Báo cáo bài tập lớn giải tích 2 chủ đề 18 hực hiện một video dài 15 phút giới thiệu về ý nghĩa (hình học, thực tế) và các ứng dụng của đạo hàm riêng trong thực tế

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA – ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM - BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH Chủ đề 18 Giảng viên hướng dẫn: Trần Ngọc Diễm Nhóm: GT2_L27_18 Tp.HCM, ngày 18/4/2022 CÂU HỎI ĐỀ TÀI Thực video dài 15 phút giới thiệu ý nghĩa (hình học, thực tế) ứng dụng đạo hàm riêng thực tế Yêu cầu: có hình ảnh minh họa ý nghĩa hình học đạo hàm riêng, vẽ phần mềm ứng dụng tùy ý, trình bày tối thiểu ứng dụng đạo hàm riêng MỤC LỤC CÂU HỎI ĐỀ TÀI TÓM TẮT BÀI BÁO CÁO LỜI CẢM ƠN I ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU VÀ CÔNG CỤ HỖ TRỢ QUÁ TRÌNH NGHIÊN CỨU VÀ TÌM HIỂU: Đối tượng nghiên cứu: Công cụ hỗ trợ cho trình nghiên cứu: II GIỚI THIỆU SƠ LƯỢC VỀ ĐẠO HÀM RIÊNG: III Ý NGHĨA HÌNH HỌC VÀ THƯC TẾ CỦA ĐẠO HÀM RIÊNG: Ý nghĩa hình học: Ý nghĩa thực tế: IV ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG THỰC TẾ: Ứng dụng sản xuất: Ứng dụng tính tốn để tối đa hóa lợi nhuận: 10 Ứng dụng để tính vector gradient: 11 Ứng dụng vật lý (dùng phương trình lagrange tốn lắc lị xo): 11 Ứng dụng để tính tốn số đặc điểm thường ngày đời sống: 12 TÓM TẮT BÀI BÁO CÁO Bài báo cáo nhóm 18 thực trình bày q trình nghiên cứu, tìm tịi tra cứu thơng tin nhằm thực tốt cho đề tài giao đồng thời tiếp thu thêm nhiều thông tin kiến thức bổ ích Cụ thể, báo cáo khái quát sơ lược đạo hàm riêng đồng thời giới thiệu ý nghĩa hình học thực tế đạo hàm riêng Từ dẫn dắt kiến thức đạo hàm riêng nhằm ứng dụng vào thực tế với nhiều lĩnh vực khác nhằm phục vụ cho đời sống LỜI CẢM ƠN Trong suốt trình thực Bài tập lớn mơn Giải tích nói trên, nhóm nhận nhiều quan tâm, ủng hộ giúp đỡ tận tình thầy cơ, anh chị em bạn bè Ngồi ra, nhóm xin gửi lời tri ân chân thành đến cô Trần Ngọc Diễm giảng viên hướng dẫn cho đề tài tập lớn lần Nhờ có hết lịng bảo mà nhóm hồn thành Bài tập lớn mơn Giải tích tiến độ cách tốt giải vướng mắc gặp phải Sự hướng dẫn kim nam dẫn lối cho nhóm phát huy tối đa tối đa mối quan hệ hỗ trợ trị môi trường giáo dục Lời cuối, lần xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến cá nhân, thầy cô dành thời gian dẫn cho nhóm Đây niềm tin, nguồn động lực to lớn để nhóm đạt kết ngày hôm I ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU VÀ CƠNG CỤ HỖ TRỢ Q TRÌNH NGHIÊN CỨU VÀ TÌM HIỂU: Đối tượng nghiên cứu: Đạo hàm riêng Ứng dụng Ý nghĩa hình học Ý nghĩa thực tế Cơng cụ hỗ trợ cho q trình nghiên cứu: - Tài liệu, sách báo, phần mềm Geogebra II GIỚI THIỆU SƠ LƯỢC VỀ ĐẠO HÀM RIÊNG: - Trong toán học, đạo hàm riêng hàm số đa biến đạo hàm theo biến, biến khác xem số (khác với đạo hàm toàn phần, tất biến biến thiên) Đạo hàm riêng sử dụng giải tích vector hình học vi phân - Đạo hàm riêng f biến x ký hiệu khác bởi: - Ký hiệu đạo hàm riêng 𝜕 Ký hiệu giới thiệu nhà toán học người Pháp Adrien-Marie Legendre chấp nhận rộng rãi sau giới thiệu lại nhà tốn học người Đức Carl Gustav Jacob Jacobi Hình Nhà tốn học người Pháp Hình Nhà tốn học người Đức Carl Adrien-Marie Legendre Gustav Jacob Jacobi - Ví dụ sau giúp giải thích định nghĩa đạo hàm riêng theo biến y Giả sử hàm theo hai biến x,y xem họ hàm theo y đánh số theo x 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑥 (𝑦) = 𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑦 - Nói cách khác, giá trị x định nghĩa hàm số, ký hiệu 𝑓𝑥 , mà hàm số biến Nghĩa là: 𝑓𝑥 (𝑦) = 𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑦 - Một giá trị x chọn, ví dụ a, 𝑓(𝑥, 𝑦) xác định hàm số 𝑓𝑎 , 𝑓𝑎 (𝑦) = 𝑎2 + 𝑎𝑦 + 𝑦 - Trong công thức này, a số, khơng phải biến số, 𝑓𝑎 , hàm số biến ta sử dụng định nghĩa đạo hàm cho hàm biến: 𝑓𝑎′ (𝑦) = 𝑎 + 2𝑦 - Quy trình áp dụng cho lựa chọn a Khi đem gộp lại tất đạo hàm ta có biến thiên hàm số f theo hướng y: 𝜕𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 2𝑦 𝜕𝑦 - Đây đạo hàm riêng f theo biến số y Ổ ∂ gọi ký hiệu đạo hàm riêng Một cách tổng quát, đạo hàm riêng hàm số 𝑓(𝑥1 , , 𝑥𝑛 ) theo hướng xi điểm (𝑎1 , , 𝑎𝑛 ) định nghĩa là: 𝜕𝑓 𝑓(𝑎1 , … , 𝑎𝑖 + ℎ, … , 𝑎𝑛 ) − 𝑓(𝑎1 , … , 𝑎𝑖 , … , 𝑎𝑛 ) (𝑎1 , … , 𝑎𝑛 ) = lim ℎ→0 𝜕𝑥𝑖 ℎ - Trong tỷ số bên trên, tất biến ngoại trừ xi giữ cố định Do ta có hàm số theo biến: 𝑓(𝑎1 , … , 𝑎𝑖−1 , 𝑎𝑖+1 , … , 𝑎𝑛 (𝑥𝑖 ) = 𝑓(𝑎1 , … , 𝑎𝑖−1 , 𝑥𝑖 , 𝑎𝑖+1 , … , 𝑎𝑛 ) định nghĩa 𝑑𝑓𝑎1,…,𝑎𝑖−1,𝑎𝑖+1,…,𝑎𝑛 𝑑𝑥𝑖 (𝑥𝑖 ) = 𝜕𝑓 (𝑎 , … , 𝑎𝑛 ) 𝜕𝑥𝑖 - Một ví dụ quan trọng đạo hàm riêng: Cho hàm số 𝑓(𝑥1 , 𝑥𝑛 ) định nghĩa miền 𝑅𝑛 (ví dụ, 𝑹𝟐 𝑹𝟑) Trong trường hợp 𝑓 có đạo hàm riêng 𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑗 biến 𝑥𝑗 Tại điểm a, đạo hàm riêng định vector: - Vector gọi gradient f a Nếu f khả vi điểm miền đó, gradient hàm số có trị vectơ ∇f đưa điểm a đến vectơ 𝛻𝑓(𝑎) Do gradient trường vectơ III Ý NGHĨA HÌNH HỌC VÀ THƯC TẾ CỦA ĐẠO HÀM RIÊNG: Ý nghĩa hình học: - Đồ thị hàm 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) mặt cong S Cho 𝑃(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 )) nằm mặt cong S Khi cố định 𝑦 = 𝑦0 ta thấy mặt phẳng 𝑦 = 𝑦0 cắt mặt cong S theo giao tuyến C1 Khi cố định 𝑥 = 𝑥0 ta thấy mặt phẳng 𝑥 = 𝑥0 cắt mặt cong S theo giao tuyến C2 Cả hai đường cong C1 C2 qua điểm P - Như vậy, đường cong C1 đồ thị hàm số 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥, 𝑦0 ) mặt phẳng 𝑦 = 𝑦0 , tiếp tuyến 𝑇1 P có hệ số góc 𝑔’(𝑥0 ) = 𝑓’𝑥(𝑥0 , 𝑦0 ) Đường cong C2 đồ thị hàm số ℎ(𝑦) = 𝑓(𝑥0 , 𝑦) mặt phẳng 𝑥 = 𝑥0 , tiếp tuyến 𝑇2 P có hệ số góc ℎ’(𝑦0 ) = 𝑓’𝑦(𝑥0 , 𝑦0 ) - Tóm lại, ý nghĩa hình học đạo hàm riêng hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) điểm (𝑥0 , 𝑦0 ) là: + 𝑓’𝑥(𝑥0 , 𝑦0 ) hệ số góc tiếp tuyến T1 với đường cong C1 (trong C1 giao tuyến mặt cong S với mặt phẳng y = y0) + 𝑓’𝑦(𝑥0 , 𝑦0 ) hệ số góc tiếp tuyến T2 với đường cong C2 (trong C2 giao tuyến mặt cong S với mặt phẳng x = x0) Ví dụ: Cho hàm số 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 𝑦 + 𝑓’𝑥(1,1) hệ số góc tiếp tuyến T1 với đường cong C1 Trong đó, C1 giao tuyến mặt cong S với mặt phẳng 𝑦 = + 𝑓’𝑥(1,1) hệ số góc tiếp tuyến T2 với đường cong C2 Trong đó, C2 giao tuyến mặt cong S với mặt phẳng 𝑥 = Ý nghĩa thực tế: - Xét đạo hàm riêng theo biến 𝑥, tốc độ thay đổi tức thời giá trị hàm 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) theo phương đường thẳng 𝑦 = 𝑦0 Ví dụ: Cho 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 5𝑥 𝑦 + 𝑦 Tính f’x(3,4) Giải Cho 𝑦 = ta 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥, 4) = 𝑥 + 20𝑥 + 16 => 𝑔’(𝑥) = 4𝑥 + 40𝑥 => 𝑔’(3) = 4.33 + 40.3 = 228 Ta thấy 𝑓’𝑥(3,4) mô tả tốc độ thay đổi tức thời giá trị hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) theo phương đường thẳng 𝑦 = IV ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG THỰC TẾ: Ứng dụng sản xuất: - Đạo hàm riêng theo biến hàm cận biên hàm biến Trong kinh tế, phân tích cận biên có liên quan đến việc sử dụng đạo hàm riêng để ước tính thay đổi giá trị hàm mà kết thu tăng đơn vị biến Ta biết phân tích cận biên bao gồm đạo hàm cấp hàm biến - Đây minh họa cách sử dụng đạo hàm riêng mơ hình tương tự - Người ta ước tính đầu tuần nhà máy cho hàm 𝑄(𝑥, 𝑦) = 200 + 10𝑥 + 20𝑦 + 𝑥𝑦 đơn vị, x số cơng nhân lao động lành nghề y số công nhân lao động không lành nghề làm việc nhà máy Hiện lượng lao động gồm 30 công nhân lao động lành nghề 60 công nhân lao động không lành nghề Sử dụng phân tích cận biên để ước tính thay đổi đầu tuần mà kết từ việc thêm công nhân lành nghề số công nhân lao động không lành nghề không thay đổi Giải: Đạo hàm riêng: 𝑄𝑥 (𝑥, 𝑦) = 10 + 𝑦 Là tốc độ thay đổi đầu tương ứng với số công nhân lao động lành nghề Với giá trị x y, xấp xỉ số đơn vị thêm vào mà đưựoc sản xuất tuần số công nhân lao động lành nghề tăng từ x đến x + số công nhân lao động không lành nghề giũ không đổi y Trong thực tế, lượng lao động tăng từ 30 công nhân lành nghề 60 không lành nghề đến 31 công nhân lành nghề 60 không lành nghề, kết thay đổi đầu xấp xỉ 𝑄𝑥 (30,60) = 10 + 60 = 70 đơn vị Thực tế, tính xác thay đổi 𝑄(31, 60) − 𝑄(30, 60) Ứng dụng tính tốn để tối đa hóa lợi nhuận: - Giả sử đầu công ty phụ thuộc vào lao động (𝐿) tiền vốn (𝐾) Nếu hàm sản lượng 𝑌(𝐾, 𝐿) đạo hàm riêng Y theo biến L cho ta biết giá trị cận biên lao động Giá trị cận biên lao động số lượng đầu tăng lên sử dụng thêm lao động giữ vốn đầu vào, ta 𝑀𝑃𝐿 = tự cho vốn đầu vào:𝑀𝑃𝐾 = 𝜕𝑦 𝜕𝐾 Ví dụ: Cho hàm cụ thể Y(K, L) = 5K 1⁄ 2⁄ 3L 10 𝜕𝑦 𝜕𝐿 Tương Giá trị cận biên lao động là: MPL = MPL = σY = σL 10 K 1⁄ −1⁄ 3L K = 64, L = 125 ⟹ Điều có nghĩa lượng lao động 125 đơn vị lao động, tiền vốn 64 nghìn sản lượng đầu tăng sản phẩm lao động tăng đơn vị Vậy điều xảy với giá trị cận biên lao động vốn đầu vào tăng Đạo hàm MPL theo biến K: σ2 Y σKσL = 10 −1 K −3 L > Vì vốn đầu vào tăng, lao động tăng thêm làm việc hiệu Ứng dụng để tính vector gradient: - Giả sử hàm 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) biểu diễn độ cao núi so với mực nước biển Một vận động viên leo núi muốn từ chân núi lên đến đỉnh núi với vận tốc không đổi Đi theo hướng vận động viên leo lên núi nhanh nhất? Giải Cho 𝑓 (𝑥 ) = 𝑘 đường đẳng trị hàm số 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦) Đặt 𝐹 (𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝑘 = Ta có ∇F(x0 , y0 ) = (F ′ x (x0 , y0 ), F ′ y (x0 , y0 )) = (f ′ x (x0 , y0 ), f ′ y (x0 , y0 )) = ∇f(x0 , y0 ) Do theo cơng thức pháp vecto với đường cong 𝐹 (𝑥, 𝑦) = điểm P(x0 , y0 ), ta 𝛻𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) vng góc với tiếp tuyến với đường đẳng trị 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑘 điểm P Vậy để vận động viên chạy lên núi nhanh phải theo hướng vecto gadient ∇𝑓, có nghĩa hướng vng góc với tiếp tuyến với đường đẳng trị 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑘 điểm P(x0 , y0 ) Ứng dụng vật lý (dùng phương trình lagrange tốn lắc lò xo): 11 Về mặt lượng: 1 2 Ta có L = Wđ − Wt = mv − kx Đạo hàm riêng theo biến: - Theo biến vận tốc v - Theo biến li độ x: ∂L ∂v ∂L ∂x = mv ⟹ 𝒅 ∂L dv 𝒅𝒕 ∂v dt ( )=m = ma = −kx = F Theo định luật Newton F = ma ⟺ F − ma = ⟹ 𝒅 ∂L ∂L 𝒅𝒕 ∂v ∂x ( )− =0 Trong nhiều trường hợp lượng cho hàm số dùng cơng thức tính dễ dàng nhiều Ứng dụng để tính tốn số đặc điểm thường ngày đời sống: - Sự hạnh phúc tính tốn hàm 𝐹 phụ thuộc vào biến ví dụ số tiền bạn bạn kiếm (𝑚) số thời gian bạn có bên gia đình (ℎ), ta viết 𝐹 = 𝐹(𝑚, ℎ) - Nhưng số tiền bạn kiếm bạn dành nhiều thời gian cho gia đình nên biến m phụ thuộc vào ℎ - Ta viết lại 𝐹 = 𝐹(𝑚(ℎ), ℎ) Vấn đề đặt muốn biết số phải bỏ bên gia đình để cảm thấy hạnh phúc Giải Đạo hàm riêng theo h: 𝑑𝐹 𝑑ℎ = 𝜕𝐹 𝜕𝑚 𝜕𝑚 𝜕ℎ + 𝜕𝐹 𝜕ℎ = từ ta thấy với số thời gian ta dành cho gia đình ta cảm thấy hạnh phúc 12 TÀI LIỆU THAM KHẢO https://kkhtn.duytan.edu.vn/Home/ArticleDetail/vn/92/2193/ung-dung-cua-daoham-rieng Giải tích Chương P2 - Hàm nhiều biến: Cận biên - Co giãn riêng - Tối ưu Lợi tức & Chi phí https://vted.vn/tin-tuc/ung-dung-cua-dao-ham-trong-phan-tich-kinh-te4919.html https://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%E1%BA%A1o_h%C3%A0m_ri%C3%AAng#:~:text=Trong%2 0to%C3%A1n%20h%E1%BB%8Dc%2C%20%C4%91%E1%BA%A1o%20h%C3%A0m,v%C3%A0%20h %C3%ACnh%20h%E1%BB%8Dc%20vi%20ph%C3%A2n.&text=K%C3%BD%20hi%E1%BB%87u%20c %E1%BB%A7a%20%C4%91%E1%BA%A1o%20h%C3%A0m%20ri%C3%AAng%20l%C3%A0%20%E2 %88%82 https://phohen.com/post-detail/dao-ham-rieng wikipedia-tieng-viet/246311200 13 Giáo trình Giải tích 2, Nhà xuất Đại học quốc gia TP.Hồ Chí Minh Nguyễn Đình Huy (Chủ biên), Lê Xuân Đại, Ngô Thu Lương, Nguyễn Bá Thi, Trần Ngọc Diễm, Đậu Thế Phiệt https://phohen.com/post-detail/dao-ham-rieng wikipedia-tieng-viet/246311200 14