Báo cáo bài tập lớn giải tích 2 đề tài 2

lOMoARcPSD|20597457 Chủ đề Nhóm ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH ĐỀ TÀI Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Thị Xn Anh Nhóm GT2-L06-02 Nguyễn Huy Hồng Trần Ngọc Minh Nguyễn Vĩ Khang Nguyễn Văn Thư MSSV: 2113405 2111773 2011372 2114959 TPHCM, tháng năm 2022 Latex by Trần Ngọc Minh Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) Trang lOMoARcPSD|20597457 Mục lục 0.1 Nền tảng hỗ trợ Geogebra Vonfram Alpha Nội dung đề tài 0.2.1 Cho khối V không gian Oxyz giới hạn mặt cong: z = x2 + y , z = 2, y = −x2 , phần ứng với y ≤ −x2 0.2.2 Trình bày khái niệm mặt định hướng cách xá định vector pháp mặt định hướng Cơ sở lý thuyết 0.3.1 Tích phân bội 3: 0.3.2 Tích phân mặt loại 2: Phần báo cáo 0.4.1 Vẽ hình khối V 0.4.2 Tính tích phân: 0.4.3 Áp dụng Lời kết Tài liệu tham khảo 0.1.1 0.1.2 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 (vuchinhhp5@gmail.com) Downloaded by hong chinh 6 6 7 7 13 13 13 14 14 14 lOMoARcPSD|20597457 Chủ đề Nhóm BẢNG PHÂN CƠNG CƠNG VIỆC MSSV Tên Cơng việc Hồn thành 2113405 Nguyễn Huy Hồng Tìm hiểu, vẽ hình Geogebra 100% 2111773 Trần Ngọc Minh Tổng hợp, gõ Word, trình bày 100% 2011372 Nguyễn Vĩ Khang Nghiên cứu sở lý thuyết 100% 2114959 Nguyễn Văn Thư Kiểm tra, sửa lỗi 100% Latex by Trần Ngọc Minh Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) Trang lOMoARcPSD|20597457 Chủ đề Nhóm Lời cảm ơn Chúng em xin chân thành cảm ơn cô Nguyễn Thị Xuân Anh tận tình giúp đỡ, giảng dạy định hướng chúng em cách tư phát triển lối làm việc khoa học Đó góp ý quý báu, tảng thực để chúng em hoàn thành tốt tập lớn Bài báo cáo kết nổ lực tất thành viên nhóm nhiên khơng thể tránh khỏi sai sót, mong thơng cảm q thầy Kính mong dẫn đóng góp để chúng em hồn thiện thân Chúng em xin chân thành cảm ơn Latex by Trần Ngọc Minh Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) Trang lOMoARcPSD|20597457 Chủ đề Nhóm Lời nói đầu Trong sống ngày, hay tiếp xúc quan sát thấy vật thể có dạng hình khối giới hạn mặt phẳng chẳng hạn loại hộp đựng, tủ quần áo, tịa nhà hay cơng trình kiến trúc khác Để tìm hiểu cách tạo diện tích thể tích chúng nhóm chúng em, hướng dẫn giảng viên cô Nguyễn Thị Xuân Anh nghiên cứu tìm hiểu đề tài Qua đề tài lần này, biết cách dựng hình ứng dụng Geogebra, cách ứng dụng kiến thức học vào thực tế Do kiến thức hiểu biết nhóm chúng em có hạn, đồng thời q trình thực khơng thể tránh khỏi sai xót dẫn đến kết thiếu tính xác tuyệt đối, mong nhận góp ý chân thành Latex by Trần Ngọc Minh Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) Trang lOMoARcPSD|20597457 Chủ đề Nhóm 0.1 Nền tảng hỗ trợ 0.1.1 Geogebra Geogebra phần mềm hình học động hỗ trợ giảng dạy trường học Tác giả Markus Hohenwarter khởi động dự án từ năm 2001 trường đại học Salzburg đạng tiếp tục phát triển trường đại học Florida Atlantic Geogebra viết Java phần mềm đa 0.1.2 Vonfram Alpha Wolfram|Alpha máy trả lời Wolfram Research phát triển Đây dịch vụ trực tuyến có nhiệm vụ trả lời câu hỏi nhập vào trực tiếp cách tính tốn câu trả lời từ liệu có cấu trúc, khơng cung cấp danh sách tài liệu trang có web chứa câu trả lời cách máy tìm kiếm thường làm Website Stephen Wolfram cơng bố vào tháng năm 2009, phát hành cho cơng chúng ngày 15 tháng năm 2009 Ngồi chức mơt cỗ máy tìm kiếm, Wolfram Alpha cịn phần mềm giải tốn online (web giải toán) WolframAlpha cho phép giải lượng phong phú dạng toán từ đơn giản đến phức tạp, từ toán phổ thơng đến tốn bậc đại học: Tính tốn bản, Vẽ đồ thị, Đại số, Giải tích (thực phức), Hình học, Lí thuyết số, Tốn rời rạc, Tốn ứng dụng, Logic & Lí thuyết tập hợp, Xác suất & Thống kê, Kinh tế lượng 0.2 Nội dung đề tài 0.2.1 Cho khối V không gian Oxyz giới hạn mặt cong: z = x2 + y , z = 2, y = −x2 , phần ứng với y ≤ −x2 • Vẽ hình khối V (1đ) Latex by Trần Ngọc Minh Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) Trang lOMoARcPSD|20597457 Chủ đề Nhóm • Tính tích phân 0.2.2 ZZ S (x − 2y + z)dydz + (2xy + z)dzdx + (z + y)dxdy (1đ) Trình bày khái niệm mặt định hướng cách xá định vector pháp mặt định hướng 1 Áp dụng: Tìm vector pháp mặt S điểm M (0; −1; 2), N (0; −1; 1), P ( √ ; − ; 1) 2 0.3 Cơ sở lý thuyết 0.3.1 Tích phân bội 3: Định nghĩa: Cho hàm số f (x, y, z) xác định miền đóng bị chặn V không gian Oxyz CHia V thành n phần không giẫm lên V1 ,V2 , ,Vn tích tương ứng ∆V1 ,∆V2 , ,∆Vn Trong miền Vk lấy điểm Mk (xk , yk , zk ) n X Lập tổng tích phân: Sn = f (xk , yk , zk )∆Vk k=1 Cho max d(Vk ) → 0, tổng tiến đến giới hạn hữu hạn S không hpuj thuộc vào cách chia miền V cách lấy điểm Z MZkZthì giới hạn hữu hạn S gọi tích phân bội ba hàm f (x, y, z) miền V , kí hiệu : f (x, y, z)dV V Đồng thời, ta gọi hàm f (x, y, z) hàm khả tích miền V Vậy: ZZZ n X f (x, y, z)dV = lim f (xk , yk , zk )∆Vk V maxd(Vx )→0 k=1 Chú ý: Vì tích phân khơng phụ thuộc vào cách chia miền V cách lấy điểm Mk giới hạn hữu hạn S gọi tích phân bội ba củaZ hàm Z Z Z V kí hiệu là: ∆V = ∆x∆y∆z = dxdydz Z Z f (x, y, z) miền Vì ta thường dùng kí hiệu : 0.3.2 f (x, y, z)dxdydz f (x, y, z)dV = V V Tích phân mặt loại 2: Mặt định hướng (a) Khái niệm mặt định hướng • Mặt S gọi mặt định hướng (mặt phía) điểm M S xác định vector pháp tuyến đơn vị ~n(M ) có thành phần hàm liên tục • Mặt phía S có phương trình F (x, y, z) = phương trình tiếp diện M là: Fx0 (M )(x − xM ) + Fy0 (M )(y − yM ) + Fz0 (M )(z − zM ) = điểm M mặt S có pháp vector ngược hướng ~nS (M ) = +5F (M ) = (Fx0 (M ), Fy0 (M ), Fz0 (M )), ~nS (M ) = −5F (M ) = −(Fx0 (M ), Fy0 (M ), Fz0 (M • Trong trường hợp đặc biệt mặt S có phương trình z = z(x, y) ta đặt F (x, y, z) = z − z(x, y) Khi mặt S có pháp vector: ~nS (M ) = +5F (M ) = (−zx0 (M ), −zy0 (M ), 1), ~nS (M ) = −5F (M ) = (zx0 (M ), zy0 (M ), −1) Nếu pháp vector tạo với tia Oz góc nhọn tọa độ z pháp vector dương, tương ứng với ~nS (M ) = + F (M ) = (−zx0 (M ), −zy0 (M ), 1) Latex by Trần Ngọc Minh Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) Trang lOMoARcPSD|20597457 Chủ đề Nhóm Ngược lại Nếu pháp vector tạo với tia Oz góc tù tọa độ z pháp vector âm, tương ứng với ~nS (M ) = − F (M ) = (zx0 (M ), zy0 (M ), −1) • Việc chọn hai pháp vecto gọi định hướng mặt S, phía mặt S phía mà ta đứng lên phía ấy, vecto pháp vừa chọn có hướng từ chân đến đầu Hình 1: Mặt định hướng S có phía ngồi mặt cầu x2 + y + z = 9, ứng với ≤ z ≤ Latex by Trần Ngọc Minh Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) Trang lOMoARcPSD|20597457 Chủ đề Nhóm Hình 2: Mặt định hướng S có phía ngồi phần mặt Paraboloid z = x2 +y , ứng với ≤ z ≤ (b) Vector pháp đơn vị: Mặt phía S có phương trình F (x, y, z) = 0, điểm M S có vector 5F (M ) pháp đơn vị ngược chiều ± (1) |5F (M )| Khi định hướng mặt S, ta chọn vector Gọi α ,β ,γ góc tạo vector phương Ox,Oy,Oz với pháp vector này, ta được: ~n(0, 1, 0) ~n(0, 0, 1) ~n(1, 0, 0) , cos β = , cos γ = cos α = |~n| |~n| |~n| ~n = (cos α, cos β, cos γ) (2) Như định hướng mặt S tực ta chọn vector pháp tức ta phải chọn dấu ” + ” hay ” − ” đẳng thức (1) để vector đẳng thức (2) (c) Cách cho mặt định hướng: Khi cho hướng mặt phía S người ta cho hứng mặt theo cách sau: π π • Hướng (hoặc dưới) theo hướng trục Oz.Ta có góc: γ < (hoặc γ > ) 2 π π • Hướng trái (hoặc phải) theo hướng trục Oy.Ta có góc: β > (hoặc β < ) 2 π π • Hướng trước (hoặc sau) theo hướng trục Ox Ta có góc: α < (hoặc α > ) 2 • Hướng (hoặc ngồi) đường cong kín Ta xác định góc nhọn hay tù tùy vào mặt cong Latex by Trần Ngọc Minh Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) Trang lOMoARcPSD|20597457 Chủ đề Nhóm (d) Cách xác định vector pháp mặt định hướng: Cho mặt S với phương trình F (x, y, z) = • Tính 5F = (Fx , Fy , Fz ) 0 • Xác định góc α,β, γ xem góc nhọn hay từ để suy cosin tương ứng dương hay ấm so sánh với dấu tọa độ tương ứng vector gradient • Nếu thành phần tương ứng vector pháp vector gradient dấu vector dấu tức : +5F Ghi chú: Ta chia trường hợp tính vector pháp đơn vị ~n = |5F | Cho hướng mặt S (trái phải, trước sau) khơng cần vẽ hình ta cungz xác định góc α, β, γ xem góc nhọn hay tù Cho hướng mặt S ngồi cần vẽ hình phần mặt cong để xác định góc α,β, γ xem góc nhọn hay tù (e) Mở rộng: • Mặt khơng định hướng Ngồi mặt định hướng cịn có mặt khơng định hướng (mặt phía) Ví dụ mặt Mobius Mobius tạo cách sau: Latex by Trần Ngọc Minh Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) Trang 10 lOMoARcPSD|20597457 Chủ đề Nhóm Lấy hình chữ nhật ABCD (bằng giấy) sau vặn cong hình chữ nhật để hai đầu giáp (điểm A trùng điểm C, điểm B trùng điểm D) Giả sử pháp véc tơ điểm M Dịch chuyển liên tục dọc theo (không vượt biên) ta quay lại điểm xuất phát M ban đầu lúc hướng pháp véc tơ có hướng ngược lại Pháp véc tơ điểm M khơng thể có hai hướng, hàm pháp véc tơ không liên tục mặt Mobius, liên tục sau dịch chuyển cách liên tục, quay vị trí M ban đầu pháp véc tơ phải trùng với pháp véc tơ ban đầu Do đó, mặt Mobius mặt phía Hình 3: Mặt Mobius mặt phía Tính tích phân mặt loại (bằng cách đưa tích phân mặt loại 1) • Giả sử S : z = z(x, y) với vector pháp đơn vị vecn hướng lên Khi đó, phương trình đường cong S F (x, y, z) = z − z(x, y) =
0 −zx , −zy , = (cos α, cos β, cos γ) ~n = q
+ (zx0 )2 + zy0 q
2 dS = + (zx0 )2 + zy0 dxdy ZZ (P cos α + Q cos β + R cos γ) dS I= S   ZZ −zy −zx P q  = + Qq + Rq


dS 2 2 2 S + (zx ) + zy + (zx ) + zy + (zx ) + zy   ZZ q
−z −zx y 0   q q Pq + Q + R = ) + z + (z x y
2
2
2 Dxy + (zx0 )2 + zy0 + (zx0 )2 + zy0 + (zx0 )2 + zy0 ZZ h i 0 P (−zx ) + Q(−zy ) + R dxdy = Dxy • Nếu vector pháp tuyến đơn vị ~n mặt cong S hướng xuống phương trình mặt cong S là: F (x, y, z) = z(x, y) − z =
0 , −1 = (cos α, cos β, cos γ) , z z ~n = q
2 x y + (zx0 )2 + zy0 q
2 dS = + (zx0 )2 + zy0 dxdy ZZ (P cos α + Q cos β + R cos γ) dS I= S Latex by Trần Ngọc Minh Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) Trang 11 lOMoARcPSD|20597457 Chủ đề Nhóm  0  zy −1  + Qq + Rq


2 dS 2 2 0 0 0 S + (zx ) + zy + (zx ) + zy + (zx ) + zy   ZZ q
z zx −1 y   q q q + (z ) + z P = + Q + R x y
2
2
2 Dxy + (zx0 )2 + zy0 + (zx0 )2 + zy0 + (zx0 )2 + zy0 ZZ i h 0 P (zx ) + Q(zy ) − R dxdy = = ZZ zx P q Dxy Công thức Ostrogratxki - Gauss Cho S mặt kín f vật thể bao quanh S Nếu P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) đạo hàm riêng liên tục miền f thì:  ZZZ  ZZ ∂P ∂Q ∂R P dydz + Qdzdx + Rdxdy = ± dxdydz + + ∂x ∂y ∂z f S Dấu "+" hướng pháp vector với mặt cong lấy hướng phía ngồi vật thể f, dấu "-"nếu hướng pháp vector với mặt cong lấy hướng phía f Lưu ý: Nếu mặt cong S khơng kín, bổ sung thành mặt cong S kín để áp dụng cơng thức Ostrogratxki - Gauss, trừ phần bổ sung ZZ xdydz + ydzdx + zdxdy S phía ngồi mặt cầu x2 + y + z = Ví dụ 1: Tính S Lời cơng thức Ostrogratxki - Gauss ta được: Z Zdụng Z Z Z giải: Vì S mặt kín nên áo 3dxdydz = 3V = 4π.32 = 36π xdydz + ydzdx + zdxdy = V S ZZ 3 Ví dụ 2: Tính x dydz + y dzdx + z dxdy S mặt phía mặt cầu S x2 + y + z = Lời Z Z Z giải: Vì S mặt kín nên áp dụng công thức Ostrogratxki - Gauss ta được: 3(x2 + y + z )dxdydz V  x = r sin θ cos ϕ 0 ≤ ϕ ≤ 2π Đặt y = r sin θ sin ϕ ⇒ ≤ θ ≤ π , J = −r2 sin θ   0≤r≤2 z = r cos θ Z π Z Z 2π 384 r4 sin θdr = dθ dϕ I = −3 π 0 Latex by Trần Ngọc Minh Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) Trang 12 lOMoARcPSD|20597457 Chủ đề Nhóm 0.4 Phần báo cáo 0.4.1 Vẽ hình khối V 0.4.2 Tính tích phân: I= ZZ S (x − 2y + z)dydz + (2xy + z)dzdx + (z + y)dxdy Vì Z ZSZ mặt phía bên ngồi khối V nên áp dụng công thức Ostrogratxki - Gauss ta được: I= (1 + 2x + 2z)dxdydz (*) V Để tích tích phân (*) cách nhanh chóng xác ta sử dụng Vonfram Alpha • Đầu tiên cần tìm cận cho x, y, z: x2 + y = Lấy giao tuyến mặt z = x + y z = ta z=2 √  Chiếu khối V lên Oxy ta miền Dxy = x, y| − ≤ x ≤ 1, − − x2 ≤ y ≤ −x2 | 2  • Sau ZđóZ Zthực tính tốn Vonfram Alpha ta được: (1 + 2x + 2z)dxdydz ≈ 7.43616 I= V Latex by Trần Ngọc Minh Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) Trang 13 lOMoARcPSD|20597457 Chủ đề 0.4.3 Nhóm Áp dụng 1 Tìm vector pháp mặt S điểm M (0; −1; 2), N (0; −1; 1), P ( √ , ; 1) 2 Lời giải: Dễ dàng kiểm tra M (0; −1; 2) nằm mặt z = 2, N (0; −1; 1) nằm mặt z = x2 +y , 1 P ( √ , ; 1) nằm mặt y = −x2 điểm thuộc mặt S 2 • Với điểm M (0; −1; 2) thuộc mặt z = ta có F (x, y, z) = z − = π 5F = (0; 0; 1) Vì S mặt biên phía ngồi khối V nên γ < suy cos γ > Điều có nghĩa tọa độ z vector pháp vector gradient dấu 5F = (0; 0; 1) ⇒ ~n(M ) = (0; 0; 1) Vậy ~n = + |5F | • Với điểm N (0; −1; 1) thuộc mặt z = x2 + y ta có F (x, y, z) = z − x2 − y = π 5F = (−2x; −2y; 1) Vì S mặt biên phía ngồi khối V nên γ > suy cos γ < Điều có nghĩa tọa độ z vector pháp vector gradient ngược dấu (2x, 2y, −1) 5F =p Vậy ~n = − ⇒ ~n(N ) = √ (0; −2; −1) |5F | 4(x2 + y ) + 1 • Với điểm P ( √ , ; 1) thuộc mặt y = −x2 ta có F (x, y, z) = x2 + y = 2 π 5F = (2x; 1; 0) Vì S mặt biên phía ngồi khối V nên < β < suy cos β > Điều có nghĩa tọa độ y vector pháp vector gradient dấu 0.5 Lời kết Thông qua việc làm báo cáo Bài tập lớn Giải tích 2, chúng em trau dồi cho kiến thức mới, đào sâu kiến thức học Tích Phân Bội, Tích Phân Bội Ba, Tích Phân Mặt, Tích Phân Đường, thấy hữu ích tầm quan trọng chúng việc tính tốn thơng số phức tạp Bên cạnh đó, chúng em nâng cao cho thân kĩ việc tự học, tự tìm hiểu thơng tin, làm việc nhóm, soạn thảo biết ứng dụng phần mềm Matlab, Geogebra, Vonfram Alpha, 0.6 Tài liệu tham khảo [1 ] Nguyễn Đình Huy (2018) Giáo trình Giải tích 2, NXB Đại học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh [2 ] Th.S Nguyễn Thị Xuân Anh Slide giảng Giải tích [3 ] T.S Lê Xuân Đại Bài giảng điện tử Giải tích [4 ] James Steward (2012) Calculus, Thomson Brooke/Cole [5 ] James Steward (2012) Calculus, Thomson Brooke/Cole [6 ] https://vi.wikipedia.org/wiki/WolframAlpha [7 ] https://vi.wikipedia.org/wiki/GeoGebra Latex by Trần Ngọc Minh Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) Trang 14 lOMoARcPSD|20597457 Chủ đề Nhóm đồ khối".png đồ khối".pdf đồ khối".jpg đồ khối".mps đồ khối".jpeg đồ khối".jbig2 đồ khối".jb2 đồ khối".PNG đồ khối".PDF đồ khối".JPG đồ khối".JPEG đồ khối".JBIG2 đồ khối".JB2 Hình 4: Sơ đồ khối hệ thống Latex by Trần Ngọc Minh Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) Trang 15