Tich phan on thi thpt qg mon toan

TÍCH PHÂN HÀM CĂN THỨC, MŨ, LÔGARIT Dạng toán 1 TÍCH PHÂN HÀM CĂN THỨC Tích phân Giả sử  f x liên tục trên khoảng K và ,a b K và  F x là 1 nguyên hàm của  f x thì         b b a a f x dx[.]

TÍCH PHÂN HÀM CĂN THỨC, MŨ, LƠGARIT Dạng tốn TÍCH PHÂN HÀM CĂN THỨC Tích phân: Giả sử f  x  liên tục khoảng K a, b  K F  x  nguyên hàm f  x  thì: b f  x  dx  F  b   F  a   F  x  a  b a Phương pháp tích phân đổi biến số: Dạng 1: Nếu x  u  t  có đạo hàm liên tục ,  u     a, u   b thì: b  a  f  x  dx   f  u  t  u  t   dt  Dạng 2: Nếu t  v  x  có đạo hàm liên tục f  x  dx  g  t  dt thì: b v b  a v a   f  x  dx   g  t  dt Phương pháp tích phân phần: Nếu u  x  , v  x  có đạo hàm liên tục đoạn  a; b b  udv  u.v b b a   v.du a a Các dạng hàm thức: b dx   x  m  x  n  : Đặt t  xm  xn a b  k  x dx : Đặt x  k sin t k cos t a b  a b  x m : Đặt t  x  x2  m x  mdx : Đặt u  x  m , dv  dx a b   x   a dx px  qx  r : Đặt t  x     R  x, k  x dx : Đặt x  k sin t k cos t  R  x, k  x dx : Đặt x  k tan t k cot t b a b a    R  x, b x  k dx : Đặt x  a  b  R  x;  a n k k sin t cos t x   x     dx : Đặt t  n x   x    Chú ý: 1) Biến đổi chia tách, thêm bớt, khai triển, nhân chia lượng liên hợp, trục mẫu, mũ m n phân số a  a ,… n m 2) Phối hợp bảng công thức, phương pháp đổi biến số để đưa nguyên hàm, tích phân đa thức, tích phân hữu tỉ nêu,… Bài tốn Tính tích phân:  1  a) A      dx x x 1 b) B   4x x2  dx Giải     23   a) A    x  x  dx   3 x    3  x 1   1 b) B   x  1 x2   dx  x   4 Bài tốn Tính tích phân: a) A   x  1dx b) B   3x3  x dx Giải 1  x  1 d  x  1    x  1    20 3  a) A   2 1   7 4 1 1 3 3 b) B    3x   d  3x     3x    91 12 12 Bài tốn Tính tích phân: a) I   4 x dx x b) J   Giải a) Đặt t   x  x  t   dx  2tdt x 1  dx x 1  Khi x  t  2; x  t  t2 1   dt   1    dt t  t  t    6 3 I  2 t 2    t  ln  t2     3   ln 25  10    b) Đặt t  x   x  t   dx  2tdt J   t  2 2tdt   2t     t 3 1   dt   6ln t 3 Bài tốn Tính tích phân 7/3 a) K   x 1 dx 3x  dx x 1  x 1 b) L   Giải a) Đặt t  3x   x  Khi x  t  1, x  t 1  dx  t dt t  2  t5 t3  46 K    t  2t  dt      31  15  15 b) L   22 3 1 3  2  x   x  dx    x  1   x  1   3 1   Bài tốn Tính tích phân a a /2 a) A   a  x dx b) B   dx a  x2 Giải  a) Đặt x  a sin t với   t   dx  a cos t  Khi x  t  0, x  a t   /2 Aa   /2 cos t cos tdt  a   /2 a  sin 2t  a  t    2 0 a2 cos tdt  2  /2  1  cos 2t  dt  b) Đặt x  a sin t với   t  a  t  Khi x  t  0; x   /6 B a cos tdt  a cos t   dx  a cos tdt  /6   dt  Bài tốn Tính tích phân b  a) C  b dx x b  b) D  x  bdx Giải    dx  x2  b  x a) Đặt t  x  x  b  dt  1   b  2b  C b dt  ln t t  b   ln   b b) D  b  2b x  bdx  x  x  b b b 2  x2  b  b x b b b  Nên D  2 b   b x2  x2  b b x b dx  dx x b dt t dx dx  b  D  b  x2  b   b  dx  b  ln  2  Bài tốn Tính tích phân: a) I   x3dx b) J   x2  x5  x3 x2  dx Giải a) Đặt t   x2  x2   t  xdx  tdt Khi x   t  2, x   t  I     t  tdt  t  t3   t dt  t       2  16 3 3 b) Đặt t  x2   x2  t   xdx  tdt Khi x   t  1, x   t  J  t  1 t  1 t 26 1  tdt    t  1 dt   t  t   5 1 Bài tốn Tính tích phân: a) K    x2 dx x4 x b) L   1/2  1 dx x x4  Giải t a) Đặt x   dx  1 dt t2 1/2 K    t  t dt   1/2 b) L   2  5  1  t  d 1  t      2     1  x dx  dx   x  1/2  1 x2  x     x x  1 1/2 2   1 13     ln x    x      ln   x x 13     1/2 Bài tốn Tính tích phân: 1 a) A   x3 x  3dx b) B   x  x dx 0 Giải a) Đặt t  x2   x2  t   xdx  tdt Ax  t5  x  3xdx    t  3 t.tdt    t  3t  dt    t  5  3 2 2  8   b) Đặt x  sin t    t    dx  cot dt  2 Khi x  t  0, x  t   /2 B  sin t cos tdt  2  /2   sin 2tdt   /2   /2  cos 4t  sin 4t   dt   t    8 0 16 Bài toán 10 Tính tích phân: a) A   x5  x dx b) B   x  3dx Giải a) Đặt t   x2  x2   t  xdx  tdt Khi x  t  1, x  t  A   1  t  t7  t  t  dt    t  2t  1 t dt    t  t    105 7  2   1 b) B   x  3dx  x x     2 x2   x 3 0 dx    3 2 x2 x2  x 3 dx dx Đặt t  x  x2  tính B   3ln Bài toán 11 Tính tích phân: a/ x dx a) I   b) J  x  x 1  xdx a2  x2  a  x2  Giải a) Ta có 1  x  x    x    ,  x  x  1  x  2   3 Đặt x  A   x      B  x  1  C  2 4 Đồng A  1, B  2, C   nên   1 2x 1 1   I    x      2 2 0  1  1  x   x        2 2        dx     2x 1  3 1     x  x   ln  x   x  x      ln 1     3   a/ b) J   xdx a2  x2  a2  x2 Đặt t   a  x  dt  a 1 J  a 1   dt  t t a 1 a 1 xdx a2  x2 2 Bài tốn 12 Tính tích phân:   xdx   t  1 dt 2a   a   4096  a) A  xdx 128 dx b) B   x  x x  5x  Giải a) Đặt x  t12 dt  12t11dt Khi x  128 t  2, x  4096 t   t14 t4  dt  12 t  t   dt   t 1 t 1  2 A  12   t10 t   12    ln t    10 5  2  464  31   12   ln  5    b) Đặt t  x   x   1  x   x   dt    dx x  2 x     1   dt     dx  x  2 x    B dx  x   x  3 2 dx  x   x  3  2dt  ln t t 1  2 1  2dt t  ln 2 1 Bài tốn 13 Tính tích phan: a) I   x2 dx  x  1 x  4 dx b) J   x  3x  Giải 2 du   tan u, u  0;  dx  3 cos u  2 a) Đặt x  Khi x  u  , x  u   Ta có I     tan u   tan u  1 du    du cos u cos udu  2sin u   cos u  2sin u   1  sin u   dt  3 t    t  1 t  1   (với t  sin u )    4 2 2   dt     0 t 1 t 1  t    3   1 3    4 ln  t     ln t    ln  t  1     0        4ln  ln  Vậy I  4ln  ln    t2  b) Đặt t  3x   x  Suy dx  dt 3 Khi x  t  , x  t  t2  2 2 t2  J   23 tdt   dt t 1  t 4  1    4 2 dt  t 1    dt    t      ln  dt   ln 32 t 1 2  t 1 t   t 1 4 4 Vậy J   ln Bài toán 14 Tính tích phân:   x2 dx a) I   x4 b) J   x2  dx x 3x  Giải  a) Đặt x  2sin u, u  0;  dx  2cos udu  2   Khi x  u  , x  u   I     4sin u  2sin u    cos u cos udu  8sin u 2cos udu      6   6 cos u cos u d  sin u  du   du     cot udu  cot u  4   sin u  sin u  sin u 4   6 1 72   cot u    sin u 12 Vậy I  72 b) Đặt t  3x   x  t 1 2tdt  dx  3 Khi x  t  , x  t   t2  t   1  4  2tdt dt  J   t  dt    2   t 1 92 t 1 2 t      t  1 dt  2    dt 92 t 1 t   2 4 4 21 t 1 100    t  t   ln   ln 93 t  27 2 Bài tốn 15 Tính tích phân: a) I  64 x3dx  b) J   x2   x 1  dx x x Giải a) I   x x5 x dx    x   x dx  x x  4dx   x dx 5 5 Tính x x  4dx Đặt x2   t  x2  t   xdx  tdt Khi x   t  2; x   t  x  253 1 x  4dx    t   t.tdt    t  4t  dt   t  t    15 5 2 3 Thay vào ta I  253 5  60 1 x dx x 64 b) Ta có J   Đặt t   x  t   x  2tdt  dx x Đổi cận: x   t  2; x  64  t  3 76 Suy ra: J   4t dt  t  3 2 x Bài toán 16 Chứng minh: f  x    t dt hàm số chẵn 1 t4 Giải Đặt t  s tích phân f   x   x  Ta được: f   x   x  x t 1 t dt   s  s4 t dt 1 t4 ds  f  x   đpcm Dạng TÍCH PHÂN HÀM MŨ Nguyên hàm mũ  e dx  e x x C ax  a dx  ln a  C x  e udx  e u  a udx  u u C au  C  a  0, a  1 ln a Các dạng hỗn hợp: Phương pháp phần: b  P  x  e ax dx : Đặt u  P  x  , dv  eax dx a b e ax sin xdx : Đặt u  eax , dv  sin xdx ax cos xdx : Đặt u  eax , dv  cos xdx a b e a Bài toán Tính tích phân:  a) A   e x 1   e x   dx x  b) B    3s  2s  ds Giải b) Đặt u  x3  2, dv  e x dx Khi du  3x2 dx, v  e x B  e  x    3 x 2e x dx x 0 Dùng tích phân phần lần B  Bài tốn Tính tích phân: ln dx x e 1 a) A   b) B  dx  ex 1 ln Giải a) Đặt t  e x dx  e3 dt , x  t  e, x  t  e3 t e3 e3 dt  1 A      dt  ln t  e  ln t t t  1 e  t  t  e  b) Đặt t  e x   e x  t   dx  t e  ln  e2  e  1  2tdt t 1 dt  Đặt t  tan u B  1 B e3 Bài tốn Tính tích phân: a) A   xe x 1  x  3x dx 3x  3 x b) B   dx Giải 1  e x 1 e x  e ex ex ex  dx   dx  dx   dx a) A   0  x   x 0  x    1 x 0 1  x    3 x dx B  C   dx  3x  3 x 0 1 b) Xét C   3x  3 x 1 ln  3x  3 x   ln B  C   x  x dx  3 ln ln 3 0 1 1 Do đó: B  1  ln  ln 3   Bài tốn Tính tích phân:  a) I   e cos xdx x  /2 b) J   e Giải a) Đặt u  cos x, dv  e x dx, du   sin x, v  e x sin x  cos x  cos xdx   0 I   cos x.e x    e x sin xdx  1  e   sin xd  e x    1  e   sin x.e  x Do I  1  e  I    /2 b) J  esin x d  sin x     /2    e  x cos xdx  1  e  I  e  1  cos x  dx  /2 1      esin x  x  sin x   e   4  0 Bài tốn Tính tích phân:  /2 a) A    b) B   e2 x sin xdx e3 x sin xdx 0 Giải a) Đặt u  e3x , dv  sin 5xdx Khi du  3e3 x , v   cos x  /2   A  e   cos x    0 3x  /2 e 3x cos xdx Đặt u  e3x , dv  cos5xdx Khi du  3e3 x , v  sin x  /2  3  /2 3.e    e3 x cos xdx   e3 x sin x   A  A  34  0    1 b) B   1  cos x  d  22 x   e2 x 1  cos x    e2 x sin xdx 40 20 Dùng phần lần liên tiếp B  2  e  1 Bài toán Tính tích phân: x a) A   1  x   e x dx 1/2  x b) B   1  x2 dx  2x Giải x x a) A   e x dx    x   e x dx 2 1/2 1/2  xe b) B   1 x x  x  x  1x  x  1x 52      x   e dx    x   e dx  e x x 1/2  1/2  1/2 2  x2  x2 dx   dx  2x  2x  Đặt x  t 1  x2 2t  t 2x  x2 dx  dt  0  2t 0  2x dx  2x 1    x2 x Do B    2x 1 dx    x dx  Đặt x  sin t B  Bài tốn 10 Tính tích phân:  a) A   x 2e x sin xdx b) B  sin x  3x  dx  Giải a) Đặt u  x2 sin x, dv  e x dx A  e x sin x   e x  x sin x  x cos x  dx x 0 1 0  e sin1  2 xe x sin xdx   x 2e x cos xdx Từ tính A  e sin1 b) Đặt x  t dx  dt nên:  B     sin t 3x.sin x dt   dx x 1   1 3t  Do 2B   sin xdx     1  cos x  dx  B    Bài tốn 11 Tính tích phân: ln a) I   x dx x e  e x  b) J    xe x dx x2  x  Giải ln  a) Ta có I  Đặt u  x, dv  e ex  1 x ln ln e  e xe x x  1 dx dx Khi du  dx, v   x Ta có: I   x  e 1 Tính J  ln x dx  x e  e x  ln  dx ln   x e 1 ln e e 1 x dx 1 x dx dt Đặt e x  t x  ln t  dx  t 1 x Khi x   t  1; x  ln  t  2 dt 1      dt  ln t  ln t  1  2ln  ln t t  1  t t    2 J  Thay vào ta I  ln  ln  x  1 Tính dx   xe x  x  1 dx 2 xe x xe x  dx   0  x  12 dx x  0  x  12  b) Ta có J   xe x   x  1 1 dx Đặt u  xe x , dv  dx  x  1 Khi du   x  1 e x dx; v   1 x 1 xe x 1 dx    Ta có:   x  1 e x dx x 1 0 x 1  x  1 xe x 1 e e e     e x dx    e x dx   2 e Thay vào ta J  Bài tốn 12 Tính tích phân: ln a) I   ex  ex  dx b) J   x 2e x  x  2 Giải a) Đặt e x   t t  e x  nên e x dx  2tdt dx Khi x   t  2; x  ln  t  ln I ln e x dx  ex   e e x dx x ex  2tdt 2tdt  1    2 dt     dt  t 2t t 3 2  t  3 t 3  3  2t   2 1 1 ln t   ln t    ln 3 3 1 2 42 ln  2 ln  3   u  x 2e x du   x  x  e x dx du  x  x   e x dx    b) Đặt   dx   1 dv  v v     x  2  x2  x2  Do J   x 2e x  x  2 2 x 2e x dx     xe x dx  e  K , với K   xe x dx x2 0 Tính K: u  x du  dx   x x dv  e dx v  e Đặt  Do K  xe x   e x dx  2e2  e x  2e2  e2   e2  2 Vậy J  e2  e2   Dạng TÍCH PHÂN HÀM LƠGARIT Phương pháp tích phân đổi biến số: Dạng 1: Nếu x  u  t  có đạo hàm liên tục ,  u     a, u   b thì: b  a   f  x  dx   f u t   u t  dt Dạng 2: Nếu t  v  x  có đạo hàm liên tục f  x  dx  g  t  thì: b v b  a v a   f  x  dx   g  t  dt Phương pháp tích phân phần: Nếu u  x  , v  x  có đạo hàm liên tục đoạn  a; b b  udv  u.v b b a   v.du a a b Dạng  x  ln xdx : Đặt u  ln x, dv  x dx a ln  x a x dx : Đặt t  ln x b Dạng Bài toán Tính tích phân: e b) J   ln  x  1 dx a) I   ln xdx Giải e a) I   x ln x    dx  e   e  1  e x dx b) J  x ln  x  1    ln      dx x 1 x 1  0 1  Đặt x  tan t tính J  ln   Bài toán Tính tích phân: e a) I    ln x  dx     b) I   ln x  x  dx 2 Giải e e a) I  x  ln x   2 ln xdx  e  1   b) Ta tách tích phân: I   ln x  x  dx   ln x  x  dx 2   0 Tính tích phân J   ln x  x  dx 2 Đặt x  t dx  dt Đổi cận: x  2  t  2; x   t  0       Thì J   ln t  t  dt   ln t  t  dt    ln x  t  dt 2 2 Thay vào ta được: I    Nhận xét: f  x   ln x  x  hàm số lẻ  2; 2 Bài toán Tính tích phân: a) A   ln  x  x  dx b) B   x5 ln xdx Giải 2x 1   a) A  x ln  x  x    dx  3ln  2ln      dx  3ln  2 x 1 x 1  2 3 b) Đặt u  ln x, dv  x5dx Khi du  dx , v  x6 x 2  x ln x  x dx 32 B   ln     1 Bài tốn Tính tích phân: e e b) B    x  x  1 ln xdx a) A   x ln xdx 1 Giải a) Đặt u  ln x, dv  xdx Khi du  2ln x dx, v  x x e e e  x2  e2 A   ln x    x ln xdx    x ln xdx  1 Đặt u  ln x, dv  xdx Khi du  e dx x2 ,v  x x2 e2 e2  x ln xdx  ln x  xdx   e   A    1 2 1 4 e e b) Đặt u  ln x, dv   x2  x  1 dx thì: e e  x3 x   x3 x 1 B     x  ln x      x  dx   x 1 e  x2 x  e3 e 2e3 e2 31    e      1 dx    3  36 1 Bài tốn Tích tính phân: e a) I   1  ln x dx x x b) J    ln x  dx Giải e a) I   1  ln x  1 e   d 1  ln x   1  ln x   2  3 b) J    ln x  d  ln x   ln x   3   ln 3 3 Bài tốn Tính tích phân: e ln x dx x ln x dx x a) A   b) B   Giải a) A  2 ln xd  x    x ln x   2 4 1 e dx dx  4ln  x  x   ln  1 1 b) B    ln xd     ln x   dx   x x e  x 1 e e Bài tốn Tính tích phân:  /2 a)  cos x ln  sin x  dx b) B   ln  /4 x 1 dx x 1 Giải  /2 a) A    /4  /2 ln  sin x  d  sin x   sin x.ln  sin x  /4   /2  cos xdx  /4  /2 2 2  ln  sin x  ln  4  /4 x 1  2x b) B   x ln    dx  3ln  6ln x 1  2 x 1  Bài tốn Tính tích phân: a) A    ln x  x  1 b) B  dx  Giải 1   ln x dx   x  1 x  x  1  x 1  a) A     ln x  d  3  ln 3 dx 1 27      dx      ln  1x x 1  16  3   x ln x  x  dx x2    x b) Đặt u  ln x  x  , dv   B  x  1.ln x  x  x2   thì:   dx  2ln  Bài tốn Tính tích phân: e a) I    1  x  ln x  dx b) J   sin x ln 1  cos x  dx  x ln x Giải e a) Ta có: I   1  x  ln x  3dx  e 1  x ln x   1  ln x  dx   x ln x  x ln x 1  ln x  ln x e dx  x   dx   e  1  J  x ln x  x ln x 1 e e e  2 dx   1  ln x dx  x ln x e Tính J   Đặt t   x ln x  dt  1  ln x  dx 1 e Khi x  t  , x  e t   e nên J   dt 1 e  ln t  ln 1  e  t Vậy ta có I   e  1  ln 1  e  b) Đặt t   cos2 x  dt  2cos x   sin x  dx   sin xdx Khi x  t  , x   t  Ta có:  2 J  2 cos x ln 1  cos x    sin xdx   2  2t  3 ln dt    2t  3 ln tdt Đặt u  ln t , dv   2t  3 dt Khi du  J   t  3t  ln t  2  t  3t  1 dt , v  t  3t t dt dt  4ln  2  t  3 t t  t2   4ln    3t    4ln 2 1 Bài toán 10 Tính tích phân: a) I   x  ln x  x  1    ln xdx   x  3ln x e dx  b) J    ... x  3 2 dx  x   x  3  2dt  ln t t 1  2 1  2dt t  ln 2 1 Bài toán 13 Tính tích phan: a) I   x2 dx  x  1 x  4 dx b) J   x  3x  Giải 2 du   tan u, u  0;  dx 