Mat tru hinh tru khoi tru on thi thpt qg mon toan

CHỦ ĐỀ VI MẶT TRỤ HÌNH TRỤ KHỐI TRỤ Dạng toán 1 MẶT TRỤ HÌNH TRỤ Mặt trụ tròn xoay Mặt trụ tròn xoay sinh ra khi quay đường thẳng l song song đường thẳng  cố định và cách đường thẳng  một đoạn R khô[.]

CHỦ ĐỀ VI MẶT TRỤ - HÌNH TRỤ - KHỐI TRỤ Dạng tốn MẶT TRỤ - HÌNH TRỤ Mặt trụ tròn xoay: Mặt trụ tròn xoay sinh quay đường thẳng l song song đường thẳng  cố định cách đường thẳng  đoạn R không đổi Mặt trụ (T) có trục  bán kính R Nếu M điểm nằm mặt trụ đường thẳng l qua M song song với  nằm mặt trụ Hình trụ, khối trụ Phần mặt trụ nằm hai mặt phẳng (P)  P  vng góc với trục gọi hình trụ Hình trụ với phần bên gọi khối trụ - Trục OO - Đường sinh MM   l - Bán kính đáy R chiều cao h thì: h  l  OO, R  OM - Diện tích xung quanh: S xq  2 Rl - Thể tích khối trụ: V   R2 h Chú ý: 1) Phương pháp đường sinh 2) Thiết diện song song với trục hình trụ hình chữ nhật, tạo đường sinh song song Đặc biệt, thiết diện qua trục hình trụ hình chữ nhật có kích thước đường kính đáy chiều cao hình trụ Bài tốn Cho đường trịn (O; R) nằm mặt phẳng (P) Tìm tập hợp điểm M khơng gian cho hình chiếu chúng (P) ln nằm đường trịn cho Giải Gọi A trục đường tròn (O; R) Nếu điểm M có hình chiếu M  nằm (O; R) MM  / /  khoảng cách từ M tới  M O  R Vậy tập hợp điểm M mặt trụ có trục  có bán kính R Bài toán Chứng minh tiếp tuyến mặt cầu song song với đường thẳng cố định nằm mặt trụ xác định Giải Cho mặt cầu S(O; R) đường thẳng d Gọi  đường thẳng qua O song song với d Nếu l tiếp tuyến mặt cầu l / / d l / /  l cách A khoảng không đổi R Vậy l nằm mặt trụ có trục  có bán kính R Bài tốn Cho hai điểm cố định A, B Tìm tập hợp điểm M khơng gian cho diện tích tam giác MAB k không đổi Giải Hạ MH vuông góc với AB Ta có: k  SMAB  2k số không đổi AB.MD  MH  AB Vậy tập hợp điểm M mặt trụ có trục đường thẳng AB, bán kính R  2k AB Bài tốn Một hình trụ có bán kính R chiều cao R a) Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể tích hình trụ b) Cho hai điểm A B nằm đường tròn đáy cho góc AB trục hình trụ 30° Tính khoảng cách AB trục hình trụ Giải a) S xq  2 R.R  3 R Stp  S xq  2Sđáy  3 R  2 R      R2 V   R2 R  3 R3 b) Gọi O O tâm hai đường tròn đáy Gọi AA đường sinh hình trụ OA  R, AA  R góc BAA 30° Vì OO / / mp  ABA nên khoảng cách OO AB khoảng cách OO mp  ABA  Gọi H trung điểm BA khoảng cách OH Tam giác BAA vuông A nên: BA  AA tan 30  R  R Do BAO tam giác khoảng cách OH  R Bài toán Cho khối trụ có bán kính đáy R  (cm) khoảng cách hai đáy 7(cm) Người ta cắt khối trụ mặt phẳng song song với trục khối trụ cách trụ khoảng 3(cm) Tính diện tích thiết diện Giải Gọi tâm hai đáy O O Thiết diện cắt khối trụ hình chữ nhật AABB Gọi K trung điểm AB Ta có OK  AB  OK  AA  OK   AABB  Vậy OK khoảng cách từ trục OO tới mặt phẳng thiết diện, tức OK  Trong tam giác vuông OKA: KA2  OA2  OK  52  32  16  KA  4, AB  Vậy diện tích thiết diện AABB là: S  AB.BB  8.7  56  cm2  Bài tốn Cho hình trụ có bán kính R chiều cao R Một hình vng ABCD có hai cạnh AB CD dây cung hai đường tròn đáy, cạnh AD BC đường sinh hình trụ Tính diện tích hình vng Giải Gọi C  hình chiếu C mặt đáy chứa AB AB  BC AC  đường kính đường trịn đáy Từ tam giác vuông ABC CBC , ta có: BC2  AC2  AB2  4R2  AB2 BC2  BC  CC2  AB2  R2 Suy ra: AB2  5R2 , Vậy diện tích hình vng S  AB  R Bài toán Trên hai đáy hình trụ có đường cao gấp đơi bán kính đáy, ta lấy hai bán kính chéo nhau, đồng thời tạo với góc 30° Biết đoạn thẳng nối hai đầu mút hai bán kính khơng qua tâm đường trịn có độ dài a a) Tính tang góc hợp trục đoạn thẳng qua mút b) Tính thể tích khối trụ Giải a) Gọi bán kính hình trụ R, hai bán kính chéo OA OD Vẽ đường sinh DA thì: g  OO, AD   g  AD, AD   ADA   Trong tam góc AOA cân O: AA2  2R2  2R2 cos30     R  AA   R Tam giác ADA vuông A nên: DA2  AD2  AA2      a2   2R    R2  a   R2  R  a 6 Ta có: h2  AD2  DA2  AA2 a2 4a a 6  a  2   h  6 6 6 Do tan     AA 2  AD a2 a  2  a3 b) Thể tích khối trụ là: V   R h    6 6 6   DẠNG TOÁN NỘI NGOẠI TIẾP HÌNH TRỤ - Mặt cầu ngoại tiếp hình trụ có tâm tâm đường trịn ngoại tiếp thiết diện hình chữ nhật qua trục hình trụ Tâm E trung điểm trục OO h2 Bán kính r  R  - Mặt cầu nội tiếp hình trụ tồn hình trụ có đuờng kính đáy chiều cao hình trụ, có tâm tâm đường trịn nội tiếp thiết diện hình vng qua trục hình trụ Tâm I trung điểm trục OO Bán kính r  R với điều kiện h  2R Chú ý: 1) Diện tích xung quanh khối trụ: S xq  2 Rh , Thể tích khối trụ: V   R2 h 2) Diện tích mặt cầu: S  4 R2 Thể tích khối cầu: V   R3 Bài toán Một khối hộp chữ nhật nội tiếp khối trụ Ba kích thước khối hộp chữ nhật a, b, c Tính tích khối trụ Giải Khối hộp chữ nhật nội tiếp ba khối trụ khác có đường trịn đáy ngoại tiếp mặt hình chữ nhật, kích thước cịn lại chiều cao Thể tích ba khối trụ là:   a  b2  c   b2  c  a ,   c2  a2  b Bài toán Mặt phẳng qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện hình vng cạnh 2R a) Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể tích hình trụ b) Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác nội tiếp hình trụ Giải a) Từ giả thiết ta suy hình trụ có bán kính đáy R đường sinh 2R Từ đó: S xq  2 R.2R  4 R2 Stp  S xq  2Sđáy  4 R2  2 R2  6 R2 V   R2 2R  2 R3 b) Hình lăng trụ tứ giác nội tiếp hình tăng trụ đứng có cạnh bên 2R có đáy hình vng cạnh R nên tích VLT  2R2 2R  4R3 Bài tốn Một khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy a chiều cao h nội tiếp khối trụ Tính thể tích khối trụ Giải Lăng trụ tam giác cạnh đáy a nên đáy hình trụ ngoại tiếp đường trịn ngoại tiếp đáy có bán kính R a , chiều cao hình trụ chiều cao h lăng trụ Do thể tích khối trụ ngoại tiếp: V   R h   a2h Bài toán Một khối lăng trụ tam giác có canh đáy a chiều cao h ngoại tiếp khối trụ Tính thể tích diện tích xung quanh khối trụ Giải Lăng trụ tam giác cạnh đáy a nên đáy hình trụ nội tiếp đường trịn nội tiếp đáy có bán kính R a , chiều cao hình trụ chiều cao h lăng trụ Do thể tích khối trụ nội tiếp: V   R h   a2h 12 Diện tích xung quanh khối trụ S xq  2 Rh   ah Bài toán Cho lăng trụ ABC ABC có cạnh đáy 6a, đường cao a Một hình trụ có đáy hai đường tròn nội tiếp tam giác ABC ABC Hai điểm M, N hai đường trịn đáy hình trụ cho góc đường thẳng MN mặt đáy hình trụ  Tính thể tích khối lăng trụ ABC ABC khoảng cách đường thẳng MN trục hình trụ nói Giải Ta có: VABC ABC  S ABC AA  6a.6a.sin 60.a  27a3 2 Gọi r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC  6a  2S ABC S  pr  r   a AB  BC  CA  6a  6a  6a  Gọi O, O tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC ABC Vẽ đường sinh MM  Gọi I trung điểm MM  Khi OI  M N nên OI   MM N  Do đó: d  OO; MM    d  OO;  MM N    d  O;  MM N    OI Vì MM    ABC  Nên góc  MN ;  ABC   MNM    Tam giác MM N vng M  ta có: M N  MM .cot   a 6.cot  Tam giác OM I vng I ta có: OI  r  MM 2 6a cot  a 12  6cot   3a   4 Bài tốn Cho hình trụ có bán kính đáy R chiều cao 4R Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình trụ Giải Mặt cầu ngoại tiếp hình trụ có tâm tâm đường trịn ngoại tiếp thiết diện hình chữ nhật qua trục hình trụ Do tâm E trung điểm trục OO Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình trụ r  R2  h2  R  4R  R Vậy thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình trụ 20 V   R3  r 3 Bài toán Cho mặt cầu có bán kính R Tính diện tích xung hình trụ ngoại tiếp mặt cầu Giải Hình trụ ngoại tiếp mặt cầu bán kính R có bán kính đáy R chiều cao h  2R Vậy diện tích xung hình trụ ngoại tiếp mặt cầu S xq  2 Rh  4 R Bài tốn Cho hình trụ T có bán kính R, trục OO 2R mặt cầu (S) có đường kính OO a) So sánh diện tích mặt cầu diện tích xung quanh hình trụ, diện tích tồn phần hình trụ b) So sánh thể tích khối trụ T khối cầu (S) Giải a) Diện tích mặt cầu diện tích xung quanh hình trụ 4 R Diện tích tồn phần hình trụ 4 R2  2 R2  6 R2 Vậy diện tích mặt cầu diện tích tồn phần hình trụ b) Thể tích khối cầu V S    R3 Thể tích khối trụ VT   R2 2R  2 R3 Vậy thể tích khối cầu thể tích khối trụ Bài tốn Cho hình trụ có bán kính R đường cao R Gọi AB CD hai đường kính thay đổi hai đường trịn đáy mà AB vng góc với CD a) Chứng minh ABCD tứ diện b) Chứng minh đường thẳng AC, AD, BC, BD tiếp xúc với mặt trụ cố định Giải a) Gọi A, B hình chiếu A, B mặt phẳng chứa đường trịn đáy có đường kính CD, A, B thuộc đường trịn Khi AB  CD nên ACBD hình vng có đường chéo CD  2R , AC  R , ngồi AA  R nên ta suy AC  2R Tương tự ta có AD  BC  BD  2R Vậy ABCD tứ diện b) Gọi O, O trung điểm AB CD, H trung điểm AC Ta có: d  OO; AC   d  OO;  AAC    OH   R Tương tự, khoảng cách đường thẳng AD, BC, BD OO R Từ suy đuờng thẳng AC, AD, BC, BD tiếp xúc với mặt trụ có trục OO có bán kính R BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài tập Cho mặt trụ tròn xoay T điểm S cố định không nằm T Một đường thẳng d thay đồi luôn qua S cắt T A B Chứng minh trung điểm I đoạn thẳng AB nằm mặt trụ cố định HD-ĐS Dùng mặt phẳng qua S vng góc với trục  mặt trụ K Bài tập Một hình trụ có diện tích xung quanh S diện tích đáy diện tích mặt cầu bán kính a Tính thể tích diện tích thiết diện qua trục hình trụ HD-ĐS Kết V  Sa.S   S  Bài tập Một hình trụ có thiết diện qua trục hình vng, diện tích xung quanh hình trụ 4 Mặt phẳng   song song với trục hình trụ cắt theo thiết diện ABB1 A1 Biết cạnh thiết diện dây cung đường tròn đáy căng cung 120 Tính diện tích tồn phần hình trụ diện tích thiết diện ABB1 A1 thể tích khối trụ HD-ĐS Kết Stp  6 , diện tích thiết diện Bài tập Cho hình trụ có hai đáy  O  ,  O  , bán kính đáy chiều cao a Trên (O) lấy A,  O  lấy B cho AB  2a Tính thể tích khối tứ diện OOAB HD-ĐS Kết VOOAB  a3 12 Bài tập Cho hình trụ có chiều cao bán kính đáy Gọi  O   O  hai đường tròn đáy Một mặt phẳng (P) không song song với trục cắt đuờng tròn  O  A, B cắt đuờng tròn  O  C, D cho ABCD hình vng Tính khoảng cách trục OO với đuờng thẳng CD HD-ĐS Kết quả: d  OO; CD   Bài tập Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao OO  h , A B hai điểm thay đổi hai đường tròn   đáy cho độ dài AB  a không đổi h  a  h2  R Chứng minh góc khoảng cách hai đường thẳng AB OO không đổi HD-ĐS Kết R2  a  h2 khơng đổi Bài tập Một khối trụ có bán kính đáy r  5cm , khoảng cách hai đáy 7cm Cắt khối trụ mặt phẳng song song với trục cách trục 3cm Tính diện tích thiết diện HD-ĐS Kết S  56cm2 Bài tập Cho hình hộp ABCD A1B1C1D1 nội tiếp hình trụ cho trước, góc đường thẳng B1 D mặt phẳng  ABB1 A1  30 Khoảng cách từ trục hình trụ đến mặt ABB1 A1 a Tính thể tích khối hộp thể tích hình cầu ngoại tiếp hình hộp biết đường kính đáy hình trụ 5a HD-ĐS Kết thể tích khối hộp: 12a3 11 , khối cầu: 36 a3 ... khối trụ mặt phẳng song song với trục khối trụ cách trụ khoảng 3(cm) Tính diện tích thi? ??t diện Giải Gọi tâm hai đáy O O Thi? ??t diện cắt khối trụ hình chữ nhật AABB Gọi K trung điểm AB Ta có... toán Chứng minh tiếp tuyến mặt cầu song song với đường thẳng cố định nằm mặt trụ xác định Giải Cho mặt cầu S(O; R) đường thẳng d Gọi  đường thẳng qua O song song với d Nếu l tiếp tuyến mặt cầu... tích diện tích thi? ??t diện qua trục hình trụ HD-ĐS Kết V  Sa.S   S  Bài tập Một hình trụ có thi? ??t diện qua trục hình vng, diện tích xung quanh hình trụ 4 Mặt phẳng   song song với trục