TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Dạng toán 1 TIỆM CẬN ĐỨNG VÀ NGANG Đường thẳng 0x x được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn [.]
TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Dạng toán 1: TIỆM CẬN ĐỨNG VÀ NGANG - Đường thẳng x x0 gọi tiệm cận đứng đồ thị hàm số y f x điều kiện sau thỏa mãn: lim f x ; lim f x ; lim f x ; lim f x ; x x0 x x0 x x0 x x0 - Đường thẳng y yo gọi tiệm cận ngang đồ thị hàm số y f x lim f x y0 lim f x y0 x x Chú ý: 1) Tìm tiệm cận đứng Tìm tập xác định D Nếu tập xác định D R khơng có tiệm cận đứng Tìm tiệm cận đứng đường thẳng x x0 x0 điểm mà hàm số khơng xác định Nếu tồn khoảng I chứa điểm x0 , cho f xác định I \ xo phải xét hai giới hạn: lim f x lim f x Nếu hai giới hạn vơ cực hai x x x x nhánh đồ thị bên phải bên trái đường thẳng x x0 nhận làm tiệm cận đứng f x , lim f x 2) Tìm tiệm cận ngang d : Tính xlim x Điều kiện cần để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang hàm số xác định khoảng ; a khoảng b; Bài tốn Tìm tiệm cận đứng đồ thị: a) y 3x x 1 b) y x2 x2 Giải a) D R \ 1 Ta có lim y , lim y nên đường thẳng x tiệm cận đứng (khi x 1 x 1 x 1 x 1 ) b) D R \ 2; 2 Ta có: lim y , lim y lim y , lim y nên có tiệm cận đứng: x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x Bài tốn Tìm tiệm cận đứng đồ thị: x2 b) y x 5 2x a) y x x5 Giải a) D R nên khơng có tiệm cận đứng b) D R \ 5 Ta có lim y , lim y nên đường thẳng x tiệm cận đứng x 5 x 5 Bài tốn Tìm tiệm cận ngang đồ thị: a) y 3x x2 b) y 2 x x x2 Giải y 3, lim y nên đường thẳng y tiệm cận ngang (khi x a) xlim x x ) y 2 nên đường thẳng y 2 tiệm cận ngang b) xlim Bài tốn Tìm tiệm cận ngang đồ thị: a) y 3x x x6 b) y x2 x2 x Giải y nên đường thẳng y tiệm cận ngang a) Ta có xlim 2 2 x 1 1 1 1 x x ; lim y lim x b) Ta có y nên xlim y lim x x x 1 1 1 x 4 4 4 x x x x x x Đồ thị có hai tiệm cận ngang y 1 (khi x ) y (khi x ) 2 Bài tốn Tìm tiệm cận đứng ngang đồ thị hàm số sau: x2 6x a) y x 4x b) y x2 x x 1 Giải a) D R nên khơng có tiệm cận đứng 1 x Ta có xlim y lim x 1 x x nên đường thẳng y tiệm cận ngang (khi x x2 x ) b) D R \ 1 Ta có lim y lim y nên tiệm cận đứng x (khi x 1 x 1 ) x 1 x 1 2 x x nên tiệm cận ngang y Ta có xlim y lim x 1 1 x Bài tốn Tìm tiệm cận đứng ngang đồ thị hàm số sau: a) y 8 x x 4x b) y x2 x Giải a) D R \ 1;3 Ta có lim y , lim y lim y , lim y nên có tiệm cận đứng x x 1 x 1 x 3 x 3 x y nên tiệm cận ngang y Ta có xlim b) D R \ 0 2 x 1 2 x lim 1, lim y lim x lim 1 x x x x x x x x2 x 1 y lim Ta có xlim x Nên có tiệm cận ngang y 1 (khi x ) y (khi x ) Ta có lim y , lim y nên tiệm cận đứng x x 0 x 0 x mx Bài tốn Tùy theo m , tìm tiệm cận đứng đồ thị: y x2 Giải Tập xác định D R \ 2 Tử thức có nghiệm x 2m m 5 - Khi m 5 lim y nên x tiệm cận đứng x 2 - Khi m 5 y x2 5x x nên tiệm cận đứng x2 Bài tốn Tùy theo m , tìm tiệm cận ngang đồ thị hàm số y mx x3 x ( m tham số) x3 m x x Giải Ta có y mx x3 x mx x3 x x 2 2x m 2 x x x m x x 3x Vì xlim y m 0, lim y x Nếu m nên m hàm số khơng có tiệm cận ngang Khi m y x3 x x3 x x Ta có xlim y lim y y x tiệm cận ngang đồ thị hàm số Dạng toán 2: TIỆM CẬN XIÊN Đường thẳng y ax b, a gọi tiệm cận xiên đồ thị y f x lim f x ax b lim f x ax b x x Cho đồ thị C : y f x Tiệm cận xiên d : y ax b với: a lim x f x f x , b lim f x ax a lim , b lim f x ax x x x x x r x tiệm cận xiên: Đặc biệt, chia tách y f x ax b r x xlim y ax b Chú ý: b 1) Biểu thức tiệm cận x : x bx c x 2) Điều kiện cần để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên hàm số xác định khoảng ; a khoảng b; 3) Khử dạng vơ định - Nếu có dạng vơ định x x0 phân tích tử thức mẫu thức thừa số x x0 , hay nhân chia lượng liên hợp, - Nếu có dạng vơ định x , x chia tử thức mẫu thức cho lũy thừa cao x , hay nhân chia lượng liên hiệp để khử thức, - Nếu có dạng vơ định , đặt nhân tử chung lũy thừa cao x , quy đồng phân số, nhân chia lượng liên hợp để khử căn, chuyển qua dạng khác Chú ý thêm bớt, chia tách, đặt ẩn phụ, Bài tốn Tìm tiệm cận xiên đồ thị hàm số: x3 b) y x 1 a) y x x2 Giải a) Vì lim y x 5 lim x x nên tiệm cận xiên đường thẳng y x (khi x2 x x ) b) Ta có a1 xlim f x x3 lim 1 x x x x x3 x b1 lim f x x lim x lim 0 x x x x x nên tiệm a2 lim x cận xiên đường thẳng yx (khi x ) f x 1, b2 lim f x x nên đường thẳng y x tiệm cận xiên đồ x x thị (khi x ) x3 x Cách khác: y x x 1 x 1 Bài tốn Tìm tiệm cận xiên đồ thị hàm số: a) y 3x x x5 b) y 3x x x2 2x Giải a) Ta có y 3x x 3x x5 x3 Vì xlim y 3x 1 xlim nên tiệm cận xiên đường thẳng y 3x x3 b) Ta có: D R Tiệm cận xiên: y ax b với a y 3x x Ta có: a xlim lim 0 x x x x x Vậy đồ thị khơng có tiệm cận xiên (TCX) Bài tốn Tìm tiệm cận xiên đồ thị hàm số: y x2 x Giải 1 x 1 x x lim Ta có: a1 lim x x x x x2 x 1 b1 lim x x x lim x x x x 1 x 1 x 1 x lim lim x x 1 1 x 1 x 1 1 x x x x x2 x lim x x Vậy đường thẳng y x tiệm cận xiên (khi x ) và: 1 x 1 x x 1 a2 lim x x x 1 b2 lim x x x lim x x x2 x x 1 x 1 x lim lim x x 1 1 x 1 x 1 1 x x x x x2 x lim x x nên đường thẳng y x tiệm cận xiên đồ thị (khi x ) Bài tốn Tìm đường tiệm cận xiên đồ thị hàm số sau: y x2 x Giải D ;1 3; Gọi y ax b TCX thì: y x2 4x a1 lim lim lim 1; x x x x x x x b1 lim y x lim x lim x x x2 4x x 4 x x lim 2 x x 4x x 1 1 x x 4 Vậy tiệm cận xiên: y x (khi x ) y x2 4x a2 lim lim lim x x x x x b2 lim y x lim x x x 1 x x lim 1 x x x x2 x2 4x x 4 4 x 4 x lim lim 2 x x x x x x x x 2 x x2 x x2 4 x lim x Vậy tiệm cận xiên: y x (khi x ) Cách lim x y x2 4x x khác: x2 4x x x x x suy TCX Bài tốn Tìm đường tiệm cận xiên đồ thị hàm số sau: y x x2 x Giải Tập xác định: D R Tiệm cận xiên: y ax b với a y x Ta có: a1 xlim lim x b1 lim y x lim x x nên tiệm cận xiên: y x y x Ta có: a2 xlim lim 2 x 4x2 2x 4; x x x x lim x 2x 1 4x 2x 1 2x (khi x ) 4x2 2x nên khơng có tiệm cận xiên x x Bài tốn Tìm đường tiệm cận xiên đồ thị hàm số sau: y x x Giải D 0; Ta có: lim y x lim x x nên TCX: y x (khi x ) x Bài toán Tùy theo tham số m , tìm đường tiệm cận xiên đồ thị hàm số: y mx x x Giải Ta có: y mx x 1 nên: mx x x 1 lim y mx 1 lim 0; lim y mx 1 lim x x x x x x y mx tiệm cận ngang tiệm cận xiên Khi m y 1 tiệm cận ngang Khi m y mx tiệm cận xiên Dạng tốn 3: TÌM CÁC TIỆM CẬN - Đường thẳng x x0 gọi tiệm cận đứng đồ thị hàm số y f x điều kiện sau thỏa mãn: lim f x ; lim f x ; lim f x ; lim f x x x0 x x0 x x0 x x0 - Đường thẳng y y0 gọi tiệm cận ngang đồ thị hàm số y f x lim f x yo lim f x yo x x - Đường thẳng y ax b, a gọi tiệm cận xiên đồ thị hàm số y f x lim f x ax b lim f x ax b x x Chú ý: 1) Nếu tập xác định D R khơng có tiệm cận đứng 2) Điều kiện cần để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang tiệm cận xiên hàm số xác định khoảng ; a khoảng b; Tiệm cận ngang trường hợp đặc biệt tiệm cận xiên Nếu đồ thị hàm số có tiệm cận ngang x x khơng có tiệm cận xiên phía tương ứng ngược lại Bài tốn Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số sau: a) y x2 3x b) y Giải a) D R \ 3 x 3x 2x 1 Ta có lim y , lim y nên TCĐ x Ta có lim y nên TCN x 2 2 3 x x 3 3 y Đồ thị khơng có TCX b) D R \ 2 Ta có lim y , lim y nên TCĐ x 1 x 2 1 x 2 Tiệm cận xiên ngang có dạng: y ax b a lim x y x 3x lim x x x x 1 x 3x x x 7 x b lim y lim lim x x x 2 x 1 x x 1 x nên đường thẳng y tiệm cận xiên đồ thị Bài tốn Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số sau: a) y x2 x2 1 b) y x x 1 Giải a) D R \ 1;1 Ta có lim y lim y nên có TCĐ: x 1 x 1 x 1 y nên TCN: y Ta có xlim Đồ thị khơng có TCX b) D R \ 1 Ta có lim y lim y nên TCĐ: x 1 x 1 x 1 y nên TCN: y Ta có xlim Đồ thị khơng có TCX Bài tốn Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số sau: 2x 1 a) y x x x3 b) y x 2x Giải a) D R \ 0 Ta có lim y lim y nên TCĐ: x x 0 x 0 lim y x 3 lim x x 2x 1 nên TCX: y x x2 b) D R \ 0; 2 suy TCĐ: x x Ta có y x3 4x nên TCX: y x x2 2 x 2x x 2x Bài tốn Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số sau: a) y x3 x x2 1 b) y x2 x 5 x x Giải a) D R \ 1;1 suy TCĐ: x 1 x x3 x 2x 1 Ta có y nên xlim x y x , TCX: y x x 1 x 1 3 b) D R \ 1; suy TCĐ: x 1 x 5 Ta có xlim y 1 nên TCN: y 5 Đồ thị khơng có TCX Bài tốn Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số sau: a) y x x2 b) y x4 x2 Giải a) D ; 1 1; Đồ thị khơng có TCĐ y x2 1 Ta có: a xlim lim 1 2; x x x b lim y x lim x x x x lim x 1 x2 1 x 0 nên tiệm cận xiên: y x (khi x ) lim y lim x x lim x x b) D 4;2 2; x 1 x 1 x nên tiệm cận ngang: y (khi x ) Ta có lim y , lim y nên TCĐ: x x 2 x 2 Ta có xlim y nên TCN: y (khi x ) Bài tốn Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số: a) y tan x b) y cot x Giải a) ĐK: x Ta có k , k Z lim x k 2 y , lim x k 2 b) ĐK: x k , k Z Ta có y nên có vơ số TCĐ: x k , k Z lim y , lim y nên có vơ số TCĐ: x k , k Z x k x k Bài toán Tìm tiệm cận đồ thị: a) y cos x b) y x sin x x Giải a) ĐK: x , lim y, lim y khơng tồn nên khơng có TCĐ x 0 x 0 x Ta có xlim y lim cos nên có TCN: y x y 9 8 nên TCĐ b) ĐK: x , ta có lim x 0 Vì xlim y x 9 xlim sin x nên TCX: y x x Bài tốn Tìm tiệm cận đồ thị hàm số y x x cos x 2sin Giải Điều kiện x 2sin Vì lim y nên tiệm cận đứng: x 2sin x 2sin y x cos sin Vì xlim 4sin sin cos x 2sin 4sin sin cos nên tiệm cận xiên: y x cos sin x 2sin x mx Bài toán Tùy theo m , tìm tiệm cận đồ thị: y x 1 Giải Ta có: y x mx m2 x m 1 , x x 1 x 1 - Khi m 2 xlim y x m 1 xlim Ta có: lim x 1 m2 nên y x m tiệm cận xiên x 1 x mx x mx m 2 lim m 2 nên TCĐ x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 (với - Khi m 2 y x 1 x ), đồ thị đường thẳng (trừ điểm 1;0 ) nên trùng với tiệm cận xiên Bài tốn 10 Tùy theo m , tìm tiệm cận đồ thị: y mx3 x 3x Giải Ta có: y mx3 7mx 6m mx 3m 2 x 3x x 3x Khi m y x3 x2 x , x 1, x x 3x x2 x3 x2 x Khi m y , x 1, x x 1 8 x 3x Từ suy Với m x tiệm cận đứng Với m x tiệm cận đứng Với m m đồ thị có hai tiệm cận đứng x x Ta có xlim y mx 3m xlim 7mx 6m nên đồ thị có TCN, TCX: y mx 3m x 3x Dạng tốn 4: BÀI TỐN LIÊN QUAN TIỆM CẬN - Hàm số y f x với tập xác định D gọi hàm số chẵn nếu: x D x D f x f x - Hàm số y f x với tập xác định D gọi hàm số lẻ nếu: x D x D f x f x Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng, hàm số lẻ nhận gốc tọa độ tâm đối xứng - Công thức chuyển hệ trục Oxy thành IXY phép tịnh tiến OI với điểm x X x0 I x0 ; y0 : y Y y0 - Cơng thức góc hai vectơ: cos a, b a, b a.b a1b1 a2b2 a12 a22 b12 b22 - Công thức khoảng cách hai điểm A xA , yA B xB , yB xB xA yB yA AB AB 2 - Công thức khoảng cách từ điểm M x0 ; y0 đến đường thẳng: : ax by c : d M ; Bài toán Cho hàm số: y ax0 by0 c a b2 mx 3m2 x x 3m Tìm m để góc tiệm cận 450 Giải Ta có: y mx 6m ,m x 3m Khi m đồ thị có TCĐ TCN vng góc: loại Khi m đồ thị có tiệm cận đứng: x 3m tiệm cận xiên: y mx Hai tiệm cận hợp góc 450 tiệm cận xiên hợp với trục hồnh góc 450 m 1 x Bài toán Cho hàm số y mx Tìm m để hàm số có cực trị khoảng cách từ điểm cực tiểu đến tiệm cận xiên Giải mx D R \ 0 , y ' x2 Ta có: y ' mx2 Xét m : (loại) Xét m : x y' x BBT: m , điều kiện có cực trị m , ta có m Điểm cực tiểu A ;2 m m Đồ thị có tiệm cận xiên d : y mx mx y Điều kiện: d A; d Bài toán Cho hàm số: y m 2 m m2 2m m2 m 1 m (chọn) x2 4x có đồ thị x2 Cm Chứng minh tích khoảng cách từ điểm đồ thị C đến đường tiệm cận đồ thị C số Giải x2 x x Ta có: y x2 x2 hai đường tiệm cận d1 : x d2 : y x x y 7 Gọi M x; y thuộc C : T x x x : không đổi 2 x 2 Bài toán Tìm tất điểm M thuộc C : y x 1 x 1 cho khoảng cách từ M đến giao điểm hai đường tiệm cận C ngắn Giải Đồ thị C : y x 1 có TCĐ: x , TCN: y nên giao điểm tiệm cận I 1;1 x 1 Ta x 1 M x; C x 1 có x 1 IM x 1 1 x 1 2 Dấu “=” x 1 x 1 x 1 x 1 nên khoảng cách: 4 x 1 x 2 Vậy có hai điểm M thỏa mãn toán: M1 1 2;1 , M 1 2;1 Bài toán Cho hàm số y x 1 m x Cm Tìm m để tiệm cận xiên Cm tạo với x 1 trục tọa độ thành tam giác có diện tích 18 Giải Hàm số y x m m2 , D R \ 1 x 1 Ta có xlim y x m nên tiệm cận xiên d Cm có phương trình y x m Giao điểm d với Ox : A m;0 , giao điểm d với Oy : B 0; m Diện tích tam giác OAB S m2 Điều kiện S 18 m2 18 m 6 Bài toán Chứng minh đồ thị C : y x khơng có điểm tiếp x tuyến song song với tiệm cận xiên đồ thị hàm số cho Giải Đồ thị C có TCX: y x 1, hệ số góc a Ta có hệ số góc tiếp tuyến đạo hàm nên k f ' x 2, x suy x2 đpcm Bài toán Chứng minh giao điểm tiệm cận đứng ngang tâm đối xứng đồ thị C : y x 5 2x Giải 3 D R \ Ta có lim y , lim y nên TCĐ: x 3 3 2 x x 2 2 Ta có lim y x 1 nên TCN: y 2 Gọi I giao điểm tiệm cận I ; 2 x X Giải hệ tọa độ phép tịnh tiến theo vectơ OI : y Y X 5 13 Thế vào C được: Y Y 3 4X 2 X Vì Y F x 13 hàm số lẻ nên đồ thị C nhận gốc I tâm đối xứng 4X Bài toán Chứng minh giao điểm tiệm cận đứng xiên tâm đối xứng đồ thị C : y x2 x x 3 Giải Ta có: y x nên C có TCĐ: x TCX: y x 1, giao điểm x 3 x X y Y tiệm cận I 3; Chuyển hệ tọa độ phép tịnh tiến theo vectơ OI : Thế vào C được: Y X Vì Y F X X 5 Y X X 33 X hàm số lẻ nên đồ thị C nhận gốc I làm tâm đối xứng X Bài tốn Tìm tham số m để đồ thị C hàm số: a) y 4 x có tâm đối xứng có tọa độ 3; 4 xm b) y x mx 19 có tâm đối xứng có tọa độ 5; x 5 Giải a) Đồ thị C : y điểm I m; 4 4 x có tiệm cận đứng x m tiệm cận ngang y 4 nên giao xm Chuyển hệ tọa độ phép tịnh tiến OI gốc I m; 4 tâm đối xứng, m Cách khác: gọi A 3; 4 , chuyển hệ tọa độ phép tịnh tiến OA đặt điều kiện hàm số lẻ b) Ta có y x m 5m 44 nên đồ thị x 5 C có TCĐ: 44 x 5 m TCX: y x m nên giao điểm I 5;10 m Chuyển hệ tọa độ phép tịnh tiến OI I tâm đối xứng nên 10 m Vậy m 8 BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài tập Tìm tiệm cận đứng đồ thị: a) y x 1 x 3x b) y 4x x2 b) y 4x2 1 x2 5x b) y x3 x sin x x2 1 HD-ĐS a) Điều kiện: x x 3 Kết tiệm cận đứng: x x 3 b) Tập xác định: D R Kết khơng có tiệm cận đứng Bài tập Tìm tiệm cận ngang đồ thị: a) y x 1 x 3x HD-ĐS y Kết tiệm cận ngang y a) xlim y Kết tiệm cận ngang y b) xlim Bài tập Tìm tiệm cận xiên đồ thị: a) y x x 1 HD-ĐS a) Vì xlim y x 2 xlim 0 x 1 Kết tiệm cận xiên: y x b) Tách: y x3 x sin x sin x 3x x x 1 x2 1 Kết tiệm cận xiên: y x Bài tập Tìm tiệm cận xiên đồ thị: a) y 3x x2 x b) y x sin x HD-ĐS a) Tiệm cận xiên d : y ax b với a xlim a xlim f x , b lim f x ax x x f x , b lim f x ax x x Kết tiệm cận xiên: y x y x b) Tính a Kết khơng có tiệm cận xiên Tìm tiệm cận đồ thị: Bài tập a) y x x 1 x 1 b) y x x2 x HD-ĐS a) lim y x 1 Tiệm cận xiên d : y ax b với: a xlim a xlim f x , b lim f x ax x x f x , b lim f x ax x x Kết tiệm cận đứng x tiệm cận xiên y x b) Kết tiệm cận ngang y tiệm cận xiên y x Bài tập Tìm m để tiệm cận xiên đồ thị: x m 1 x a) y qua M 1;1 xm b) y x mx tạo với trục tọa độ thành tam giác có S x 1 HD-ĐS x m 1 x m2 m 2x 1 m a) y xm xm Nên tiệm cận xiên đồ thị: y x m Kết m b) y x mx m x m 1 x 1 x 1 Nên tiệm cận xiên đồ thị: y x m Giao điểm với Ox A m 1;0 giao điểm với Oy B 0; m 1 Kết m 1 Bài tập a) Tính góc tiệm cận đồ thị C : y x 3x x 1 x m x 2m b) Tìm m để đồ thị y nhận I 2;1 làm tâm đối xứng x2 HD-ĐS a) y x 3x 2 nên tiệm cận đứng x tiệm cận xiên y x x4 x 1 x 1 Kết 450 b) Tâm đối xứng giao điểm tiệm cận đứng tiệm cận xiên Kết m 4 Bài tập Tìm điểm M đồ thị H : y 4x có tổng khoảng cách đến tiệm cận x 3 bé HD-ĐS Tiệm cận đứng x tiệm cận ngang y Gọi điểm M đồ thị H : y Kết M 0;1 M 6;7 4x 4x M x; x 3 x 3 ... m2 18 m 6 Bài toán Chứng minh đồ thị C : y x khơng có điểm tiếp x tuyến song song với tiệm cận xiên đồ thị hàm số cho Giải Đồ thị C có TCX: y x 1, hệ số góc a Ta... Ta có: lim y x lim x x nên TCX: y x (khi x ) x Bài toán Tùy theo tham số m , tìm đường tiệm cận xiên đồ thị hàm số: y mx x x Giải Ta có: y mx x 1 nên:... nên tiệm cận đứng x2 Bài tốn Tùy theo m , tìm tiệm cận ngang đồ thị hàm số y mx x3 x ( m tham số) x3 m x x Giải Ta có y mx x3 x mx x3 x x 2 2x