ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 1 Lớp L28 Nhóm thực hiện Nhóm 16 Giáo viên hướng dẫn Th S Nguyễn Hữu Hiệp STT TÊN MSSV 1 LƯƠNG THẾ VINH 221396[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH Lớp: L28 Nhóm thực hiện: Nhóm 16 Giáo viên hướng dẫn: Th.S Nguyễn Hữu Hiệp STT TÊN MSSV LƯƠNG THẾ VINH 2213966 NGUYỄN VINH 2213968 NGUYỄN KHANG VỸ 2214058 NGUYỄN NHẬT VY 2214039 NGUYỄN TƯỜNG VY 2214045 NGUYỄN TƯỜNG VY 2214046 NGUYỄN TƯỜNG VY 2214044 Tháng 12, Thành phố Hồ Chí Minh Nhóm 16 – L28 Giải tích 1 MỤC LỤC Lời nói đầu Phần 1: Direction Field phương trình Logistic 1.1 Tìm hiểu Direction Field .3 1.2 Tìm hiểu phương trình Logistic Phần 2: Công cụ Slope Field Plotter để vẽ Direction field Vẽ minh họa direction field cho phương trình y’ = 2y2 – x hàm nghiệm toán y’ = 2y2 – x, y(2) = 10 2.1 Slope Field Plotter (Công cụ vẽ trường độ dốc) 10 2.1.1 Định nghĩa 10 2.1.2 Một số chức công cụ vẽ Slope Field Plotter .10 2.2 Vẽ minh họa Direction field cho phương trình vi phân cấp y '=2 y 2−x hàm nghiệm toán y '=2 y 2−x, y(2) ¿ 13 Nhóm 16 – L28 Giải tích Lời nói đầu LỜ` I MỜ' ĐẦ# U Toán học nói chung tốn giải tích nói riêng có ứng dụng đa dạng nhiều ngành khoa học khác nhau, đặc biệt khoa học kinh tế Các nghiên cứu phân tích kinh tế mặt định lượng thường tiến hành thông qua quy mô kinh tế tốn Vì nhà nghiên cứu ngày có nhu cầu sử dụng nhiều cơng cụ tốn học, đặc biệt cơng cụ giải tích Đề tài báo cáo đề cập đến số ứng dụng cực trị hàm nhiều biến Việc tìm hiểu kiến thức hoàn toàn cần thiết hữu ích Giúp hiểu sâu công cụ giải tích, tối ưu hóa vận dụng tốt thực tiễn giảng dạy toán cho đối tượng kinh tế Các nội dung đề cập đến báo cáo khơng qua hình thức mà gần gũi với tư kinh tế, với nhiều ứng dụng minh họa cụ thể, giữ tính xác, chặt chẽ mặt toán học Bài toán cực trị tốn quan trọng giải tích tốn học có nhiều ứng dụng khác tốn học nhiều ngành khoa học khác như: Kinh tế, khoa học cơng nghệ… Để giải tốn cực trị hàm nhiều biến có nhiều phương pháp khác Mục đích báo cáo giới thiệu đưa phương pháp giải, cho bình luận đồng thời đưa số ứng dụng Nhóm 16 – L28 Giải tích Phần 1: Direction Field phương trình Logistic 1.1 Tìm hiểu Direction Field: Direction field (Trường hướng hay trường độ dốc) đồ thị tạo thành từ nhiều đường nhỏ, đường nhỏ xấp xỉ độ dốc hàm khu vực hay cịn hiểu đồ thị biểu diễn nghiệm phương trình vi phân cấp hàm vơ hướng có dạng: y’ = f(x,y) (1) Nếu (a,b) điểm đường cong nghiệm phương trình (1) độ dốc đường tiếp tuyến đường cong (a,b) cho bởi: y’|(a,b) = f(a,b) Những điểm biểu diễn thành đường thẳng nhỏ ghép chúng lại thành đổ thị nghiệm xấp xỉ hệ số góc hay độ dốc hàm số điểm xét (a,b) đồ thị Từ đường thẳng hướng ta vẽ đồ thị theo hướng thay đổi đường thẳng ta biết hình dạng đồ thị ta suy ngược lại biểu thức hàm nghiệm ước lượng hàm tương đương Cách biểu diễn: Lấy ý tưởng điểm hệ trục tọa độ Oxy thay vào phương trình (1) ta đạt giá trị y’ Giá trị y’ độ dốc hàm số điểm ta xét Giả sử y’=0 ta vẽ đường thẳng nhỏ nằm ngang, tương tự y’>0 vẽ chếch lên, y’0 số tỉ lệ) F=mg−kv Vậy nên phương trình chuyển động là: m dv =mg −kv dt Euler’s Method (Phương pháp Euler) đặt tên theo tên nhà toán học Thụy Sỹ Leonard Euler (1707 – 1783) phương pháp tính xấp xỉ nghiệm phương trình vi phân thông thường với giá trị ban đầu cho trước dy =F ( x , y ) y x dx ( o)= y Để mô tả phương pháp này, ta cho h số tương ứng kích thước bước số tự nhiên n không bị trùng theo phương trình xn=x0+nhn=1,2,3 ,…… Chúng ta bắt đầu cách tìm xấp xỉ y, với giá trị nghiệm thực tế cho f(x1) x= x1 Quan sát điều kiện ban đầu cho ta biết điểm cho thuộc đường cong nghiệm phương pháp Euler cho ta biết phần đồ thị xấp xỉ đoạn thẳng tiếp xúc đồ thị Vì y= y0+ F ( x0 , y0 ) ( x−x ) 1.2 Tìm hiểu phương trình Logistic: Theo biết mơ hình tăng dân số tốc độ thay đổi dân số thời điểm tỉ lệ thuận với dân số theo phương trình: dP dt = kP (1) Trong P(t) dân số thời điểm t, k, số dương tình trạng cân xứng số tăng trưởng Nhưng mơ hình khơng thực tế thực chất dân số lúc đầu tăng nhanh chậm dần lại đông đúc thiếu thốn sở vật chất sống để thể xác thay đổi ta dùng phương trình Logistic Chúng ta viết lại phương trình dạng : dP dt P =k Nhóm 16 – L28 Giải tích Điều cho biết tốc độ tăng dân số tương đối mơ hình tăng trưởng khơng giới hạn số dương Giả sử quần thể vượt số L đó, gọi sức chứa mơi trường Sau có giả định tương đối hợp lí tốc độ tăng trưởng tương đối dân số k P nhỏ tiến tới P gần với L Nói cách khác muốn mơ hình mang dạng : dP dt P =f(P) Khi f thỏa mãn f(0) = k f(L0) = Hàm số đơn giản f thỏa mãn điều kiện hàm số tuyến tính có đồ thị đường thẳng qua điểm (0,k) (L,0) (Nhìn hình minh họa H1.) Bạn kiểm chứng hàm số mong muốn : P f(P) = k( - L ) (H1) Từ thơng tin thảo luận dẫn đến phương trình dành cho gia tăng dân số bị hạn chế gọi phương trình Logistic : dP P dt = kP( - L ) Có thể thấy P nhỏ so với L , P/L nhỏ dP/dt ≈ kP ; là, mơ hình logistic hoạt động giống mơ hình tăng trưởng khơng hạn chế Nhưng P tiến đến L, P/L tiến đến 1, tỉ lệ tăng trưởng P , dP/dt, tiến đến Như vậy, phương trình Logistic thể tính chất tăng trưởng nhanh ban đầu tính chất bão hòa giảm sau Cũng , ghi dân số ban đầu P vượt ngưỡng chứa L, - (P/L) số âm dP/dt < 0, dân số giảm Ví dụ sau phương trình vi phân logistic kiểm chứng đặc tính đồ họa 5 Nhóm 16 – L28 Giải tích Ví dụ : Hàm số tăng trưởng logistic : Phác thảo trường hướng cho phương trình vi phân với k = 0.05 L = 1000 Sau vẽ đường cong nghiệm phương trình gần thỏa mãn yêu cầu ban đầu P(0) =100, P(0) = 1400, P(0) =1000 chồng lên đường định hướng Lời giải : Xét phương trình vi phân : dP dt = 0.05P(1 P 1000 ) Sử dụng phần mềm, thu trường hướng cho phương trình thể hình 2a Chú ý độ dốc giống đường nằm ngang Điều xảy phương trình vi phân logistic tự động; điều nghĩa P’ phụ thuộc vào P Đường cong nghiệm phương trình thỏa yêu cầu ban đầu P(0) =100, P(0) = 1400, P(0) =1000 thể hình 2b-d Nhóm 16 – L28 Giải tích Chú ý hai trường hợp mà dân số ban đầu không bắt đầu 1000, ngưỡng chứa môi trường, dân số hướng đến 1000 t tăng mà không bị ràng buộc Nhưng trường hợp mà dân số 1000, dân số ổn định mức cho tất giá trị t * PHÂN TÍCH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LOGISTIC Ví dụ : Giải phương trình vi phân logistic : dP dt = kP( P L) P(0) = Lời giải : Đầu tiên , P = P = L nghiệm , bạn kiểm chứng cách thay giá trị vào phương trình vi phân Tiếp theo, giả sử P ≠ Nhóm 16 – L28 Giải tích P ≠ L Ta thấy phương trình tách Tách biến ta : dP P P(1− L ) = k dt Tích phân vế phương trình theo biến thích hợp, ta : dP ∫ P(1− P ) ∫ L = kdt (3) 1 ∫( + )dP=∫kdt P L−P ln|P |- ln|L-P| = kt + C1 ln|L-P| - ln|P | = -kt C1 L−P ln| P | = -kt - C1 L−P P = L−P e −kt−C P =Ce Khi C = ± −kt = −C e e −kt = C2 − kt e (C2 = e −C1 ) (4) C2 Chúng ta giải cho P phương trình (4) theo : L −1=Ce−kt P L =1+ Ce−kt P L P = 1+ Ce−kt Để tìm C , ta dùng điều kiện ban đầu P(0) = Po, với Po dân số ban đầu Đặt t = P = Po thay vào phương trình (4) L−P0 P0 =C e0=C Vậy, nghiệm giá trị vấn đề ban đầu Chú ý L L P(t) = 1+( −1) e−kt P0 (5) Nhóm 16 – L28 Giải tích Nhóm 16 – L28 Giải tích L lim lim P (t ) = t→ ∞ t =L (P ) L 10 − e (6) −kt Như dự đốn Đồ thị phương trình (5) gọi đường cong logistic * ĐƯỜNG CONG LOGISTIC Ví dụ gợi ý hình dáng đường cong logistic , vị trí để xác nhận phân tích quan sát Chúng ta bắt đầu xác định khoảng P tăng khoảng giảm Để làm điều , tính tốn P’(t) từ phương trình (5) , điều tẻ nhạt không cần thiết Thay vào , làm việc với phương trình (2) , mà thể P’ khoảng Quan sát thấy P P’ = kP( - L ) hàm số liên tục P (- ∞ ,+∞ ) P = P = L Dấu đồ thị biểu diễn hình (H3) (H3) Ta thấy dấu đồ thị không giống với dấu đồ thị gặp chương Ở đây, P phụ thuộc theo biến , phụ thuộc vào trục tung Từ dấu đồ thị P’ ta kết luận P tăng 0