Bài tập lớn giải tích 2

lOMoARcPSD|15963670 ĐẠI HàC QC GIA TP Hà CHÍ MINH TRƯàNG ĐẠI HàC BÁCH KHOA BÀI TẬP LÞN GIẢI TÍCH GVHD: Nguyễn Văn Thìn Huỳnh Thß Vu Nhóm lßp: L17 Nhóm STT Há tên Mã sß sinh viên Trần Huy Hoàng Anh 2112813 Phan Tấn Duy 2113033 Bùi Minh Long 2113926 Nguyễn Siêu 2114648 Nguyễn Cảnh Kỳ 2113861 lOMoARcPSD|15963670 Mục Lục PHẦN I LÝ THUYẾT CH¯ƠNG I: HM NHIịU BIắN A Các khái niệm c¡ b¿n cÿa hàm nhißu bi¿n Hàm hai bi¿n Đồ thß hàm hai bi¿n бßng đẳng trß 4 Đßnh nghĩa hàm nhißu bi¿n B бßng thẳng mặt phẳng không gian бßng thẳng Mặt phẳng C Các mặt bậc hai Mặt Ellipsoid Mặt Paraboloid Elliptic Mặt Paraboloid Hyberbolic Mặt Hyberboloid 5 Mặt trÿ 6 Mặt nón hai phía CH¯ƠNG II: HÀM VÉC TƠ Hàm véc t¡ mặt phẳng Gißi h¿n tính liên tÿc cÿa hàm véc t¡ mặt phẳng Đ¿o hàm cÿa véc t¡ mặt phẳng Tích phân cÿa hàm véc t¡ mặt phẳng Hàm véc t¡ không gian Gißi h¿n tính liên tÿc cÿa hàm véc t¡ không gian Đ¿o hàm cÿa véc t¡ không gian 10 Tích phân cÿa hàm véc t¡ khơng gian 10 PHẦN II BÀI TẬP 12 PHẦN III ỨNG DỤNG 22 lOMoARcPSD|15963670 PHẦN I LÝ THUYẾT lOMoARcPSD|15963670 CHNG I: HM NHIịU BIắN A Cỏc khỏi nim cĂ b¿n cÿa hàm nhißu bi¿n Hàm hai bi¿n Đßnh nghĩa 1.1 Hàm hai bi¿n mßt quy lu¿t ÿng vßi mßt cặp sß thÿc đ±ÿc s¿p x¿p thÿ tÿ (x, y) ∈ D ta ln xác đßnh đ±ÿc nh¿t mßt sß thÿc z = f(x, y) f : D ⊂ �㕅 ² R (x, y) ² z = f(x, y) a T¿p hÿp D đ±ÿc gßi mißn xác đßnh cÿa hàm sß f đ±ÿc kí hißu D(f) b T¿p hÿp E = { z, ∃(x, y) ∈ D : z = f(x, y)} đ±ÿc gßi t¿p giá trß cÿa hàm sß f đ±ÿc ký hißu E(f) c Chú ý: N¿u hàm f đ±ÿc xác đßnh bßi bißu thÿc cÿ thß, mißn xác đßnh cÿa f đ±ÿc bißu thß t¿p hÿp t¿t c¿ nhÿng cặp đißm (x,y) cho bißu thÿc xác đßnh hàm có nghĩa hay nói cách khác hàm sß nh¿n giá trß thÿc Đồ thß hàm hai bi¿n Đßnh nghĩa 1.2 Đß thß cÿa hàm hai bi¿n z = f(x, y) t¿p hÿp t¿t c¿ nhÿng đißm (x, y, z) ∈ �㕅 cho z = f(x, y) (x, y) ∈ D Đß thß cÿa hàm mßt bi¿n y = f(x) mßt đ±ßng cong , cịn đß thß cÿa hàm hai bi¿n z = f(x, y) mßt mặt cong бßng đẳng trß Đßnh nghĩa 1.3 бßng đ¿ng trß cÿa hàm sß z = f(x, y) đ±ßng cong có ph±¡ng trình f(x, y) = k, vßi k h¿ng sß (thußc t¿p giá trß cÿa f(x, y)) Chú ý: Tÿ đßnh nghĩa cÿa hàm nhißu bi¿n đ±ßng đ¿ng trß s¿ khơng c¿t ÿng vßi mßi đißm (x, y) ta ln xác đßnh đ±ÿc nh¿t mßt giá trß cÿa hàm sß z = f(x, y) Th¿t v¿y, gi¿ sÿ n¿u hai đ±ßng đ¿ng trß z = �㕘1 z = �㕘2 (�㕘1 b �㕘2 ) khác c¿t ÿng vßi mßi đißm (x, y) có hai giá trß khác z = �㕘1 z = �㕘2 Đßnh nghĩa hàm nhißu bi¿n Đßnh nghĩa 1.4 Hàm n bi¿n f : D ⊂ �㕅 ÿ ² R (ý1 , ý2 , , ýÿ ) ² (ý1 , ý2 , , ýÿ ) Hoặc u = f(x) = (ý1 , ý2 , , ýÿ ) T¿p hÿp D đ±ÿc gßi mißn xác đßnh cÿa hàm sß đ±ÿc kí hißu D(f) B бßng thẳng mặt phẳng khơng gian бßng thẳng Cho (d) đ±ßng th¿ng qua �㕀0 (ý0 , ỵ0 , ) v song song vòi vộc t¡ ÿ⃗ = (ÿ1 , ÿ2 , ÿ3 ) V¿y (d) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ t¿p hÿp t¿t c¿ nhÿng đißm M(x, y, z) cho �㕀 ⃗ �㕀 ±± ÿ Do ú nu M D thỡ ý2 ý0 ỵ3ỵ ÿ3ÿ = ÿ = ÿ = t, (t ∈ �㕅) ÿ Tÿ ta đ±ÿc ph±¡ng trình tham sß cÿa đ±ßng th¿ng (d) ý = ý0 + ỵ { = ỵ0 + ā ÿ = ÿ0 + ÿ3 ā lOMoARcPSD|15963670 Mặt phẳng Cho (P) mặt ph¿ng qua đißm (ý0 , ỵ0 , ) v vuụng gúc vßi véc t¡ ÿ⃗⃗ = (ÿ1 , ÿ2 , ÿ3 ) Khi ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (P) t¿p hÿp nhÿng đißm M(x, y, z) cho �㕀 ⃗⃗ Do ph±¡ng trình cÿa mặt ph¿ng (P) �㕀 ⊥ ÿ (x ý0 ) + (y ỵ0 ) + ÿ3 (z ÿ0 ) = C Các mặt bậc hai Mặt Ellipsoid Ph±¡ng trình tc ca mt ellipsoid ý2 ỵ2 + + = 1, (ÿ, Ā, ā ∈ R) ÿ2 Ā ā ý2  Mßi mặt ph¿ng z = k c¿t mặt ph¿ng Ellipsoid theo đ±ßng Ellipse ÿ2 + -c < k < c  ý2 Mßi mặt ph¿ng y = k c¿t mặt ph¿ng Ellipsoid theo đ±ßng Ellipse ÿ2 + -b < k < b  ÿ2 Mßi mặt ph¿ng x = k c¿t mặt ph¿ng Ellipsoid theo đ±ßng Ellipse + -a < k < a ỵ2 = , vòi iòu kiòn ỵ2 Ā2 = ÿ2, vßi đißu kißn ÿ2 ā2 �㕘 �㕘 = Ā2 , vßi đißu kißn ý2 Nh± v¿y, mßi mặt c¿t đißu Ellipse nên mặt cong đ±ÿc gßi mặt Ellipsoid Khi a = b = c = R mặt Ellipsoid s¿ trß thành mặt c¿u tâm (0, 0, 0) bán kính R Mặt Paraboloid Elliptic Ph±¡ng trình t¿c cÿa mặt Paraboloid Elliptic  ý2 z = ÿ2 + ỵ2 ý2 Mòi mt phng z = k c¿t mặt Paraboloid Elliptic theo đ±ßng Ellipse z = ÿ2 + k>0   Mßi mặt ph¿ng y = k c¿t mặt Paraboloid Elliptic theo đ±ßng Parabol z = Mßi mặt ph¿ng x = k c¿t mặt Paraboloid Elliptic theo òng Parabol z = ý2 2 ỵ2 Ā2 + + = �㕘 vßi đißu kißn �㕘 2 ỵ2 Nh vy, mt ct l nhng Parabol Ellipse nên mặt cong đ±ÿc gßi mặt Paraboloid Elliptic Mặt Paraboloid Hyberbolic Ph±¡ng trình t¿c cÿa mặt Paraboloid Hyberbolic z=    ý2 ÿ2 ỵ2 ý2 ỵ2 = 2 2 ỵ2 2 Mòi mt phng z = k c¿t mặt Paraboloid Elliptic theo đ±ßng Ellipse z = ÿ2 ý2 Mßi mặt ph¿ng y = k c¿t mặt Paraboloid Elliptic theo đ±ßng Parabol z = ÿ2 �㕘 Mßi mặt ph¿ng x = k c¿t mặt Paraboloid Elliptic theo đ±ßng Parabol z = ÿ2 �㕘 Nh± v¿y, mặt c¿t nhÿng Parabol Hyberbol nên mặt cong đ±ÿc gßi mặt Paraboloid Hyberbolic hay cịn gßi hình yên ngÿa Mặt Hyberboloid lOMoARcPSD|15963670    a Ph±¡ng trình t¿c cÿa mặt Hyberboloid mßt tng ỵ2 ý2 + + =1 2 ý2 Mßi mặt ph¿ng z = k c¿t mặt Hyberboloid mòt tng theo òng Ellipse + ý2 ỵ2 Mßi mặt ph¿ng y = k c¿t mặt Hyberboloid mßt t¿ng theo đ±ßng Hyberbol ÿ2 + ÿ2 Mßi mặt ph¿ng x = k c¿t mặt Hyberboloid mßt t¿ng theo đ±ßng Hyberbol ā + �㕘 = + ā2 2 ỵ2 = 2 �㕘 = ÿ2 Nh± v¿y, mặt c¿t nhÿng Hyberbol Ellipse nên mặt cong đ±ÿc gßi Hyberboloid mßt t¿ng  b Ph±¡ng trình tc ca mt Hyberboloid hai tng ý2 ỵ2 + = 21 ÿ2 Ā2 ā2 Mßi mặt ph¿ng z = k c¿t mặt Hyberboloid hai t¿ng theo đ±ßng Ellipse đißu kißn k > c k < -c ý2 ÿ2 + ý2 ÿ2 ÿ2 Hyberbol ā  Mßi mặt ph¿ng y = k c¿t mặt Hyberboloid mßt t¿ng theo đ±ßng Hyberbol  Mßi mặt ph¿ng x = k ct mt Hyberboloid mòt tng theo òng ỵ2 2 = 21 + 2 ỵ2 ā2 vßi = 21 = 21 �㕘 Ā2 �㕘 ÿ2 Nh± v¿y, mặt c¿t nhÿng Hyberbol Ellipse nên mặt cong đ±ÿc gßi Hyberboloid hai t¿ng Trong tr±ßng hÿp k > c k < -c ta đ±ÿc mặt Hyberboloid mßt phía Mặt trÿ a Ph±¡ng trình t¿c cÿa mặt trÿ Ellipse ý2 ỵ2 + = 1, 2 R Trong ph±¡ng trình mặt trÿ khơng có bi¿n z Đißu có nghĩa mßi mặt ph¿ng z = k ý2 (song song vßi mặt ph¿ng xOy) s¿ c¿t mt tr ellipse theo òng ellipse + ỵ2 = Mặt trÿ đ±ÿc gßi mặt trÿ ellipse đ±ÿc t¿o bßi r¿t nhißu đ±ßng ellipse gißng b Khi a = b = R ta có ph±¡ng trình t¿c cÿa mặt trÿ trịn ý + ỵ = , R c PhĂng trỡnh chớnh tc ca mt tr parabol ỵ = 2āý, ÿ∈ R Trong ph±¡ng trình mặt trÿ khơng có bi¿n z Đißu có nghĩa mßi mặt ph¿ng z = k (song song vßi mặt ph¿ng xOy) s¿ c¿t mặt trÿ parabol theo đ±ßng parabol þ = 2āý Mặt trÿ đ±ÿc gßi mặt trÿ parabol đ±ÿc t¿o bßi r¿t nhißu đ±ßng parabol gißng Mặt nón hai phía Ph±¡ng trỡnh chớnh tc ca mt nún hai phớa ỵ2 ý2 + = Ā2 ā2 ÿ2  Mßi mặt ph¿ng z = k c¿t mặt nón hai phía theo nhÿng đ±ßng Ellipse Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) ý2 ÿ2 + ỵ2 = 2 lOMoARcPSD|15963670 Mòi mặt ph¿ng y = k c¿t mặt nón hai phía theo đ±ßng Hyberbol  mặt nón hai phía theo đ±ßng th¿ng ā = ± , vßi k = ÿ ý ỵ Mòi mt phng y = k c¿t mặt nón hai phía theo đ±ßng Hyberbol mặt nón hai phía theo đ±ßng th¿ng ā = ± , vßi k = ý2 ỵ2 2 ÿ2 ā2 ÿ2 ā2 �㕘 = Ā2 , vßi k b 0; c¿t �㕘 = ÿ2 , vßi k b 0; c¿t Nh± v¿y, mặt c¿t nhÿng Hyberbol, Ellipse đ±ßng th¿ng, t¿o nên hình nón nên mặt cong đ±ÿc gßi mặt nón hai phía Trong tr±ßng hÿp n¿u z > z < ta đ±ÿc mặt nón mßt phía Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 CHƯƠNG II: HÀM VÉC TƠ Hàm véc t¡ mặt phẳng  Đßnh nghĩa Khi mßt ch¿t đißm M (x, y) chuyßn đßng mặt ph¿ng, tßa đß cÿa nhÿng hàm sß theo bi¿n thßi gian t x = x(t), y = y(t) Đißm M (x(t), y(t)) s¿ v¿ mßt đ±ßng cong mặt ph¿ng Khi véc t¡ ÿ⃗ = (x(t), y(t)) chß vß trí cÿa đißm M t¿i thßi đißm t Đßnh nghĩa 1: Hàm véc t¡ ÿ⃗(ā) xác đßnh mißn D mßt quy lu¿t cho ÿng vßi mßi t ∈ D ln xác đßnh mßt véc t¡ ÿ⃗(ā) ÿ ∶ Ā ⊂ �㕅 ² �㕅2 ā ² ÿ⃗(ā) = (x(t), y(t)) Chú ý: Hàm véc t¡ mặt ph¿ng cịn đ±ÿc gßi hàm tham sß Gißi h¿n tính liên tÿc cÿa hàm véc t¡ mặt phẳng a Gißi h¿n Đßnh nghĩa: Hàm véc t¡ ÿ⃗(ā) đ±ÿc gßi có gißi h¿n ⃗⃗⃗⃗ ÿ0 t ² āĀ n¿u nh± ∀Ā > 0, ∃ÿ > ∶ |ā āĀ | < ÿ ⇒ |ÿ⃗(ā) ÿ⃗⃗⃗⃗| 0, ∃ÿ > ∶ |ā āĀ | < ÿ ⇒ |ÿ⃗(ā) ÿ⃗⃗⃗⃗|