CHỦ ĐỀ VII MẶT NÓN – HÌNH NÓN – KHỐI NÓN Dạng toán 1 MẶT NÓN – HÌNH NÓN Mặt nón tròn xoay Mặt nón tròn xoay sinh ra khi quay đường thẳng l cắt đường thẳng cố định tại S và hợp với đường thẳng một[.]
CHỦ ĐỀ VII MẶT NĨN – HÌNH NĨN – KHỐI NĨN Dạng tốn MẶT NĨN – HÌNH NĨN Mặt nón trịn xoay: Mặt nón trịn xoay sinh quay đường thẳng l cắt đường thẳng cố định S hợp với đường thẳng góc khơng đổi Mặt nón N có trục , đỉnh S góc đỉnh 2 Nếu M điểm tùy ý mặt nón khác với điểm S đường thẳng SM nằm hồn tồn mặt nón Hình nón, khối nón - Phần mặt nón giới hạn mặt phẳng P vng góc với trục gọi hình nón - Hình nón với phần bên gọi khối nón Trục SO Đường sinh SM l Góc đỉnh 2 Bán kính đáy R chiều cao h thì: l h2 R Diện tích xung quanh: S xq Rl Thể tích khối nón: V R h Thiết diện cônic: Nếu cắt mặt nón trịn xoay mặt phẳng P khơng qua đỉnh mặt nón giao tuyến là: (1) Một đường elip mp P cắt đường sinh (đặc biệt, P vng góc với trục mặt nón giao đường tròn) (2) Một đường parabol mp P song song với đường sinh (3) Một đường hypebol mp P song song với hai đường sinh Chú ý: 1) Phương pháp đường sinh 2) Thiết diện cắt mặt phẳng qua đỉnh hình nón cắt mặt nón theo đường sinh SA, SB tạo thành tam giác cân SAB Đặc biệt thiết diện qua trục hình nón tam giác cân SAB với SA, SB đường sinh AB đường kính đáy 3) Khối gọi khối nón cụt: cắt khối nón mặt phẳng song song với đáy Thể tích khối nón cụt: V B BB B h h R R2 RR Bài toán Trong mặt phẳng P cho điểm O cố định Xét đường thẳng l thay đổi luôn qua O hợp với P góc khơng đổi Chứng minh l ln ln nằm mặt nón Giải Hình chiếu l P l Theo giả thiết g l , P g l , l không đổi Gọi đường thẳng vng góc với mp P O , góc hợp l 90 không đổi Vậy l nằm mặt nón đỉnh O trục góc đỉnh 90 Bài toán Cho mặt cầu S O; R A nằm mặt cầu Chứng minh đường thẳng d qua A tiếp xúc với S O; R nằm mặt nón Giải Cho đường thẳng d tiếp xúc S M , ta có OM AM suy tam giác AOM vuông M sin MAO OM R không đổi AO AO MAO khơng đổi Vậy đường thẳng d nằm mặt nón có trục AO , đỉnh A góc đỉnh 2 Bài toán Cho hai điểm A, B cố định Tìm tập hợp đường thẳng d qua A cách B đoạn không đổi d Giải Hạ BH d ABH vuông H sin BAH BH d không đổi AB AB Do BAH khơng đổi Vậy tập hợp đường thẳng d mặt nón nhận đường thẳng AB làm trục, có đỉnh A góc đỉnh 2 Bài toán Thiết diện qua trục khối nón tam giác vng cân có cạnh huyền a Tính thể tích diện tích xung quanh khối nón Giải Theo giả thiết hình nón có bán kính đáy R h a , đường sinh l a 2 a3 Ta có: V R h 24 S xq Rl a2 2 Bài toán Cho hình nón đỉnh S đường cao SO, A B hai điểm thuộc đường trịn đáy hình nón cho khoảng cách từ O đến AB a SAO 30, SAB 60 Tính thể tích, diện tích xung quanh hình nón Giải Gọi I trung điểm AB OI AB, SI AB, OI a Ta có: AO SA cos SAO AI SA cos SAI Từ đó: SA SA AI AI mà cos IAO AO AO sin IAO a a R OA OA Xét tam giác SAO , ta có: h SO OA.tan 30 l SA a 2 OA a a cos 30 Thể tích diện tích xung quanh hình nón: a3 V OA2 SO , S xq OA.SA a 3 Bài tốn Cho hình nón S , góc đường sinh d mặt đáy Một mặt phẳng P qua đỉnh S , hợp với mặt đáy góc 60 Tính diện tích thiết diện khoảng cách từ O đến mp P Giải Thiết diện tam giác SAB cân S Gọi I trung điểm AB Ta có AB OI , SI SIO 60 SOA, SOI vuông O nên: SO d sin , OA d cos SI 2d sin d sin , OI 3 d2 d AI OA OI 3cos2 sin AI 4cos nên: 3 2 SSAB 2d sin SI AB 4cos Vẽ OH SI OH SAB , OH khoảng cách từ O đến mặt phẳng SAB Tam giác OHI nửa tam giác nên: d O, P OH OI d sin 2 Bài tốn Cho hình vng ABCD nội tiếp đường tròn O; R Gọi H hình gồm điểm hình trịn O; R khơng nằm hình vng Tính thể tích hình trịn xoay sinh hình H quay quanh đường thẳng AC Giải Khi quay quanh đường chéo AC hình trịn O; R sinh khối cầu S , đoạn thẳng BD sinh hình trịn C hình vng ABCD sinh hình trịn xoay H gồm hai hình nón có chung đáy C với đỉnh A C Bởi vậy, H sinh khối trịn xoay gồm điểm thuộc hình cầu S không thuộc H thể tích V khối là: V V S VH R3 R R R3 3 Bài tốn Cho hình thang ABCD vng A B quay xung quanh đường thẳng chứa AB ta khối gọi khối nón cụt Hãy tính thể tích khối nón cụt biết cạnh hình thang là: AB h, AC R, BD R R R Giải Gọi S giao điểm DC AB Khi quay quanh AB , tam giác SAC sinh khối nón N , cịn tam giác SBD sinh khối nón N Gọi V thể tích khối nón cụt thì: 1 V V N V N R SB R2 SA 3 Ta có: SA AC R SB BD R Suy SA R SA R hR SA SB SA R R h R R R R Từ SB SA h hR R R h R3 R3 hR 2 hR Vậy V R R R R R R R R h R R2 RR Bài tốn Một hình thang cân ABCD có cạnh đáy AB 2a, DC 4a , cạnh bên AD BC 3a Hãy tính thể tích diện tích tồn phần khối trịn xoay sinh hình thang quay quanh trục đối xứng Giải Gọi S giao điểm hai cạnh bên AD BC hình thang Đường cao SO tam giác cân SCD trục đối xứng hình thang, SO cắt AB trung điểm O AB Khi quay quanh SO , tam giác SCD sinh khối nón tích V1 , tam giác SAB sinh khối nón tích V2 , cịn hình thang ABCD sinh khối trịn xoay H tích V V1 V2 1 Vậy V OC SO OB SO 3 1 4a SO a SO 3 a 4SO SO Ta có AB đường trung bình tam giác SCD nên SB 3a đó: SO SB2 OB 9a a 2a SO 2SO 2a 14 Vậy V a 16 2a 2a a 3 Gọi S1 S diện tích xung quanh khối nón khối trịn xoay H có: S xq S1 S2 OC.SC OB.SB 9 a Stp 9 a a 4 a 14 a Bài toán 10 Tam giác ABC vuông A, AB c, AC b Gọi V1 , V2 , V3 thể tích khối trịn xoay sinh tam giác quay quanh AB, AC, BC Chứng minh 1 2 2 V3 V1 V2 Giải Khi quay tam giác ABC quanh AB , ta khối nón có chiều cao c bán kính đáy b nên tích: V1 cb Khi quay tam giác ABC quanh AC , ta khối nón có chiều cao b bán kính đáy c nên tích: V2 bc Gọi AH đường cao tam giác ABC Khi quay tam giác ABC quanh BC , ta hai khối nón sinh tam giác ABH ACH quay quanh BC Vì AH bc b c2 nên 1 V3 AH BH AH CH AH BC 3 b2c b2c 2 b2 c b c b2 c 2 b c 9b 9c 1 Ta có 2 2 4 4 4 V3 bc b c b c V1 V2 Dạng toán NỘI NGOẠI TIẾP HÌNH NĨN - Mặt cầu ngoại tiếp hình nón có tâm tâm đường trịn ngoại tiếp thiết diện qua trục hình nón Tâm E giao điểm trục SO trung trực đường sinh Bán kính r SE - Mặt cầu nội tiếp hình nón có tâm tâm đường trịn nội tiếp thiết diện qua trục hình nón Tâm I giao điểm trục SO phân giác góc tạo đường sinh SM với OM Bán kính r IO Chú ý: 1) Ta sử dụng tam giác vng đồng dạng để tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp r SE tính chất phân giác IO / IS MS / MO tam giác vng IOM để tính bán kính mặt cầu nội tiếp r IO 2) Diện tích xung quanh mặt nón: S xq Rl Thể tích khối nón: V R h 3) Diện tích mặt cầu: S 4 R2 Thể tích khối cầu: V R3 Bài tốn Cho hình chóp lục giác S ABCDEF cạnh đáy a , cạnh bên b Tính diện tích xung quanh hình nón ngoại tiếp Giải Hình nón ngoại tiếp có đường sinh cạnh bên b bán kính đáy: AD BC a R Vậy S xq R.l ab Bài toán Cho hình chóp S ABC có cạnh bên có đáy tam giác vng A Biết khoảng cách từ S đến mp ABC a , khoảng cách từ B đến mp SAC 2a , diện tích tam giác SAC 2a Tính thể tích diện tích xung quanh hình nón đỉnh S với đáy đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Giải Hình chóp S ABC có cạnh bên nên hình chiếu S lên mp ABC tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Mà tam giác ABC vuông B nên tâm O trung điểm BC Do SO a Gọi M trung điểm AC OM AC Hạ OH SM OH SAC OH d O, SAC a d B, SAC Tam giác vuông SOM ta có: 1 1 a OM 2 2 OH OS OM OM a a a 3a SM SO OM a 8 2 Tam giác SAC ta có: SSAC 2SSAC 2a 8a SM AC AC SM 3a Tam giác vuông OMC, SOC : OC OM MC a 32a a 530 12 265a a 674 SC SO OC a 72 12 2 Thể tích khối nón: 1 265a 265 a3 V R h OC SO a 3 72 216 Diện tích xung quanh hình nón S xq Rl OC.SC a 530 a 674 a 357220 12 12 144 Bài tốn Một hình trụ có hai đáy hai hình trịn O; R O; R , OO R Xét hình nón có đỉnh O đáy hình trịn O; R a) Tính tỉ số diện tích xung quanh hình trụ hình nón b) Mặt xung quanh hình nón chia khối trụ thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần Giải a) Diện tích xung quanh hình trụ là: S1 2 R.R 2 R Lấy đường sinh OM hình nón thì: OM OO2 OM 2R2 R2 R Diện tích xung quanh hình nón là: S2 R.R R 3, S1 2 S2 3 b) Khối trụ khối nón có đáy chiều cao nên thể tích khối trụ ba lần thể tích khối nón Như vậy, mặt xung quanh hình nón chia khối trụ thành hai phần: Khối nón phần cịn lại tích hai lần thể tích khối nón Vậy tỉ số thể tích hai phần Bài tốn Một hình nón trịn xoay có chiều cao 3, có đáy hình trịn có bán kính Một hình lập phương nội tiếp cho mặt nằm mặt phẳng đáy, đỉnh mặt đối diện hình lập phương thuộc mặt nón Tính thể tích hình lập phương Giải Ta xét mặt phẳng chứa trục hình nón hai đỉnh đối diện đáy hình lập phương Mặt phẳng cắt hình lập phương theo thiết diện hình chữ nhật MNPQ có cạnh MQ s , cạnh MN s , với s độ dài cạnh hình lập phương Mặt phẳng nói cắt hình nón theo thiết diện tam giác SAB Các tam giác đồng dạng AQM ASO cho ta: s 1 Vậy V s s 2 , suy s 9 6 343 Bài toán Một hình nón có chiều cao h bán kính đáy r Hãy tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình nón Giải Giả sử hình nón có đỉnh S có đáy đường trịn C O; r Lấy điểm A cố định đường tròn đáy gọi I điểm nằm SO cho AI phân giác góc SAO I tâm mặt cầu nội tiếp hình nón, bán kính R IO Ta có: SA OS OA2 h2 r Theo tính chất đường phân giác, ta có: IO OA IO OA IO r IS SA IO IS OA SA h r h2 r Vậy bán kính mặt cầu nội tiếp là: R IO rh r h2 r Bài tốn Một hình nón có chiều cao h bán kính đáy r Hãy tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón Giải Giả sử hình nón có đỉnh S lấy điểm M cố định đường tròn đáy O; r tam giác SOM vng O Tâm I mặt cầu ngoại tiếp hình nón giao điểm SO mặt phẳng trung trực SM , bán kính R IS Gọi SS đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón SS h Tam giác SMS vng M , có đường cao MO nên: MO OS OS r h SS h SS r2 r h2 h h h Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón là: R r h2 2h Bài toán Cho hình nón có góc đỉnh 2 Tính tỉ số bán kính mặt cầu ngoại tiếp bán kính mặt cầu nội tiếp hình nón Giải Bán kính mặt cầu ngoại tiếp R bán kính mặt cầu nội tiếp bán kính đường trịn ngoại tiếp R bán kính đường trịn nội tiếp r thiết diện qua trục tam giác cân SBC Gọi x bán kính đáy hình nón Theo định lý hàm số sin SBC : Trong tam giác vuông OIC : tan BC sin S 2R R x sin 2 C r r x tan 45 x 2 cot 45 R 2 Do tỉ số: r sin 2 sin 2 tan 45 2 BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài tập Trong mặt phẳng P cho điểm O cố định Xét đường thẳng l thay đổi, qua O cho góc l mp P không đổi Chứng minh l ln nằm mặt nón trịn xoay HD-ĐS Trục đường thẳng qua O vng góc với P Bài tập Cho hình nón tích 96 , tỉ số đường cao đường sinh Tính diện tích xung quanh hình nón HD-ĐS Kết S xq Rd 60 Bài tập Cho hình nón đỉnh S , bán kính đáy R , góc đỉnh hình nón 2 , 45 90 a) Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón b) Tính diện tích thiết diện mp P cắt hình nón theo hai đường sinh vng góc với HD-ĐS a) Kết S xq b) Kết S R2 , V R3 cot sin R2 2sin Bài tập Cho hình nón S , góc đường sinh d mặt đáy Một mặt phẳng P qua đỉnh S , hợp với mặt đáy góc 60 Tính diện tích thiết diện khoảng cách từ O đến mp P HD-ĐS Kết SSAB 2d sin d sin 4cos 1, d O, P Bài tập Cho tam giác ABC cạnh a P mặt phẳng qua BC vng góc với mặt phẳng ABC Gọi C đường trịn đường kính BC nằm mp P a) Tính bán kính mặt cầu qua đường tròn C điểm A b) Xét hình nón ngoại tiếp mặt cầu nói cho tiếp điểm hình nón mặt cầu đường trịn C Tính thể tích khối nón HD-ĐS a) Kết R b) Kết V a 3 a3 3 Bài tập Cho hình nón đỉnh S đường cao SO, A B hai điểm thuộc đường trịn đáy hình nón cho khoảng cách từ O đến AB a SAO 30, SAB 60 Tính thể tích, diện tích xung quanh hình trịn HD-ĐS Kết V a3 , S xq a Bài tập Cho lục giác ABCDEF cạnh a Tính thể tích hình trịn xoay sinh lục giác quay quanh: a) Đường thẳng AD b) Đường thẳng qua trung điểm cạnh AB DE HD-ĐS a) Kết V a3 3 a3 12 b) Kết V Bài tập Cho hình nón có đỉnh S đáy hình tròn O Trên đường tròn đáy lấy điểm A cố định điểm M di động Biết AOM , SAM tạo với mặt đáy hình nón góc khoảng cách từ O đến SAM a Tính thể tích khối nón chứng minh hình chiếu O mặt phẳng SAM nằm đường tròn cố định HD-ĐS Kết V a3 cos 2 sin cos ...3) Khối gọi khối nón cụt: cắt khối nón mặt phẳng song song với đáy Thể tích khối nón cụt: V B BB B h h R R2 RR Bài toán Trong mặt phẳng P cho điểm O cố định Xét đường... trục, có đỉnh A góc đỉnh 2 Bài toán Thi? ??t diện qua trục khối nón tam giác vng cân có cạnh huyền a Tính thể tích diện tích xung quanh khối nón Giải Theo giả thi? ??t hình nón có bán kính đáy R ... Một mặt phẳng P qua đỉnh S , hợp với mặt đáy góc 60 Tính diện tích thi? ??t diện khoảng cách từ O đến mp P Giải Thi? ??t diện tam giác SAB cân S Gọi I trung điểm AB Ta có AB OI , SI SIO