Mat cau khoi cau on thi thpt qg mon toan oeltu

CHỦ ĐỀ V MẶT CẦU ,KHỐI CẦU Dạng toán MẶT CẦU, KHỐI CẦU _Tập hợp điểm không gian, cách điểm O cố định khoảng R không đổi gọi mặt cầu có tâm O bán kính R Kí hiệu S  O; R  S  O; R   M / OM  R _Tập hợp điểm thuộc mặt cầu S  O; R  với điểm nằm mặt cầu gọi khối cầu S  O; R  hình cầu S  O; R  Như vậy, khối cầu S  O; R  tập hợp điểm M cho OM  R Cho mặt cầu S  O; R  điểm A Nếu OA  R điểm A thuộc mặt cầu, đoạn thẳng OA gọi bán kính mặt cầu Nếu OA OB hai bán kính cho A,O,B thẳng hàng đoạn thẳng AB gọi đường kính mặt cầu Một mặt cầu xác định biết tâm bán kính R biết đường kính AB _Diện tích mặt cầu thể tích khối cầu: Mặt cầu bán kính R có diện tích là: S  4 R2 Khối cầu bán kính R tích là: V   R3 Bài tốn Tìm tập hợp tâm mặt cầu qua: a) Hai điểm phân biệt A, B cho trước b) Ba điểm phân biệt A, B, C cho trước c) Một đường tròn cho trước Giải a) I tâm mặt cầu qua hai điểm phân biệt A, B cho trước IA  IB Vậy tập hợp tâm mặt cầu mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB b) I tâm mặt cầu qua ba điểm phân biệt A, B , C cho trước IA  IB  IC _Nếu ba điểm A, B , C khơng thẳng hàng tập hợp điểm I trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tức đường thẳng vng góc với mặt phẳng  ABC  qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC _Nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng tập hợp điểm I rỗng c) I tâm mặt cầu qua đường tròn  C  cho trước I cách điểm đường tròn Vậy tập hợp điểm I trục đường tròn  C  tức đường thẳng vng góc với mặt phẳng đường tròn qua tâm đường tròn  C  Bài tốn Tìm tập hợp tâm mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh tam giác cho trước Giải Mặt cầu tâm O tiếp xúc với ba cạnh AB, BC, CA tam giác ABC điểm I, J, K OI  AB, OJ  BC, OK  CA, OI  OJ  OK Gọi O  hình chiếu vng góc điểm O mp  ABC  điều kiện: OI  AB, OJ  BC, OK  CA, OI  OJ  OK hay O  tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Suy tập hợp điểm O trục đường tròn nội tiếp tam giác ABC Bài toán Cho hai điểm A, B cố định Chứng minh tập hợp điểm M cho MA.MB  mặt cầu đường kính AB Giải Gọi I trung điểm AB       Ta có MA.MB  MI  IA MI  IB  MI  IA MI  IA  MI  IA2 Do MA.MB   MI  IA :không đổi Vậy tập hợp điểm M mặt cầu tâm I bán kính R  IA , tức mặt cầu đường kính AB Bài tốn Tìm tập hợp điểm M cho tổng bình phương khoảng cách từ M tới hai điểm A, B cố định k cho trước Giải Gọi O trung điểm AB Ta có: MA2  MB  k  2MO  AB  k  MO   2k  AB  Biện luận: Nếu 2k  AB tập hợp điểm M mặt cầu tâm O, bán kính R 2k  AB 2 Nếu 2k  AB , tập hợp điểm M gồm điểm O Nếu 2k  AB2 , tập hợp điểm M rỗng Bài tốn Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M: MA2  MB2  MC  k , k cho trước Giải Gọi G trọng tâm tam giác ABC GA  GB  GC  Ta có MA2  MB2  MC  k       MG  GC   k  2MG  GA  GB  GC   GA  GB  GC  MG  GA  MG  GB  3MG 2 2 2  k2  3MG2  GA2  GB2  GC  k  MG  k  GA2  GB  GC   m số  Nếu m  tập điểm  Nếu m  tập điểm G Nếu m  tập điểm mặt cầu tâm G có bán kính R  m Bài tốn Cho tứ diện ABCD Tìm tập hợp điểm M: MA2  MB2  MC  MD2  k , k cho trước Giải Gọi I, J trung điểm cạnh AB, CD G trung điểm IJ Ta có MA2  MB2  MC  MD2  k  2MI  AB CD  2MJ   k2 2   MI  MJ   k  AB  CD 2  IJ  AB  CD 2   2.MG   k      MG  1 AB  CD 2 k  IJ   4 Nếu m  tập điểm  Nếu m  tập điểm G    m số  Nếu m  tập điểm mặt cầu tâm G có bán kính R  m Cách khác: Sử dụng hệ thức : GA  GB  GC  GD  Bài tốn Tìm tập hợp điểm M cho tổng bình phương khoảng cách từ M tới đỉnh hình hộp cho trước k cho trước Giải Giả sử ba kích thước hình hộp AB  a, BC  b, CC   c AC 2  BD2  CA2  DB2   a  b2  c  Gọi O tâm hình hộp , ta có : MO  MA2  MC 2 AC 2  MO  MB  MD 2 BD 2  MO  MC  MA2 CA2 MD  MB2 DB 2  ; MO   4 Suy : 4MO  MA2  MB  MC  MD  MA2  MB 2  MC 2  MD 2    a  b  c   Do MA2  MB2  MC  MD2  MA2  MB2  MC 2  MD2  k k   a  b2  c  k2 2 2  4MO    a  b  c   MO  Vậy: Nếu R k   a  b2  c  tập hợp điểm M mặt cầu tâm O bán kính k   a  b2  c2  Nếu k   a  b2  c  điểm M trùng với O Nếu k   a  b2  c  tập hợp điểm M rỗng Bài tốn Trong khơng gian cho ba đoạn thẳng AB  a, BC  b, CD  c cho AB  BC, BC  CD, CD  AB Chứng minh có mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D Xác định tâm tính bán kính mặt cầu Giải Vì AB  BC AB  CD nên AB  mp  BCD  Do AB  BD, Tương tự ta có DC  AC Vậy điểm A, B, C, D nằm mặt cầu đường kính AD, tâm trung điểm AD Ta có: AD2  AB2  BC  CD2  a  b2  c2 nên bán kính mặt cầu R  a  b2  c 2 Bài tốn Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vuông cân B, AB  a Biết SA  2a SA   ABC  , gọi H K hình chiếu A cạnh SB SC Chứng minh: a) Bốn điểm A, B, C, S nằm mặt cầu b) Năm điểm A, B, C, H, K nằm mặt cầu Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu Giải a) Ta có SA   ABC   SA  BC, SA  AC Mà BC  AD Suy BC   SBA  BC  SB Vậy điểm A, B, C, S nằm mặt cầu đường kính SC b)Ta có BC   SAB  nên AH  BC Mà AH  SB  AH   SBC  Do AH  HC Ta lại có AK  KC, BA  BC nên B, H K nhìn đoạn AC góc vng nên điểm A, B, C, H, K nằm mặt cầu đường kính AC, bán kính R  a AC  2 Vậy diện tích mặt cầu S  4 R2  2 a thể tích khối cầu 4 a 2 V   R3    a   3   Bài tốn 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật SA vng góc với mặt phẳng đáy Gọi B, C , D hình chiếu vng góc A SB, SC, SD Chứng minh: a) Các điểm A, B, C , D đồng phẳng b) Bảy điểm A, B, C, D, B, C , D nằm mặt cầu Giải a) Ta có BC   SAB  , suy BC  AB Mà AB  SB nên AB   SBC  , suy AB  SC Tương tự AD  SC Do SC   ABD  Gọi I giao điểm SO với BD , gọi C  giao AI với SC AC  thuộc  ABD  nên AC  SC Vậy C   C  Từ A, B, C , D thuộc mặt phẳng qua A vng góc với SC, tức điểm A, B, C , D đồng phẳng b) Theo giả thiết ta có AB BC, AD DC Theo chứng minh ta có AB  BC, AD  DC, AC  CC Từ điểm B, D, B, C , D nhìn đoạn AC góc vng, chúng thuộc mặt cầu đường kính AC Dạng tốn VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG , MẶT PHẲNG Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng: Cho mặt cầu S  O; R  mặt phẳng  P  , gọi d khoảng cách từ O tới  P  H hình chiếu O  P  Khi đó: _Nếu d  R mp  P  cắt mặt cầu theo giao tuyến đường trịn có tâm H bán kính r  R  d _Nếu d  R mp  P  tiếp xúc mặt cầu điểm H _Nếu d  R mp  P  khơng cắt mặt cầu S  O; R  Vị trí tương đối mặt cầu đường thẳng: Cho mặt cầu S  O; R  đường thẳng  , gọi d khoảng cách từ O tới  H hình chiếu O  , Khi đó: _Nếu d  R  cắt mặt cầu hai điểm phân biệt A, B dây AB  R  d _Nếu d  R  tiếp xúc mặt cầu điểm _Nếu d  R  khơng cắt mặt cầu Tiếp tuyến xuất phát từ điểm mặt cầu: Qua điểm A nằm mặt cầu có vơ số tiếp tuyến mặt cầu Độ dài đoạn thẳng nối A với tiếp điểm Chú ý: 1) Điều kiện cần đủ để đường thẳng  tiếp xúc với mặt cầu S  O; R  điểm H  vng góc với bán kính OH điểm H 2) Có vơ số đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu S  O; R  điểm H ,chúng nằm mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu H Bài tốn Có hay khơng mặt cầu qua đường trịn điểm nằm ngồi mặt phẳng chứa đường tròn? Giải Gọi M điểm nằm ngồi mặt phẳng chứa đường trịn  C  Lấy điểm A nằm  C  gọi I giao điểm trục đường tròn mặt phẳng trung trực MA Mặt cầu tâm I, bán kính R  IA  IM mặt cầu qua đường tròn  C  qua điểm M Bài toán Cho mp  P  điểm A không thuộc  P  Chứng minh mặt cầu qua A có tâm nằm  P  luôn qua hai điểm cố định Giải Giả sử  S  mặt cầu qua A có tâm O nằm  P  Gọi A điểm đối xứng với A qua  P  OA  OA nên mặt cầu  S  qua A Vậy mặt cầu  S  qua hai điểm cố định A A Bài toán Cho đường thẳng d điểm A không nằm d Xét mặt cầu qua A có tâm nằm d Chứng minh mặt cầu ln qua đường trịn cố định Giải Giả sử  S  mặt cầu qua A, có tâm O nằm d Gọi  P  mặt phẳng qua A vng góc với d Khi  P  cắt mặt cầu  S  theo đường tròn  C  có tâm giao điểm I  P  d, có bán kính r  IA Vậy đường tròn  C  cố định mặt cầu  S  ln ln qua đường trịn cố định Bài tốn Cho mặt cầu S  O; R  điểm M Qua điểm M, vẽ cát tuyến cắt mặt cầu A,B C, D Chứng minh phương tích: MA.MB  MC.MD  MO2  R2 Giải Hai cát tuyến MAB, MCD xác định mp(MBD), cắt theo mặt cầu theo đường tròn qua A,B,C,D Do đó: MA.MB  MC.MD Xét mặt phẳng (OAB) cắt mặt cầu theo đường tròn lớn nên MA.MB  MO2  R2  đpcm Kết quả: Nếu M ngồi mặt cầu, vẽ tiếp tuyến MT MA.MB  MC.MD  MO2  R2  MT Bài tốn Chứng minh có mặt cầu tiếp xúc với sáu cạnh hình tứ diện ABCD thì: AB  CD  AC  BD  AD  BC Giải Giả sử có mặt cầu tiếp xúc với sáu cạnh tứ diện ABCD điểm M,N,P,Q,R,S hình vẽ AM  AP  AR  x, BM  BS  BQ  y, CN  CP  CS  z, DN  DQ  DR  t , Do đó, AB  CD  AC  BD  AD  BC  x  y  z  t Bài toán Cho A, B hai điểm nằm phía mp   Xét mặt cầu qua A, B tiếp xúc với   Tìm tập hợp tiếp điểm Giải _Nếu đường thẳng AB cắt mp   điểm I Giả sử mặt cầu qua A, B tiếp xúc với mp   T Ta có: IT  IA.IB Vậy tập hợp tiếp điểm đường tròn nằm mp   có tâm I bán kính R  IA.IB _Nếu đường thẳng AB//mp   mặt cầu qua A, B tiếp xúc với mp   T Khi TA  TB Vậy tập hợp T giao tuyến mp   mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB Bài toán Ba cạnh tam giác ABC có độ dài 13, 14 15 Một mặt cầu có bán kính R  tiếp xúc với ba cạnh tam giác tiếp điểm nằm ba cạnh Tìm khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng tam giác Giải Tam giác ABC có cạnh 13, 14, 15 Ta có : S  pr  p  p  a  p  b  p  c  nên r  Hạ OI   ABC  I tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC Do d  O;  ABC    OI  R  r  Bài tốn Cho đường trịn  O; r  ,  O '; r   cắt A, B nằm mặt phẳng phân biệt  P  ,  P a) Chứng minh mặt cầu  S  qua đường trịn b) Cho r  5, r   10, OO  21, AB  Tính bán kính  S  Giải a) Gọi M trung điểm AB OM  AB, OM  AB Do  P   P   phân biệt nên ba điểm O, M , O khơng thẳng hàng Từ AB  mp  OMO Gọi   ' trục đường tròn C  O; r  C   O; r     ' vng góc với AB Do  ,  ' nằm mp( OMO ) cắt I Khi ấy, mặt cầu  S  có tâm I bán kính R  IB mặt cầu phải tìm b) Ta có: OM  4, OM  Xét tam giác OMO : OO2  OM  OM  2OM OM cos OMO  cos OMO   Nên: OMO  120 OIO  60 Tương tự: cos MO O  21 21 , sin OO I  7 Xét tam giác OIO , ta có : OI sin OOI  OO sin OIO  OI 21   OI  21 Nên R2  IB2  OB2  OI  25  12  37 Vậy R 37 Bài tốn Cho tứ diện ABCD có cạnh a Một mặt cầu  S  tiếp xúc với ba đường thẳng AB, AC, AD B,C D Tính bán kính R mặt cầu  S  Giải Gọi O tâm mặt cầu  S  OB  OC  OD  R OBA, OCA, ODA tam giác vuông đỉnh B, C, D Gọi H giao điểm AO mp(BCD) H tâm tam giác BCD Ta có AH  a a , DH  3 a a AD.DH  a Do R  OD   AH a Bài tốn 10 Cho tam giác vng cân ABC có cạnh huyền AB  2a Trên đường thẳng d qua A vng góc với mặt phẳng (ABC), lấy điểm S khác A a) Chứng minh tứ diện SABC có cặp đối diện vng góc với b) Xác định tâm mặt cầu qua S, A, B C Tính thể tích mặt cầu (SBC) tạo với (ABC) góc 60 Giải a) SA  mp  ABC   SA  BC Giả sử AC  SB AC  mp  SAC  (vì AC  SA ) Từ ta suy AC  AB vơ lí theo giả thiết ta có CAB  45 Vậy AC khơng vng góc với SB Tương tự AB khơng vng góc với SC b) Gọi I trung điểm đoạn AB Vì tam giác ABC vng cân C nên I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Do tâm mặt cầu ngoại tiếp O tứ diện SABC phải nằm đường thẳng d  vng góc với mặt phẳng (ABC) I Ta suy d  / / d d  cắt SB trung điểm O SB Vì SA   ABC  , AC  CB nên SC  CB Do SCA  30, AC  a , suy SA  AC tan 30  a Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện R SB  OA  OB  OC  OS 6a 42a a 42 SB  SA  AB   4a   SB  9 2 SB a 42 4  a 42  42 42 Vậy R    V   R3       a 3   6.36  28 a3 42 7. a3 42  3.36 27 Dạng toán MẶT CẦU NỘI NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện Mặt cầu qua đỉnh hình đa diện gọi mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện hình đa diện gọi nội tiếp mặt cầu _Điều kiện cần đủ để hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp đáy hình chóp có đường tròn ngoại tiếp _Điều kiện cần đủ để hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng đáy hình lăng trụ có đường trịn ngoại tiếp Xác định tâm O mặt cầu ngoại tiếp _Hình chóp S A1 A2 An có đáy đa giác nội tiếp đường trịn  C  , gọi  trục đường trịn gọi O giao điểm  với mặt phẳng trung trực cạnh bên, chẳng hạn cạnh SA1 OS  OA1  OA2   OAn nên O tâm mặt cầu ngoại tiếp _Hình lăng trụ đứng có đáy đa giác nội tiếp đường tròn Gọi I , I  hai tâm đường trịn ngoại tiếp đáy II  trục đường tròn Gọi O trung điểm II  O cách đỉnh nên O tâm mặt cầu ngoại tiếp Mặt cầu nội tiếp hình đa diện Mặt cầu tiếp xúc với mặt hình đa diện gọi mặt cầu nội tiếp hình đa diện hình đa diện gọi ngoại tiếp mặt cầu Xác định tâm I mặt cầu nội tiếp: Tìm điểm I cách tất mặt khối đa diện Với mặt song song I thuộc mặt phẳng song song cách đều, với mặt phẳng cắt I thuộc mặt phân giác (chứa giao tuyến qua đường phân giác góc tạo đường thẳng thuộc mặt phẳng vuông góc với giao tuyến) Chú ý: 1) Với tứ diện có cách chọn đáy tam giác Nếu có mặt tam giác vng, cân, chọn ưu tiên mặt 2) Với hình chóp đều, lăng trụ sử dụng trục hình khối 3) Nếu khối đa diện có mặt cầu nội tiếp bán kính r  3V Stp 4) Nếu khối đa diện có mặt khơng nội tiếp đường trịn khơng có mặt cầu ngoại tiếp (vì có mặt phẳng chứa mặt cắt mặt cầu theo đường trịn ngoại tiếp đa giác) Bài tốn Cho hình chóp S.ABC biết SA  a, SB  b, SC  c ba cạnh SA, SB, SC đôi vng góc a) Định tâm tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp b) Chứng minh điểm S, trọng tâm tam giác ABC tâm mặt cầu ngoại tiếp thẳng hàng Giải a) Gọi J trung điểm AB Vì tam giác SAB vng S nên trục  đường thẳng vng góc với mp(SAB) J Gọi I giao điểm  mặt phẳng trung trực đoạn thẳng SC I cách bốn điểm S, A, B,C Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC có tâm I có bán kính R  IA Ta có: R2  IA2  IJ  AJ a  b2  c  SC   AB            2 Diện tích mặt cầu là: S  4 R2    a  b2  c  b) Vì SC // IJ nên SI cắt CJ điểm G SC  2IJ nên CG  2GJ Vì CJ trung tuyến tam giác ABC nên G trọng tâm tam giác ABC  đpcm Bài toán Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a chiều cao h Xác định tâm tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác Suy kết cho tứ diện cạnh a Giải Giả sử SH đường cao hình chóp S.ABC SH trục tam giác ABC Trong mặt phẳng (SAH), đường trung trực SA cắt SH O O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bán kính mặt cầu R  SO Gọi I trung điểm SA tứ giác AHOI nội tiếp nên: SO.SH  SI SA  SO  SA2 SA2  2SH 2h a 3 a  3h Ta có SA  SH  AH  h       2 2   a  3h2  a  3h2 Suy R  SO  V  6h 162h3 Với tứ diện cạnh a h  a suy thể tích tương ứng Bài tốn Cho hình chóp S.ABC có SA  SB  SC  a, ASB  60, BSC  90 CSA  120 Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp Giải Ta có AB  a, BC  a AC  a nên tam giác ABC vuông B Gọi SH đường cao hình chóp, SA  SB  SC nên HA  HB  HC suy H trung điểm cạnh AC Tâm mặt cầu thuộc trục SH Vì góc HSA  60 nên gọi O điểm đối xứng với S qua điểm H thì: OS  OA  OC  OB  a Suy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có tâm O có bán kính R  a Bài tốn Tứ diện ABCD có AB  6, CD  , cạnh cịn lại hình cầu ngoại tiếp tứ diện Giải Gọi M, F thứ tự trung điểm AB, CD K tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Khi K thuộc CM Hạ KO  FM O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, R  OD Ta có CM  DM  74   65 Và MF  65  16  Gọi R bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC Ta có R  abc 37  CK  R  4S 65 Các tam giác đồng dạng OKM CFM suy : 74 Định tâm tính diện tích OM CM MK CM  CM  R  CM 28   OM    4 MK MF MF MF Do OF  Suy R  OD  OF  FD2   16  Vậy diện tích mặt cầu S  4 R2  100 Bài tốn Cho hình hộp ABCD ABC D Biết góc CA (ABCD) 30 , góc mp  ABC  mp(ABCD) 45 khoảng cách từ C  đến  ACD  a Tính thể tích khối hộp cho tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AADE , E trung điểm CD Giải Vì AA   ABCD  nên  CA,  ABCD    ACD  90 Vì AA   ABCD  AB  BC  ABC  ,  ABCD   ABA  45 nên Ta có : d  C ;  ACD    d  D;  ACD    d  A,  ACD    AH Với H hình chiếu A lên AD Đặt AA  x Tam giác AAB vuông cân A nên AB  x Tam giác AAC vuông A, có ACA  30 Suy AC  x Khi AD  BC  AC  AB2  3x  x  x Tam giác AAD vng A , có đường cao AH 1 1 1 a      x 2 AH AA ' AD a x 2x Vậy VABCD ABCD a a a 12 3a3 (đvtt)   2 2 Vì ADE  AAE  90 nên tứ diện AADE nội tiếp mặt cầu đường kính AE , bán kính R 1 AE  AD  DE  AA2  AD  DE 2 2  3a 3a a 39  3a   2 Bài tốn Cho tứ diện SABC có SA  mp  ABC   SBC    SAB  Cho biết SB  a 2, BSC  45 a) Xác định tâm bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện SABC b) Tính tan góc   ASB để hai mặt phẳng (SCA),(SCB) hợp góc 60 Giải a) SA  mp  ABC   SA  BC Hạ AH  SB AH  mp  SBC  Do BC  mp  SAH  suy BC  SB Các điểm A B nhìn đoạn SC góc vng nên có mặt cầu đường kính SC ngoại tiếp tứ diện SABC, bán kính: R SC SB a 2   a 2 b) Hạ AK  SC Vì AH   SBC  nên AH  SC Vậy SC  mp  AKH  nên AKH  g   SCA ,  SCB   Ta có góc AKH  60 nên AK  HK Mà AH  SA sin  ; HK  Vậy: sin   SH SA cos x  2 cos  sin   tan    cos  Bài tốn Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a cạnh bên a a) Tính thể tích hình chóp cho b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Giải a) Tam giác SAC tam giác có cạnh a nên có đường cao SH  a a  2 Ta có SH đường cao hình chóp nên a a3 V  a2  b) Gọi O trọng tâm tam giác SAC O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Bán kính mặt cầu là: R  OS  a SH   S  4 R   a 3 Bài tốn Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình vng cạnh a, SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (ABCD) Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Giải Tâm mặt cầu ngoại tiếp giao điểm I hai trục hình vng ABCD tam giác SAB Trục hình vng ABCD đường thẳng d vng góc với (ABCD) tâm O, trục tam giác SAB đường thẳng vng góc với (SAB) tâm K Gọi N trung điểm AB,  SAB    ABCD  nên IONK hình chữ nhật, đó: 2 a 3 a 2 a 21 R  IB  IO  OB            2 Bài tốn Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, góc BAD  60 Hình chiếu H S lên mặt phẳng (ABCD) nằm đoạn thẳng AC cho CA  3CH Gọi E F trung điểm SC SD Biết BE vng góc với CF, tính thể tích khối chóp S.ABCD bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD Giải Vì ABCD hình thoi cạnh  BAD  60 nên BCD tam giác cạnh a Ta có CA  3CH nên H trọng tâm tam giác ABC Ta có HB  HC  HD a a nên   3   BE.CF  HE  HB HF  HBC       1 HS  HC  2HB HS  HD  2HC 2  HS  HC.HD  2HC  2.HB.HD  4.HB.HC    a 2a a 2a   a    HS        HS   4 3  4  Mà BE  CF  BE.CF   HS  a 42 1 a 42 a3 14  Ta có: VSABCD  S ABCD SH  a.a.sin 60 3 12 Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD giao điểm trục SH đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD đường trung trực cạnh SB tam giác SHB, R  OS Gọi M trung điểm SB Ta có hai tam giác SBH, SOM đồng dạng  SO SM  SB SH Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD 7a a  SM SB SB  9a  3a 42 R  SO    SH 2SH 28 a 42 42 Bài tốn 10 Cho hình tứ diện ABCD cạnh a, gọi B, C , D trung điểm cạnh AB, AC, AD Chứng minh hình chóp cụt BC D.BCD có mặt cầu ngoại tiếp Tính bán kính mặt cầu Giải Gọi AH đường cao hình tứ diện ABCD AH trục hai đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tam giác BC D , gọi I giao điểm đường thẳng AH mặt phẳng trung trực đoạn thẳng BB IB  IC  ID  IB  IC   ID hay sáu điểm B, C, D, B, C , D nằm mặt cầu tâm I, bán kính IB Gọi K trung điểm BB từ hai tam giác vng đồng dạng AIK ABH, ta có: a 3a IK AK BH AK  2a   IK   BH AH AH a Do IB  IK  KB  9a a 11a   32 16 32 Vậy bán kính mặt cầu R  IB  a 11  a 22 Bài tốn 11 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác có cạnh a Giải Gọi I , I  tâm đường tròn đáy tâm mặt cầu ngoại tiếp tọa độ ABC ABC  trung điểm O II , R  OB Ta có : OB2  BI  IO2  a   a 2        a     12 Vậy bán kính R  a 21 Bài toán 12 Cho khối đa diện có mặt cầu nội tiếp S  I , r  Tính bán kính r theo thể tích V diện tích tồn phần Stp Giải Gọi S1 , S2 , , Sn diện tích mặt khối đa diện Phân chia khối đa diện thành n hình chóp có đỉnh I đáy mặt khối đa diện 1 Ta có : V  V1  V2   Vn  S1.r  S2 r   Sn r 3 Nên V  1 3V  S1  S2   Sn  r  Stp r  r  3 Stp Bài toán 13 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đường cao SO  cạnh đáy Điểm M, N trung điểm cạnh AC, AB tương ứng Tính thể tích hình chóp SAMN bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp Giải Do ABC tam giác nên: AM  MN  NA  SAMN  AB  3 AM AN sin 60  2 3 Do : VSAMN   2 Vì SABC hình chóp nên O trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Do OM  AC, ON  AB SO   ABC  Nên ta suy : SM  AC, SN  AB SM  SN Xét tam giác vuông AOM ; SOM : OM  AM tan 30    ON SM  OM  SO2     SM  , nên : SSAM  3 AM SM  ; S SAN  AN SN  2 2 Gọi K trung điểm MN SK  MN SK  SM  KM   SSMN  3   SK  nên: 2 3 MN SK  ; S AMN  MN AK  2 2 Do bán kính hình cầu nội tiếp : r  3V  Stp  2  Bài toán 14 Cho tia Sx, Sy, Sz khơng đồng phẳng cho góc xSy  120, ySz  60, zSx  90 Trên tia Sx, Sy, Sz lấy tương ứng điểm A, B, C cho SA  SB  SC  a a) Xác định hình chiếu vng góc H đỉnh S lên mặt phẳng (ABC) b) Tính bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện SABC Giải a) Do BSC  60 , nên SBC tam giác , từ BC  a Do ASC tam giác vuông cân nên AC  a Từ tam giác cân ASB có góc đỉnh 120 nên AB  a Vì AC  CB2  2a2  a2  3a2  AB2 nên ACB  90 Vì SA  SB  SC  a nên H cách ba đỉnh A, B, C Do H trung điểm cạnh AB a2 a2 a2 a2 a2 b) Ta có Stp      4    1 1 a a 2 a3 V  SH S ABC   2 12 Do đó: r  3V a  Stp   Bài toán 15 Cho tứ diện ABCD với AB  CD  c, AC  BD  b, AD  BC  a a) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện R b) Chứng minh có mặt cầu nội tiếp hình tứ diện Tính bán kính mặt cầu nội tiếp r Giải Xem tứ diện ABCD phần hình chữ nhật với kích thước m ,n, p ta có hệ:  2 2 m   a  c  b  2 m  n  c    2 2 2 m  p  a  n   b  c  a  n  p  b    2 2  p  a  b  c   Vì m  n  p   R  Vậy R  2 m2  n  p a  b  c    a  b2  c  1 Ta có V  m.n p  a  b  c  b  c  a  a  c  b  Stp  4S ABC  p  p  a  p  b  p  c    a  b  c  a  b  c b  c  a  a  c  b  2 2 2 2 3V  b  c  a  a  b  c  a  b  c  Vậy r   Stp  a  b  c  a  b  c  b  c  a  a  b  c  Cách khác: Tứ diện ABCD gần nên trọng tâm O trung điểm đoạn nối trung điểm cạnh đối diện cách đỉnh, cách mặt BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài tập 1: Cho tứ diện ABCD số k cho trước Tìm quỹ tích điểm M cho: a)MA2  MD2  k b)MA2  MB2  MC  k HD-ĐS a) Gọi I trung điểm AD b) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Bài tập 2: Trong mặt phẳng (P) cho đường thẳng d điểm A ngồi d Một góc xAy di động quanh A, cắt d B C Trên đường thẳng qua A vng góc với (P) lấy điểm S Gọi H K hình chiếu vng góc A lên SB SC a) Chứng minh A, B, C, H, K thuộc mặt cầu b) Tính bán kính mặt cầu biết AB  c, AC  b, BAC  60 HD-ĐS b  c  bc b)Kết R  Bài tập 3: Cạnh đáy đường cao hình lăng trụ lục giác ABCDEF ABC DE F  a h Chứng minh sáu mặt phẳng  ABF ' ,  CDB  ,  EF ' D ' DEC  ,  F AE  ,  BCA tiếp xúc với mặt cầu Tính bán kính hình cầu nói HD-ĐS Kết R  3ah a  4h Bài tập 4: Cho tứ diện SABC có tam giác SBC, ABC cạnh a SA  a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện HD-ĐS Kết R  a 13 Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cân, AB  AC  a, mp  SBC   mp  ABC  SA  SB  a a) Chứng minh SBC tam giác vuông S b) Xác định tâm bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp, biết cạnh SC  x HD-ĐS b)Kết R  a2 3a  x Bài tập 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, SB  2a Xác định tâm tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp HD-ĐS Kết S  4 R  32 a Bài tập 7: Hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a , góc mặt bên đáy  Tính bán kính hình cầu ngoại tiếp, nội tiếp hình chóp tìm giá trị  để hình cầu có tâm trùng HD-ĐS Kết cos    Bài tập 8: Cho tứ diện ABCD Từ điểm M vẽ cát tuyến MAA, MBB, MCC , MDD với mặt cầu ngoại tiếp S  O; R  Tìm tập hợp điểm M cho : MA MB MC MD    4 MA MB  MC  MD HD-ĐS Dùng MA.MA  MB.MB  MC.MC   MD.MD  MO2  R2 Kết tập hợp điểm M mặt phẳng  ... Xác định tâm I mặt cầu nội tiếp: Tìm điểm I cách tất mặt khối đa diện Với mặt song song I thuộc mặt phẳng song song cách đều, với mặt phẳng cắt I thuộc mặt phân giác (chứa giao tuyến qua đường... tròn nội tiếp tam giác ABC Do OM  AC, ON  AB SO   ABC  Nên ta suy : SM  AC, SN  AB SM  SN Xét tam giác vuông AOM ; SOM : OM  AM tan 30    ON SM  OM  SO2     SM  , nên : SSAM...  ABC   SA  BC Giả sử AC  SB AC  mp  SAC  (vì AC  SA ) Từ ta suy AC  AB vơ lí theo giả thi? ??t ta có CAB  45 Vậy AC khơng vng góc với SB Tương tự AB khơng vng góc với SC b) Gọi I trung