 +𝑧2

1000

Tính nhiệt độ trung bình trong phòng

L i gi ờ ải:

𝑓𝑡𝑏 = 𝑣1

𝛺∭ 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) ⅆ𝑥 ⅆ𝑦 ⅆ𝑧𝛺 ⇒ 𝑇𝑡𝑏 = 𝑣1

𝛺∭ 𝑇 (𝑥, 𝑦, 𝑧) ⅆ𝑥 ⅆ𝑦 ⅆ𝑧

𝛺

⇒ 𝑇𝑡𝑏 = ∭

80000

1000 + 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 2 2 2 ⅆ𝑥 ⅆ𝑦 ⅆ𝑧

𝛺

∭ 1.ⅆ𝑥 ⅆ𝑦 ⅆ𝑧

𝛺

𝛺 = {𝑦 = 0, 𝑦 = 12 + 4𝑥, 𝑥 = 0, 𝑥 = , 𝑧 =12 16 − 6 𝑥−𝑦3, 𝑧 = 0 }

0 ≤ 𝑧 ≤ 16 − 6 𝑥−𝑦

3

𝐷𝑥𝑦 = {𝑦 = 0, 𝑦 = 12 + 4𝑥,𝑥 = 0,𝑥 = 12 } ⇒ { 0 ≤ 𝑦 ≤0 ≤ 𝑥 ≤ 1212+ 𝑥

4

𝑇𝑡𝑏 = ∭

80000

1000 + 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 2 2 2 ⅆ𝑥 ⅆ𝑦 ⅆ𝑧

𝛺

∭ 1.ⅆ𝑥 ⅆ𝑦 ⅆ𝑧 𝛺 = ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑦 ∫

80000

1000 + 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 2 2 2 𝑑𝑧 16− 𝑥6 −𝑦

0 12+ 𝑥4 0 12 0

∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑦 ∫ 16− 𝑥6 −𝑦𝑑𝑧

0 12+ 𝑥4 0 12 0

= 1426232058 ≈ 69, 3

15

III Bài toán á p dụng

Câu 9: ∭ 𝒚 , 𝑬 = 𝒂 𝒅𝑽 {(𝒙, 𝒚, 𝒛) | 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟑, 𝟎 ≤ 𝒚 ≤ 𝒙, 𝒙 − 𝒚 ≤ 𝒛 ≤ 𝒙 + 𝒚 }

𝑬

∭ 𝑦 𝑑𝑉 = ∫ ∫ ∫ 𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫ ∫ 𝑦𝑧|𝑥𝑧 = 𝑥−𝑦𝑧 = 𝑥+𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥

0

3 0

𝑥+𝑦 𝑥−𝑦

𝑥 0

3 0 𝑎

𝐸

= ∫∫ 2𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫ 2𝑦333 |

0 0

𝑥 𝑥

0

3

= ∫2𝑥3 33 𝑑𝑥 =2𝑥12 |4

3

= 27 2

Câu 10: ∭ 𝒆𝒂 𝒚𝒛 , 𝑬 = 𝒅𝑽 {(𝒙, 𝒚, 𝒛) | 𝟎 ≤ 𝒚 ≤ 𝟏, 𝒚 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏, 𝟎 ≤ 𝒛 ≤ }𝒙𝒚

𝑬

∭ 𝑒𝑧 𝑑𝑉 = ∫ ∫ ∫ 𝑒𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = ∫ ∫ 𝑦𝑒1 𝑧 |𝑧 = 𝑥𝑦𝑧 = 0 𝑑𝑥 𝑑𝑦

𝑦

1 0

𝑥𝑦 0

1 𝑦

1 0 𝑎

𝐸

= ∫∫ (𝑦𝑒𝑥− 𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = ∫ (𝑦𝑒1𝑥− 𝑥𝑦)|

1 1

𝑦

1

= ∫ (1𝑒𝑦 − 𝑦𝑒𝑦+ 𝑦2− 𝑦) 𝑑𝑦 = ((𝑒 − 1 𝑦2) 2+𝑦3 − (𝑦 − 1)𝑒3 𝑦)|

1

= 12 𝑒 −7 6 Câu 11: ∭𝒂𝒙𝟐 + 𝒛𝒛𝟐 , 𝑬 = 𝒅𝑽 {(𝒙, 𝒚, 𝒛) | 𝟏 ≤ 𝒚 ≤ 𝟒, 𝒚 ≤ 𝒛 ≤ 𝟒, 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝒛 }

𝑬

∭ 𝑥2 + 𝑧𝑧 2 𝑑𝑉 = ∫ ∫ ∫ 𝑧𝑥2𝑧 + 𝑧2𝑑𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑦

0

4 𝑦

4 1

𝑎

𝑧) |𝑥 = 𝑧𝑥 = 0 𝑑𝑧𝑑𝑦

4 𝑦 4

1

= ∫∫ (𝑡𝑎𝑛−1(1) − 𝑡𝑎𝑛 (0)−1 ) 𝑑𝑧 𝑑𝑦 = ∫ ∫ (𝜋4 4 − 0) 𝑑𝑧 𝑑𝑦

𝑦

4 1

4 𝑦

4

1

=𝜋4 ∫𝑧 |𝑧 = 4𝑧 = 𝑦 𝑑𝑦 =𝜋4 ∫ (44 − 𝑦 𝑑𝑦 =) 𝜋4 (4𝑦 −𝑦2 ) |2 41

1 4

1 =𝜋4 (16 − 8 − 4 +12) =9𝜋

8 Câu 12: ∭ 𝒔𝒊𝒏 𝒚 𝒅𝑽

𝑬 , E là mi n t o b i ề ạ ở phần nằm dưới m t ph ng z = x và n m trên tamặ ẳ ằ giác đượ c tạo b ởi 3 điể m (0,0,0), (π, 0, 0) và (0, π, 0)

16

Hình 4.1 Hình minh h a mi n E 2. – ọ ề

Ta có:

𝐸 = {0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋; 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋 − 𝑥; 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑥}

Do đó:

𝐼 = ∭𝑠𝑖𝑛𝑦 𝑑𝑉

𝐸 = ∫ ∫ ∫ 𝑠𝑖𝑛 𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝑥 0

𝜋−𝑥 0

𝜋 0

= ∫ ∫ [𝑠𝑖𝑛 𝑦 𝑧]0 𝑑𝑦

𝜋−𝑥 0

𝑑𝑥

𝜋 0

= ∫ ∫ 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑦 𝑑𝑦

𝜋−𝑥 0

𝑑𝑥

𝜋

0

𝐼 = ∫ 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑦[ ]0𝜋−𝑥 𝑑𝑥

𝜋

0

= ∫ 𝑥 (1 − 𝑐𝑜𝑠(𝜋 − 𝑥)) 𝑑𝑥

𝜋 0

= ∫ 𝑥 (1 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥)𝑑𝑥

𝜋

0

Mặt khác:

∫ 𝑥𝑑𝑥 =12 𝑥2+ 𝐶;

∫ 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = ∫𝑥 𝑑 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶V y: ∫ ậ

𝐼 = [12 𝑥2+ 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥]

0 𝜋

=2 𝜋1 2− 1 − 1 =12 𝜋2− 2