ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Dạng toán 1 TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Diện tích hình phẳng Từ định nghĩa tích phân, với 0y f x và liên tục trên đoạn ,a b thì diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ[.]
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Dạng tốn TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Diện tích hình phẳng - Từ định nghĩa tích phân, với y f x liên tục đoạn a, b diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị y f x , trục hoành đường thẳng x a, x b là: b S f x dx a - Mở rộng cho y f x liên tục đoạn a, b diện tích giới hạn là: b S f x dx a - Đối với đồ thị y f x , y g x liên tục đoạn a, b diện tích giới hạn đồ thị đường thẳng x a, x b là: b S f x g x dx a Nếu đoạn nghiệm x m, x n liên tiếp f x g x thì: m n m m f x g x dx f x g x dx Phương pháp tính - Xác định diện tích theo định nghĩa gồm hàm y f x trục Ox , chưa có hai biên phải tìm hồnh độ giao điểm Hoặc gồm hàm x g y trục Oy , chưa có hai biên phải tìm tung độ giao điểm - Xác định diện tích theo đồ thị phải đánh dấu miền diện tích giới hạn biên Nếu hình cần tính chưa có hàm số xác định, ta phải chuyển phương trình cho thành dạng hàm số, hàm đường biên,… - Phá dấu giá trị tuyệt đối xét dấu, chia miền so sánh dùng đồ thị - Ngồi cách tính trực tiếp ta chia nhiều phần diện tích để tính, lấy diện tích lớn trừ bớt phần dư đổi vai trò x y Dựa vào tính đối xứng để tính gọn Bài tốn Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y cos2 x , trục hoành, trục tung đường thẳng x Giải Ta có y cos2 x với x , trục tung Oy : x Theo định nghĩa diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y cos2 x , trục hoành, x x là: 1 (đvdt) S cos xdx 1 cos x dx x sin x 2 2 0 Bài tốn Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y x 2 e2 x , trục hoành đường thẳng x 0, x Giải Ta có y x 2 e2 x 0, x 0;3 Theo định nghĩa diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y x e2 x , trục hoành đường thẳng x 0, x 3 S x e2 x dx x 2 d e2 x 20 1 1 x e2 x e2 x dx 5e6 e6 3e6 (đvdt) 20 4 Bài tốn Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y x3 x , trục hoành đường thẳng x 2, x Giải Theo định nghĩa diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y x3 x , trục hoành đường thẳng x 2, x 4 S x3 x dx 2 2 x3 x dx x3 x dx x3 x dx 44 (đvdt) Bài toán Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y x x 1 x 2 trục hồnh Giải Ta có y x x 1 x 2 x 1, x 0, x Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y x x 1 x trục hoành: S x x 1 x 2 dx 1 x 1 x x dx x3 x x dx 37 (đvdt) 12 Bài tốn Tìm diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị C hàm số: y x 10 12 trục hoành x2 Giải x 10 x 12 Ta có y x 1, x x2 Diện tích hình phẳng S cần tìm là: S 1 x 10 12 dx x2 16 14 x dx x2 1 14 x x 16ln x 1 63 16ln (đvdt) Bài tốn Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x2 , y x Giải PTHĐGĐ: x2 x x2 x x 1, x Với 1 x : x2 x x2 x : Đúng Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x2 , y x là: S 4 x 1 x dx 1 x3 x x x dx x (đvdt) 1 Bài tốn Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x y x Giải Vẽ đồ thị hàm số: y x y x Do tính đối xứng nên diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x y x là: S 2 x x dx 1 x x dx x x dx 0 1 73 x x 4x x x 6x (đvdt) 2 0 Bài tốn Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: x y x 1 y4 Giải Vẽ đường cong: x y x y Do tính đối xứng nên diện tích hình phẳng giới hạn đường: x y x y là: S S1 S2 1 16 56 x 2 dx 2 dx x (đvdt) 15 2 Cách khác: S 2 y 1 y dy Bài tốn Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: y px, x py p Giải Vẽ parabol: y px, x2 py p 0 x2 Hoành độ giao điểm: px x 0, x p 2p Diện tích hình phẳng giới hạn đường: y px, x py p là: 2p x2 x3 S px dx p (đvdt) p px p 2p 0 2p Bài tốn 10 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x, y y x2 miền x 0, y Giải Vẽ đồ thị hàm số y x, y y x2 miền x 0, y Với x 0, y x y, x y Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x, y y S x2 miền x 0, y là: 32 y y dy y y (đvdt) 0 3 Bài tốn 11 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y x , y x y 4 x Giải Vẽ đồ thị hàm số y x2 , y x y 4 x Vì hai đường thẳng: y 4x 4, y 4 x tiếp tuyến P : y x2 nên diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x , y x y 4 x là: S x 2 x dx x x dx 8 16 (đvdt) 3 Bài tốn 12 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x x x trục hoành Giải Hàm số y x x x x x Cho y x x x Vì x x x với x 0; 2 nên diện tích giới hạn là: 2 S x x x dx x x 1 dx 2 0 Đặt x sin u, u ; dx cos udu 2 2 Khi x u , x u S 2 1 sin u cos u.cos udu cos udu cos udu cos u cos 2u u sin 2u du cos3 u 0 2 2 Vậy S 2 (đvdt) Bài tốn 13 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x 1 3 x trục hồnh Giải Ta có y x 1 3 x 4x x Với x ;1 x 1 3 x 4 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x 1 3 x Ox : S x 1 3 xdx Đặt 3 x t x 3 t nên dx t dt 4 Khi x t 0; x t 1 3 1 (đvdt) S t t dt t t 16 1 16 1 448 Bài tốn 14 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y Giải x 1 x 3x x2 Phương trình hồnh độ giao điểm: x 1 x x 3x Với x 0;3 3x x2 x 1 Diện tích giới hạn S 3x x 3x x dx dx x 1 x 1 0 3x x2 dx dx x x dx x x 0 0 3 3 27 15 x x ln x 2ln (đvdt) 2 0 Bài toán 15 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y e x 1, y ex 1 x ln Giải Phương trình hoành độ giao điểm hai đường cong y e x y e 1 Ta có e x x : ex e 1 x e 1 x , x 0;ln 3 nên diện tích hình giới hạn x e dx 0 ex ln S Đặt t e x dt ex ex x e x dx ex 1 dx Khi x t 2; x ln 2tdt t 1 x2 3x y x 1 2tdt S t t t 1 2 2 t dt 2 2t ln t ln t 2 t t t dt 2 ln (đvdt) Bài toán 16 Tìm diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị: y x3 tiếp tuyến điểm A 1; 2 Giải Ta có y 3x nên tiếp tuyến A y 3x PTHĐGĐ: x3 1 3x x3 3x x 1 x Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị: y x3 tiếp tuyến điểm A 1; 2 là: S 3x x3 dx 1 3x x dx 1 27 (đvdt) Bài tốn 17 Tìm diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị: y x2 x tiếp tuyến qua B 2; 9 Giải Vẽ đồ thị parabol: y x2 x Ta có y x nên hai tiếp tuyến qua B là: y 4 x có tiếp điểm E 1;3 y 8x 25 có tiếp điểm F 5;15 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị: y x x tiếp tuyến qua B 2; 9 là: S S1 S2 1 x x 4 x 1 dx x x 8 x 25 dx 18 (đvdt) Bài toán 18 Tính diện tích hình Elip E có phương trình đường biên: E : x2 y Suy diện tích hình trịn bán kính R a b2 Giải Ta có x2 y b 1 y a x2 a b a Phương trình E góc phần tư thứ I là: y b a x2 a a 4b Theo tính đối xứng S 4S1 a x dx a Đặt: x a sin t , với t dx a cos t.dt Đổi cận: x t 0; x a t /2 /2 2 0 Khi đó: S 4ab a a sin t cos tdt 4ab cos t cos tdt 4ab cos tdt 2 /2 2ab /2 1 cos 2t dt 2ab t sin 2t ab (đvdt) 0 Đặc biệt: a b R có diện tích hình trịn R Bài tốn 19 Cho P : y x đường thẳng d qua A 1;3 có hệ số góc k Tìm k để diện tích hình phẳng giới hạn d P có diện tích nhỏ Giải d : y k x 1 PTHĐGĐ: x2 k x 1 x2 kx k k 4k 12 0, k Gọi nghiệm x1 , x2 thì: x1 S x2 x2 k x3 k x 1 x dx x k 3 x x 2 1 x2 x1 k 4k 12 k 4k 12 6 3 2 k 6 Dấu k nên S k Dạng tốn TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY Thể tích khối trịn xoay b - Thể tích vật thể tổng quát: V S x dx a - Thể tích khối trịn xoay: Khi quay hình phẳng giới hạn y f x , y (trục hoành) x a, x b quanh trục hoành b V y dx a Đặc biệt, quay quanh trục Oy hình phẳng giới hạn x g y , x y c, y d d tích: V x dy c Phương pháp tính - Xác định theo cơng thức - Xác định hình theo đồ thị phải đánh dấu miền diện tích giới hạn biên Dựa vào tính đối xứng để tính gọn Nếu hình cần tính chưa có hàm số xác định, ta phải chuyển phương trình cho thành dạng hàm số, hàm đường biên,… - Ngoài tính trực tiếp ta chia nhiều phần diện tích để tính tổng thể tích khối trịn xoay, lấy thể tích lớn trừ bớt phần dư,… Sau xác lập tích phân cần tính vận dụng bảng cơng thúc ngun hàm, tích phân, tính chất nguyên hàm, tích phân, hai phương pháp đổi biến số, tích phân phần với kỹ thuật biến đổi: khai triển, chia tách, thêm bớt, nhân lượng liên hiệp, viết dạng mũ phân số, phân tích thành phân số, biến đổi lượng giác,… phép đổi biến số đặc biệt nêu phần trước Bài tốn Tính thể tích vật thể mà thiết diện vng góc với trục Ox hình vng biết rằng: a) Có đáy tam giác cho y x, y x b) Có đáy hình trịn giới hạn x2 y Giải a) Thiết diện x 0;1 hình vng cạnh x có diện tích S x x 1 0 Vậy V S x dx x dx (đvdt) b) Thiết diện x 1;1 hình vng cạnh AB , A x; y với y x2 Khi AB x2 , diện tích thiết diện S x 1 x2 1 Vậy V 1 x dx 8 1 x dx 1 16 (đvdt) Bài tốn Tính thể tích vật thể hai mặt phẳng: a) x 0, x thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x x 2 nửa hình trịn đường kính 5x b) x 0, x thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x x tam giác cạnh sin x Giải a) Ta có hình trịn đường kính R x R 5x2 Diện tích nửa hình trịn đường kính 5x S x 5x2 Thể tích vật thể hai mặt phẳng: x 0, x thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x x 2 nửa hình trịn đường kính 5x là: b 2 5x4 x5 V S x dx dx 4 (đvdt) 8 a b a b) Ta có V S x dx 2 sin x dx sin xdx cos x (đvdt) Bài tốn Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng quanh Ox : a) Giới hạn đường y cos x, y 0, x x b) Giới hạn đường y 0, x y x Giải a) V /4 cos xdx /4 (đvdt) 1 cos x dx x sin x 2 2 b) V x 1 dx x x 1 dx 4 /4 7 (đvdt) Bài toán Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng quanh Ox : x a) Giới hạn đường y xe , y 0, x x b) Giới hạn đường y 0, y x2 Giải 1 0 a) V x 2e x dx x d e x x 2e x 2 xe x dx 0 x1 x e 2 xe e dx e 1 (đvdt) 0 b) Do tính đối xứng hình phẳng qua trục tung nên: 8 V 2 x dx 9 3 8 27 16 (đvdt) 9x x 0 Bài tốn Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng quanh Ox , giới hạn y x, y sin x, x 0; 2 Giải Vẽ đồ thị y x, y sin x, x 0; 2 Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng quanh Ox , giới hạn y x, y sin x, x 0; 2 V V1 V2 /2 2 x2 sin x dx 2 2 (đvdt) 12 Bài tốn Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng quanh Ox , giới hạn bởi: y x2 3x 3, y x, x Giải Vẽ đồ thị y x2 3x 3, y x, x Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng quanh Ox , giới hạn bởi: y x2 3x 3, y x, x V V1 V2 V3 V4 x 3x x dx x x 3x dx 7 64 233 (đvdt) 15 30 Bài tốn Tính thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đồ thị C : y x , trục Ox đường thẳng x 2, x quay quanh trục Ox 1 x Giải Vẽ đồ thị C : y Ta có V x 1 x 1 x 2x 1 dx dx 1 1 x 2 2 x2 2x dx 1 1 x 2 1 x 2 2 4 8 x ln 1 x 2 ln (đvdt) 1 x Bài tốn Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x e3 x trục tọa độ, quanh trục hoành Giải Hàm số y x e3 x Trục tung x , cho y x Vì x e3 x , với x ;0 nên thể tích khối tròn xoay là: V 1 x e 6x dx Đặt u x, dv e6 x dx Khi du 2dx, v e6 x 1 x 1 1 1 Ta có: V e6 x e6 x dx e 3 18 18e3 Vậy V (đvdt) 18e 1 Bài tốn Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đồ thị xe x hàm số y x , trục hoành đường thẳng x xung quanh trục hoành e 1 Giải xe x Ta có y x x e 1 Do hình phẳng hình thang cong giới hạn đường cong y xe x , y 0, x x ex 1 1 Thể tích khối trịn xoay V y dx Đặt u x, dv ex e x Khi du dx, v Ta có: e x 1 dx dx 1 e 1 x 1 x dx 1 ex dx dx e x 0 e x e 0 e x ex 1 xe x 1 xe x 1 x ln e x e 1 e e 1 ln e 1 e 1 Vậy thể tích khối tròn xoay V ln (đvdt) e 1 e Bài toán 10 Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y x 3 x , y , đường thẳng x xung quanh trục hoành Giải Ta có y x 3 x x 1 Thể tích khối trịn xoay V y dx 1 x 32 x dx Đặt u x 1, dv 32 x dx Khi du 2dx; v Ta có: 1 x 2 x 1 dx 32 x 1 x 2ln ln 1 32 x 6ln 2ln Vậy V 2 x 2ln 3 2 x dx 26 3ln 18ln 26 3ln (đvdt) 18ln Bài toán 11 Tính thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng quanh trục Oy : a) Giới hạn bởi: y x 1 , x 0, y b) Giới hạn bởi: y ln x, y 0, x e Giải y3 a) Ta có x y x 1 1, y x 1 x 3 y3 1 480 V (đvdt) dy y y dy 40 0 b) x e y ln x 1; y ln x x e y Ta có V V1 V2 e2 e2 y dy 1 e2 y e2 y e (đvdt) 0 Bài toán 12 Tính thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng quay quanh trục Oy : a) Giới hạn đường y x x2 y b) Giới hạn đường y x , x tiếp tuyến x Giải a) x x2 x x y x x x 1 y x 1 1 y Tính thể tích khối trịn xoay sinh V V1 V2 y 4 1 1 y dy 8 (đvdt) ydy 1 y y 3 b) Phương trình tiếp tuyến y x Tính thể tích khối trịn xoay sinh 1 2 3 V y dy y dy 2 1/3 1 3 y 2 2 31 1/3 36 (đvdt) Bài tốn 13 Chứng minh thể tích V khối chỏm cầu bán kính R chiều cao h h V h2 R 3 Suy thể tích khối cầu bán kính R Giải Xét cung trịn O; R : y R x thể tích chỏm cầu cần tìm là: V R Rh R x3 R x dx R x Rh 2 R3 R h h R R R h h2 R 3 3 R Kết quả: Thể tích khối cầu V 2 R R R3 3 Bài toán 14 Đường thẳng d qua y kx k cắt Ox, Oy M , N Tìm k để thể tích khối trịn xoay tạo quay tam giác OMN quanh Oy đạt giá trị bé Giải y kx k , k x y 1 k k Thể tích khối nón tạo thành: V k 1 k 1 y dy k k k 3 , k 3k k 1 , V k k 2 3 k k V k Lập BBT V k V 2 9 (đvdt) BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài tập Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị: a) y xe x , y x 1, x x b) y , y x 0, x x4 HD-ĐS 2 a) S x.e dx x.e dx x.e x dx dùng tích phân phần x x 1 1 e Kết e2 (đvdt) 1/ b) S Kết x 1 x dx đổi biến t x (đvdt) 12 Bài tập Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: a) y sin x cos3 x; y x 0; x b) y x2 x; y x2 x HD-ĐS /2 a) S sin x.cos3 xdx đặt t sin x Kết (đvdt) 15 b) Phương trình hồnh độ giao điểm: x2 x x2 x x2 x x x Kết (đvdt) Bài tập Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: b) y x ; y a) y 2x ; y x; x x2 ; y x HD-ĐS a) Phương trình hồnh độ giao điểm: 2x x 2x x x y x , cho y x Vẽ đồ thị cắt chia diện tích giới hạn đồ thị Kết (đvdt) ln b) Phương trình hồnh độ giao điểm: x x2 x2 x2 x 8 x3 x x x2 x3 64 x x Vẽ đồ thị cắt chia diện tích giới hạn đồ thị Kết 8ln2 (đvdt) Bài tập Cho Parabol P : y x2 Xét hình giới hạn tiếp tuyến P đường x 0, x 1, y Tìm tiếp tuyến d để hình phẳng có diện tích lớn HD-ĐS Lập phương trình tiếp tuyến x a Hình giới hạn tiếp tuyến P đường x 0, x 1, y hình thang vng Kết d : y x Bài tập Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên ta quay quanh trục Ox hình phẳng S giới hạn đường: a) y tan x; x 0; x ; y b) y xe x , x 1, y với x HD-ĐS a) V /3 tan xdx /3 cos 1 dx x Kết (đvdt) 3 b) V x e2 x dx dùng tích phân phần Kết V e 1 (đvdt) Bài tập Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên ta quay quanh trục Ox hình phẳng S giới hạn đường: a) y x2 , y x2 b) y ln x, y 0, x e HD-ĐS a) Phương trình hồnh độ giao điểm x2 x2 x2 x 1 Vẽ hai đồ thị để phân chia xác định miền quay quanh Ox Kết 16 (đvdt) e b) V ln xdx dùng tích phân phần 5e3 Kết 27 (đvdt) Bài tập Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên ta quay quanh trục Oy hình phẳng S giới hạn đường: x2 a) P : y , y 2, y trục Oy b) y x , y y x HD-ĐS a) V g y dy với x g y y , x Kết 12 (đvdt) 2 b) Vẽ đồ thị để phân chia xác định miền quay quanh Oy Kết 32 (đvdt) 15 Bài tập Gọi d đường thẳng qua M 1;1 với hệ số góc k Giả sử d cắt Ox, Oy A B Tính thể tích khối trịn xoay sinh OAB quanh trục Ox Xác định k để khối tròn xoay tích nhỏ HD-ĐS d đường thẳng qua M 1;1 với hệ số góc k : y k x 1 y kx k A : y x k 1 k B : x y k Tính thể tích khối trịn xoay sinh OAB quanh trục Ox : V 1 k kx k dx f k Kết V 9 , đạt k ... hàm số y x , trục hoành đường thẳng x xung quanh trục hoành e 1 Giải xe x Ta có y x x e 1 Do hình phẳng hình thang cong giới hạn đường cong y xe x , y 0, x x ex 1 1 Thể tích... x 1 0 Vậy V S x dx x dx (đvdt) b) Thi? ??t diện x 1;1 hình vng cạnh AB , A x; y với y x2 Khi AB x2 , diện tích thi? ??t diện S x 1 x2 1 Vậy V 1 x... thể hai mặt phẳng: a) x 0, x thi? ??t diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x x 2 nửa hình trịn đường kính 5x b) x 0, x thi? ??t diện vật thể bị cắt mặt phẳng