(TIỂU LUẬN) báo cáo bài tập lớn GIẢI TÍCH 2 đề tài 2

Ch ã2 Nhõm I HC QUăC GIA TH NH PHă H CH MINH TRìNG I HC B CH KHOA KHOA KHOA H¯C ÙNG DÖNG B OC OB IT PL˛NGI ITCH2 TI2 GiĂo viản hữợng dÔn: Nguyn Th XuƠn Anh Nhâm GT2-L06-02 Nguy„n Huy Ho ng Trƒn Ngåc Minh Nguy„n Vắ Khang Nguyn Vôn Thữ TPHCM, thĂng nôm 2022 Latex by Trƒn Ngåc Minh Trang Mưc lưc 0.1N•n t£ng hØ træ 0.1.1Geogebra 0.1.2Vonfram Alpha 0.2Nºi dung • t i 0.2.1Cho khŁi V khæng gian Ox 2 y = x , phƒn øng vỵi yx 0.2.2Tr…nh b y kh¡i ni»m mt nh hữ hữợng 0.3Cỡ s lỵ thuyt 0.3.1T‰ch ph¥n bºi 3: 0.3.2T‰ch ph¥n m°t lo⁄i 2: 0.4Phƒn b¡o c¡o 0.4.1V‡ h…nh khŁi V 0.4.2T‰nh t‰ch ph¥n: 0.4.3p döng 0.5Líi k‚t 0.6T i li»u tham kh£o Latex by Trƒn Ngåc Minh Trang Chı •2 Nhâm Líi c£m ìn v Chóng em xin ch¥n th nh c£m ìn cổ Nguyn Th XuƠn Anh  tn tnh giúp ù, giÊng dy nh hữợng chúng em cĂch tữ v ph¡t tri”n lŁi l m vi»c khoa håc â l nhng gõp ỵ quỵ bĂu, l nãn tÊng thỹc hi»n ” chóng em câ th” ho n th nh tŁt b i t“p lỵn n y B i b¡o c¡o l k‚t qu£ cıa sü nŒ lüc cıa t§t c£ th nh vi¶n nhâm nhi¶n khỉng th” tr¡nh khäi sai sât, mong ÷ỉc sü thỉng c£m cıa quỵ thy cổ Knh mong sỹ ch dÔn v õng gâp cıa cỉ ” chóng em câ th” ho n thi»n b£n th¥n m…nh hìn Chóng em xin ch¥n th nh c£m ìn Latex by Trƒn Ngåc Minh Trang Chı •2 Nhâm Líi nâi ƒu Trong cuºc sŁng h‹ng ng y, chóng ta hay ti‚p xóc ho°c quan sĂt thĐy nhng vt th cõ dng hnh ữổc giợi hn bi cĂc mt phflng chflng hn nhữ cĂc lo⁄i hºp üng, tı quƒn ¡o, c¡c tỈa nh hay c¡c cỉng tr…nh ki‚n tróc kh¡c ” t…m hi”u c¡ch t⁄o h…nh cơng nh÷ di»n t‰ch v th” t‰ch ca chúng th nhõm chúng em, ữổc sỹ hữợng dÔn ca giÊng viản l cổ Nguyn Th XuƠn Anh  nghiản cứu v tm hiu vã ã t i Qua • t i lƒn n y, chóng ta s‡ bi‚t ÷ỉc c¡ch düng h…nh b‹ng øng dưng Geogebra, c¡ch øng dưng c¡c ki‚n thøc ¢ håc v o thüc t‚ Do ki‚n thøc v hi”u bi‚t cıa nhâm chóng em cõ hn, ỗng thới quĂ trnh thỹc hiằn khổng th trĂnh khọi nhng sai xõt cõ th dÔn ‚n k‚t qu£ thi‚u t‰nh ch‰nh x¡c tuy»t Łi, mong nhn ữổc sỹ gõp ỵ chƠn th nh ca cổ Latex by Trƒn Ngåc Minh Trang Chı •2 Nhâm 0.1 N•n t£ng hØ trỉ 0.1.1 Geogebra Geogebra l mºt phƒn m•m h…nh håc ºng hØ trỉ gi£ng d⁄y tr÷íng håc T¡c gi£ Markus Hohenwarter khði ºng dü Ăn t nôm 2001 ti trữớng i hồc Salzburg v hi»n ⁄ng ti‚p tưc ph¡t tri”n t⁄i tr÷íng ⁄i håc Florida Atlantic Geogebra ữổc vit trản Java v v th phƒn m•m a n•n 0.1.2 Vonfram Alpha Wolfram|Alpha l mºt m¡y tr£ líi Wolfram Research ph¡t tri”n ¥y l mºt dàch vư trüc tuy‚n câ nhi»m vư tr£ líi c¡c c¥u häi nh“p v o trüc ti‚p b‹ng c¡ch t‰nh to¡n c¥u tr£ líi tł c¡c dœ li»u câ c§u tróc, chø khỉng ch¿ cung c§p mºt danh s¡ch c¡c t i li»u ho°c trang câ web câ th” chứa cƠu trÊ lới nhữ cĂch mĂy tm kim thữớng l m Website n y ÷ỉc Stephen Wolfram cỉng bŁ v o thĂng nôm 2009, v ữổc phĂt h nh cho cỉng chóng ng y 15 th¡ng n«m 2009 Ngo i chøc n«ng l mỉt cØ m¡y t…m kim, Wolfram Alpha cặn l mt phn mãm giÊi toĂn online (web gi£i to¡n) WolframAlpha cho ph†p gi£i mºt l÷ỉng phong phó c¡c d⁄ng to¡n tł ìn gi£n ‚n phøc t⁄p, tł to¡n phŒ thæng ‚n to¡n ð b“c ⁄i hồc: Tnh toĂn cỡ bÊn, V ỗ th, i s, Gi£i t‰ch (thüc v phøc), H…nh håc, L‰ thuy‚t sŁ, To¡n ríi r⁄c, To¡n øng dưng, Logic & L‰ thuy‚t hổp, XĂc suĐt & Thng kả, Kinh t lữổng 0.2 Nºi dung 0.2.1 Cho khŁi V khæng gian Oxyz giỵi h⁄n bði m°t cong: z = x + y , z = 2 2, y = x , phn ứng vợi y x ãti 2 V‡ h…nh khŁi V (1 ) Latex by Trƒn Ngåc Minh Trang Ch ã Tnh tch phƠn ZZ S(x 2y + z)dydz + (2xy + z)dzdx + (z + y)dxdy (1 ) 0.2.2 Tr…nh b y kh¡i niằm mt nh hữợng v ca mt nh hữợng p dưng: T…m vector ph¡p cıa m°t S ð tr¶n t⁄i cĂc im M(0; 0.3 Cỡ s lỵ thuyt 0.3.1 Tch phƠn bi 3: nh nghắa: Cho h m s f(x; y; z) xĂc nh trản miãn õng v b chn V khæng gian Oxyz CHia V th nh n phn khổng giÔm lản V1,V2, ,Vn cõ th tch tữỡng ứng l V1, V2, , Vn Trong mỉi miãn Vk l§y i”m b§t k… Mk(xk; yk; zk) L“p tŒng t‰ch ph¥n: Sn = Cho max d(Vk) ! 0, nu tng trản tin n giợi hn hu hn S khỉng hpuj thuºc v o c¡ch chia mi•n Vv c¡ch lĐy im Mk th giợi hn hu hn S ữổc gồi l miãn V , k hiằu l ỗng thới, ta gåi h m f(x; y; z) n y l Vy: ( ZZZV f x; y; z Chú ỵ: V tch phƠn khổng phử thuc v o cĂch chia miãn V v ÷ỉc gåi l ZZZ V… v“y ta th÷íng dòng k‰ hi»u : 0.3.2 V ZZZ f(x; y; z)dV = V t‰ch ph¥n bºi ba cıa h m f(x; y; z) trản m f(x; y; z)dxdydz Tch phƠn mt loi 2: Mt nh hữợng (a) KhĂi niằm mt nh hữợng Mt S ữổc gồi l mt nh hữợng (m°t ph‰a) n‚u t⁄i i”m M b§t k… cıa S x¡c ành ÷ỉc vector ph¡p tuy‚n ìn ~n(M) câ th nh phƒn l c¡c h m li¶n tưc M°t ph‰a S câ ph÷ìng tr…nh F (x; y; z) = th… ph÷ìng tr…nh ti‚p di»n t⁄i M l : 0 Fx (M)(x xM ) + Fy (M)(y yM ) + Fz (M)(z zM ) = â t⁄i mØi i”m M tr¶n m°t S cõ phĂp vector ngữổc hữợng ~n (M) = + F (M) = (F S Trong tr÷íng hỉp °c bi»t n‚u m°t S câ ph÷ìng tr…nh z = z(x; y) th… ta °t F (x; y; z) = z z(x; y) Khi â m°t S câ ph¡p vector: ~n (M) = + F (M) = ( z (M); z S N‚u ph¡p vector t⁄o vỵi tia Oz gâc nhån th… tåa º z cıa phĂp vector dữỡng, tữỡng ứng vợi ~n (M) = + S Latex by Trƒn Ngåc Minh Chı •2 Nhâm Ngữổc li Nu phĂp vector to vợi tia Oz gõc tũ th tồa z ca phĂp vector Ơm, tữỡng øng vỵi 0 ~nS(M) = F (M) = (zx (M); zy (M); 1) Vi»c chån mºt hai phĂp vecto ữổc gồi l nh hữợng mt S, pha cıa m°t S l ph‰a m â ta øng lản pha Đy, vecto phĂp va chồn cõ hữợng t ch¥n ‚n ƒu 2 H…nh 1: M°t ành hữợng S cõ pha v ngo i mt cƒu x + y + z = 9, øng vỵi Latex by Trƒn Ngåc Minh z Trang Chı •2 Nhâm 2 H…nh 2: M°t ành hữợng S cõ pha v ngo i phn m°t Paraboloid z = x +y , øng vỵi z (b) Vector ph¡p ìn và: M°t ph‰a S câ ph÷ìng tr…nh F (x; y; z) = 0, t⁄i i”m M b§t k… cıa S cơng câ vector phĂp ỡn v ngữổc chiãu l Khi nh hữợng mt S, ta s chồn vector trản Gồi , , ln lữổt l gõc to bi vector ch phữỡng Ox,Oy,Oz vợi phĂp vector n y, ta ÷æc: cos = ~n = (cos ; cos ; cos ) Nhữ vy nh hữợng mt S tỹc l ta ch¿ chån vector ph¡p tøc l ta s‡ ph£i chån d§u " + " hay " " flng thøc (1) ” b‹ng vector ð flng thức (2) (c) CĂch cho mt nh hữợng: Khi cho hữợng ca mt pha S th ngữới ta câ th” cho høng cıa m°t theo c¡c cĂch sau: Hữợng trản (hoc dữợi) theo hữợng trửc Oz.Ta s cõ gõc: < (hoc > ) Hữợng trĂi (hoc phÊi) theo hữợng trửc Oy.Ta s cõ gõc: > (hoc < ) Hữợng trữợc (hoc sau) theo hữợng trửc Ox Ta s cõ gõc: < (hoc > ) Hữợng (hoc ngo i) nu l ÷íng cong k‰n Ta s‡ x¡c ành gâc l nhån hay tò tòy v o tłng m°t cong Latex by Trƒn Ngåc Minh Trang Chı •2 Nhâm (d) C¡ch x¡c ành vector ph¡p cıa mt nh hữợng: Cho mt S vợi phữỡng trnh F (x; y; z) = T‰nh 5F = (Fx0 ; Fy0 ; Fz0 ) X¡c ành gâc , , xem l gâc nhån hay tł ” suy cosin tữỡng ứng l dữỡng hay Đm v so sĂnh vợi dĐu tồa tữỡng ứng vector gradient N‚u th nh phƒn t÷ìng øng cıa vector ph¡p v vector gradient cịng d§u th… vector cịng d§u tøc l : + 5F ~n = j5F j Ghi chó: Ta chia tr÷íng hỉp t‰nh vector ph¡p ỡn v Cho hữợng ca mt S l trản hoc dữợi (trĂi hoc phÊi, trữợc hoc sau) th khổng cƒn v‡ h…nh ta cungz x¡c ành ÷ỉc gâc , , xem gâc n o l nhån hay tũ Cho hữợng ca mt S l ho°c ngo i th… cƒn v‡ h…nh phƒn m°t cong ” x¡c ành gâc , , xem l gâc nhån hay tò (e) Mð rºng: M°t khổng nh hữợng Ngo i mt nh hữợng cặn cõ mt khổng nh hữợng (mt pha) V dử m°t Mobius Mobius câ th” ÷ỉc t⁄o b‹ng c¡ch sau: Latex by Trƒn Ngåc Minh Trang 10 Chı •2 Nhâm L§y mºt h…nh chœ nh“t ABCD (b‹ng gi§y) sau â v°n cong h…nh chœ nh“t ” hai ƒu gi¡p ( i”m A tròng i”m C, i”m B tròng i”m D) Gi£ sß ph¡p v†c tì t⁄i i”m M l Dàch chuy”n li¶n tưc dåc theo l¡ (khỉng vữổt quĂ biản) ta s quay li im xuĐt phĂt M ban u lúc n y hữợng ca phĂp vc tỡ cõ hữợng ngữổc li PhĂp vc tỡ ti mt im M khổng th cõ hai hữợng, õ h m ph¡p v†c tì khỉng li¶n tưc tr¶n m°t Mobius, v… n‚u li¶n tưc th… sau dàch chuy”n mt cĂch liản tửc, quay vã v tr M ban ƒu th… ph¡p v†c tì ph£i trịng vỵi ph¡p v†c tì ban ƒu Do â, m°t Mobius l m°t mºt ph‰a H…nh 3: M°t Mobius l m°t mºt ph‰a Tnh tch phƠn mt loi (bng cĂch ữa vã tch phƠn mt loi 1) GiÊ sò S : z = z(x; y) vợi vector phĂp ỡn v vecn hữợng lản trản Khi õ, phữỡng trnh ca ữớng cong S l + (zx0 ) + ~n = q dS = I= = q ZZ (P cos + Q cos + R cos ) dS S ZZ S P = ZZ D xy q P q ZZ h = Dxy i P ( zx0 ) + Q( zy0 ) + R dxdy N‚u vector ph¡p tuy‚n ìn ~n cıa m°t cong S hữợng xung dữợi th phữỡng trnh ca mt cong S l : F (x; y; z) = z(x; y) z = v ~n = + (zx0 ) q q dS = + (zx) I= Latex by Trƒn Ngåc Minh ZZ Trang 11 S (P cos Chı • 2 = P ZZS q = P ZZ Dxy q ZZ h i = Dxy P (zx0 ) + Q(zy0 ) R dxdy Cæng thøc Ostrogratxki - Gauss Cho S l m°t k‰n f l v“t th” ÷ỉc bao quanh bði S N‚u P (x; y; z), Q(x; y; z), R(x; y; z) v c¡c o h m riảng ca nõ liản tửc trản miãn f th…: ZZ S P dydz + Qdzdx + Rdxdy = ZZZ f DĐu "+" nu hữợng ca phĂp vector vợi mt cong lĐy hữợng pha ngo i vt th f, dĐu "-"nu hữợng ca phĂp vector vợi mt cong lĐy hữợng pha f Lữu ỵ: N‚u m°t cong S khæng k‰n, câ th” bŒ sung th nh m°t cong S k‰n ” ¡p dưng cỉng thức Ostrogratxki - Gauss, rỗi tr i phn b sung ZZ V‰ dư 1: T‰nh Líi gi£i: V… S l ZZ S S xdydz + ydzdx + zdxdy = x2 + y2 + z2 = 2 xdydz + ydzdx + zdxdy â S l ph‰a ngo i cıa m°t cƒu x + y + z = ZZ ZZZ V S V‰ dư 2: T‰nh Líi gi£i: V… S l m°t k‰n n¶n ¡p dưng cỉng thøc Ostrogratxki - Gauss ta ÷ỉc: ZZZ V 3(x2 + y2 + z2)dxdydz °t < = I Latex by Trƒn Ngåc Minh :Z Trang 12 Chı •2 Nhâm 0.4 Phƒn b¡o c¡o 0.4.1 V‡ h…nh khŁi V 0.4.2 T‰nh t‰ch ph¥n: ZZ I= S (x 2y + z)dydz + (2xy + z)dzdx + (z + y)dxdy V… S l m°t ph‰a b¶n ngo i cıa khŁi V n¶n ¡p dưng cỉng thøc Ostrogratxki - Gauss ta ÷æc: I= ZZZ V (1 + 2x + 2z)dxdydz (*) ” t‰ch t‰ch ph¥n (*) c¡ch nhanh châng v chnh xĂc ta sò dửng Vonfram Alpha u tiản cn t…m c“n cho x; y; z: L§ y gia o tuy‚n cıa m° t z = x + y v z = ta ÷ỉ c Chi‚u khŁi V lản Oxy ta ữổc miãn Dxy = x; yj x 1; Sau â thüc hi»n t‰nh to¡n tr¶n Vonfram Alpha ta ÷ỉc: I= ZZZ (1 + 2x + 2z)dxdydz V 7.43616 Latex by Trƒn Ngåc Minh Trang 13 Chı •2 Nhâm 0.4.3 p dưng T…m vector ph¡p cıa m°t S ð tr¶n t⁄i c¡c i”m M(0; 1; 2), N(0; Líi gi£i: D„ d ng ki”m tra ÷ỉc M(0; 1 p P( ; ; 1) nm trản mt y = Vợi im M(0; 5F = (0; 0; 1) V… S l ngh¾a tåa º z cıa vector ph¡p v V“y ~n = + j5 Vỵi i”m N(0; 5F =( câ ngh¾a tåa º z cıa vector ph¡p v 2x; V“y ~n = j51 Vỵi i”m P ( 5F = (2x; 1; 0) V… S l m°t bi¶n ph‰a ngo i khŁi V n¶n < < câ ngh¾a tåa º y cıa vector ph¡p v 0.5 Líi k‚t Thỉng qua vi»c l m b¡o c¡o B i lợn GiÊi tch 2, chúng em  trau dỗi ữổc cho mnh nhng kin thức mợi, cụng nhữ o sƠu cĂc kin thức  hồc nhữ Tch Ph¥n Bºi, T‰ch Ph¥n Bºi Ba, T‰ch Ph¥n M°t, T‰ch PhƠn ữớng, v thĐy ữổc sỹ hu ch cơng nh÷ tƒm quan trång cıa chóng vi»c t‰nh to¡n c¡c thỉng sŁ phøc t⁄p B¶n c⁄nh â, chóng em cụng nƠng cao cho bÊn thƠn cĂc kắ nông v• vi»c tü håc, tü t…m hi”u thỉng tin, l m vi»c nhâm, so⁄n th£o v hìn c£ l bi‚t ứng dửng cĂc phn mãm nhữ Matlab, Geogebra, Vonfram Alpha, 0.6 T i li»u tham kh£o [1 ] Nguy„n Minh …nh Huy (2018) Gi¡o tr…nh Gi£i t‰ch 2, NXB [2 ] Th.S Nguy„n Thà Xu¥n Anh Slide b i giÊng GiÊi tch [3 ] T.S Lả XuƠn ⁄i B i gi£ng i»n tß Gi£i t‰ch [4 ] James Steward (2012) Calculus, Thomson Brooke/Cole [5 ] James Steward (2012) Calculus, Thomson Brooke/Cole ⁄i håc QuŁc Gia TP Hỗ Ch [6 ] https://vi.wikipedia.org/wiki/WolframAlpha [7 ] https://vi.wikipedia.org/wiki/GeoGebra Latex by Trƒn Ngåc Minh Trang 14 Chı •2 Nhâm ì ç khŁi".png ì ç khŁi".pdf ì ç khŁi".jpg ì ç khi".mps ỡ ỗ khi".jpeg ỡ ỗ khi".jbig2 ỡ ỗ khi".jb2 ỡ ỗ khi".PNG ỡ ỗ khi".PDF ỡ ỗ khi".JPG ỡ ç khŁi".JPEG ì ç khŁi".JBIG2 ì ç khŁi".JB2 H…nh 4: Sỡ ỗ ca hằ thng Latex by Trn Ngồc Minh Trang 15 ... ÷ỉc: ZZZ V 3(x2 + y2 + z2)dxdydz °t < = I Latex by Trƒn Ngåc Minh :Z Trang 12 Chı ? ?2 Nhâm 0.4 Phƒn b¡o c¡o 0.4.1 V‡ h…nh khŁi V 0.4 .2 T‰nh t‰ch ph¥n: ZZ I= S (x 2y + z)dydz + (2xy + z)dzdx + (z... x2 + y2 + z2 = 2 xdydz + ydzdx + zdxdy â S l ph‰a ngo i cıa m°t cƒu x + y + z = ZZ ZZZ V S V‰ dö 2: T‰nh Líi gi£i: V… S l m°t k‰n n¶n ¡p dưng cỉng thøc Ostrogratxki - Gauss ta ÷ỉc: ZZZ V 3(x2... 0.1.2Vonfram Alpha 0.2Nºi dung • t i 0 .2. 1Cho khŁi V khæng gian Ox 2 y = x , phƒn øng vỵi yx 0 .2. 2Tr…nh b y khĂi niằm mt