Báo cáo bài tập lớn giải tích 1 chủ đề the second derivative test

lOMoARcPSD|20597457 ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH CHỦ ĐỀ: THE SECOND DERIVATIVE TEST GVHD: TS NGUYỄN ĐÌNH DƯƠNG LỚP: L25 NHÓM: Danh sách thành viên: Trương Minh Ngọc Quý MSSV: 2114608 Võ Gia Huy MSSV: 2111368 Tăng Thị Mỹ Linh MSSV: 2111650 Nguyễn Lê Thanh Minh MSSV: 2114059 Trần Nghị MSSV: 2111848 TP.HCM, tháng 12 năm 2021 Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 V TÓM TẮT BÀI BÁO CÁO ới đề tài khảo sát đạo hàm cấp hai ứng dụng khai triển Taylor khai triển Maclaurin hàm số biến số để xác định cực trị hàm số nhóm chúng em tiếp cận vấn đề cách đưa sở lý thuyết toán dùng kiến thức học để xác định phương pháp giải sau thiết lập phương pháp tổng quát, xây dựng giải vấn đề nhiều khía cạnh Sau kết tổng hợp tính ứng dụng Khai triển Taylor Khai triển Maclaurin để giải tốn tìm cực trị giới hạn Nhờ đề tài mà chúng em hiểu rõ chất đạo hàm cấp hàm tính ứng dụng tìm cực trị Khai triển Maclau chia sẻ hiểu biết chúng em đến với thầy cô bạn Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 T LỜI CẢM ƠN rong suốt trình thực tiểu luận nói trên, nhóm chúng tơi nhận nhiều quan tâm ủng hộ, giúp đỡ tận tình thầy cơ, anh chị em bè bạn Ngồi ra, nhóm xin gửi lời tri ân chân thành đến thầy Nguyễn Đình Dương, giảng viên hướng dẫn cho đề tài tập lớn Nhờ có thầy hết lịng bảo mà nhóm hoàn thành tiểu luận tiến độ giải tốt vướng mắc gặp phải Sự hướng dẫn thầy kim nam cho hành động nhóm phát huy tối đa mối quan hệ hỗ trợ thầy trị mơi trường giáo dục Lời cuối, xin lần gửi lời biết ơn sâu sắc đến cá nhân, thầy dành thời gian dẫn cho nhóm Đây niềm tin, nguồn động lực to lớn để nhóm đạt kết ii Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 MỤC LỤC PHẦN 0: BẢNG PHÂN CƠNG NHIỆM VỤ VÀ TIẾN TRÌNH PHẦN 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT .2 1.1 Khai triển Taylor – Maclaurin 1.1.1 Khai triển Taylor cấp n: 1.1.2 Khai triển Maclaurin: .2 1.2 Khảo sát dấu đạo hàm cấp hai để xác định cực đại, cực tiểu: PHẦN 2: NỘI DUNG VÀ KẾT QUẢ 2.1 Yêu cầu toán 2.2 Bài làm PHẦN 3: MỞ RỘNG VÀ ÁP DỤNG CHO CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ 3.1 Mở Rộng 3.2 Áp Dụng Giải Các Bài Toán Tương Tự PHẦN 4: KẾT LUẬN iii Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 PHẦN 0: BẢNG PHÂN CƠNG NHIỆM VỤ VÀ TIẾN TRÌNH TÊN THÀNH VIÊN MSSV NHIỆM VỤ TIẾN ĐỘ Trương Minh Ngọc Quý 2114608 Viết báo cáo 100% Võ Gia Huy 2111368 Viết code, xây dựng Matlab 100% Tăng Thị Mỹ Linh 2111650 Tìm kiếm tài liệu 100% Nguyễn Lê Thanh Minh 2114059 Thuyết trình 100% Trần Nghị 2111848 Powerpoint 100% Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 PHẦN 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Khai triển Taylor – Maclaurin 1.1.1 Khai triển Taylor cấp n: - Nếu hàm số có đạo hàm cấp n Khi ta có cơng thức khai triển Taylor: 1.1.2 Khai triển Maclaurin: - Tại lân cận = khai triển Taylor trở thành khai triển Maclaurin: ( 1.2 Khảo sát dấu đạo hàm cấp hai để xác định cực đại, cực tiểu: - Trong giải tích hàm biến, hàm liên tục có điểm cực trị ()=0, người ta thường sử dụng đạo hàm cấp để kiểm tra xem điểm giới hạn cực đại hay cực tiểu cục - Để hiểu điều này, ngta sử dụng Khai triển Taylor cho hàm số , với ()=0 Với phần dư bậc - Nếu =0 khai triển Taylor trở thành khai triển Maclaurin: Khi dần tiến Từ đây, ta thấy: + Nếu với x tiến gần tới Vậy giá trị cực tiểu cục + Nếu thì) với x tiến gần tới Vậy giá trị cực đại cục Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 + Tuy nhiên, khảo sát dấu đạo hàm cấp hai thất bại phải dùng nhiều hạng tử Khai triển Maclaurin để xác định xem hàm số có đạt cực trị , cực đại hay cực tiểu: Khi dần tiến tới Tương tự TỔNG QUÁT: - Khi khảo sát dấu đạo hàm cấp thất bại (),với dần tới ta có: , với thứ tự mà +Đặt Xét: chẵn + Nếu suy tiến gần tới cực đại cục + Nếu suy tiến gần tới cực tiểu cục Xét: lẻ Ta có: (là nghiệm bội chẵn) Từ suy ra, khơng cực trị hàm số Một số khảo sát đựa vào khai triển với số ngun ln dương với giá trị khác 0, nên giá trị cực tiểu với số ngun ln âm với giá trị khác 0, nên giá trị cực đại ± với số nguyên dương với đủ gần âm với phần cịn lại, nên khơng có cực trị Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 PHẦN 2: NỘI DUNG VÀ KẾT QUẢ 2.1 Yêu cầu toán -Với hàm số đây, đạo hàm cấp chúng không cung cấp thơng tin Hãy dùng khai triển Maclaurin để xác định hàm sau có điểm tới hạn hay không 2.2 Bài làm -Ta nhận dễ dàng nhận thấy có giá trị nhỏ đáng kể so với nhận giá trị lân cận gần với Nên ta thay hàm hàm => ~ x nhận giá trị lân cận x=0 -Mà đạt giá trị cực đại nên hàm đạt cực đại Vậy có giá trị cực đại -Tương tự, ta thay => ~ nhận giá trị lân cận -Mà không đạt cực trị nên không đạt cực trị -Tương tự hai câu trên: => ~ x nhận giá trị lân cận - Nhận thấy có số mũ lẻ, nên hàm 0) không cực trị Vậy 0) không cực trị hàm Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 => ~ nhận giá trị lân cận -Vì 0) đạt cực tiểu nên 0) đạt cực tiểu -Ở câu này, sử dụng khai triển Maclaurin cho => = -Chúng ta tiếp tục thay = => ~ = nhận giá trị lân cận -Vì 0) đạt cực tiểu nên 0) đạt cực tiểu Ta có: ~ = nhận giá trị lân cận -Vì 0) khơng xác định nên 0) không xác định Vậy 0) không cực trị Ta có: ~ nhận giá trị lân cận Ta lại có: ~ nhận giá trị lân cận Và 0) khơng cực trị nên 0) không cực trị =>0) không cực trị Khai triển Maclaurin cho Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 => = Và = ~ nhận giá trị lân cận Vì có số mũ lẻ nên 0) không cực trị => 0) không cực trị Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 PHẦN 3: MỞ RỘNG VÀ ÁP DỤNG CHO CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ 3.1 Mở Rộng -Phần giải câu xác định hàm có đạt cực trị hay khơng, dễ dàng mở rộng vấn đề cách thay giá trị giá trị mà -Sẽ có số thay đổi cách giải cho hàm ta thay giá trị giá trị khác 0: +Thay dùng khai triển Maclaurin cho , ta dùng khai triển Taylor mang tính tổng quát +Chuyển hẳn ý từ giá trị gần sang giá trị gần c 3.2 Áp Dụng Giải Các Bài Toán Tương Tự -Chúng ta sử dụng tập giải phần cách thay đổi giá trị từ gần sang gần (với điểm tới hạn hàm khác 0) -Đầu tiên tìm điểm tới hạn khác hàm trên: (loại) , , -Khai triển Taylor đến cấp cho => -Ta hàm -Ta dễ dàng thấy gần đạt cực trị mà cụ thể gần đạt cực tiểu -Khi ta khai triển Taylor cấp cao kết thu cực tiểu có giá trị gần gần với giá trị ) Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 -Vậy ta xem ) giá trị cực tiểu hàm Và ta áp dụng tương tự với Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 PHẦN 4: KẾT LUẬN -Với khai triển Taylor - Maclaurin ta xác định ( thuộc tập số thực) có cực trị hay khơng Đồng thời khắc phục hạn chế đạo hàm cấp hai khơng cung cấp thơng tin điểm có cực trị hay khơng Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com)