báo cáo bài tập lớn giải tích 2 đề tài 2 ứng dụng hình học của các loại tích phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINHTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2

Đề tài 2

“Ứng Dụng Hình Học Của Các Loại Tích Phân”

Giảng viên hướng dẫn: Đoàn Thị Thanh XuânSinh viên thực hiệnMã Số Sinh Viên

Lê Minh Quân Lê Trần Bảo VyNguyễn Đức KhoaNguyễn Quang ThiệnNguyễn Tăng VũTrần Tuấn KhôiTrương Đại PhongVõ Ngọc Thùy Trang

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng …, năm …

MSSVTên Thành ViênNhiệm Vụ2313245

Nguyễn Quang ThiệnTrương Đại Phong

Diện tích thành hồ + tổng hợp word

Nguyễn Tăng VũNguyễn Đức Khoa

Thể tích lòng hồ + thiếtkế và 3D

Võ Ngọc Thùy TrangLê Trần Bảo Vy

Chiều dài thành hồ + tổng hợp PPT

Lê Minh QuânTrần Tuấn Khôi

Diện tích đáy hồ + thuyết trình

Bảng phân công nhiệm vụ

MỤC LỤC

Thành viên tham gia 2

Lời nói đầu 4

LỜI NÓI ĐẦU

Lời đầu tiên, chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến TrườngĐại học Bách Khoa – ĐHQG TP.HCM đã đưa môn Giải Tích 2 vàochương trình giảng dạy Đặc biệt, chúng em xin gửi lời cảm ơn sâu sắcđến giảng viên bộ môn là cô Đoàn Thị Thanh Xuân đã giảng dạy, truyềnđạt cho chúng em những kiến thức quý báu trong những ngày qua.Trong suốt thời gian tham gia lớp học của cô, chúng em tự thấy bản thânmình tư duy hơn, học tập càng thêm nghiêm túc và hiệu quả Đây chắcchắn là những tri thức quý báu, là hành trang cần thiết cho chúng em saunày

Qua việc thực hiện bài báo cáo này, nhóm chúng em đã biết thêmrất nhiều kiến thức mới lạ và bổ ích Do vốn kiến thức của chúng emvẫn còn hạn chế nên mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng chắc chắn khótránh khỏi những thiếu sót Kính mong cô xem xét, góp ý để bài báo cáocủa chúng em được hoàn thiện hơn.

Chúng em xin chân thành cảm ơn!

Đề tài: Thiết kế một hồ nước với các yêu cầu sau:

 Mặt hồ nằm trên mặt phẳng Oxy, đáy hồ nằm trên mặt cong z = f(x, y) (không phải một mặt phẳng, có thể ghép từ nhiều mặt phẳng hoặc mặt cong).

 Thành hồ song song trục Oz Phần biên phía trên thành hồ được ghép từ các phần đường cong F(x, y) = 0 Số đoạn thẳng không quá 13số đoạn ghép.

A Lý thuyết

I.Tính chiều dài thành hồ

1 Tên tích phân: Tích phân đường loại 11.1 Định nghĩa

f = f(x, y) xác định trên đường cong C

Chia C một cách tùy ý ra n đường cong nhỏ bởi các điểm A0, A , , A₁, , An.Độ dài tương ứng L1, L2, , Ln.

Trên mỗi cung AiAi+1 lấy tuỳ ý một điểm Mi(xi, yi).

Lập tổng Riemann:

In = ∑

được gọi là tích phân đường loại một của f=f(x,y) trên cung C.

1.2 Yêu cầu về hàm vector dưới dấu tích phân:

● Tính độ dài của các đoạn cong f (x , y )=0 trên mặt cong z=f (x , y ).

● Hàm vector là r (t )=( x , y (x), 0), với x là biến cộng tuyến, y (x ) là hàm số đã cho và 0 là hệ số của thành phần trong không gian ba chiều.

Miền lấy tích phân: miền lấy tích phân là đoạn [a,b] trên trục x, nơi đường cong

y (x ) nằm.

● Công thức tích phân đường sẽ được áp dụng: l=∫

√1+ y'2(x)dx

● Trong đó:

- y’ là đạo hàm của hàm số y theo x.

- dx biểu thị cho biến cộng tuyến x trên đoạn [a,b].

● f x y( , )là hàm số khả tích trên đường cong C

● Miền lấy tích phân D là miền đóng và bị chặn trong mặt phẳng Oxy

1.2 Công thức sử dụng:

Giả sử C là đường cong phẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy, f là hàm số 2 biến xvà y, nhận giá trị không âm, diện tích miền thẳng đứng giới hạn bởi C và đường congkhông gian xác định như sau:

Nếu cung C được cho bởi phương trình:

( )

yy xa x b

∫

f (Mi)∆ Si

được gọi là tổng tích phân của f (x , y ) trên miền D

Tích phân bội hai của hàm số f (x , y ) trên miền D là

nếu giới hạn này tồn tại Lúc này f (x , y ) được gọi là hàm khả tích trên D

1.2 Yêu cầu

● f (x , y ) là hàm số hai biến khả tích

● Miền lấy tích phân D là miền đóng và bị chặn trong mặt phẳng Oxy ● Thể tích vật thể được giới hạn trên bởi mặt cong z=f2(x , y ), giới hạn dưới bởi mặt cong z=f1(x , y ), giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song trục Oz,tựa trên biên miền D được tính theo công thức

2 Tích phân bội ba 2.1 Định nghĩa

Cho hàm số f (x , y , z) xác định trên trên miền đóng, bị chặn Ω trong không gian

Oxyz Chia Ω thành n phần tùy ý không dẫm lên nhau, thể tích mỗi phần là ∆ Vi

(i= ´1 ;n) Trong mỗi ∆ Vi ta lấy điểm Pi tùy ý Lập tổng tích phân:

f (Pi)∆ Vi

Ký hiệu di là đường kính của ∆ Vi Tích phân bội ba của hàm số f (x , y , z) trên miền Ω là

nếu giới hạn này tồn tại Lúc này f (x , y , z) được gọi là hàm khả tích trên Ω.

2.2 Yêu cầu

● f (x , y , z) là hàm ba biến khả tích trên Ω

● Miền lấy tích phân Ω là miền đóng và bị chặn trong Oxyz

● Thể tích vật thể Ω được tính theo công thức:

IV.TÍNH DIỆN TÍCH ĐÁY HỒ

1 Tên tích phân: Tích phân mặt loại 1 1.1 Định nghĩa:

Cho hàm số f(x,y,z) được xác định trên mặt cong S không đồng nhất, khi đó ta chia nhỏ mặt cong S thành n phần ∆ Sp (với p = 1,2,…,n) sao cho chúng đồng nhất, lấy điểm

Mp bất kỳ thuộc phần diện tích ∆ Si Khi đó ta lập được tổng tích phân:

f (Mp)∆ Sp

Nếu n → ∞lim In= lim

n → ∞∑

f (Mp)∆ Sp tồn tại hữu hạn thì I là tích phân mặt loại 1: I =

B Bài toán

Đề tài: Thiết kế một hồ nước với các yêu cầu sau:

Mặt hồ nằm trên mặt phẳng Oxy, đáy hồ nằm trên mặt cong z = f(x, y) (không phải một mặt phẳng, có thể ghép từ nhiều mặt phẳng hoặc mặt cong).Thành hồ song song trục Oz Phần biên phía trên thành hồ được ghép từ các

phần đường cong F(x, y) = 0 Số đoạn thẳng không quá 13số đoạn ghép.

Dựa vào công thức tích phân l=∫

√1+ y'2(x)dx, ta có thể tính được độ dài thành hồ.

√1+ y'2(x)dxl=∫

(25√3 x1− x2

2t dt

Chiều dài thành hồ: l ≈ 25.527 (m)

2 Thể tích lòng hồ.

Hình 2 Mô phỏng toàn bộ hồ nước.

Khi đó thể tích lòng hồ được tính bởi công thức: ∭

1 dxdydz=∬

D [∫

+y2]−30

2 π

(−39320 +2 cosφ+6

Hình 3 Mô Phỏng Thành Hồ.

Dựa vào tích phân đường loại 1 ta có: l=∫

( 125( x+1)

2t dt| ≈ 7 7.44¿)Vậy diện tích thành hồ là: 77.44¿)

9 =1⇒ y=±√9− 925x

⇒−√9− 925x

≤ y ≤√9− 925x

   

¿√1+ 4 [(x+1 )2+y2]dxdy

Chiếu mặt cong xuống mặt phẳng Oxy, ta có: {−√9− 9−5 ≤ x ≤ 525x

2≤ y ≤√9− 925x

⇒ I=∫

dx ∫

−√9− 925x

√9− 925x

dx[1001 (2 y√4 x2+8 x+4 y2+629+(4 x2+8 x +629)log(√4 x2+8 x +4 y2+629+2 y))]|√9− 925x

−√9− 925x

100(2√9− 925x

√4 x2+8 x +4(9− 925x

)+629+(4 x2+8 x +629)log(√4 x2+8 x +4(9− 925x

)+629+2(√9− 925x

)))− 1

100(−2√9− 925x

√4 x2+8 x +4(9− 925x

)+629−(4 x2+8 x +629)log(√4 x2+8 x+4(9− 925x

)+629−2(√9− 925x