bai giang mat tru hinh tru va khoi tru

BÀI 2: MẶT TRỤ MỤC TIÊU  Kiến thức + Nắm định nghĩa mặt trụ trịn xoay, hình trụ tròn xoay khối trụ tròn xoay + Nắm vững cơng thức tính diện tích xung quanh hình trụ, diện tích đáy hình trụ, diện tích tồn phần hình trụ, thể tích khối trụ  Kĩ + Nhận biết khối tròn xoay khối trụ + Tính yếu tố liên quan đến hình trụ, khối trụ chiều cao, diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, diện tích thiết diện, thể tích khối trụ + Giải toán liên quan đến khối trụ toán cực trị, toán thực tế LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM MẶT TRỤ TRÒN XOAY Trong mp  P  cho hai đường thẳng  l song song với nhau, cách khoảng r Khi quay mp  P  xung quanh  đường thẳng l sinh mặt tròn xoay gọi mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt mặt trụ - Đường thẳng  gọi trục - Đường thẳng l gọi đường sinh - Khoảng cách r gọi bán kính mặt trụ HÌNH TRỤ TRỊN XOAY Ta xét hình chữ nhật ABCD Khi quay hình xung quanh đường thẳng chứa cạnh, chẳng hạn cạnh AB , đường gấp khúc ABCD tạo thành hình gọi hình trụ trịn xoay hay gọi tắt hình trụ - Đường thẳng AB gọi trục - Đoạn thẳng CD gọi độ dài đường sinh - Độ dài đoạn thẳng AB  CD  h gọi chiều cao hình trụ (độ dài đường sinh chiều cao hình trụ) - Hình trịn tâm A, bán kính r  AD hình trịn tâm B , bán kính r  BC gọi hai đáy hình trụ - Phần mặt trịn xoay sinh điểm cạnh CD quay quanh AB gọi mặt xung quanh hình trụ KHỐI TRỤ TRỊN XOAY Phần khơng gian giới hạn hình trụ trịn xoay kể hình trụ ta gọi khối trụ trịn xoay hay ngắn gọn khối trụ Các khái niệm tương tự hình trụ Chú ý: Vẽ hình biểu diễn hình trụ hay khối trụ CƠNG THỨC CẦN NHỚ Cho hình trụ có chiều cao h, bán kính đáy r ta có: - Diện tích xung quanh S xq  2 rh - Diện tích đáy (hình trịn) S ht   r - Diện tích tồn phần Stp  S xq  2.S Đ  2 rh  2 r - ta thường vẽ hình bên Thể tích khối trụ Vkt  B.h   r h TOANMATH.com Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA MẶT TRỤ MẶT TRỤ TRỊN XOAY Trong mp  P  , cho hai đường thẳng  d song song với nhau, cách khoảng r Khi quay mp  P  xung quanh  đường thẳng d sinh mặt trịn xoay gọi mặt trụ tròn xoay KHỐI TRỤ TRỊN XOAY Phần khơng gian giới hạn HÌNH TRỤ TRỊN XOAY hình trụ trịn xoay kể hình trụ ta gọi khối trụ trịn xoay hay ngắn gọn Ta xét hình chữ nhật ABCD Khi quay khối trụ hình xung quanh đường thẳng chứa cạnh, chẳng hạn cạnh AB đường gấp khúc ADCB tạo thành hình gọi hình trụ trịn xoay hay gọi tắt hình trụ CÁC CƠNG THỨC Diện tích xung quanh Diện tích đáy S xq  2 rh Diện tích tồn phần Thể tích S ht   r Stp  S xq  Sht  2 rh  2 r V   r 2h Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Câu hỏi lý thuyết mặt trụ, hình trụ, khối trụ Phương pháp giải : Nắm vững lý thuyết mặt trụ, hình trụ, khối trụ Ví dụ: Tập hợp điểm M khơng gian cách đường thẳng A cố định khoảng R không đổi  R  0 là: A Hai đường thẳng song song B Một mặt cầu C Một mặt nón D Một mặt trụ Hướng dẫn giải: Tập hợp điểm M không gian cách đường thẳng A cố định khoảng R không đổi  R  0 mặt trụ Chọn D Ví dụ mẫu Ví dụ Thể tích V khối trụ có bán kính đáy R, độ dài đường sinh  xác định công thức sau đây? A V   R 2 B V   R 3 C V   R  D V   R 3 Hướng dẫn giải: V  S D    R 2 Chọn A Lưu ý: Đây câu hỏi lý thuyết, cần nhớ cơng thức tính thể tích khối nón giống cơng thức thức tính thể tích khối chóp cơng thức tính thể tích khối trụ giống cơng thức tính thể tích khối lăng trụ (bằng diện tích đáy nhân chiều cao) Ví dụ Cho hai điểm A, B cố định Tập hợp điểm M cho diện tích tam giác MAB khơng đổi A mặt phẳng B mặt trụ C mặt cầu D khơng xác định Hướng dẫn giải: Vì AB cố định nên diện tích tam giác MAB khơng đổi d (M,AB) = const hay M thuộc mặt trụ trục đường thẳng AB Chọn B S MAB  d  M , AB  AB  MH AB Trang Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Chọn khẳng định sai khẳng định sau A Hình cầu có vô số mặt phẳng đối xứng B Mặt cầu mặt tròn xoay sinh đường tròn quay quanh đường kính C Cắt hình trụ trịn xoay mặt phẳng cắt trục hình trụ ta được thiết diện hình trịn D Cắt hình nón trịn xoay mặt phẳng qua trục thu thiết diện tam giác cân Câu 2: Mệnh đề sau sai? A Tồn mặt trụ tròn xoay chứa tất cạnh bên hình lập phương B Tồn mặt trụ tròn xoay chứa tất cạnh bên hình hộp C Tồn mặt nón trịn xoay chứa tất cạnh bên hình chóp tứ giác D Tồn mặt cầu chứa tất đỉnh hình tứ diện Dạng 2: Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, diện tích thiết diện, chiều cao, bán kính đáy, diện tích đáy hình trụ Phương pháp giải Nắm vững công thức diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, diện tích đáy Biết sử dụng kết phần kiến thức quan hệ song song, quan hệ vng góc, hệ thức lượng tam giác để áp dụng vào tính tốn Ví dụ: Cho khối trụ T  có bán kính đáy R=1, thể tích V  5 Diện tích tồn phần hình trụ tương ứng A S  12 B S  11 C S  10 D S  7 Hướng dẫn giải Vì bán kính đáy R=1, thể tích V  5   12.h  5 Vậy diện tích tồn phần hình trụ S  2 1.5  2 12  12 Chọn A Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hình trụ có chiều cao 3 Cắt hình trụ cho mặt phẳng song song với trục cách trục khoảng 1, thiết diện thu có diện tích 18 Diện tích xung quanh hình trụ cho A 6 B 6 39 C 3 39 D 12 Trang Hướng dẫn giải Thiết diện thu hình chữ nhật ABCD OO '/ /  ABCD  , gọi I trung điểm AB Ta có OI   ABCD   d  OO ';  ABCD    d  O;  ABCD    OI  S ABCD  AB.BC  AB.3  18  AB   AI   r  OA  OI  AI  Diện tích xung quanh hình trụ cho S xq  2 rl  12 Chọn D Ví dụ 2: Cắt hình trụ mặt phẳng qua trục nó, ta thiết diện hình vng cạnh 2a Diện tích xung quanh hình trụ A 2 a B 8 a C 4 a D 16 a Hướng dẫn giải Do thiết diện hình vng cạnh 2a nên chiều cao h hình trụ 2a đường kính mặt đáy 2a suy bán kính đáy r = a Khi diện tích xung quanh hình trụ S xq  2 rh  4 a Chọn C Ví dụ 3: Cho hình trụ có diện tích xung quanh 50 độ dài đường sinh đường kính đường trịn đáy Bán kính r đường trịn đáy A r  B r   C r  2 D r  2 Hướng dẫn giải Theo giả thiết độ dài đường sinh l  2r Ta có S xq  2 rl  50  2r  25  r  Chọn D Trang Ví dụ 4: Cho hình trụ có hai đáy hai hình trịn (O) (O'), thiết diện qua trục hình trụ hình vng Gọi A, B hai điểm nằm hai đường tròn (O) (O') Biết AB = 2a khoảng cách hai đường thẳng AB 00' Bán kính đáy A a 17 B a 14 C a Bán kính đáy a 14 D a 14 Hướng dẫn giải Lưu ý: + d  OO’, AB  = O'M Gọi r bán kính đáy Do thiết diện qua trục hình vng nên độ dài đường sinh 2r + Góc AB mặt đáy góc  ABA ' + Góc AB OO' góc  A ' AB A’ Dựng đường sinh AA' Gọi M trung điểm A' B  O ' M   AA ' B   d  OO ', AB   O ' M  O'M  a Ta có A ' B  AB  AA '2  4a  4r Mặt khác A ' M  O ' A '2  O ' M '2  r   4a  4r  r  3a 3a a 14 r 4 Chọn C Ví dụ 5: Cho hình trụ có hai đáy hai hình trịn (O) (O'), chiều cao 2R bán kính đáy R Một mặt phẳng   qua trung điểm OO ' tạo với OO ' góc 30 Hỏi   cắt đường trịn đáy theo dây cung có độ dài bao nhiêu? A 2R B 4R 3 C 2R D 2R Hướng dẫn giải Trang Gọi I trung điểm OO ' Khi đó, mặt phẳng   =  IAB  Hạ OH  AB, OK  IH Dễ thấy H trung điểm AB OK   IAB  Suy   30 (vì KIO vng  OO ',      IO,  IAB     OI , KI   KIO O) Khi KO  R IO  Vì HIO vng O nên 2 1   2 OK OH OI  1 R2       OH  OH OK OI R R R  AH  OA2  OH  R  AB  R2 R  3 2R Chọn A Ví dụ 6: Cho hình trụ có chiều cao Biết mặt phẳng khơng vng góc với đáy cắt hai mặt đáy theo hai dây cung song song AB, A'B' mà AB = A'B' = 6, dỉện tích hình chữ nhật ABB'A' 60 Bán kính đáy hình trụ A B C D Hướng dẫn giải Diện tích hình chữ nhật ABB'A' 60 (cm2) nên AB.BB' = 60  6.BB '  60  BB '  10 Ta có MK  Chiều cao hình trụ (cm) nên MO  Lưu ý: Ví dụ ví dụ đề cho khác thiết diện giống Ở ví dụ thêm cách hỏi khác dù thiết diện OK  MK  MO  25  18  7; AB   KB  BO  OK  KB    Chọn C Trang Ví dụ 7: Một hình trụ có bán kính đáy chiều cao a Một hình vng ABCD có AB, CD hai dây cung đường tròn đáy mặt phẳng ABCD khơng vng góc với đáy Diện tích hình vng A 5a B 5a C 5a 2 D 5a 2 Hướng dẫn giải Đặt AB  AD  x  S ABCD  x Gọi A', B' hình chiếu vng góc A, B lên mặt đáy hình trụ Xét tam giác AA'D vng A' ta có A ' D  AD  AA '2  x  a Mặt khác, gọi I trung điểm A ' D ta có: 1  A ' D  A ' I  O ' A '2  O ' I  O ' A '2   CD  2  2 1   a   x   a2  x 2  x2  a2  a2  x2  x2  a2   a2  x2  Do 5a 5a  4x  Vậy S ABCD  (đvdt) 2 Chọn D Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho hình trụ (T) có đáy đường trịn tâm O O’, bán kính 1, chiều cao hình trụ Các điểm A, B nằm hai đường tròn  O   O ' cho góc  OA, O ' B   60 Diện tích tồn phần tứ diện OAO'B A S   19 B S   19 C S   19 D S  Câu 2: Cho hình trụ có tỉ số diện tích xung quanh diện tích tồn phần  19 Biết thể tích khối trụ 4 Bán kính đáy hình trụ A B C D Câu 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = 6, AD = 8, AC’ = 12 Diện tích xung quanh Sxq hình trụ có hai đường trịn đáy hai đường trịn ngoại tiếp hai hình chữ nhật ABCD A'B'C’D' Trang A S xq  20 11 B S xq  10 11     C S xq  10 11   D S xq  11   Câu 4: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C', biết góc hai mặt phẳng (A'BC) (ABC) 45°, diện tích ABC a Tính diện tích xúng quanh hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A'B'C' A 4 a B 2 a C 4 a D 8 a 3 Câu 5: Một trục lăn sơn nước có dạng hình trụ Đường kính đường trịn đáy 6cm, chiều dài lăn 25cm (như hình đây) Sau lăn trọn 10 vịng trục lăn tạo nên tường phẳng diện tích A 1500 cm B 150 cm C 3000 cm D 300 cm Câu 6: Cho hình trụ có chiều cao cm Biết mặt phẳng khơng vng góc với đáy cắt hai mặt đáy theo hai dây cung song song AB, A'B' mà AB = A'B' = 6cm , diện tích tứ giác ABB'A’ 60cm2 Tính bán kính đáy hình trụ B 2cm A 5cm D 2cm C 4cm Câu 7: Cho hình trụ có chiều cao bán kính đáy cm Điểm A nằm đường tròn đáy tâm O, điểm B nằm đường tròn đáy tâm O' hình trụ Biết khoảng cách đường thẳng OO' AB 2 cm Khi khoảng cách O'A OB A cm B cm C 3cm D cm Câu 8: Cho khối trụ có hai đáy hai hình trịn  O; R   O '; R  , OO '  R Trên đường tròn  O; R  lấy hai điểm A, B cho AB = a Mặt phẳng  P  qua A, B cắt đoạn OO' tạo với đáy góc 60 ,  P  cắt khối trụ theo thiết diện phần elip Diện tích thiết diện  4 A    3 R   2 B    3 R   2 C    3 R   4 D    3 R  Dạng 3: Thể tích khối trụ, tốn cực trị Phương pháp giải Tương tự dạng toán phần khối nón Ví dụ: Tính theo a thể tích khối trụ có bán kính đáy a, chiều cao 2a A 2 a C  a3 2 a3 B D  a Hướng dẫn giải Trang 10 Thể tích khối trụ V   R h   a 2a  2 a Chọn A Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Một hình trụ có bán kính đáy a, chu vi thiết diện qua trục 10a Thể tích khối trụ cho A 4 a 3 B 3 a C 4 a D  a Hướng dẫn giải Gọi ABCD thiết diện qua trục hình trụ, ta có ABCD hình chữ nhật Từ giả thiết suy AB = 2a  AB  BC   10a  BC  3a Vậy thể tích khối trụ cho bằng:  a 3a  3 a Chọn B Ví dụ 2: Cắt khối trụ mặt phẳng qua trục ta thiết diện hình chữ nhật ABCD có cạnh AB   30 Tính theo a thể tích khối trụ cạnh CD nằm hai đáy khối trụ Biết BD  a , DCA A 3 a 48 B 3 a 32 C 3 a 16 D a 16 Hướng dẫn giải Ta có AC  BD  a Mặt khác xét tam giác ADC vng D, ta có Trang 11 AD  AC.sin 30  2 ah a 2 CD  AC cos30  CD ar  a 2   3 Nên V   r h    a a a   16   Chọn C Ví dụ 3: Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 3AB Gọi V1 thể tích khối trụ tạo thành cho hình chữ nhật quay xung quanh cạnh AB, V2 thể tích khối trụ tạo thành cho hình chữ nhật quay xung V quanh cạnh AD Tỉ số V2 A B C D Hướng dẫn giải Khối trụ tạo thành cho hình chữ nhật ABCD quay xung quanh cạnh AB có bán kính đáy chiều cao r1  AD  AB; h1  AB Khi đó, thể tích khối trụ V1   r12 h1  9 AB Khối trụ tạo thành cho hình chữ nhật ABCD quay xung quanh cạnh AD có bán kính đáy chiều cao r2  AB; h2  AD  AB Khi đó, thể tích khối trụ V2   r2 h2  3 AB Vậy V1 9 AB   V2 3 AB Chọn B AD a Quay hình thang miền quanh đường thẳng chứa cạnh BC Thể tích V khối trịn xoay tạo thành Ví dụ 4: Cho hình thang ABCD vng Avà B với AB  BC  A V  4 a 3 B V  5 a 3 C V   a D V  7 a 3 Hướng dẫn giải Trang 12 Thể tích V  V1  V2 Trong V1 thể tích khối trụ có bán kính đáy BA  a chiều cao AD  2a;V2 thể tích khối nón có bán kính đáy B ' D  a chiều cao CB '  a 5 a Khi V  V1  V2   a 2a   a a  3 Chọn B Ví dụ 5: Cho hình trụ có bán kính đáy a cắt hình trụ mặt phẳng  P  song song với trục hình trụ cách trục hình trụ khoảng a ta thiết diện hình vng Thể tích khối trụ A 3 a B  a 3 C  a3 D  a Hướng dẫn giải Giả sử hình vng ABCD thiết diện hình trụ cắt  P  hình vẽ Gọi H, K trung điểm AD, BC Ta có OH  AD  OH   P   d  O;  P    OH  OH  Do AD  AH  OA2  OH  a a a Suy OO '  AB  AD  a Vậy nên V   R h   a a   a3 Chọn B Ví dụ 6: Cắt khối trụ cao 18cm mặt phẳng, ta khối hình Biết thiết diện elip, khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần đáy điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy 8cm 14cm Tỉ số thể tích hai khối chia (khối nhỏ chia khối lớn) A 11 B C 11 D 11 Hướng dẫn giải Trang 13 Gọi V1;V2 thể tích khối nhỏ khối lớn Ta tích khối trụ V   R   14   11 R (với R bán kính khối trụ) Thể tích V2  Vậy  R   14   11 R V1 V  V2 18 R  11 R    V2 V2 11 R 11 Chọn D Ví dụ 7: Cho tam giác vng cân ABC có AB  AC  a hình chữ nhật MNPQ với MQ = 3MN xếp chồng lên cho M,N trung điểm AB, AC (như hình vẽ) Tính thể tích V vật thể trịn xoay quay mơ hình quanh trục AI, với / trung điểm PQ A V  11 a B V  5 a 11 a C V  17 a 24 Hướng dẫn giải D V  Ta có BC  AB  AC  2a  MN  a, MQ  2a Gọi E, F trung điểm MN BC AF  a, EF  a  IF  a 2 Vậy thể tích cần tìm tổng thể tích khối nón có chiều cao AF bán kính đáy FB thề tích khối trụ có chiều cao IF bán kính IQ 1  a  17 V   AF FB   IF IQ   a.a   a.    a 3 2 24 Chọn D Trang 14 Ví dụ 8: Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vng cân A, góc AC' mặt phẳng  BCC ' B ' 30 (tham khảo hình vẽ) Thể tích khối trụ ngoại tiếp lăng trụ ABC A ' B ' C ' A  a B 2 a C 4 a D 3 a Hướng dẫn giải Gọi bán kính hình trụ R Ta có CC '   ABC   CC '  AI Lại có tam giác ABC tam giác vuông cân A nên AI  BC AI   BCC ' B '  hay góc AC’  mặt phẳng  BCC ' B ' IC 'A Xét tam giác AIC ' ta có IC '  AI R  tan IC 'A Xét tam giác CIC ' ta có IC '2  IC  CC '2  3R  R  4a  R  a Thể tích khối trụ ngoại tiếp lăng trụ ABC A ' B ' C ' V   R 2h  4 a Chọn C Ví dụ 9: Trong tất khối trụ có thể tích 330, xác định bán kính đáy khối trụ có diện tích toàn phần nhỏ A 165  B 165  C 330  D 330  Hướng dẫn giải Trang 15 V  330  h R  330  h  330  R2 Khi diện tích tồn phần khối trụ S  h.2 R  2 R 330 660 S 2 R  2 R  S   2 R 2 R R Ta xem S hàm số ẩn R Xét S '   S'0  660  4 R R2 660 660  4 R3 165   R   0 R 2 R R  Lập bảng biến thiên ta có Bài tốn hỏi bán kính đáy nên ta xem bán kính đáy ẩn, tính diện tích xung quanh theo bán kính đáy Vậy S đạt giá trị nhỏ R  165  Chọn A Ví dụ 10: Thể tích lớn khối trụ nội tiếp hình cầu có bán kính R A 4 R 3 B 8 R 3 C 8 R 27 D 8 R3 Hướng dẫn giải Gọi X khoảng cách từ tâm I mặt cầu đến mặt đáy hình trụ (0 < X