Thông tin tài liệu
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Dạng tốn TÌM CỰC TRỊ Định nghĩa Cho hàm số f xác định tập hợp D D x0 D a) x0 gọi điểm cực đại hàm số f tồn khoảng (a; b) chứa điểm x0 cho a; b D f x f x0 với x a; b \ x0 Khi f x0 gọi giá trị cực đại hàm số f kí hiệu yCĐ b) x0 gọi điểm cực tiểu hàm số f tồn khoảng (a; b) chứa điểm x0 cho a; b D f x f x0 với x a; b \ x0 Khi f x0 gọi giá trị cực tiểu hàm số f kí hiệu yCT Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá tri cực đại giá trị cực tiểu gọi chung cực trị , x0 điểm cực trị hàm số f điểm x ; f x gọi điểm cực trị đồ thị hàm số f 0 Điều kiện cần để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số f đạt cực trị điểm x0 Khi đó, f có đạo hàm x0 f x0 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: có hai dấu hiệu: - Cho y f x liên tục khoảng (a; b) chứa x0 , có đạo hàm khoảng a; x0 x0 ; b : Nếu f x đổi dấu từ âm sang dương f đạt cực tiểu x0 Nếu f x đổi dấu từ dương sang âm f đạt cực đại x0 - Cho y f x có đạo hàm cấp hai khoảng (a;b) chứa x0 Nếu f x0 f x0 f đạt cực tiểu x0 Nếu f x0 f x0 f đạt cực đại x0 Quy tắc 1 Tìm f x Tìm điểm xi i 1, 2, đạo hàm hàm số hàm số liên tục khơng có đạo hàm Xét dấu f x Nếu f x đổi dấu từ - sang + x qua điểm xi hàm số đạt cực tiểu lại xi , f x đổi dấu từ + sang - x qua điểm xi hàm số đạt cực đại xi Quy tắc Tìm f x Tìm nghiệm xi i 1, 2, phương trình f x Tìm f x tính f xi Nếu f xi hàm số đạt cực đại điểm xi Nếu f xi hàm số đạt cực tiểu điểm xi Bài tốn Tìm cực trị hàm số sau: 3 a) f x x3 x 3x b) f x x3 x x 10 Giải a) D Ta có f x x2 x f x x2 x x 3 x 1 BBT x y y 3 + + 1 1 7 / Vậy hàm số đạt cực đại điểm x 3, f 3 1 đạt cực tiểu điểm x 1, f 1 b) D Ta có f x x2 x 0, x (do ) nên hàm số đồng biến R, khơng có cực trị Bài tốn Tìm cực trị hàm số sau: b) y x 2 x 3 a) y x4 5x2 2 Giải a) D Ta có y x3 10 x x x2 5 y x x ; y 12 x 10 5 Ta có y 20 0, y 10 nên hàm số đạt cực đại x 0, yCĐ đạt cực 2 tiểu x , yCT 2 2 b) y x 2 x 3 x 2 x 3 5x x 2 x 3 Ta có y x 2 x x BBT x y y 2 + 0 + + -108 Vậy điểm cực đại 2;0 cực tiểu 0; 108 Bài toán Tìm cực trị hàm số b) f x x x a) f x x 3x Giải a) D x 3x 4, x 4 hay x , y x 3x 4, 4 x 2 x 3, x 4 hay x y 2 x 3, 4 x BBT x y 3 / 4 + + CĐ y CT CT Vậy hàm số đạt CĐ ; 25 , CT 4;0 , CT 1;0 b) Hàm số f liên tục x x x Ta có: f x x x 2 x Với x 0, f x 2 x 2, f x x 1 Với x 0, f x x BBT 1 x y + + y Vậy điểm CĐ 1;1 , CT 0;0 Bài tốn Tìm cực trị hàm số a) y x 1 x2 b) y x x 1 Giải a) D Ta có y x x x 1 x 8 x2 x x 8 y x 4 x BBT x y y 4 0 Vậy hàm số đạt cực đại x 2, yCĐ + 1/ 1/ 1 đạt cực tiểu x 4, yCT b) D \ 1 , y y x 1 x 1 , y x x 2 , y 0, y 2 2 Vậy hàm số đạt cực đại x 2, yCĐ 4 đạt cực tiểu x 0, yCT Bài tốn Tìm cực trị hàm số a) y x2 2x x 1 b) y 2x 1 x 5 Giải a) D \ 1 Ta có y x2 x x 1 , y x 1 BBT x y y 1 + 1 1 4 + 4 Vậy điểm CĐ 1 6; 4 , CT 1 6; b) D \ 5 Ta có y 11 x 5 0, x nên hàm số nghịch biến khoảng xác định, khơng có cực trị Bài tốn Tìm cực trị hàm số sau: b) y x x 5 a) y x2 x Giải a) D Ta có y x 1 x 2x , y x BBT x y y Vậy hàm số đạt CT 1; + + b) D Với x y x x 5 33 x x 2 33 x ; y x Bảng biến thiên x y y + + 3 Vậy hàm số đạt cực đại x 0, yCĐ đạt cực tiểu x 2, yCT 3 Bài tốn Tìm cực trị hàm số b) y sin x a) y sin x Giải a) D , y 2cos x y cos x x k hay x k , k ; y 4sin x Ta có y k 4 4 nên hàm số đạt cực đại điểm x k , k , yCĐ Ta có y k nên hàm số đạt cực tiểu điểm: x k , k , yCT b) D , y 2sin x.cosx sin x y sin x x k hay x k , k ; y 2cos x Ta có y k 2 , nên hàm số đạt cực đại điểm x k , k , yCĐ 1 2 Ta có y k nên hàm số đạt cực tiểu điểm: x k , k , yCT 2 Bài toán Tìm cực trị hàm số a) y x sin x b) y 2cos x cos x Giải a) D , y 2cos x y cos x x k , k ; y 4sin x Ta có y k 4sin 2 nên hàm số đạt cực đại điểm 3 x k , k , yCĐ k 2 Ta có y k 4sin nên hàm số đạt cực tiểu điểm: 6 3 x k , k , yCT k 2 b) y 2sin x 2sin x 2sin x 1 2cos x : sinx 2 y 0 x k x 2k , k cos x y 2cos x 4cos x Ta có y k 2cos k 4cos 2k 2cos k , với k , nên hàm số cho đạt cực tiểu điểm x k , yCT 2cos k k chẵn k lẻ 2 2 4 2 Ta có y 2k 2cos 4cos 6cos 3 nên hàm số đạt cực đại điểm: 3 x 2 2k , k , yCĐ DẠNG TOÁN CHỨNG MINH VỀ CỰC TRỊ Điều kiện cần để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số f đạt cực trị điểm x0 Khi đó, f có đạo hàm x0 f x0 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: có hai dấu hiệu: - Cho y f x liên tục khoảng (a;b) chứa x0 , có đạo hàm khoảng a; x0 x0 ; b : Nếu f x đổi dấu từ âm sang dương f đạt cực tiểu x0 Nếu f x đổi dấu từ dương sang âm f đạt cực đại x0 - Cho y f x có đạo hàm cấp hai khoảng (a;b) chứa x0 : Nếu f x0 f x0 f đạt cực tiểu x0 Nếu f x0 f x0 f đạt cực đại x0 Chú ý: 1) Giá trị cực đại (cực tiểu) f x0 hàm số f nói chung giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số f tập hợp D; f x0 giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số f khoảng (a;b) chứa điểm x0 2) Bài toán đơn điệu, cực trị khơng đặt ẩn phụ Bài tốn Chứng minh hàm số f x x khơng có đạo hàm x đạt cực trị điểm Giải Hàm số xác định liên tục Ta có: x x 1 x f x f x x x 1 x Do hàm số khơng có đạo hàm x BBT x y + y Vậy hàm số đạt CT 0;0 2 x x Bài toán Chứng minh hàm số f x x sin x khơng có đạo hàm x đạt cực trị điểm Giải Hàm số xác định liên tục 2 x x Ta có: f x x cos x 2 2 nên lim f x 2 lim f x , f khơng có đạo hàm x x 0 x 0 BBT khoảng ; x y + y Vậy hàm số đạt cực đại x yCĐ y 0 Bài toán Chứng minh hàm số ln ln có cực đại cực tiểu: y x3 ax2 1 b2 x 2a b 3ab với a, b Giải D Ta có y 3x2 2ax 1 b2 a 1 b2 0, a, b nên y ln ln có nghiệm phân biệt x1 , x2 Bảng biến thiên: x y y x1 + x2 CĐ + CT Vậy hàm số ln ln có cực đại cực tiểu Bài toán Chứng minh hàm số ln ln có cực đại cực tiểu: y x a x b x c với a, b, c thỏa mãn a b c Giải D y x b x c x a x c x a x b 3x2 a b c ab bc ca a b c ab bc ca a b2 c ab bc ca 1 2 a b b c c a với a b c 2 Do y có nghiệm phân biệt đổi dấu lần qua nghiệm nên ln ln có cực đại cực tiểu Bài toán Chứng minh hàm số ln ln có cực đại cực tiểu: y x m x m2 với m xm Giải D x 2mx 2m \ m Ta có: y x m Xét hàm số g x x2 2mx 2m Ta có m2 2m 0, m g m m2 2m 0, m Do y ln có hai nghiệm phân biệt khác m , y đổi dấu hai lần qua nghiệm, hàm số ln có cực đại cực tiểu Bài tốn Chứng minh đồ thị y x 2m 1 x m2 m ln ln có cực đại, cực tiểu x m khoảng cách cực đại, cực tiểu khơng đổi Giải D \ m Ta có y x 2mx m2 x m y x2 2mx m2 0, x m Vì 0, m g m 4 0, m nên đồ thị hàm số ln ln có cực đại, cực tiểu Hai cực trị A m 2; , B m 2; 2 Khoảng cách AB 16 16 : không đổi DẠNG TỐN BÀI TỐN CĨ THAM SỐ Điều kiện cần để hàm số có cực trị Giả sử hàm số f đạt cực trị điểm x0 Khi đó, f có đạo hàm x0 f x0 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: có hai dấu hiệu: - Cho y f x liên tục khoảng (a;b) chứa x0 , có đạo hàm khoảng a; x0 x0 ; b : Nếu f x đổi dấu từ âm sang dương f đạt cực tiểu x0 Nếu f x đổi dấu từ dương sang âm f đạt cực đại x0 - Cho y f x có đạo hàm cấp hai khoảng (a;b) chứa x0 : Nếu f x0 f x0 f đạt cực tiểu x0 q2 2 p p 0, q p3 27q 3 Bài tốn Tìm tham số m để phương trình: x3 3mx2 m2 1 x m2 có nghiệm dương phân biệt Giải Xét y x3 3mx2 m2 1 x 1, D y 3x 6mx m2 1 Cho y x1 m 1, x2 m S 2m, P m2 1 Do hàm số ln ln có CĐ, CT Lấy y chia y : y x m y x m3 m m yCT yCĐ 2 x1 m3 m2 m 1 2 x2 m3 m2 m 1 m2 1 m2 3 m2 2m 1 Điều kiện có nghiệm dương phân biệt: m f 0 xCT ; xCĐ m 0; m y y 2 CT CĐ m 1 m 3 m 2m 1 Giải m Bài tốn Tìm m để phương trình: x3 mx2 có nghiệm Giải Xét m PT: x3 x 3 : có nghiệm Xét m Đặt f x x3 mx2 3, D Ta có f x 3x2 2mx x 3x 2m f x x x 2m có nghiệm phân biệt Phương trình f x x3 mx2 có nghiệm cực đại cực tiểu hàm số dấu: 8m3 4m3 2m f 0 f 3 3 27 8m3 12m3 81 4m3 81 m 3 Vậy giá trị cần tìm: m 3 m 0 Bài tốn Tìm m để phương trình sau có nghiệm x4 x3 mx2 12 x 1 Giải x khơng phải nghiệm phương trình 1 nên 1 x2 x m 12 4 2 x2 x m x x x x 2 2 x 6 x m x x x Đặt t x t x 2 x 2 t Ta có: t 6t m 2 Pt (1) có nghiệm pt (2) có nghiệm thỏa t 2 Xét (2) t 6t m Đặt f t t 6t 4, f t 2t t Lập BBT phương trình có nghiệm m 13 m 13 DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG VÀO BẤT ĐẲNG THỨC BBT cho ta giá trị y, từ có đánh giá hàm số y tạo nên bất đẳng thức Chú ý xét hàm số đề cho, hàm số trung gian, biến đổi đưa hàm theo biến, hàm dạng nhau,… Bài toán Chứng minh bất đẳng thức: x 4 x 2x Giải Xét hàm số y Ta có: y x 4 x2 x , D 3x 11x x x 5 y 3x 11x x hay x 13 với x BBT 1/ x y + - + 13/4 y Vậy y 1 13 với x đpcm x3 Bài toán Chứng minh: x2 với x thỏa mãn x Giải Xét hàm số: y x3 x2 Tập xác định D ; 6; x4 3x x 2 2 x 3x x x x x 3 x2 x2 6 x2 6 y y x x 3 BBT x y 3 + - - 9 y Vậy f x với mọi, x đpcm Bài toán Cho a, b, c thỏa mãn a2 b2 c2 Chứng minh a b c 3 2 b c c a a b 2 Giải BĐT a b c 3 2 1 a 1 b 1 c a2 b2 c2 3 2 2 a 1 a b 1 b c(1 c ) + Xét f x x 1 x2 với x 0;1 f x 3x x 0;1 BBT: x f x f x 3 0 Do f x 3 , x 0;1 Áp dụng có: a2 b2 c2 3 3 (đpcm) a b2 c 2 2 a 1 a b 1 b c(1 c ) Bài toán Cho số a,b mà a b a b a n bn Chứng minh bất đẳng thức: , n n * Giải Xét f x xn c x , c 0, D n n 1 n 1 Ta có f x n.x n1 c x n x n1 c x , f x x n1 c x n 1 Với n chẵn n lẻ nên x c x x c Với n lẻ n chẵn nên x c x x c BBT x f f c/2 + + c c n Ta có: f x f , x nên: x n c x 2 2 n Chọn x a, c a b đpcm Bài toán Chứng minh bất đẳng thức: x2 y y z z x , với x, y, z 0, x y z 27 Giải Khơng tính tổng quát, giả sử: y x, y, z y Ta có f x x2 y y z z x x y y 1 x y x 1 x y x3 y x 1 y x y y f x 3x y x y f x x 1 x y 3 Vì x y z y nên ta có BBT: x 2y 1/3 f + 0 1 y + f Ta có f y 1 y y , 27 27 4 1 y 1 y 1 y f 1 y y 1 y y 1 y 1 y 2 27 Vậy f x suy đpcm 27 Bài toán Cho số thực x, y thỏa mãn x y Chứng minh rằng: cos x cos y cos xy Giải x y x y cos cos xy Do x, y 0; nên xy 3 Ta có cos x cos y 2cos x y x y x y cos 2cos 2cos xy 2 Xét hàm số f t cos t 2cos t với t 0; 3 Ta có f t sin t t sin t nên f 1 0, f 1 cos t Nếu t t t nên t sin t sin t sin t , f t Nếu t t t nên t sin t sin t sin t , f t BBT x y + cos1 y cos 2 Do cos 2 nên f t 0, t 0; 3 2cos xy cos xy đpcm DẠNG TOÁN TOÁN TỔNG HỢP - Giả sử hàm số f đạt cực trị điểm x0 Khi đó, f có đạo hàm x0 f x0 - Cho y f x liên tục khoảng (a;b) chứa x0 , có đạo hàm khoảng a; x0 x0 ; b : Nếu f x đổi dấu từ âm sang dương f đạt cực tiểu x0 Nếu f x đổi dấu từ dương sang âm f đạt cực đại x0 - Cho y f x có đạo hàm cấp hai khoảng (a;b) chứa x0 : Nếu f x0 f x0 f đạt cực tiểu x0 Nếu f x0 f x0 f đạt cực đại x0 - BBT cho ta giá trị y, từ có đánh giá hàm số y tạo nên bất đẳng thức số nghiệm phương trình Bài tốn Tìm cực trị hàm số sau: a) y x x b) y x x2 Giải a) Điều kiện 2 x Với 2 x x y x x x2 2 x x2 , y x BBT: x 2 y 2 + CĐ y CT Vậy hàm số đạt cực đại x 2, yCĐ đạt cực tiểu x 2, yCT 2 b) D (; 1] [1; ) x Với x 1 x y y y x 1 x x x 1, x x x x 1 x x 1 x2 1 1 x x x 1, x x x 1 BBT x 1 y y + 1 Vậy hàm số khơng có cực trị Bài tốn Tìm a để hàm số y 9 0; a sin x cos x đạt cực trị điểm thuộc khoảng a cos x Giải Điều kiện x Ta có y k Ta có y sin x 2a sin x a cos3 x a sinx nên y sin x a a cos x Với sin x a y , hàm số đạt cực trị điểm thuộc khoảng sin x cosx 9 0; sin x a có nghiệm thuộc khoảng 9 0; 3 \ ; 0 a 2 x 2mx Bài toán Cho hàm số y với m tham số x 1 a) Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A B b) Chứng minh đường thẳng AB song song với đường thẳng x y 10 Tính khoảng cách cực trị Giải a) ĐK: x Ta có y x x 2m x 1 Điều kiện có cực trị g 1 2m 2m m b) Ta có A 1 2m; 2m 2m B 2m ; 2m 2m Hệ số góc đường thẳng AB là: k y x2 y x1 2m 2 x2 x1 2m Ta có x y 10 y 2x 10 nên có hệ số góc đpcm Và AB 2m 2m 12 2m AB 6m , m Bài toán Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị: y x 2mx 5m m2 x2 Giải Tập xác định D \ 2 Ta có y x m 1 m m2 x2 x m m2 nên y 2 x 2 x 2 m m2 Từ suy điều kiện có CĐ CT m m2 m Gọi x1 , x2 hồnh độ CĐ, CT x1 x2 Ta có y x1 x1 m 1 m m2 x m 1 x1 x1 2m x1 y x2 x2 m 1 m m2 x m 1 x2 x2 2m x2 2 Vậy phương trình đường thẳng qua CĐ CT y x 2m Bài toán Biện luận theo tham số k số nghiệm phương trình: x4 17 x3 51x 36 k x k 1 Giải Với k x ln thỏa mãn phương trình (1) Ta có 1 x 1 x3 15x2 36 x k x x3 15x2 36 x k (*) - Trường hợp x nghiệm (*) k 23 Khi (*): x3 15x2 36 x 23 x 1 x2 13x 23 x x2 13x 23 x Vậy k 23 (1) có nghiệm x - Với k 23 , x nghiệm (*) nên số nghiệm (1) cộng với số nghiệm phương trình (*) Xét f x x3 15x2 36 x f x x2 30 x 36 x2 5x f x x hay x Bảng biến thiên: x f x f x + + 28 27 Dựa vào bảng biến thiên ta có: - Nếu 23 k 27, k 28 (*) có nghiệm nên (1) có nghiệm phân biệt - Nếu k 27 hay k 28 (*) có hai nghiệm phân biệt nên (1) có ba nghiệm phân biệt - Nếu 27 k 28 (*) có ba nghiệm phân biệt nên (1) có bốn nghiệm phân biệt Bài toán Cho y ax3 bx2 cx d a 0 y y Chứng minh hàm số có cực trị thì: 1 y y Giải Ta có y 3ax2 2bx c, y 6ax 2b, y 6a nên (1) b2 3ac Vì hàm số có cực trị nên y b2 3ac Vậy bất đẳng thức (1) chứng minh BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài tập Tìm cực trị hàm số: b) y a) y x x 2 x2 x x2 5x HD-ĐS a) Điều kiện 2 x Với 2 x y x x x x2 2 x x2 , y x BBT: 2 x y 2 + CĐ y CT Kết CĐ x 2, yCĐ CT x 2, yCT 2 b) Tập xác định D Kết CĐ 4;3 , CT 2; 1 Bài tập Tìm cực trị hàm số: x a) y cos x b) y sin x cos x HD-ĐS a) Tập xác định D , y sin x nên y sin x x k 2 hay x Ta có y cos x , xét dấu y x 5 k 2 k 2 hay x 5 k 2 2x Kết CĐ x k 2 , yCĐ 12 5 5 , CT x k 2 , yCT 12 b) Tập xác định D 1 y cos x sin x cos x 2 2 nên y cos x cos 6 Giải nghiệm x vào y để xét dấu Bài tập Tìm m để hàm số: a) y mx3 3x2 5x đạt cực đại x b) y m 1 x3 m x m 3 x, m 1 nhận gốc tọa độ làm điểm cực tiểu HD-ĐS a) Tập xác định D y 3mx2 x 5; y 6mx y đạt cực đại x nên y suy 12m 17 m 17 12 Khi y 2 17 : cực đại Kết m 17 12 b) Tập xác định D y m 1 x2 m 2 x m 3 , y m 1 x m , Kết m 3 Bài tập Tìm m để hàm số: mx x m a) y , m có cực đại, cực tiểu mà yCT yCĐ mx b) y x2 2x m có cực đại, cực tiểu điểm cực trị nằm phía Ox xm HD-ĐS a) Tập xác định D \ m Tính đạo hàm dùng tung độ cực trị yi 2mxi ,m m Kết m b) Tập xác định D \ m Tính đạo hàm dùng tung độ cực trị yi xi xi Hàm số có cực đại, cực tiểu điểm cực trị nằm phía Ox y1 y2 Kết m Bài tập Tìm tham số để hàm số: a) y x3 m 3 x2 11 3m có cực đại, cực tiểu điểm cực đại, cực tiểu, B 0, 1 thẳng hàng 3 b) y x3 sin cos x sin 2 x có cực đại, cực tiểu hoành độ cực trị thỏa mãn x1 x2 x12 x22 HD-ĐS a) Tập xác định D y x2 m 3 x Hàm số điểm cực đại M, cực tiểu N, B 0, 1 thẳng hàng vectơ BM BN phương hay đường thẳng MN qua điểm B Kết m b) Tập xác định D y x sin cos x sin 2 Dùng định lý Viet cho nghiệm phương trình y Kết k 2 , k 2 Bài tập Tìm m để phương trình: x2 5x x2 5x m có nghiệm HD-ĐS Ta có: x2 5x x2 5x m x2 5x x 5x m Xét y f x x2 5x x2 5x, D 3x 15 x 8,1 x x x 8, x x 6 x 15 x y 2 x x 1, x Cho y x Bảng biến thiên: x 6 x 15 + 2x y + + 43 y Kết m + Vậy điều kiện có nghiệm m 4 43 43 Bài tập Lập phương trình đường thảng qua điểm cực đại cực tiểu hàm số x m 1 x m b) y xm a) y x x 94 x 95 HD-ĐS a) Lấy y chia y được: y g x , y r x Phương trình đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu hàm số y r x Kết y 566 671 x 9 b) Tính đạo hàm dùng tung độ cực trị yi xi m 1 xi m Kết y x m Bài tập Cho phương trình ax3 27 x2 12x 2015 có nghiệm phân biệt Hỏi phương trình sau có nghiệm? ax3 27 x 12 x 2015 3ax 27 3ax 54 x 12 HD-ĐS Xét f x ax3 27 x2 12 x 2001, D Theo giả thiết f x có nghiệm , , Ta có f x 3ax2 54 x 12, f x 6ax 54, f x 6a PT f x f x f x Xét g x f x f x f x 2 g x f x f x f x f x f x f x f x f x 12a x x x , Bảng biến thiên x g + g Vì B g f nên A C Kết phương trình có nghiệm + B A C ... 2 x 2mx Bài toán Cho hàm số y với m tham số x 1 a) Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A B b) Chứng minh đường thẳng AB song song với đường thẳng x y 10 Tính khoảng cách... 3 3 3 1 1 1 d : y m 1 x m 3 Điều kiện CĐ, CT cách d : y 2 x d song song với d d qua trung điểm I 1; m 1 đoạn nối CĐ, CT 1 m 1 2, m m 1 2.1... 30 x 36 x2 5x f x x hay x Bảng biến thi? ?n: x f x f x + + 28 27 Dựa vào bảng biến thi? ?n ta có: - Nếu 23 k 27, k 28 (*) có nghiệm nên (1) có
Ngày đăng: 15/02/2023, 15:18
Xem thêm:
