Bài tập lớn giải tích 2 đề tài 4 khối vật thể giới hạn bởi mặt nón, mặt phẳng và mặt trụ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - Lớp L16 - NHÓM 14 BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH Đề tài 4: Khối vật thể giới hạn mặt nón, mặt phẳng mặt trụ Sinh viên thực hiện: Trần Tấn Phong 2114406 Nguyễn Ngọc Thiện Phúc 2112050 Triệu Thanh Phúc 2114460 Thái Quốc Huy Phong 2114403 Trần Yến Phương 2112078 TP.Hồ Chí Minh, tháng 5/2022 TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM Bài tập lớn Giải tích ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - Lớp L16 - NHÓM 14 BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH Đề tài 4: Khối vật thể giới hạn mặt nón, mặt phẳng mặt trụ Sinh viên thực hiện: Trần Tấn Phong 2114406 Nguyễn Ngọc Thiện Phúc 2112050 Triệu Thanh Phúc 2114460 Thái Quốc Huy Phong 2114403 Trần Yến Phương 2112078 TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM Bài tập lớn Giải tích MỤC LỤC Bìa Lời cảm ơn Lời mở đầu Cơ sở lý thuyết 1.1 Tích phân bội 1.2 Tích phân mặt 1.3 Giới thiệu phần mềm matlab Nội dung Các mơ hình ứng dụng giải tích nhiều biến : 2.1 Cây bút chì 11 2.2 Con quay 14 2.3 Cái đinh tán 16 2.4 Đồng hồ cát 19 Vẽ lại thể tích hình phầm mềm biết 22 Tài liệu tham khảo 24 TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM Bài tập lớn Giải tích Lời cảm ơn Trước tiên, với tình cảm sâu sắc chân thành nhất, cho phép nhóm em bày tỏ lịng biết ơn đến tất thầy cô trường Đại học Bách Khoa tạo điều kiện, giúp đỡ nhóm em suốt trình học tập nghiên cứu đề tài Nhờ có lời giảng dạy, dạy bảo thầy nên báo cáo nhóm em hồn thiện tốt đẹp Bước đầu vào báo cáo Bài tập lớn hạn chế nhiều bỡ ngỡ, chúng em mong nhận ý kiến đóng góp quý báo quý Thầy Cơ để kiến thức em hồn thiện Nhóm chúng em xin chân thành cảm ơn Lời nói đầu Giải tích hàm nhiều biến mơn học quan trọng sinh viên ngành khoa học tự nhiên kỹ thuật Chính vậy, để làm tốt đề tài giao mơn Giải Tích 2, nhóm biên soạn báo cáo để củng cố lại kiến thức học Trong trình làm báo cáo này, nhóm nhận nhiều hướng dẫn, trợ giúp quý thầy cô anh chị khóa Nhóm xin chân thành cảm ơn giúp đỡ người Chắc chắn nhóm khơng thể tránh khỏi sai sót q trình soạn làm nên nhóm chúng em mong nhận ý kiến đóng góp bạn để báo cáo hồn thiện Lời cuối, xin lần gửi lời cảm ơn tới cá nhân, thầy cô đồng hành dành thời gian dẫn cho nhóm Đây niềm tin, nguồn động lực to lớn để nhóm đạt kết này! TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM Họ tên MSSV Bài tập lớn Giải tích Cơng việc giao Mức Thành Độ Hoàn Thái Quốc Huy Phong 2114403 Làm báo cáo file word Hồn thành Trần Tấn Phong 2114406 Trình bày mơ hình liên hệ thực tế Hồn thành Nguyễn Ngọc Thiện Phúc 2112050 Trình bày mơ hình liên hệ thực tế Hồn thành Trần Yến Phương 2112078 Tính tốn mơ hình Hồn thành Triệu Thanh Phúc 2114460 Tính tốn mơ hình Hồn thành Bảng phân công công việc TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM Bài tập lớn Giải tích Cơ sở lý thuyết 1.1 Tích phân bội hai: 1.1.1 Đặt vấn đề: Cho z=f(x,y) hàm số xác định miền đóng D= f {(x,y) ∈ R2 : a≤x≤b, c≤y≤d}; Ω vật thể giới hạn Tính thể tích vật Ω Đầu tiên, chia miền D thành hình chữ nhật nhỏ Chúng ta chia đoạn [a, b] 𝑏−𝑎 thành m đoạn nhỏ [xi-1,xi] với độ dài 𝛥x = chia đoạn [c, d] thành n đoạn nhỏ [yi𝑑−𝑐 𝑚 với độ dài 𝛥y = Bằng cách vẽ đường thẳng song song với trục tọa độ 𝑛 qua điểm chia, thu hình chữ nhật nhỏ với diện tích 𝛥x.𝛥y 1,yi] Nếu chọn điểm tùy ý xấp xỉ thể tích V cần tìm, cách tính tổng thể tích hình hộp chữ nhật nhỏ với đáy Dij có diện tích 𝛥𝐴= 𝛥𝑥 𝛥𝑦 Thể tích hình hộp chữ nhật nhỏ Như vậy, cộng tất thể tích hình hộp chữ nhật nhỏ, xấp xỉ thể tích V cần tìm TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM Bài tập lớn Giải tích 1.1.2 Định nghĩa tích phân kép: Tích phân kép hàm số f(x, y) miền D giới hạn tồn Lúc f(x, y) gọi hàm khả tích D 1.1.3 Tích phân kép tọa độ Đề-các: Giả sử f(x, y) > 0, ∀(x, y) ∈ D = [a, b] × [c, d] hàm liên tục hình chữ nhật D Chúng ta cần tính tích phân I=∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑑 Chúng ta sử dụng kí hiệu ∬𝑐 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 nghĩa cho x cố định lấy tích phân hàm f(x, y) theo biến y từ c đến d Như Nếu tiếp tục lấy tích phân hàm h(x) theo biến x từ a đến b, ta Định lý Furbini TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM Bài tập lớn Giải tích 1.1.4 Tích phân kép tọa độ cực: Hệ tọa độ cực (r, ϕ) xác định điểm có tọa độ (x, y) sau r2=x2+y2 ; x=r.cos(ϕ); y=r.sin(ϕ); tan(ϕ)= 𝑦 𝑥 ta có cơng thức tích phân kép hệ tọa độ cực là: TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM Bài tập lớn Giải tích 1.2: Tích phân mặt: 1.2.1 Mặt cong khơng gian Mặt cong khơng gian xác định dạng tường minh z=f(x,y), ∀(𝑥, 𝑦) ∈ G ⊂R2 Hoặc y= f(x,z), ∀(𝑥, z) ∈ G1 ⊂R2 z=f(y,z), ∀(y, z) ∈ G2 ⊂R2 Mặt cong khơng gian xác định dạng ẩn phương trình: 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = Ngồi ra, mặt cong xác định tổng quát dạng tham số: 𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦(𝑢, 𝑣), 𝑧(𝑢, 𝑣) hàm liên tục miền D 1.2.2 Tính diện tích mặt cong Diện tích mặt cong 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy D tính theo cơng thức: 1.2.3 Tích phân mặt loại *Định nghĩa: S mặt cong 𝑅3, 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) xác định S Phân hoạch S thành mảnh 𝑆k có diện tích 𝛥𝑆, Mk ∈Sk *Tích phân mặt loại f S: *Cách tính tích phân mặt loại 1: TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM Bài tập lớn Giải tích Bước 1: Chọn cách viết phương trình mặt cong S: 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) Bước 2: Tình hình chiếu D S lên mặt phẳng tương ứng: +Điều kiện xác định z(x, y) +Phương trình mặt chắn khơng chứa z +Hình chiếu giao tuyến S mặt chắn có z Bước 3: Tính tích phân D 1.3.1 Giới thiệu phần mềm matlab: MATLAB (Matrix Laboratory) phần mềm khoa học thiết kế để cung cấp việc tính tốn số hiển thị đồ họa ngơn ngữ lập trình cấp cao MATLAB cung cấp tính tương tác tuyệt vời cho phép người sử dụng thao tác liệu linh hoạt dạng mảng ma trận để tính tốn quan sát Các liệu vào MATLAB nhập từ "Command line" từ "mfiles", tập lệnh cho trước MATLAB MATLAB cung cấp cho người dùng toolbox tiêu chuẩn tùy chọn Người dùng tạo hộp cơng cụ riêng gồm "mfiles" viết cho ứng dụng cụ thể Thường MATLAB dùng cho: +Toán điện tốn +Phát triển thuật tốn +Dựng mơ hình, giả lập, tạo ngun mẫu +Phân tích, khám phám hình ảnh hóa liệu +Đồ họa khoa học kỹ thuật 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM Bài tập lớn Giải tích 2 NỘI DUNG Các mơ hình ứng dụng giải tích nhiều biến : Các mơ hình tương ứng với đề tài khối vật thể bị giới hạn mặt phẳng, mặt trụ mặt nón mà nhóm tìm là: Đồng hồ cát, đinh tán, quay, bút chì 2.1 Cây bút chì: 2.1.1 Hình thực tế 11 TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM Bài tập lớn Giải tích 2.1.2 Hình dựng phần mềm geogebra 2.1.2 Tính tốn +Dựng mơ hình bút giao mặt phẳng: 𝑥 + 𝑦 = 0,52 {𝑧 = 4( 𝑥 + 𝑦 ) = ( 𝑧 − 7) (1) (2) (3) + Ta có miền D: 𝑥 + 𝑦 = 0,52 hình chiếu vật xuống Oxy + Do z ≥ nên (3) viết lại thành 𝑧 = − √(𝑥 + 𝑦 ) 2𝑥 Đạo hàm z theo x 𝑧𝑥′ = − √𝑥 +𝑦 Đạo hàm z theo y 𝑧𝑦′ = − √𝑥 +𝑦 2𝑦 12 TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM Bài tập lớn Giải tích Ta tính Diện tích phần mặt nón (3) tích phân mặt loại 4𝑥 4𝑦 ⇔ 𝑆3 = ∬ √1 + + 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑥 + 𝑦2 𝑥2 + 𝑦2 ⇔ Ta đặt S3= √5 ∬ 1𝑑𝑥𝑑𝑦 (4) để đổi tích phân sang hệ tọa độ cực 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜑) 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛(𝜑) Lúc ta tìm ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 ≤ 𝑟 ≤ 0,5 Khi phương trình (4) trở thành: 2𝜋 0,5 ∫ 𝑑𝜑 ∫ Vậy diện tích mặt nón √5 √5𝑟𝑑𝑟 = √5 𝜋 𝜋 Diện tích phần mặt đáy bút S1= 𝜋R2= π.0,52=0,25π Diện tích xung quanh phần hình trụ S2=2πR.h=2π.0,5.6=6π Tổng diện tích bút S=S1+S2+Snon=0,25𝜋+6π+ √5 𝜋 =6,25π+ √5 𝜋 Thể tích hình bút Ta sử dụng tích phân kép để tích thể tích bút ∬𝐷 𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦= ∬𝐷 − 2√𝑥 + 𝑦 dxdy (5) 13 TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM Ta đặt Bài tập lớn Giải tích để đổi tích phân sang hệ tọa độ cực 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜑) 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛(𝜑) Lúc ta tìm ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 ≤ 𝑟 ≤ 0,5 Khi từ phương trình (5) ta tính thể tích vật thể 2𝜋 0,5 V= ∫0 𝑑𝜑 ∫0 𝑟(7 − 2𝑟)𝑑𝑟 = 19𝜋 12 2.2 Con quay: 2.2.1 Hình ảnh thực tế 14 TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM Bài tập lớn Giải tích 2.2.2 Hình dựng phần mềm geogebra 2.2.3 Tính tốn Con quay tạo phương trình sau: x2 + y2 = z2 (1) z=4 (2) x2 + y2 = ( )2 z=7 (3) (4) Diện tích xung quanh phần mặt nón S1= 𝜋R.l=π.4.√42 + 42 =16√2.π Diện tích phần mặt phẳng đáy phần nón S2=𝜋R12-π R22=π.42-𝜋0,52=15,75π Diện tích phần hình trụ quay S3=2πR2h +πR22=2π.0.5.3+ 𝜋0,52= 3.25π Tổng diện tích quay S=S1+S2+S3=16√2.π+15,75π+3.25π=16√2.π+19π Thể tích của quay gồm phần khối hình trụ phần thân hình nón • Áp dụng tích phân kép ta tính thể tích khối nón tạo (1) (2) ta có: V12 = ∬D (4 − √x − y )dx dy = 64 π Trong miền D1 giới hạn : x2 + y2 = 16 Ta đặt 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜑) để đổi tích phân sang hệ tọa độ cực 15 TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM Bài tập lớn Giải tích 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛(𝜑) Lúc ta tìm ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 0≤𝑟≤4 2𝜋 Và ta tính V12=∫0 𝑑𝜑 ∫0 𝑟(4 − 𝑟)𝑑𝑟 = 64𝜋 • Xét thể tích tạo (2), (3) (4) : Áp dụng tích phân kép ta tìm thể tích V234 V234 = ∬D (7 − 4)dx dy = ∬D dx dy 2 Trong miền D2 miền giới hạn z=4, z=7, x2 + y2 = ( )2 Ta đặt để đổi tích phân sang hệ tọa độ cực 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜑) 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛(𝜑) Lúc ta tìm ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 ≤ 𝑟 ≤ 0,5 2𝜋 0,5 Và ta tìm V234=3 ∫0 𝑑𝜑 ∫0 𝑟𝑑𝑟 = 3𝜋 → Tổng thể tích quay: V = V12 + V234 = 64 3 265 12 π+ π = π 16 TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM Bài tập lớn Giải tích 2.3 Con đinh tán: 2.3.1 Hình ảnh thực tế 2.3.2 Hình dựng phần mềm geogebra 2.3.3 Tính tốn Vật thể đinh tán tạo nên từ bốn phương trình sau 𝑥2 + 𝑦2 = (1) z=0 (2) z=6 (3) z=4√𝑥 + 𝑦 (4) 17 TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM Bài tập lớn Giải tích Diện tích vật thể: Ta thực phép giao: (1) với (4) ta được: 𝐷1 : 𝑥 + 𝑦 = (3) với (4) ta được: 𝐷2 : 𝑥 + 𝑦 = Áp dụng tích phân mặt loại tính diện tích (2): 𝑆2 = ∬ √12 + 02 + 02 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = ∬ 𝑑𝑥 𝑑𝑦 (mặt 𝐷1 ) 𝑆2 = 𝜋 ( đổi tọa độ cực ) Áp dụng tích phân mặt loại tính diện tích (4) ta có: 𝑆4 = ∬ √12 + 02 + 02 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = ∬ 𝑑𝑥 𝑑𝑦 (mặt 𝐷2) 𝑆4 = 4𝜋 Gọi 𝐷3 phần diện tích khơng nằm 𝐷1 ta có diện tích (3): 𝑆3 = ∬ √2 𝑑𝑥 𝑑𝑦 2𝜋 𝑆3 = ∫0 𝑑𝜃 ∫1 𝑟√2𝑑𝑟 ( đổi tọa độ cực ) 𝑆3 = 3√2 Ta có: 𝑥 + 𝑦 = có dạng mặt trụ vng góc mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦 nên diện tích (1) là: 𝑆1 = ∬ 5𝑑𝑠 = ∬ 𝑑𝑠 = 2𝜋 = 10𝜋 Từ bốn diện tích ta tìm tổng diện tích vật thể: 𝑆 = 𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆3 + 𝑆4 = (15 + 3√2)𝜋 Thể tích vật thể: Xét phần thể tích tạo hai phương trình (3) (4) ta có: 𝑉34 = ∬ − √𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝜋 18 TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM Bài tập lớn Giải tích Tương tự cho phần thể tích tạo (1), (2), (4) : 𝑉124 = ∬ + √𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 14 𝜋 Từ ta có tổng thể tích vật thể: 𝑉 = 𝑉34 + 𝑉124 = 22 𝜋 2.4 Đồng hồ cát 2.4.1 Hình ảnh thực tế 2.4.2 Hình dựng phần mềm geogebra 19 TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM Bài tập lớn Giải tích Xét vật thể tạo từ giao của: Một mặt phẳng trên: z = (1) Một mặt phẳng dưới: z = −4 (2) Một nón: 4(x2 + y2) = z2 (3) Mặt trụ: x2 + y2 = 0,04 (4) Diện tích: Giao (1) với (3): { 𝑧=4 𝑥 + 𝑦2 = D1 Giao (4) với (3): { 𝑥 + 𝑦 = 0,04 𝑧 = ±0,16 D2 Giao (2) với (3): { 𝑧 = −4 𝑥 + 𝑦2 = D3 2 Diện tích phần (1): S1 = ∬ √1 + 𝑣 + 𝑑 𝑑𝑥 𝑑𝑦 20 TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM Bài tập lớn Giải tích D1: Đổi tọa độ cực ta có: 2𝜋 S1 = ∫0 𝑑𝜑 ∫0 𝜋𝑑𝑣 = 4𝜋 Diện tích phần tính tương tự: S2 = 4𝜋 Diện tích phần mặt nón: Mặt khác S3 đối xứng qua trục Oxy, ta tính phần z ≥ Khi diện tích mặt nón giới hạn z = 2√𝑥 + 𝑦 : S3 = 𝑆3+ − 𝑆3− 𝑆3+ = ∬𝐷 √12 + ( 2𝑥 √𝑥 + 𝑦 ) + ( 2 2𝑦 √𝑥 + 𝑦 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = √5 ∬𝐷 𝑑𝑥 𝑑𝑦 Đổi tọa độ cực ta có: 𝑆3+ = 4√9𝜋 𝑆3− = ∬𝐷 √12 + ( √𝑥 + 𝑦 = √5 ∬𝐷 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = ⇒ S3 = 𝑆3+ − 𝑆3− = 2𝑥 √5 25 ) + ( 2𝑦 √𝑥 + 𝑦 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝜋 99√5𝜋 25 ⇒ Diện tích tồn phần mặt nón là: 2S3 = 198√5𝜋 25 Phần mặt trục x2 + y2 = 0,04 giới hạn z = ±0,16 có diện tích tính tích phân đường: S4 = ∫𝐶 0,16 + 0,16 𝑑𝑆 C: x2 + y2 = 0,04 = 0,32∫𝐶 𝑑𝑆 Mà ∫𝐶 𝑑𝑆 độ dài C, hay chu vi đường trịn bán kính 0,2 ⇒ S4 = 0,32*2𝜋*0,2 = 16 125 𝜋 21 TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM ⇒ Tổng diện tích là: ( 1016 125 + 198√5 25 Bài tập lớn Giải tích )𝜋 Ta có khối đối xứng qua trục Oxy, dó ta tính phần nửa z ≥ nhân đôi Ta có V = V1 + V2 V1: Thể tích tạo z = 0, z = 4, (3) V2: thể tích tạo (4), (3), z = V1: Ta có (3) trở thành z = 2√𝑥 + 𝑦 với z ≥ Khi theo cơng thức tích phân bội 2, thể tích V1: V1 = ∬𝐷 (4 − 2√𝑥 + 𝑦 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 Đổi tọa độ cực, ta có: 2𝜋 V1 = ∫0 𝑑𝜑 ∫0 (4 − 2𝜆) 𝜆𝑑𝜆 = 16 𝜋 V2: Ta có (4) mặt trụ vng góc Oxy, theo tích phân bội 2: V2 = ∬𝐷 2√𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 Đổi tọa độ cực, ta có: V2 = 375 𝜋 ⇒ Thể tích vật: 1336 125 𝜋 VẼ LẠI VÀ TÍNH THỂ TÍCH HÌNH DƯỚI BẰNG BẤT KÌ PHẦN MỀM ĐÃ BIẾT 22 TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM Bài tập lớn Giải tích Đoạn code matlab hình vẽ vật thể 23 TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM Bài tập lớn Giải tích 24 TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM Bài tập lớn Giải tích Tính thể tích khối vật thể Tài liệu tham khảoGiáo trình Giải tích Đại học Bách Khoa TPHCM Calculus, 7th Edition James Stewart Tài liệu giải tích thầy Phùng Trọng Trực https://drive.google.com/drive/folders/1nHam5DQ_3bQ_0_ttXS4RjqlI6hIWEQc9 25