Báo cáo bài tập lớn giải tích 2 tích phân mặt

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH NHĨM Giảng viên: Thầy Võ Trần An TP.HCM - 2022 Danh sách thành viên Họ Tên MSSV Mail Nguyễn Quang Hưng 2111405 hung.nguyen1104@hcmut.edu.vn Trần Văn Hưng 2011342 hung.tranhung2001@hcmut.edu.vn Võ Bạch Thiên Hương 1913664 huong.vothien.2602@hcmut.edu.vn Hoàng Quốc Huy 1810934 huy.hoang.quoc@hcmut.edu.vn Nguyễn Quốc Huy 2113520 huy.nguyen221003@hcmut.edu.vn LỜI NĨI ĐẦU Giải tích mơn học đại cương có tầm quan trọng sinh viên ĐH Bách Khoa TP.HCM nói riêng sinh viên ngành khối khoa học kỹ thuật cơng nghệ nói chung Mục đích mơn học cung cấp đầy đủ nội dung Giải tích hàm nhiều biến Lý thuyết chuỗi dùng cho ngành khoa học kỹ thuật Nó giúp sinh viên khối kỹ thuật tiếp thu vấn đề cách nhẹ nhàng trang bị kỹ cho người học tự phát triển khả áp dụng toán học vào tốn thực tế Mơn Giải tích bao gồm kiến thức vi tích phân hàm nhiều biến, lý thuyết trường chuỗi Cùng với chuẩn đầu ra: Nhắc lại định nghĩa, tính chất, cách tính đơi tượng lý thuyết vi tích phân hàm nhiều biến chuỗi, vận dụng lý thuyết vào toán áp dụng tốn thực tế , có khả hoạt động nhóm MỤC LỤC Lời nói đầu…………………………………………………………………………………………………3 I Bảng phân công công việc .5 II Nền tảng lý thuyết liên quan đến đề tài nhóm Tích phân mặt a Định nghĩa b.Cách tính tích phân mặt loại Tích phân bội .7 a Định nghĩa b Tích phân kép c Cách tính tích phân kép d Tích phân bội ba e Cách tính tích phân bội ba III Tích phân mặt loại a Định nghĩa b Cách tính tích phân mặt loại Thực hành yêu cầu tập Phần Câu 17 Phần câu 18 .13 Phần câu 18 .14 I Bảng phân công công việc Họ Tên MSSV Phân công công việc Nguyễn Quang Hưng 2111405 Phần câu 19 0% Trần Văn 2011342 Phần câu 18 100% Võ Bạch Thiên Hương 1913664 Khơng thể liên lạc Hồng Quốc Huy 1810934 Phần câu 17, viết báo cáo 100% Nguyễn Quốc Huy 2113520 Phần câu 18 100% Hưng Mức độ hoàn thành II Nền tảng lý thuyết liên quan đến đề tài nhóm Tích phân mặt a Định nghĩa Trong tốn học, tích phân mặt là một tích phân xác định được tính một bề mặt (có thể tập hợp đường cong trong khơng gian); xem một tích phân kép của từng tích phân đường Trên bề mặt cho trước, phép tính tích phân tính cho các trường vơ hướng của (đó các hàm trả giá trị số), và trường vector (các hàm trả giá trị vectơ) Các tích phân mặt có nhiều ứng dụng trong vật lý, đặc biệt trong học thuyết cổ điển của điện từ b Cách tính tích phân mặt loại Để tính tốn cụ thể tích phân mặt, cần tham số hóa S bằng cách biểu diễn S trong một hệ tọa độ cong, giống là kinh độ và vĩ độ trên một mặt cầu Hãy gọi tham số hóa là x(s, t), với (s, t) thay đổi miền T trong một mặt phẳng Khi đó, tích phân mặt cho cơng thức sau Biểu thức đường vạch thẳng là độ lớn của tích vectơ của các đạo hàm riêng của x(s, t), biết là đơn vị bề mặt Ví dụ như, muốn tìm diện tích bề mặt bề mặt đó, ví dụ, ta có Tích phân bội a Định nghĩa Tích phân bội là loại tích phân xác định được mở rộng cho các hàm có nhiều biến thực, ví dụ, ƒ(x, y) hoặc ƒ(x, y, z) Các tích phân hàm hai biến vùng không gian ℝ2 được gọi là tích phân kép, và tích phân hàm ba biến miền của R3 được gọi tích phân bội ba Tích phân xác định hàm số dương có biến diện tích nằm đồ thị hàm số trục x, tích phân kép của hàm số dương biến thể tích xác định bề mặt tạo hàm số (mặt phẳng tọa độ chiều z = ƒ(x, y)) mặt phẳng chứa tập xác định của (Cùng thể tích thu thơng qua tích phân bội ba —tích phân hàm ba biến—của hàm liên tụcf(x, y, z) = 1 miền nói bề mặt mặt phẳng.) Nếu có nhiều biến phép tính tích phân tạo các siêu thể tích của hàm đa chiều b Tích phân kép c Cách tính tích phân kép d Tích phân bội ba e Cách tính tích phân bội ba Giả sử  vật thể hình trụ giới hạn mặt cong z = z2(x, y), mặt z = z1(x, y), bao xung quanh mặt trụ có đường sinh // Oz đường chuẩn biên miền D đóng bị chận Oxy Hình chiếu Ω lên Oxy D Tích phân mặt loại a Định nghĩa S mặt cong R3, f(x,y,z) xác định S Phân hoạch S thành mảnh Sk có diện tích Sk, Mk  Sk b Cách tính tích phân mặt loại Nếu S phần mặt hữu hạn, có phương trình z = z(x, y), hình chiếu S lên Oxy miền D, III Thực hành yêu cầu tập Phần Câu 17 Vẽ miền D bị giới hạn x2 + y2 ≥ phần nằm đường Cardioid x2 + y2 = x + √ x 2+ y Tính phần diện tích bị giới hạn phần mềm (Matlab, Wolfram Alpha) giải thích Phần hình vẽ Hình Từ kiện, ta vẽ đồ thị hàm số Hình Giới hạn diện tích bị giới hạn miền, ta hình Phần tính tốn: 10 Đường Cardioid x2 + y2 = x + √ x 2+ y chuyển hệ tọa độ cực có dạng r = a + acosφ => r = + 1cosφ  Cách 1: Tính I = ∬ dxdy với D: { x2 + y ≥1 x2 + y 2=x + √ x 2+ y { 1≤ r ≤1+ cosφ Chuyển sang hệ tọa độ cực: −π ≤ φ ≤ π 2 I= = = ≈ 2,785398 Sử dụng Wolfram Alpha để tính tốn: Cách 2: 11 Diện tích hình quạt bán kính r cho bởi: A= Cho r = f(φ) xác định đường cong cực, với f liên tục f(φ) ≥ khoảng đóng α ≤ φ ≤ β, với ≤ β – α ≤ 2π Khi miền tạo đường cong r = f(φ) tia φ = α φ = β có diện tích Diện tích cần tìm: = = 2,7854 Sử dụng Wolfram Alpha để tính tốn 12 Phần câu 18 Vẽ miền D bị giới hạn xy = 2; xy = 4; y = x; y = 4x Tô màu phần bị giới hạn geogebra, tính diện tích phần bị giới hạn phần mềm giải thích Phần hình vẽ 13 Sử dụng phần mềm Geogebra để tính tốn Diện tích phần cần tính tốn S = 2,77 (Đơn vị diện tích) Phần câu 18 Vẽ tính diện tích phần mặt nón z=√ x 2+ y nằm mặt trụ x=x 2+ y Phần hình vẽ 14 Phần tính tốn: x=x 2+ y ≤¿ ( x −1 )2+ y2 =1 Phương trình mặt cong z=√ x 2+ y D=hcΩ Oxy 2 2 x + y ≥0; x + y ≤0 ' zx= x √x +y 2 ' ; z y= √ y √ x + y2 ' 2 ' S=∬ ds=∬ 1+ ( z x ) + ( z y ) dxdy D D S=∬ √ dxdy D Mà∬ dxdy diện tích miền D, tức ∬ dxdy=π D D Vậy S = √ 2π 15 Sử dụng Wolfram Alpha để tính tốn: 16