Báo cáo bài tập lớn giải tích 2

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG TM TM BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2 GVHD Nguyễn Thị Hồng Nhung NHÓM GT2 L23 11 TP HCM, 06/05/2022 DANH SÁCH[.]

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG TM TM BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH GVHD: Nguyễn Thị Hồng Nhung NHÓM: GT2-L23-11 TP HCM, 06/05/2022 DANH SÁCH THÀNH VIÊN NHÓM 11 STT HỌ VÀ TÊN Trần Vũ Nguyên Khanh Vũ Nhật Minh Lâm Bảo Ngọc Nguyễn Hoàng Thọ Trần Đoàn Nhật Vy MSSV 2110253 2114089 2114199 2114910 2115357 Ghi NHẬN XÉT CỦA GVHD: ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… TP Hồ Chí Minh, ngày 06 tháng 05 năm 2022 Chữ ký Giáo viên hướng dẫn Nguyễn Thị Hồng Nhung NỘI DUNG CÂU HỎI CHƯƠNG 1: BÀI DỊCH I BẢN GỐC S ource: Multivariable calculus 7th edition by james stewart II BẢN DỊCH Đồ thị mô tả chuỗi kỳ xi lanh động đốt kỳ Mỗi pít-tơng di chuyển lên xuống nối tay quay với trục khuỷu Gọi P(t) V(t) áp suất thể tích bên xi lanh thời điểm t, a ≤ t ≤ b thời gian cung cấp cần thiết cho hoành tất chu kỳ Biểu đồ thể thay đổi P V chu kỳ động kỳ Trong suốt kỳ nạp (từ đến ) , hỗn hợp khơng khí xăng áp suất khí hút vào xi lanh thơng qua van nạp pít tơng di chuyển xuống Sau đó, pít tơng nén nhanh hỗn hợp nhờ đóng van kỳ nén (từ đến 3) áp suất tăng thể tích giảm Ở 3, bugi đốt cháy nhiên liệu, nhiệt dộ áp suất tăng, thể tích gần khơng đổi Sau đó, van đóng lại, q trình giãn nở làm pít tơng di chuyển suốt q trình sinh cơng (từ đến 5) Van xả mở ra, nhiệt độ áp suất giảm, lượng tích trữ bánh đà đẩy pít tơng lên đẩy chất thải khỏi van xả kỳ thải Van xả đóng van nạp mở Quay lại chu kỳ bắt đầu lại a) Chứng tỏ cơng thực pít-tơng chu kỳ động bốn kỳ W= ∫ PⅆV C C đường cong mặt phẳng PV biểu diễn đồ thị Gợi ý: Gọi x (t) khoảng cách từ pít-tơng đến đỉnh xylanh lưu ý lực tác dụng lên pít-tơng F = AP (t) i, A diện tích đỉnh pít-tơng Khi W =∫ Fⅆr , C1 xác định r(t) = x(t)I, a ≤ t C1 ≤ b Một cách thay khác tính trực tiếp tổng Riemann b) Sử dụng công thức 16.4.5 để khác biệt cơng diện tích bao quanh vòng lặp C CHƯƠNG 3: GIẢI CÂU (a) I ĐỀ BÀI Đồ thị mô tả chuỗi kỳ xi lanh động đốt kỳ Mỗi pít-tơng di chuyển lên xuống nối tay quay với trục khuỷu Gọi P(t) V(t) áp suất thể tích bên xi lanh thời điểm t, a ≤ t ≤ b thời gian cung cấp cần thiết cho hoành tất chu kỳ Biểu đồ thể thay đổi P V chu kỳ động kỳ Trong suốt kỳ nạp (từ đến ) , hỗn hợp không khí xăng áp suất khí hút vào xi lanh thơng qua van nạp pít tơng di chuyển xuống Sau đó, pít tơng nén nhanh hỗn hợp nhờ đóng van kỳ nén (từ đến 3) áp suất tăng thể tích giảm Ở 3, bugi đốt cháy nhiên liệu, nhiệt dộ áp suất tăng, thể tích gần khơng đổi Sau đó, van đóng lại, q trình giãn nở làm pít tơng di chuyển suốt q trình sinh cơng (từ đến 5) Van xả mở ra, nhiệt độ áp suất giảm, lượng tích trữ bánh đà đẩy pít tơng lên đẩy chất thải khỏi van xả kỳ thải Van xả đóng van nạp mở Quay lại chu kỳ bắt đầu lại a) Chứng tỏ cơng thực pít-tơng chu kỳ động bốn kỳ W= ∫ PⅆV C C đường cong mặt phẳng PV biểu diễn đồ thị Gợi ý: Gọi x (t) khoảng cách từ pít-tơng đến đỉnh xylanh lưu ý lực tác dụng lên pít-tơng F = AP (t) i, A diện tích đỉnh pít-tơng Khi W =∫ Fⅆr , C1 xác định r(t) C1 = x(t)I, a ≤ t ≤ b Một cách thay khác tính trực tiếp tổng Riemann II CỞ SỞ LÝ THUYẾT Áp dụng ý tưởng chương cho trường lực liên tục F làm chuyển động vật dọc theo đường C cho r(t), a ≤ t ≤b, r(a)=A điểm r(b)=b điểm uốn C Dựa vào định luật II Newton, lực F(r(t)) điểm C liên hệ với gia tốc a(t)= r ' ' (t) phương trình: F ( r ( t ) )=m r ' ' ( t ) 15 Vậy công lực tác dụng lên vật: b b W =∫ Fⅆr =∫ F ( r ( t ) ) ⋅r ( t ) ⅆt =∫ mr ( t ) ⋅ r ( t ) ⅆt = c a ' a '' ' b b m d ' [ r ( t ) ⋅ r ' ( t ) ] dt= m ∫ d |r ' ( t )| dt= ∫ a dt a dt Vì vậy: 2 1 w= m|v ( b )| − m|v ( a )| 2 Trong đó: v=r ' vận tốc Đại lượng m|v ( t )| , tức nửa khối lượng nhân với bình phương vận tốc gọi động vật Do đó, viết lại phương trình 15 sau 16 W= K(B) – K(A) Điều nói công thực trường lực dọc theo C với sự thay đổi động điểm cuối C Bây giờ, giả sử thêm F trường lực bảo toàn tức là, viết F= ∇ f Trong vật lý, vật điểm (x,y,z) xác định P(x,y,z)= - f (x,y,z) nên ta có: F = -∇ P Theo đó, theo định luật II, có: W= ∫ dr=−∫ ∇ P dr=−[ P(r (b))−P (r (a)) ] =P( A)−P( B) III BÀI GIẢI Xét C đường cong xác định chuyển động pít-tơng A xylanh A’ chu kì động đốt kỳ Gọi x (t) khoảng cách từ pít-tơng đến đỉnh xylanh thời điểm t Khi C xác định r(t) = x(t), với ¿ ¿) Áp lực tác dụng lên mặt bị ép pít-tơng A có diện tích S F(t) = S.P(t), với¿ ¿) Trong P(t) áp suất xylanh A’ thời điểm t Cơng thực pít-tơng A chu kỳ động bốn kỳ là: ❑ b C1 a W =∫ Fdx=∫ SP ( t ) x ( t ) dt , với a1 ≤ t ≤ b1 ( ) ' Thể tích Xylanh A’ thời điểm t là: V ( t ) =Sx ( t ) , với a1 ≤ t ≤ b1 (2) Đạo hàm hai vế (2) theo thời gian t (a ≤ t ≤ b), ta được: ' ' V (t )=S x ( t ) , với a1 ≤t ≤b ( ) 10 Từ (1) (3), ta được: b b W =∫ SP ( t ) x ( t ) dt =∫ P ( t ) V ' ( t ) dt , với a1 ≤ t ≤ b1 ( ) ' a a Từ đó, với C đường cong mặt phẳng PV biểu diễn đồ thị, t ¿) thời điểm chu kì động đốt ta có: b ❑ W =∫ P ( t ) V ( t ) dt=¿ ∫ PdV , với a ≤ t ≤ b ¿ a ' C Vì vậy, cơng thực pít-tơng chu kỳ động bốn kỳ W= ∫ PⅆV (điều cần phải chứng minh) C 11 CHƯƠNG 4: GIẢI CÂU (b) I ĐỀ BÀI Sử dụng Công thức 16.4.5 để cơng hiệu diện tích bao hai vòng lặp C II CƠ SỞ LÝ THUYẾT Định lý Green: Trong mặt phẳng xOy, cho D miền đóng có biên đường cong đơn giản , khép kín , trơn khúc C Các hàm P(x,y), Q(x,y) đạo hàm riêng cấp chúng liên tục D Khi đó: ∮ P ( x , y ) dx+ Q ( x , y ) dy =±∬ ( ∂∂Qx )−( ∂∂ Py ) dx dy ❑ ❑ C D Dấu “+” chiều lấy tích phân trùng với chiều quy ước Ngược lại, ta lấy dấu “-” Chú ý: Như vậy, theo đường cơng C, miền D nằm bên trái đường cong C chiều lấy tích phân chiều dương III BÀI GIẢI Ta chia đường cong C thành đường cong kín, đơn giản là C1 và C2 C=C ∪C Gọi A1 là diện tích miền đường cong C1 bao quanh Gọi A2 là diện tích miền đường cong C2 bao quanh 12 Theo công thức 16.4.5 và chiều của đường cong ta có: Diện tích miền có biên C1 là: A1=−∮ PⅆV Diện tích miền có biên C là: c1 A2=−¿ Từ câu a ta lại có: W =∮ PⅆV c ¿ ∮ PⅆV +∮ PⅆV c1 c2 ¿−¿ ¿ ∮ PⅆV −¿ c2 Từ suy ra: W =A 2− A1 Vậy, ta kết luận cơng thực hiệu diện tích miền đường cong C bao quanh ( A1 v a` A2 ¿ 13 CHƯƠNG 5: TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Problem Plus, Vector Calculus, Multivariable calculus 7th edition by james stewart [2] Chương 7, phần 7.2.7 , Sách giáo trình giải tích , Nhà Xuất Bản Đại học Quốc Gia Thành phố Hồ Chí Minh - Nguyễn Đình Huy (chủ biên) 14