báo cáo bài tập lớn giải tích 2 đề tài 2 ứng dụng hình học của các loại tích phân

LỜI NÓI ĐẦU Lời đầu tiên, chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG TP.HCM đã đưa môn Giải Tích 2 vào chương trình giảng dạy.. Đề tài: Thiết kế một hồ n

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

🙞···☼···🙞

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2

Đề tài 2

“ Ứng Dụng Hình Học Của Các Loại Tích Phân”

Giảng viên hướng dẫn: Đoàn Thị Thanh Xuân Sinh viên thực hiện Mã Số Sinh Viên

Lê Minh Quân

Lê Trần Bảo Vy

Nguyễn Đức Khoa

Nguyễn Quang Thiện

Nguyễn Tăng Vũ

Trần Tuấn Khôi

Trương Đại Phong

Võ Ngọc Thùy Trang

2312824 2313879 2311616 2313245 2313962 2311705 2312635 2313522

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng …, năm …

MSSV Tên Thành Viên Nhiệm Vụ

2313245

2312635

Nguyễn Quang Thiện Trương Đại Phong

Diện tích thành hồ + tổng hợp word

2313962

2311616

Nguyễn Tăng Vũ Nguyễn Đức Khoa

Thể tích lòng hồ + thiết

kế và 3D 2313522

2313879

Võ Ngọc Thùy Trang

Lê Trần Bảo Vy

Chiều dài thành hồ + tổng hợp PPT

2312824

2311705

Lê Minh Quân Trần Tuấn Khôi

Diện tích đáy hồ + thuyết trình

Bảng phân công nhiệm vụ

MỤC LỤC

Thành viên tham gia 2

Lời nói đầu 4

Đề tài…… 5

Lý thuyết… 6

● Tính chiều dài thành hồ……….6

● Tính diện tích thành hồ……… 7

● Tính thể tích lòng hồ……… …8

● Tính diện tích đáy hồ……….10

Bài toán… 11

● Tính chiều dài thành hồ……… 11

● Tính thể tích lòng hồ………13

● Tính diện tích thành hồ……… 14

● Tính diện tích đáy hồ……… …16

LỜI NÓI ĐẦU

Lời đầu tiên, chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG TP.HCM đã đưa môn Giải Tích 2 vào chương trình giảng dạy Đặc biệt, chúng em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến giảng viên bộ môn là cô Đoàn Thị Thanh Xuân đã giảng dạy, truyền đạt cho chúng em những kiến thức quý báu trong những ngày qua Trong suốt thời gian tham gia lớp học của cô, chúng em tự thấy bản thân mình tư duy hơn, học tập càng thêm nghiêm túc và hiệu quả Đây chắc chắn là những tri thức quý báu, là hành trang cần thiết cho chúng em sau này

Qua việc thực hiện bài báo cáo này, nhóm chúng em đã biết thêm rất nhiều kiến thức mới lạ và bổ ích Do vốn kiến thức của chúng em vẫn còn hạn chế nên mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng chắc chắn khó tránh khỏi những thiếu sót Kính mong cô xem xét, góp ý để bài báo cáo của chúng em được hoàn thiện hơn.

Chúng em xin chân thành cảm ơn!

Đề tài: Thiết kế một hồ nước với các yêu cầu sau:

 Mặt hồ nằm trên mặt phẳng Oxy, đáy hồ nằm trên mặt cong z = f(x, y) (không phải một mặt phẳng, có thể ghép từ nhiều mặt phẳng hoặc mặt cong)

 Thành hồ song song trục Oz Phần biên phía trên thành hồ được ghép từ các phần đường cong F(x, y) = 0 Số đoạn thẳng không quá 13số đoạn ghép

A Lý thuyết

I Tính chiều dài thành hồ

1 Tên tích phân: Tích phân đường loại 1

1.1 Định nghĩa

f = f(x, y) xác định trên đường cong C

Chia C một cách tùy ý ra n đường cong nhỏ bởi các điểm A0 , A , , A ₁, , A n

Độ dài tương ứng L1 , L 2 , , L n

Trên mỗi cung AiAi+1 lấy tuỳ ý một điểm Mi ( xi , yi ).

Lập tổng Riemann:

In = ∑

i=1

n

f ( Mi) Li

I = n →+∞lim (¿), không phụ thuộc cách chia C, và cách lấy điểm Mi

I = ∫

C

¿

f (x , y )dl

được gọi là tích phân đường loại một của f=f(x,y) trên cung C

1.2 Yêu cầu về hàm vector dưới dấu tích phân:

● Tính độ dài của các đoạn cong f (x , y )=0 trên mặt cong z=f (x , y )

● Hàm vector là r (t )=( x , y (x), 0), với x là biến cộng tuyến, y (x ) là hàm số

đã cho và 0 là hệ số của thành phần trong không gian ba chiều

Miền lấy tích phân: miền lấy tích phân là đoạn [a,b] trên trục x, nơi đường cong

y (x ) nằm

● Công thức tích phân đường sẽ được áp dụng: l=∫

a

b

√1+ y '2(x)dx

● Trong đó:

- y’ là đạo hàm của hàm số y theo x

- dx biểu thị cho biến cộng tuyến x trên đoạn [a,b]

Ứng dụng của tích phân:

- Tính chiều dài của các đoạn cong như đường bay của chim, máy bay, chiều dài thành hồ…

II Tính Diện tích Thành Hồ

1.1 Yêu cầu:

● f x y( , )là hàm số khả tích trên đường cong C

● Miền lấy tích phân D là miền đóng và bị chặn trong mặt phẳng Oxy

1.2 Công thức sử dụng:

Giả sử C là đường cong phẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy, f là hàm số 2 biến x

và y, nhận giá trị không âm, diện tích miền thẳng đứng giới hạn bởi C và đường cong không gian xác định như sau:

Nếu cung C được cho bởi phương trình:

( )

y y x

a x b



 

  , ta được

2

( , ( )) 1 ( )

b

x a

∫

III Tính Thể Tích Lòng Hồ

1.1 Định nghĩa

Cho hàm số f (x , y ) xác định trên miền D đóng và bị chặn trong mặt phẳng Oxy Ta chia miền D thành n phần không dẫm lên nhau Diện tích mỗi phần là ∆ S i, i= ´ 1 ;n Lấy M i

bất kỳ trong mỗi phần diện tích ∆ S i Khi đó

I n=∑

i=1

n

f (M i)∆ S i

được gọi là tổng tích phân của f (x , y ) trên miền D

Tích phân bội hai của hàm số f (x , y ) trên miền D là

nếu giới hạn này tồn tại Lúc này f (x , y ) được gọi là hàm khả tích trên D

1.2 Yêu cầu

● f (x , y ) là hàm số hai biến khả tích

● Miền lấy tích phân D là miền đóng và bị chặn trong mặt phẳng Oxy

● Thể tích vật thể được giới hạn trên bởi mặt cong z=f2(x , y ), giới hạn dưới bởi mặt cong z=f1(x , y ) , giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song trục Oz, tựa trên biên miền D được tính theo công thức

V =∬

D [f2(x , y)−f1(x , y)]dxdy

∬

D

f (x , y)dxdy =∬

D

f (x , y )dA=lim

n→ ∞ I n

2 Tích phân bội ba

2.1 Định nghĩa

Cho hàm số f (x , y , z) xác định trên trên miền đóng, bị chặn Ω trong không gian

Oxyz Chia Ω thành n phần tùy ý không dẫm lên nhau, thể tích mỗi phần là ∆ V i

(i= ´ 1 ;n) Trong mỗi ∆ V i ta lấy điểm P i tùy ý Lập tổng tích phân:

I n=∑

i=1

n

f (P i)∆ V i

Ký hiệu d i là đường kính của ∆ V i Tích phân bội ba của hàm số f (x , y , z) trên miền Ω là

nếu giới hạn này tồn tại Lúc này f (x , y , z) được gọi là hàm khả tích trên Ω

2.2 Yêu cầu

● f (x , y , z) là hàm ba biến khả tích trên Ω

● Miền lấy tích phân Ω là miền đóng và bị chặn trong Oxyz

● Thể tích vật thể Ω được tính theo công thức:

V (Ω)=∭

Ω

1 dxdydz

∭

Ω

f (x , y , z)dxdydz=∭

Ω

f (x , y , z)dV = lim

maxd i → 0 I n

IV TÍNH DIỆN TÍCH ĐÁY HỒ

1 Tên tích phân: Tích phân mặt loại 1

1.1 Định nghĩa:

Cho hàm số f(x,y,z) được xác định trên mặt cong S không đồng nhất, khi đó ta chia nhỏ mặt cong S thành n phần ∆ S p (với p = 1,2,…,n) sao cho chúng đồng nhất, lấy điểm

M p bất kỳ thuộc phần diện tích ∆ S i Khi đó ta lập được tổng tích phân:

I n=∑

p=1

n

f (M p)∆ S p

Nếu n → ∞lim I n= lim

n → ∞∑

p=1

n

f (M p)∆ S p tồn tại hữu hạn thì I là tích phân mặt loại 1: I =

∬

S

f (x , y , z )dS

1.2 Yêu cầu:

● f(x,y,z) là hàm số ba biến khả tích

● D xy là hình chiếu của mặt cong S trên mặt phẳng Oxy, là miền đóng và chặn trong mặt phẳng Oxy

● S = ∬

D

f (x , y , z (x , y))√1+¿ ¿ ¿ là diện tích mặt cong S khi chiếu S xuống mặt phẳng Oxy

B Bài toán

Đề tài: Thiết kế một hồ nước với các yêu cầu sau:

 Mặt hồ nằm trên mặt phẳng Oxy, đáy hồ nằm trên mặt cong z = f(x, y) (không phải một mặt phẳng, có thể ghép từ nhiều mặt phẳng hoặc mặt cong).

 Thành hồ song song trục Oz Phần biên phía trên thành hồ được ghép từ các phần đường cong F(x, y) = 0 Số đoạn thẳng không quá 13số đoạn ghép.

I Tính Toán

1 Chiều Dài Thành Hồ.

Phương trình mặt hồ.

x2

25+

y2

9 =1

Hình 1 Mô Phỏng Chiều Dài Thành Hồ

Dựa vào công thức tích phân l=∫

a

b

√1+ y '2(x)dx, ta có thể tính được độ dài thành hồ.

Ta có:

x2

25+

y2

9 =1

⟺ y=± 3√1−x

2

25

⟺ y '=∓ 3 x

25√1−x

2

25

Để khoảng giá trị cho x, ta cho y=0:

⇒ x2

25+

02

9=1

⇔ x2

=25

⇔ x=±5

Vậy −5 ≤ x ≤5

Ta có: l=∫

a

b

√1+ y '2(x)dx

l=∫

−5

5

25√1−x

2

25)2dx=2

Vì

(25√3 x1−x

2

25)2=

(25−3 x√1− x

2

25)2

Nên:

l=2∫

−5

5

(25√3 x1− x2

25)2dx=2∫

−5

5

√625−16 x2

25(25−x2)dx=2∫

0

π

5√1−16

25sin

2t dt

 Chiều dài thành hồ: l ≈ 25.527 (m)

2 Thể tích lòng hồ.

Hình 2 Mô phỏng toàn bộ hồ nước.

Khi đó thể tích lòng hồ được tính bởi công thức:

∭

Ω

1 dxdydz=∬

D [ ∫

1

25 [ (x+1)2 +y2 ] −3

0

dz]dxdy

¿−∬

D (251 [(x +1)2+y2]−3)dxdy (1)

Đặt: x=5 rcos(φ); y=3 rsin(φ). Ta có định thức Jacobi: J=15 r

Khi đó, tích phân ở (1) bằng:

0

2 π

(−39320 +2 cosφ+

6

5cos(2 φ))d φ

¿393 π

10 ≈123.4650(m

3

)

 Vậy thể tích của hồ xấp xỉ: 123.4650 (m3¿

3 Diện Tích Thành Hồ.

Phương trình mặt hồ

x2

25+

y2

9 =1

⟺ y=± 3√1−x

2

25

⟺ y '=∓ 3 x

25√1−x

2

25

Để khoảng giá trị cho x, ta cho y=0:

⇒ x2

25+

02

9=1

⇔ x2

=25

⇔ x=±5

Vậy −5 ≤ x ≤5

Và mặt cong mặt cong z= 1

25[(x+1)2

+y2

]−3

Hình 3 Mô Phỏng Thành Hồ.

Dựa vào tích phân đường loại 1 ta có: l=∫

a

b

F (x , y )×√1+( y ')2dx

Diện tích thành hồ là:

y=±3√1−x

2

25

y '= ∓ 3 x

25√1−x2

25

|l1|=| ∫

−5

5

( 1

25( x+1)

2

+(±3√1−x

2

25

2

)− 3

2 5)dx|×

| ∫

−5

5

25√1− x

2

25)2dx

|

−5

5

(25√3 x1−x

2

25)2dx=∫

0

π

5√1−16

25sin

2t dt

 |l1|=¿×| ∫

0

π

5√1−16

25sin

2t dt| ≈ 7 7.44¿)

 Vậy diện tích thành hồ là: 77.44¿)

4 Diện Tích Đáy Hồ.

Ta có: xét phương trình mặt hồ.

x2

25+

y2

9 =1

Trên trục Ox ( y=0)

⇒ x2=25⇔ x =±5

⇒−5 ≤ x ≤5

x2

25+

y2

9 =1⇒ y=±√9− 9

25x

2

⇒−√9− 9

25x

2

≤ y ≤√9− 9

25x

2

Và ta có mặt cong z= 1

25[(x+1)2

+y2

]−3

Hình 4 Mô Phỏng Đáy Hồ.

Dựa vào công thức tích phân mặt loại 1:

S=∬

D

f(x , y , z (x , y )).√1+(z ' x)2+(z ' y)2dxdy ta có thể tính được diện tích đáy hồ.

2 2

2 2

2

1 25

2

25

1

x

y

   



 

  



¿√1+ 4

625(x+1 )

2

+ 4

625 y

2dxdy

¿√1+ 4 [(x+1 )2+y2]dxdy

Chiếu mặt cong xuống mặt phẳng Oxy, ta có: {−√9− 9−5 ≤ x ≤ 5

25x

2≤ y ≤√9− 9

25x

2

⇒ I=∫

−5

5

dx ∫

−√9− 9

25x 2

√9− 9

25x 2

√1+ 4

625[( x +1)2+y2]dy

¿∫

−5

5

dx[1001 (2 y√4 x2+8 x+4 y2+629+(4 x2+8 x +629)log( √4 x2+8 x +4 y2+629+2 y) ) ] | √9− 9

25x

2

−√9− 9

25x

2

¿∫

−5

5

100(2√9− 9

25x

2

√4 x2+8 x +4(9− 9

25x

2

)+629+(4 x2+8 x +629)log( √4 x2+8 x +4(9− 9

25x

2

)+629+2( √9− 9

25x

2

) ) )− 1

100(−2√9− 9

25x

2

√4 x2+8 x +4(9− 9

25x

2

)+629−(4 x2+8 x +629)log( √4 x2+8 x+4(9− 9

25x

2

)+629−2( √9− 9

25x

2

) ) ) ]dx

 I=110,94−75,955 ≈ 34,985 m2

 Vậy diện tích đáy hồ là: 34,985 m2