Báo cáo bài tập lớn giải tích 2 khoa khoa học ứng dụng đề tài 10

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG ĐH BÁCH KHOA NĂM HỌC 2020 - 2021 BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH Khoa Khoa học Ứng Dụng Đề tài: 10 Nhóm 10 Giảng viên hướng dẫn: Th.S TRẦN NGỌC DIỄM Thủ Đức, Ngày 15 tháng năm 2021 STT Họ tên SV MSSV Công việc phân chia Lai Cẩm Tài 2014407 Phương pháp tìm pháp vector Nguyễn Chí Sang 2014349 Tìm cách tính diện tích mặt cong cho dạng tham số Từ Lịch Thanh Tâm 2014444 Tìm cách tính diện tích mặt cong cho dạng tham số Lê Vũ Hoàng Anh 2010851 Soạn báo cáo Word, làm bt phần 1-4 Nguyễn Trần Thiện Ân 2010889 Tìm cách viết phương trình tiếp diện mặt cong cho dạng tham số Lê Ngọc Quang 2014325 Tìm cách viết phương trình tiếp diện mặt cong cho dạng tham số Trương Khải Nguyên 2011716 Tìm sở lí thuyết tham số hóa mặt cong Lê Văn Nam 2013819 Phương pháp tìm pháp vector Trần Quốc Thái 2010616 Tìm sở lí thuyết tham số hóa mặt cong 10 Nguyễn Phúc Khang 2011367 Soạn báo cáo Word, làm bt phần 15-20 Đề tài 10: Cơ sở lí thuyết: Tìm hiểu tham số hóa mặt cong, cách tìm vectơ viết phương trình tiếp diện mặt cong cho dạng tham số, cách tính diện tích mặt cong cho dạng tham số, cách tính diện tích mặt cong cho dạng tham số Bài tập: Bài tập 1-4, 15-20 phần 15.6 Mục lục Phần Lý thuyết THAM SỐ HOÁ MẶT CONG Cơ sở lí thuyết Tham số hoá mặt cong CÁCH TÌM PHÁP VÉCTƠ Định nghĩa vectơ pháp tuyến: Cách tìm véctơ pháp tuyến mặt cong VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾT DIỆN CỦA MẶT CONG CHO DẠNG THAM SỐ Cơ sở lí thuyết Các ví dụ TÍNH DIỆN TÍCH MẶT CONG CHO DẠNG THAM SỐ 10 Cơ sở lí thuyết 10 Các ví dụ 12 Phần Bài Tập 13 Bài tập 1-4: hình dạng đồ thị(a)-(d) phù hợp với phương trình sau 13 Bài tập 15-20: tìm véctơ biểu diễn cho mặt sau 15 Tài liệu tham khảo 17 KẾT THÚC BÀI BÁO CÁO 18 Phần Lý thuyết THAM SỐ HOÁ MẶT CONG Cơ sở lí thuyết Định nghĩa hàm nhiều biến Định nghĩa: Cho D ∈ ℝ𝑛 Ánh xạ 𝑓 → 𝐷 → ℝ hay 𝑥 = (𝑥1 , 𝑥𝑛 ) ⟶ 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥1 , 𝑥𝑛 ) ∈ ℝ gọi hàm số D (với D: tập xác định, 𝑓:hàm số; 𝑥: biến số) Lưu ý: biến số có n thành phần, thành phần xem biến độc lập (cho nên hàm số ℝ𝑛 hay gọi hàm nhiều biến) Hàm ba biến hàm nhiều biến có số thành phần biến 3(tức n=3) Định nghĩa mặt cong Giả sử U miền liên thông mặt phẳng 𝑢, 𝑣 (tức không tồn hai tập mở rời mà hợp chúng chứa U đồng thời tập chứa điểm U), tập hợp hữu hạn vô hạn điểm miền đồng phơi với hình trịn đơn vị; X(𝑢, 𝑣) ánh xạ liên tục từ U vào ℝ3 cho thu hẹp miền đồng phôi Khi ấy, tập ảnh S = {𝑋 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 : 𝑋 = 𝑋(𝑢, 𝑣) ∈ U} gọi mặt cong Mặt cong khơng gian xác định dạng tường minh: 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) ∀(𝑥, 𝑦) ∈ G ⊂ ℝ2 y = 𝑓(𝑥, 𝑧) ∀(𝑥, 𝑧) ∈ G1 ⊂ ℝ2 x = 𝑓(y, 𝑧) ∀(y, 𝑧) ∈ G2 ⊂ ℝ2 Mặt cong khơng gian cịn xác định dạng ấn phương trình: F(𝑥, 𝑦, 𝑧) = Tuy nhiên, khơng phải mặt cong xác định hai dạng Một ví dụ điển hình cho vấn đề mặt helicoid (mặt xoắn ốc) Chúng ta thấy với điểm (𝑥, 𝑦) mặt phẳng 𝑥, 𝑦 có hình chiếu lên mặt helicoid, mà mặt cong khơng thể đồ thị hàm 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) Hình A1: Helicoid-mặt xoắn ốc-khơng phải đồ thị 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) Tham số hoá mặt cong Ý nghĩa: Như cách thấy dễ biểu diễn đường cong mặt phẳng không gian ảnh đường thẳng hàm véctơ r so với việc biểu diễn đồ thị hàm, thấy trường hợp tương tự cho mặt cong Thay sử dụng tham số, sử dụng hai tham số khảo sát mặt cong không gian ảnh vùng xác định mặt phẳng Phương pháp tham số hoá mặt cong Cho: 𝐫(𝑢, 𝑣) = 𝑥(𝑢, 𝑣)𝐢 + 𝑦(𝑢, 𝑣)𝐣 + 𝑧(𝑢, 𝑣)𝐤 hàm véctơ xác định cho điểm 𝑢, 𝑣 miền xác định D mặt phẳng (𝑢, 𝑣) Tập hợp tất điểm (𝑥, 𝑦, 𝑧) khơng gian ℝ3 thỏa phương trình 𝑥 = 𝑥(𝑢, 𝑣) tham số { 𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣) với 𝑧 = 𝑧(𝑢, 𝑣) (u , v ) nằm miền D gọi tham số hóa mặt cong biểu diễn véctơ r Do đó, (𝑢, 𝑣) nằm miền xác định D, đầu véctơ 𝐫(𝑢, 𝑣) quét qua điểm mặt cong S Hay nói cách khác, r ánh xạ điểm (𝑢, 𝑣) miền xác định lên điểm 𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦(𝑢, 𝑣), 𝑧(𝑢, 𝑣) mặt cong S cho miền xác định D biến dạng thành mặt S CÁCH TÌM PHÁP VÉCTƠ Định nghĩa vectơ pháp tuyến: Trong hình học, pháp tuyến (hay trực giao) đối tượng đường thẳng, tia véctơ vng góc với đối tượng định Ví dụ: khơng gian hai chờng pháp tuyến đường cong điểm định đường thẳng vng góc với đường tiếp tuyến với đường cong điểm Cịn khơng gian ba chiều ,đường thẳng vng góc với mặt phẳng tiếp tuyến mặt cong điểm gọi pháp vectơ mặt cong điểm Hình B1: Véctơ pháp tuyến mặt cong Một vectơ pháp tuyến có chiều dài (một vectơ pháp tuyến đơn vị) khơng Dấu đại số biểu thị hai phía bề mặt (bên bên ngồi) Cách tìm véctơ pháp tuyến mặt cong Công thức vectơ pháp tuyến: Công thức pháp véctơ đơn vị mặt mức F(𝑥, 𝑦, 𝑧) = có dạng Recommandé pour toi Suite du document ci-dessous Construction Materials My Grammar Lab B1/B2 100% (1) TEST - good english - Objective IELTS My Grammar Lab B1/B2 100% (1) 𝑛󰇍 = ± |∇𝐹| hay 󰇍𝑛󰇍 = (cos , cos , cos ) ∇𝐹 (trong ,, góc tạo nửa dương trục Ox, Oy, Oz với pháp véctơ) Lưu ý: Dấu cộng hay trừ tùy thuộc vào yêu cầu đề 𝑥 = 𝑥(𝑢, 𝑣) Nếu phương trình tham số mặt cong { 𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣), pháp véctơ 𝑧 = 𝑧(𝑢, 𝑣) đơn vị mặt cong có cơng thức là: 󰇍󰇍󰇍󰇍𝑢 × 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝐫′ 𝐫′𝑣 𝑛󰇍 = ± 󰇍󰇍󰇍󰇍 × 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 |𝐫′ 𝐫′ | 𝑢 𝑣 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = (𝑥′ , 𝑦′ , 𝑧′ ) (trong đó: 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 𝐫′𝑢 = (𝑥′𝑢 , 𝑦′𝑢 , 𝑧′𝑢 ) 𝐫′ 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 Công thức hàm véctơ: Ta có: 𝐫(𝑢, 𝑣) = 𝑥(𝑢, 𝑣)𝐢 + 𝑦(𝑢, 𝑣)𝐣 + 𝑧(𝑢, 𝑣)𝐤 Khi 𝐫 đạo hàm theo 𝑢 theo 𝑣 ta có cơng thức sau: 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 (𝑢 , 𝑣 )𝐢 + (𝑢0 , 𝑣0 )𝐣 + (𝑢 , 𝑣 )𝐤 𝜕𝑢 0 𝜕𝑢 0 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 (𝑢 , 𝑣 )𝐢 + (𝑢0 , 𝑣0 )𝐣 + (𝑢 , 𝑣 )𝐤 𝐫𝑣 (𝑢0 , 𝑣0 ) = 𝜕𝑣 0 𝜕𝑣 0 𝜕𝑣 𝐫𝑢 (𝑢0 , 𝑣0 ) = Công thức hàm véctơ pháp tuyến: 𝑛 = 𝐫𝑢 (𝑢0 , 𝑣0 ) × 𝐫v (𝑢0 , 𝑣0 ) Ta chiếu mặt cong (S) lên mặt phẳng(UV), véctơ 𝐫 tạo thành véctơ 𝐫󰇍󰇍𝑢 𝐫󰇍󰇍𝑣 nằm mặt phẳng tiếp tuyến với mặt cong điểm M(U0,V0) Ta dùng tích có hướng cho hai véctơ 𝐫󰇍󰇍𝑢 󰇍󰇍𝐫󰇍𝑣 tạo véctơ vng góc với hai véctơ 𝐫󰇍󰇍𝑢 𝐫󰇍󰇍𝑣 véctơ pháp tuyến mặt cong (S) điểm M(U0,V0) 6 Hình B1: Hình chiều hàm số r lên miền D mặt S Phương pháp tìm véctơ pháp tuyến cho dạng tham số : Khi đề cho ta hàm véctơ: 𝐫(𝑢, 𝑣) = 𝑥(𝑢, 𝑣)𝐢 + 𝑦(𝑢, 𝑣)𝐣 + 𝑧(𝑢, 𝑣)𝐤 Ta đạo hàm r theo 𝑢 𝑣: 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 (𝑢 , 𝑣 )𝐢 + (𝑢0 , 𝑣0 )𝐣 + (𝑢 , 𝑣 )𝐤 𝜕𝑢 0 𝜕𝑢 𝜕𝑢 0 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 (𝑢 , 𝑣 )𝐢 + (𝑢0 , 𝑣0 )𝐣 + (𝑢 , 𝑣 )𝐤 𝐫𝑣 (𝑢0 , 𝑣0 ) = 𝜕𝑣 0 𝜕𝑣 𝜕𝑣 0 𝐫𝑢 (𝑢0 , 𝑣0 ) = Sau ta sử dụng tích có hướng hai hàm véctơ để tìm hàm vecto pháp tuyến: I Các ví dụ 𝑛 = 𝐫𝑢 (𝑢0 , 𝑣0 ) × 𝐫v (𝑢0 , 𝑣0 ) VD B.1: Tìm pháp véctơ đơn vị điểm 𝑀(1,1,0) mặt trụ 𝑧 = − 𝑥 Giải Ở ta có véctơ pháp tuyến điểm 𝑀 là: (−𝑧′𝑥 , −𝑧′𝑦 , 1) = (2𝑥, 0,1) = (2,0,1) ⇒ pháp véctơ đơn vị điểm 𝑀 là: 𝑛󰇍 = ± (2,0,1) √22 + 02 + 12 =± √5 (2,0,1) Ở đây, ta lấy phía tức 𝑧 < nên ta chọn dấu trừ Vậy 𝑛󰇍 = − √5 (2,0,1) VD B.2: Tìm pháp véctơ đơn vị phía mặt nón 𝑧 = √𝑥 + 𝑦 điểm 𝑀(1, −1, √2) Giải Ta tham số hóa mặt nón với 𝐫 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) =(𝑢 cos𝑣, 𝑢 sin𝑣, 𝑢) 𝜋 𝜋 𝑢 ≥ − ≤ 𝑣 ≤ 𝐫𝑢 = (cos𝑣, sin𝑣, 1) 󰇍󰇍󰇍 Khi { 𝐫󰇍󰇍󰇍𝑣 = (−𝑢 sin𝑣, 𝑢 cos𝑣, 0) 󰇍𝐫󰇍𝑢 × 𝐫󰇍󰇍󰇍𝑣 = (−𝑢 cos𝑣, −𝑢 sin𝑣) Khi đó: 󰇍 = ± 𝑛 =± (−𝑢 cos𝑣, −𝑢 sin𝑣, 𝑢) (−𝑢 cos𝑣, −𝑢 sin𝑣, 𝑢) =± |(−𝑢 cos𝑣, −𝑢 sin𝑣, 𝑢)| √2 √2 (− √2 √2 , 1) , 2 với (𝑢, 𝑣) = (√2, ) Do phía mặt nón, tức z < nên ta chọn dấu trừ Vậy 𝑛󰇍 = − √2 𝜋 (− , √2 √2 2 , 1) VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾT DIỆN CỦA MẶT CONG CHO DẠNG THAM SỐ Cơ sở lí thuyết Mặt phẳng tiếp diện mặt cong S từ phương trình tham số cho trước Cho phương trình: 𝐫(𝑢, 𝑣) = 𝑥(𝑢, 𝑣)𝐢 + 𝑦(𝑢, 𝑣)𝐣 + 𝑧(𝑢, 𝑣)𝐤 điểm P0 ứng với 𝑢 = 𝑢0 , 𝑣 = 𝑣0 Nếu ta cố định 𝑢 = 𝑢0 𝐫( 𝑢0 , 𝑣) xác định đường cong C1 ⊂ S không gian Tiếp tuyến với đường cong P0 có véctơ phương 𝐫𝑣 = ∂𝑥 ∂𝑣 (𝑢0 , 𝑣0 )𝐢 + ∂y ∂𝑣 (𝑢0 , 𝑣0 )𝐣 + ∂z ∂𝑣 (𝑢0 , 𝑣0 )𝐤 Tương tự vậy, ta cố định 𝑣 = 𝑣0 𝐫( 𝑢0 , 𝑣) xác định đường cong C2 ⊂ S không gian Tiếp tuyến với đường cong P0 có véc tơ phương 𝐫u = ∂𝑥 ∂u (𝑢0 , 𝑣0 )𝐢 + ∂y ∂u (𝑢0 , 𝑣0 )𝐣 + ∂z ∂u (𝑢0 , 𝑣0 )𝐤 Lấy tích có hướng 𝐫u 𝐫𝑣 ta véctơ pháp tuyến mặt phẳng tiếp diện mặt cong S điểm P0 Nếu P0, 𝐫u × 𝐫𝑣 ≠ ta nói mặt cong S trơn P0 Lưu ý: Đường thẳng qua P0 vng góc với tiếp diện S P0 gọi pháp tuyến mặt S P0 Nó nhận véctơ N = 𝐫u × 𝐫𝑣 làm véctơ phương Phương trình tiếp diện mặt cong cho phương trình 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) Trường hợp đặc biệt, mặt cong S cho phương trình 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) S có 𝑥=𝑢 tham số hóa tự nhiên { 𝑦 = 𝑣 𝑧 = 𝑧(𝑢, 𝑣) Khi đó, 𝐫𝑢 = (1,0, 𝑧′𝑢 ), 𝐫𝑣 = (1,0, 𝑧′𝑣 ) đó, véctơ pháp tuyến mặt 𝐢 𝐣 𝐤 cong S P 𝐫u ∧ 𝐫𝑣 = | 𝑧′𝑢 | = (−𝑧′𝑢 , −𝑧′𝑣 , 1) = (−𝑧′𝑥 , −𝑧′𝑦 , 1) 𝑧′𝑣 Do đó, phương trình tiếp diện 𝑃(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) 𝑧 − 𝑧0 = 𝑧′𝑥 (𝑀) (𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑧′𝑦 (𝑀) (𝑦 − 𝑦0 ) (1.6) Phương trình tiếp diện mặt cong cho phương trình 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = Nếu mặt cong S xác định phương trình 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = M(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) điểm quy S xác định hàm ẩn 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦)và đạo hàm 𝑧′𝑥 , 𝑧′𝑦 tính theo cơng thức 𝑧′𝑥 = − 𝑓′𝑥 𝑓′𝑧 𝑧′𝑦 = − , 𝑓′𝑦 𝑓′𝑧 , Áp dụng công thức (1.6) ta • Phương trình tiếp diện M 𝑧 − 𝑧0 = − 𝑓′𝑥 (𝑀) 𝑓′𝑧 (𝑀) (𝑥 − 𝑥0 ) − 𝑓′𝑦 (𝑀) 𝑓′𝑧 (𝑀) (𝑦 − 𝑦0 ) (***) • Phương trình pháp tuyến M (𝑑): 𝑓′ (𝑥−𝑥0 ) 𝑥 (𝑀) = (𝑦−𝑦0 ) 𝑓′𝑦 (𝑀) = 𝑧−𝑧0 𝑓′𝑧 (𝑀) (***) Các ví dụ Vd: Viết phương trình tiếp diện mặt cong cho phương trình tham số 𝑥 = 𝑢2 , 𝑦 = 𝑣 , 𝑧 = 𝑢 + 2𝑣 điểm (1, 1, 3) Giải Ta có: 𝐫u = ∂𝑥 ∂u (𝑢0 , 𝑣0 )𝐢 + ∂y ∂u (𝑢0 , 𝑣0 )𝐣 + ∂z ∂u (𝑢0 , 𝑣0 )𝐤 10 𝐫𝑣 = ∂𝑥 ∂𝑣 (𝑢0 , 𝑣0 )𝐢 + ∂y ∂𝑣 (𝑢0 , 𝑣0 )𝐣 + ∂z ∂𝑣 (𝑢0 , 𝑣0 )𝐤 𝐢 𝐣 𝐤 Do đó, 𝐫u ∧ 𝐫𝑣 = | 2𝑢 | = −2𝑣𝐢 − 4𝑢𝐣 + 4𝑢𝑣𝐤 Điểm (1, 1, 3) ứng với giá 2𝑣 trị 𝑢 = 𝑣 = nên 𝐫u ∧ 𝐫𝑣 = (−2, −4, 4) Vậy phương trình tiếp diện là: −2(𝑥 − 1) − 4(𝑦 − 1) + 4(𝑧 − 3) = ⇔ 𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 + = TÍNH DIỆN TÍCH MẶT CONG CHO DẠNG THAM SỐ Cơ sở lí thuyết Khái niệm mặt cong Mặt cong khơng gian xác định dạng ẩn phương trình chung: F(𝑥, 𝑦, 𝑧) = Ví dụ: Phương trình 𝑥 + 𝑦2 + 𝑧 − = xác định mặt cong không gian mặt cầu có bán kính 1, tâm đặt gốc tọa độ O(0,0,0) Ngồi ra, mặt cong cịn xác định tổng quát dạng tham số : 𝑥 = 𝑥(𝑢, 𝑣) { 𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣) 𝑧 = 𝑧(𝑢, 𝑣) ; (𝑢, 𝑣) ∈ 𝐻 ⊂ 𝑹2 Để đơn giản người ta thường cho phương trình tham số dạng: 𝑥=𝑥 (𝑥, 𝑦) ∈ D ⊂ 𝐑2 ; { 𝑦=𝑦 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) Cách tính diện tích mặt cong 11 Hình D1: mặt cong S bị chia nhỏ thàbh mặt 𝑆𝑖𝑗 Chia mặt cong S thành nhiều mặt cong nhỏ Sij có diện tích ∆Sij gọi Dij hình chiếu Sij xuống mặt phẳng O𝑥𝑦 Trong mặt cong Sij ta lấy ngẫu nhiên điểm Mij chiếu xuống O𝑥𝑦 ta điểm Pij Từ ta viết phương trình mặt phẳng tiếp diện với mặt cong S Mij (𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗 , 𝑧𝑖𝑗 ): 𝑧 − 𝑧𝑖𝑗 = 𝑓′𝑥 (𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗 )(𝑥 − 𝑥𝑖𝑗 ) + 𝑓′𝑦 (𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗 )(𝑦 − 𝑦𝑖𝑗 ) (với 𝑧𝑖𝑗 = 𝑓(𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗 )) Từ phương trình tiếp diện ta có pháp véctơ 𝑛󰇍 = (−𝑓′𝑥 (𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗 ), −𝑓′𝑦 (𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗 ), 1) Ta lại có 𝑘󰇍 = (0,0,1) pháp véc tơ mặt phẳng O𝑥𝑦 nên góc 𝛾𝑖𝑗 mặt phẳng tiếp diện mặt phẳng O𝑥𝑦 tính sau: 𝑐𝑜𝑠𝛾𝑖𝑗 = 󰇍 >| |< 𝑛󰇍 , 𝑘 = ‖𝑛󰇍‖ ‖𝑘󰇍 ‖ √1 + 𝑓′𝑥 (𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗 ) + 𝑓′𝑦 (𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗 )2 ⇒Diện tích hình chiếu Dij Sij tính theo cơng thức: ∆D = ∆S.𝑐𝑜𝑠𝛾𝑖𝑗 ⇒ ∆S𝑖𝑗 = ∆𝐷𝑖𝑗 𝑐𝑜𝑠𝛾𝑖𝑗 = √1 + 𝑓′𝑥 (𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗 ) + 𝑓′𝑦 (𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗 )2 ∆𝐷𝑖𝑗 12 Cộng tất ∆S lại với ta diện tích mặt cong S tổng Reimmen hàm hai biến: 𝑚 𝑛 S ≈ ∑ ∑ √1 + 𝑓′𝑥 (𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗 ) + 𝑓′𝑦 (𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗)2 ∆𝐷𝑖𝑗 𝑖=1 𝑗=1 Theo định nghĩa tích phân kép ta được: S = ∬ √1 + (𝑓′𝑥 )2 + (𝑓′𝑦 )2 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷 Các ví dụ VD D.1 : Tính diện tích phần mặt cong 𝑥 + 𝑦2 + 𝑧 = nằm hình nón 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 Ta có : z = ±√2 − ⇒ 𝑓′𝑥 = ∓𝑥 √2−𝑥 − 𝑦 𝑥2 − 𝑦2 , 𝑓′𝑦 = Giải = 𝑓(𝑥, 𝑦) ∓𝑦 √2−𝑥 − 𝑦 𝑆 = ∬ √1 + (𝑓′𝑥 )2 + (𝑓′𝑦 ) 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷(𝑥,𝑦) Đổi biến sang tọa độ cực : 𝑥 = 𝑟 cos𝜑, 𝑦 = 𝑟 sin𝜑, 𝑥 + 𝑦 = 𝑟 Ta có miền 𝐷 = {(𝑟, 𝜑) ∶ ≤ 𝑟 ≤ 1, ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋} ⇒ S = ∫0 𝑑𝜑 ∫0 √1 + 2𝜋 𝑟2 − 𝑟2 𝑟𝑑𝑟 = 2𝜋(2 − √2 ) VD D.2 : Tính diện tích phần mặt 𝑧 = 𝑥𝑦 nằm hình trụ 𝑥2 + 𝑦2 = Ta có : 𝑧 = 𝑥𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑦) ⇒ 𝑓′𝑥 = 𝑦 , 𝑓′𝑦 = 𝑥 Giải 𝑆 = ∬ √1 + (𝑓′𝑥 )2 + (𝑓′𝑦 ) 𝐷(𝑥,𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦 13 Đổi biến sang tọa độ cực : 𝑥 = 𝑟 cos𝜑, 𝑦 = 𝑟 sin𝜑, 𝑥 + 𝑦 = 𝑟 Ta có miền D = {(𝑟, 𝜑) ∶ ≤ 𝑟 ≤ 1, ≤ 𝜑 ≤ 𝜋 𝜋 𝑣à 𝜋 ≤ 𝜑 ≤ ⇒ 𝑆 = ∫0 𝑑𝜑 ∫0 √1 + (𝑟 sin𝜑)2 + (𝑟 cos𝜑)2 𝑟𝑑𝑟 = Phần Bài Tập 2𝜋 3𝜋 } (√2 − 1) Bài tập 1-4: hình dạng đồ thị(a)-(d) phù hợp với phương trình sau 𝐫(𝑢, 𝑣) = cos 𝑢𝐢 + sin 𝑢𝐣 + 𝑣𝐤 𝐫(𝑢, 𝑣) = 𝑢 cos 𝑣𝐢 + 𝑢 sin 𝑣𝐣 + 𝑢𝐤 𝐫(𝑢, 𝑣) = 𝑢 cos 𝑣𝐢 + 𝑢 sin 𝑣𝐣 + 𝑢2 𝐤 𝐫(𝑢, 𝑣) = 𝑢 cos 𝑣𝐢 + 𝑢 sin 𝑣𝐣 + 𝑣𝐤 Giải 𝐫(𝑢, 𝑣) = cos 𝑢𝐢 + sin 𝑢𝐣 + 𝑣𝐤 Đặt: 𝑥 = cos 𝑢; 𝑦 = sin 𝑢; Ta có: 𝑥 + 𝑦 = 22 (cos2 𝑢 + sin2 𝑢) = 𝑧=𝑣 14 Phương trình khơng chứa z, khơng có điều kiện cho 𝑣 => 𝑣 ∈ (−∞; +∞) Vậy mặt cong r hình trụ trịn có bán kính chiều cao vơ hạn => Hình (b) 𝐫(𝑢, 𝑣) = 𝑢 cos 𝑣𝐢 + 𝑢 sin 𝑣𝐣 + 𝑢𝐤 Đặt: 𝑥 = 𝑢 cos 𝑣; 𝑦 = 𝑢 sin 𝑣; 𝑧=𝑢 Ta có: 𝑥 + 𝑦 = 𝑢2 (cos2 𝑣 + sin2 𝑣) = 𝑢2 = 𝑧 => Mặt cong có hình dạng mặt nón phía => Hình (c) 𝐫(𝑢, 𝑣) = 𝑢 cos 𝑣𝐢 + 𝑢 sin 𝑣𝐣 + 𝑢2 𝐤 Đặt: 𝑥 = 𝑢 cos 𝑣; 𝑦 = 𝑢 sin 𝑣; Ta có: 𝑥 + 𝑦 = 𝑢 (cos 𝑣 + sin 𝑣) = 𝑢 = 𝑧 2 2 2 𝑧=𝑢 => Mặt paraboloid elliptic => Hình (a) 𝐫(𝑢, 𝑣) = 𝑢 cos 𝑣𝐢 + 𝑢 sin 𝑣𝐣 + 𝑣𝐤 Đặt: 𝑥 = 𝑢 cos , *Cố định 𝑢 = 𝑢0 𝑦 = 𝑢 sin 𝑣, 𝑧=𝑣 Gọi T hình chiếu r lên mặt phẳng Oxy => T đường tròn 𝑥 + 𝑦2 = 𝑢0 Với giá trị 𝑣 ta có giá trị 𝑥, 𝑦, 𝑧 tương ứng => Hình (d) 15 Bài tập 15-20: tìm véctơ biểu diễn cho mặt sau 15 Mặt phẳng qua điểm (2, 1, −3) chứa véctơ 2𝐢 + 𝐣 − 𝐤 𝐢 − 2𝐣 − 𝐤 16 Mặt phẳng 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 17 Nửa mặt cầu 𝑥 + 𝑦2 + 𝑧 = 18 Nửa mặt ellpisoid 9𝑥 + 4𝑦 + 36𝑧 = 36 19 Một phần hình trụ 𝑥 + 𝑦2 = 4, cắt mặt 𝑧 = −1và 𝑧 =3 20 Một phần hình trụ 9𝑦2 + 4𝑧 = 36, cắt mặt 𝑥 = 𝑥 = Giải 15 𝑎 = 2𝐢 + 𝐣 − 𝐤,b = 𝐢 − 2𝐣 − 𝐤 => véctơ pháp tuyến 𝑛󰇍(−3,1, −5) Mặt phẳng qua điểm (2, 1, −3), có vtpt 𝑛 󰇍 (−3,1, −5) là: −3x + y − 5z − 10 = Ta có 𝐫 = 𝐫0 + 𝑢𝑎 + 𝑣b = −3i + j − 5k + u(2𝐢 + 𝐣 − 𝐤) + 𝐯(𝐢 − 2𝐣 − 𝐤) = (−3 + 2𝑢 + 𝑣)𝐢 + (1 + 𝑢 − 2𝑣)𝐣 + (−5 − 𝑢 − 𝑣)𝐤 16 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = Đặt: 𝑥 = 𝑢, 𝑦 = 𝑣, Véctơ biễu diễn mặt phẳng cho là: 𝑧 = − (2𝑥 + 3𝑦) = − (2𝑢 + 3𝑣) = − 2𝑢 − 3𝑣 16 𝐫(𝑢; 𝑣) = 𝑢𝐢 + 𝑣𝐣 + (6 − 2𝑢 − 3𝑣)𝐤, 17 𝑥 + 𝑦2 + 𝑧 = (với: −∞ < 𝑢 < +∞ − ∞ < 𝑣 < +∞) Đặt: 𝑥 = sin 𝑣 cos 𝑢, 𝑦 = sin 𝑣 sin 𝑢, 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = sin2 𝑣 (cos 𝑢 + sin2 𝑢) + cos2 𝑣 𝑧 = cos 𝑣 = sin2 + cos2 𝑣 = Vector biểu diễn cho bề mặt cần tính: 𝐫(𝑢, 𝑣) = sin 𝑣 cos 𝑢𝐢 + sin𝑣 sin 𝑢𝐣 + cos 𝑣𝐤, (với: ≤ 𝑢 ≤ 2𝜋; ≤ 𝑣 ≤ 𝜋) 𝜋 18 9𝑥 + 4𝑦 + 36𝑧 = 36 2 Đặt: 𝑥 = sin 𝑣 cos 𝑢, 𝑦 = sin 𝑣 sin 𝑢, 𝑧 = cos 𝑣 9𝑥 + 4𝑦 + 36𝑧 = 9(sin2 𝑣 cos2 𝑢) + 4(9sin2 𝑣 sin2 𝑢) + 36(cos2 𝑣) = 36sin2 𝑣 (cos2 𝑢 + sin2 𝑢) + 36cos 𝑣 = 36sin2 𝑣 + 36cos2 𝑣 = 36 Véctơ biểu diễn nửa hình ellipsoid cho là: 𝐫(𝑢, 𝑣) = sin 𝑣 cos 𝑢𝐢 + sin𝑣 sin 𝑢𝐣 + cos 𝑣𝐤, (với: ≤ 𝑢 ≤ 2𝜋; 19 𝑥 + 𝑦2 = 4, 𝑧 = −1, 𝑧 =3 Đặt; 𝑥 = cos 𝑢, 𝜋 ≤ 𝑣 ≤ 𝜋) 𝑦 = sin 𝑢, Có: 𝑥 + 𝑦 = 4(cos2 𝑢 + sin2 𝑢) = Véctơ biểu diễn phần hình trụ cho là: 𝑧 = 𝑣 (−1 ≤ 𝑣 ≤ 3) 17 𝐫(𝑢, 𝑣) = cos 𝑢𝐢 + sin 𝑢𝐣 + 𝑣𝐤, 20 9𝑦2 + 4𝑧 = 36, 𝑥 = 0, 𝑥 = Đặt: 𝑥 = 𝑢 (0 ≤ 𝑢 ≤ 3) , (với: ≤ 𝑢 ≤ 2π, − ≤ 𝑣 ≤ 3) 𝑦 = cos 𝑣, 9𝑦 + 4𝑧 = 9(4cos 𝑣) + 4(9sin2 𝑣) 𝑧 = sin 𝑣 = 36(cos2 𝑣 + sin2 𝑣) = 36 Véctơ biểu diễn phần hình trụ cần tính là: 𝐫(𝑢, 𝑣) = 𝑢𝐢 + cos 𝑣𝐣 + sin 𝑣𝐤, (với: ≤ 𝑢 ≤ 3, ≤ 𝑣 ≤ 2π) Tài liệu tham khảo _Soo T Tan, Multivariable Calculus, Cengage Learning, 2009 _Nguyễn Đình Huy nnk, Giáo trình Giải Tích 2, NXB Đại học Quốc Gia,2018 18 KẾT THÚC BÀI BÁO CÁO Trước tiên, thành viên nhóm 10 chúng em thân gửi lời cảm ơn chân thành đến cô Trần Ngọc Diễm (giảng viên lí thuyết) truyền đạt cho chúng em đủ vốn kiến thức để giải tập có liên quan việc nhóm tìm nguồn tài liệu tham khảo để thực đề tài Dù có nhiều khó khăn q trình tìm hiểu phải làm việc online để đề phòng dịch bệnh cuối nhờ cơng sức nhóm nên hoàn thành báo cáo đề tài giao Qua đó, thành viên nhóm củng cố lại kiến thức, hiểu rõ ứng dụng phần lí thuyết việc mơ tả tượng thực tế, quan trọng học cách làm việc nhóm cho hiệu Cuối cùng, cảm ơn bạn sinh viên nhóm 10 dành thời gian để nghiên cứu đề tài hoàn thành tốt tất việc đảm nhiệm  Hết 