bài tập lớn giải tích 2 năm 2022

ĐẠI HàC QC GIA TP Hà CHÍ MINH TRƯàNG ĐẠI HàC BÁCH KHOA BÀI TẬP LÞN GIẢI TÍCH GVHD: Nguyễn Văn Thìn Huỳnh Thß Vu Nhóm lßp: L17 Nhóm STT Há tên Mã sß sinh viên Trần Huy Hoàng Anh 2112813 Phan Tấn Duy 2113033 Bùi Minh Long 2113926 Nguyễn Siêu 2114648 Nguyễn Cảnh Kỳ 2113861 Mục Lục PHẦN I LÝ THUYẾT CH¯ƠNG I: HÀM NHIịU BIắN A Các khái niệm c¡ b¿n cÿa hàm nhißu bi¿n Hàm hai bi¿n Đồ thß hàm hai bi¿n бßng đẳng trß 4 Đßnh nghĩa hàm nhißu bi¿n B бßng thẳng mặt phẳng không gian бßng thẳng Mặt phẳng C Các mặt bậc hai Mặt Ellipsoid Mặt Paraboloid Elliptic Mặt Paraboloid Hyberbolic Mặt Hyberboloid 5 Mặt trÿ 6 Mặt nón hai phía CH¯ƠNG II: HÀM VÉC TƠ Hàm véc t¡ mặt phẳng Gißi h¿n tính liên tÿc cÿa hàm véc t¡ mặt phẳng Đ¿o hàm cÿa véc t¡ mặt phẳng Tích phân cÿa hàm véc t¡ mặt phẳng Hàm véc t¡ không gian Gißi h¿n tính liên tÿc cÿa hàm véc t¡ không gian Đ¿o hàm cÿa véc t¡ không gian 10 Tích phân cÿa hàm véc t¡ không gian 10 PHẦN II BÀI TẬP 12 PHẦN III ỨNG DỤNG 22 PHẦN I LÝ THUYẾT CHƯƠNG I: HÀM NHIÞU BIắN A Cỏc khỏi nim cĂ bn ca hm nhiòu bi¿n Hàm hai bi¿n Đßnh nghĩa 1.1 Hàm hai bi¿n mßt quy lu¿t ÿng vßi mßt cặp sß thÿc đ±ÿc s¿p x¿p thÿ tÿ (x, y) ∈ D ta ln xác đßnh đ±ÿc nh¿t mßt sß thÿc z = f(x, y) f : D ⊂ �㕅 ² R (x, y) ² z = f(x, y) a T¿p hÿp D đ±ÿc gßi mißn xác đßnh cÿa hàm sß f đ±ÿc kí hißu D(f) b T¿p hÿp E = { z, ∃(x, y) ∈ D : z = f(x, y)} đ±ÿc gßi t¿p giá trß cÿa hàm sß f đ±ÿc ký hißu E(f) c Chú ý: N¿u hàm f đ±ÿc xác đßnh bßi bißu thÿc cÿ thß, mißn xác đßnh cÿa f đ±ÿc bißu thß t¿p hÿp t¿t c¿ nhÿng cặp đißm (x,y) cho bißu thÿc xác đßnh hàm có nghĩa hay nói cách khác hàm sß nh¿n giá trß thÿc Đồ thß hàm hai bi¿n Đßnh nghĩa 1.2 Đß thß cÿa hàm hai bi¿n z = f(x, y) t¿p hÿp t¿t c¿ nhÿng đißm (x, y, z) ∈ �㕅 cho z = f(x, y) (x, y) ∈ D Đß thß cÿa hàm mßt bi¿n y = f(x) mßt đ±ßng cong , cịn đß thß cÿa hàm hai bi¿n z = f(x, y) mßt mặt cong бßng đẳng trß Đßnh nghĩa 1.3 бßng đ¿ng trß cÿa hàm sß z = f(x, y) đ±ßng cong có ph±¡ng trình f(x, y) = k, vßi k h¿ng sß (thußc t¿p giá trß cÿa f(x, y)) Chú ý: Tÿ đßnh nghĩa cÿa hàm nhißu bi¿n đ±ßng đ¿ng trß s¿ khơng c¿t ÿng vßi mßi đißm (x, y) ta ln xác đßnh đ±ÿc nh¿t mßt giá trß cÿa hàm sß z = f(x, y) Th¿t v¿y, gi¿ sÿ n¿u hai đ±ßng đ¿ng trß z = �㕘1 z = �㕘2 (�㕘1 b �㕘2 ) khác c¿t ÿng vßi mßi đißm (x, y) có hai giá trß khác z = �㕘1 z = �㕘2 Đßnh nghĩa hàm nhißu bi¿n Đßnh nghĩa 1.4 Hàm n bi¿n f : D ⊂ �㕅 ÿ ² R (ý1 , ý2 , , ýÿ ) ² (ý1 , ý2 , , ýÿ ) Hoặc u = f(x) = (ý1 , ý2 , , ýÿ ) T¿p hÿp D đ±ÿc gßi mißn xác đßnh cÿa hàm sß đ±ÿc kí hißu D(f) B бßng thẳng mặt phẳng khơng gian бßng thẳng Cho (d) òng thng i qua (ý0 , ỵ0 , ) song song vßi véc t¡ ÿ = (ÿ1 , ÿ2 , ÿ3 ) V¿y (d) 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 ±± ÿ t¿p hÿp t¿t c¿ nhÿng đißm M(x, y, z) cho �㕀 �㕀 Do n¿u M ∈ D thỡ ý2 ý0 ỵ ỵ0 = = t, (t ∈ �㕅) = ÿ1 ÿ2 Tÿ ta đ±ÿc ph±¡ng trình tham sß cÿa đ±ßng thng (d) ý = ý0 + {ỵ = þ0 + ÿ2 ā ÿ = ÿ0 + ÿ3 ā Mặt phẳng Cho (P) mặt ph¿ng qua iòm (ý0 , ỵ0 , ) v vng góc vßi véc t¡󰇍 ÿ= (ÿ1 , ÿ2 , ÿ3 ) Khi 󰇍 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 ⊥ ÿ󰇍 Do ph±¡ng trình cÿa mặt ph¿ng (P) (P) t¿p hÿp nhÿng đißm M(x, y, z) cho �㕀 �㕀 ÿ1 (x ý0 ) + ÿ2 (y þ0 ) + ÿ3 (z ÿ0 ) = C Các mặt bậc hai Mặt Ellipsoid Ph±¡ng trình chớnh tc ca mt ellipsoid ỵ2 ý2 + + = 1, (ÿ, Ā, ā ∈ R) ÿ2 Ā2 ā2 ý2  Mßi mặt ph¿ng z = k c¿t mặt ph¿ng Ellipsoid theo đ±ßng Ellipse + ÿ -c < k < c  Mßi mặt ph¿ng y = k c¿t mặt ph¿ng Ellipsoid theo đ±ßng Ellipse -b < k < b  Mßi mặt ph¿ng x = k c¿t mặt ph¿ng Ellipsoid theo đ±ßng Ellipse -a < k < a ý2 2 + + ỵ2 2 ỵ2 = 12 = 12 = 12 , vßi ā2 đißu kißn �㕘 Ā2 ý2 ÿ2 , vßi đißu kißn , vßi đißu kißn Nh± v¿y, mßi mặt c¿t đißu Ellipse nên mặt cong đ±ÿc gßi mặt Ellipsoid Khi a = b = c = R mặt Ellipsoid s¿ trß thành mặt c¿u tâm (0, 0, 0) bán kính R Mặt Paraboloid Elliptic Ph±¡ng trình t¿c cÿa mặt Paraboloid Elliptic z= ý2 + ỵ2 Mòi mt ph¿ng z = k c¿t mặt Paraboloid Elliptic theo đ±ßng Ellipse z = k>0 ý2 ÿ2  Mßi mặt ph¿ng y = k c¿t mặt Paraboloid Elliptic theo đ±ßng Parabol z =  Mßi mặt ph¿ng x = k c¿t mặt Paraboloid Elliptic theo đ±ßng Parabol z = ý2 + þ2 Ā2 + ÿ2 �㕘 ÿ2 + = �㕘 vòi iòu kiòn 2 ỵ2 Nh vy, mặt c¿t nhÿng Parabol Ellipse nên mặt cong đ±ÿc gßi mặt Paraboloid Elliptic Mặt Paraboloid Hyberbolic Ph±¡ng trình t¿c cÿa mặt Paraboloid Hyberbolic z= ý2 2 ỵ2 ỵ2 = y = k c¿t mặt Paraboloid Elliptic theo đ±ßng Parabol z = 2 ỵ x = k c¿t mặt Paraboloid Elliptic theo đ±ßng Parabol z = 2 ÿ Ā  Mßi mặt ph¿ng z = k c¿t mặt Paraboloid Elliptic theo đ±ßng Ellipse z =  Mßi mặt ph¿ng  Mßi mặt ph¿ng ý2 ÿ2 ý2 �㕘 Nh± v¿y, mặt c¿t nhÿng Parabol Hyberbol nên mặt cong đ±ÿc gßi mặt Paraboloid Hyberbolic hay cịn gßi hình yên ngÿa Mặt Hyberboloid  a Ph±¡ng trình t¿c cÿa mặt Hyberboloid mßt t¿ng ý2 ÿ22 = ỵ2 + + ý2 2 Mòi mt ph¿ng z = k c¿t mặt Hyberboloidÿmßt tĀ ¿ng theo đ±ßng Ellipse + ÿ  Mßi mặt ph¿ng y = k c¿t mặt Hyberboloid mßt t¿ng theo đ±ßng Hyberbol  Mßi mặt ph¿ng x = k c¿t mặt Hyberboloid mòt tng theo òng Hyberbol ý2 2 ỵ2 2 + + = 1+ 2 ỵ2 ā2 = 12 = 12 �㕘 Ā2 �㕘 ÿ2 Nh± v¿y, mặt c¿t nhÿng Hyberbol Ellipse nên mặt cong đ±ÿc gßi Hyberboloid mßt t¿ng b Ph±¡ng trình t¿c cÿa mặt Hyberboloid hai tng ỵ2 ý2 + = 21 2 ā2  Mßi mặt ph¿ng z = k c¿t mặt Hyberboloid hai t¿ng theo đ±ßng Ellipse ý2 + ÿ2 đißu kißn k > c k < -c  Mßi mặt ph¿ng y = k c¿t mặt Hyberboloid mßt t¿ng theo đ±ßng Hyberbol  Mßi mặt ph¿ng x = k ct mt Hyberboloid mòt tng theo òng Hyberbol ý2 ỵ2 Ā2 ÿ2 ÿ2 ā2 2 = 21 + ÿ2 ỵ2 v òi = 21 = �㕘 Ā2 �㕘 21 ÿ2 Nh± v¿y, mặt c¿t nhÿng Hyberbol Ellipse nên mặt cong đ±ÿc gßi Hyberboloid hai t¿ng Trong tr±ßng hÿp k > c k < -c ta đ±ÿc mặt Hyberboloid mßt phía Mặt trÿ a Ph±¡ng trỡnh chớnh tc ca mt tr Ellipse ý2 ỵ2 = 1, + Ā2 ÿ2 ÿ∈ R Trong ph±¡ng trình mặt trÿ khơng có bi¿n z Đißu có nghĩa mßi mặt ph¿ng z = k (song song vßi mặt ph¿ng xOy) s¿ c¿t mặt trÿ ellipse theo đ±ßng ellipse ý2 + ỵ2 c gòi l mt trÿ ellipse đ±ÿc t¿o bßi r¿t nhißu đ±ßng ellipse gißng = Mặt trÿ b Khi a = b = R ta có ph±¡ng trình tc ca mt tr trũn ý + ỵ = �㕅 , ÿ∈ R c Ph±¡ng trình tc ca mt tr parabol ỵ = 2ý, R Trong ph±¡ng trình mặt trÿ khơng có bi¿n z Đißu có nghĩa mßi mặt ph¿ng z = k (song song vßi mặt ph¿ng xOy) s¿ c¿t mt tr parabol theo òng parabol ỵ = 2ý Mặt trÿ đ±ÿc gßi mặt trÿ parabol đ±ÿc t¿o bßi r¿t nhißu đ±ßng parabol gißng Mặt nón hai phía Ph±¡ng trình t¿c cÿa mt nún hai phớa ý2 ỵ2 + = ÿ2 Ā2  Mßi mặt ph¿ng z = k c¿t mặt nón hai phía theo nhÿng đ±ßng Ellipse ý2 + ỵ2 = 2 Mßi mặt ph¿ng y = k c¿t mặt nón hai phía theo đ±ßng Hyberbol ÿ mặt nón hai phía theo đ±ßng th¿ng = ± ýÿ , vßi k = ā Mßi mặt ph¿ng y = k c¿t mặt nón hai phía theo đ±ßng Hyberbol mặt nón hai phía theo òng thng = ỵ , v òi k = ý2 ỵ2 2 ÿ2 ā2 ÿ2 ā2 = = �㕘 , Ā2 �㕘 , ÿ2 vßi k b 0; c¿t vßi k b 0; c¿t Nh± v¿y, mặt c¿t nhÿng Hyberbol, Ellipse đ±ßng th¿ng, t¿o nên hình nón nên mặt cong đ±ÿc gßi mặt nón hai phía Trong tr±ßng hÿp n¿u z > z < ta đ±ÿc mặt nón mßt phía CHƯƠNG II: HÀM VÉC TƠ Hàm véc t¡ mặt phẳng  Đßnh nghĩa Khi mßt ch¿t đißm M (x, y) chuyßn đßng mặt ph¿ng, tßa đß cÿa nhÿng hàm sß theo bi¿n thßi gian t x = x(t), y = y(t) Đißm M (x(t), y(t)) s¿ v¿ mßt đ±ßng cong mặt ph¿ng Khi véc t¡ ÿ = (x(t), y(t)) chß vß trí cÿa đißm M t¿i thßi đißm t Đßnh nghĩa 1: Hàm véc t¡ ÿ(ā) xác đßnh mißn D mßt quy lu¿t cho ÿng vßi mßi t ∈ D ln xác đßnh mßt véc t¡ ÿ(ā) ÿ ∶ Ā ⊂ �㕅 ² �㕅2 ā ² ÿ(ā) = (x(t), y(t)) Chú ý: Hàm véc t¡ mặt ph¿ng cịn đ±ÿc gßi hàm tham sß Gißi h¿n tính liên tÿc cÿa hàm véc t¡ mặt phẳng a Gißi h¿n Đßnh nghĩa: Hàm véc t¡ ÿ(ā) đ±ÿc gßi có gißi h¿n󰇍󰇍󰇍ÿ  0khi t ² āĀ n¿u nh±  |0 < Ā ∀Ā > 0, ∃ÿ > ∶ |ā āĀ | < ÿ ⇒ |ÿ(ā) 2󰇍󰇍󰇍ÿ Vßi ÿ(ā) = (x(t), y(t)) 󰇍󰇍ÿ󰇍0 = (ý0 , ỵ0 ) ta cú |() 0| = (ý() ý0 )2 + (ỵ() ỵ0 )2 Do f |ý(ā) ý0 | f |() 2| { 0 f |ỵ() ỵ0 | f |ÿ(ā) 󰇍󰇍󰇍| Khi t ² āĀ ta thu đ±ÿc đßnh lý sau N¿u ÿ(ā) = (x(t), y(t)) lim t ² ā� 㕜 ÿ(ā) =󰇍 󰇍 ÿ⟺ { lim ý(ā) = ý0 t ² ā�㕜 lim þ(ā) = þ0 t ² ā�㕜 vßi đißu kißn gißi h¿n cÿa nhÿng hàm x(t), y(t) tßn t¿i t ² āĀ b Tính liên tÿc Đßnh nghĩa: Hàm véc t¡ ÿ(ā) đ±ÿc gßi liên tÿc t¿i āĀ n¿u xác đßnh t¿i āĀ lim ÿ(ā) = ÿ( āĀ ) t ² ā�㕜 Nh± v¿y , hàm véc t¡ ÿ(ā) liên tÿc t¿i āĀ chß hàm x(t), y(t) liên tÿc t¿i āĀ Đ¿o hàm cÿa véc t¡ mặt phẳng a Đßnh nghĩa Đ¿o hàm cÿa hàm véc t¡ ÿ(ā) t¿i āĀ gißi h¿n (n¿u có) ÿ(ā) ÿ( āĀ ) lim t ² ā� 㕜 t āĀ c ký hiu l ( ) /ỵ ( ) Ăā b Ý nghĩa hình hßc Khi đißm M (x(t), y(t)) ti¿n d¿n đ¿n đißm �㕀Ā (x(āĀ ), y(āĀ )), tÿc t ² āĀ véc t¡ ÿ(ā )2 ÿ( ā�㕜 ) t2 ā� 㕜 s¿ ti¿n d¿n đ¿n vß trí ti¿p tuy¿n vßi đ±ßng cong t¿i đißm �㕀Ā N¿u ÿ(ā) = (x(t), y(t)) x(t), y(t) nhÿng hàm kh¿ vi t¿i āĀ ÿ(āĀ ) = (x′(āĀ ), y′(āĀ )) Tích phân cÿa hàm véc t¡ mặt phẳng a Nguyên hàm Đßnh nghĩa: Nguyên hàm cÿa véc t¡ ÿ(ā) = (x(t), y(t)) kho¿ng (a, b) mßt hàm󰇍�㕅 (ā) 󰇍(ā) = ÿ(ā), ∀ā ∈ (ÿ, Ā) cho �㕅 b Tích phân b¿t đßnh Đßnh nghĩa: N¿u 󰇍�㕅 (ā) nguyên hàm cÿa véc t¡ ÿ(ā) = (x(t), y(t)) véc t¡󰇍�㕅 (ā) + ÿ, vßi ÿ véc t¡ cß đßnh, đ±ÿc gßi tích phân b¿t đßnh cÿa hàm véc t¡ ÿ(ā) đ±ÿc kí hißu ∫ ÿ(ā)Ăā = 󰇍�㕅 (ā) + ÿ c Tích phân xác đßnh Đßnh nghĩa: Tích phân xác đßnh cÿa hàm véc t¡ ÿ(ā) = (x(t), y(t)) Ā Ā Ā 󰇍(Ā) �㕅 󰇍(ÿ) = ( ý(), ỵ () ) ()] = ∫ ÿ(ā)Ăā = [󰇍�㕅 ÿ ÿ ÿ Hàm véc t¡ khơng gian  ÿ Đßnh nghĩa Khi mßt ch¿t đißm M(x, y, z) chun đßng khơng gian, tßa đß cÿa nhÿng hàm sß theo bi¿n thòi gian t ý = ý(), ỵ = ỵ(), = ÿ(ā) Đißm M(x(t), y(t), z(t)) s¿ v¿ mßt đ±ßng cong khơng gian Khi véc t¡ ÿ(ā) = (x(t), y(t), z(t)) chß vß trí cÿa đißm M t¿i thßi đißm t Đßnh nghĩa: Hàm véc t¡ ÿ(ā) xác đßnh mißn D mßt quy lu¿t cho ÿng vßi mßi t ∈ D ln xác đßnh mßt véc t¡ ÿ(ā) ÿ ∶ Ā ⊂ �㕅 ² �㕅3 ā ² ÿ(ā) = (x(t), y(t), z(t)) Gißi h¿n tính liên tÿc cÿa hàm véc t¡ khơng gian a Gißi h¿n 0khi t ² āĀ n¿u nh± Đßnh nghĩa: Hàm véc t¡ ÿ(ā) đ±ÿc gßi có gißi h¿n󰇍󰇍󰇍ÿ ∀Ā > 0, ∃ÿ > ∶ |ā āĀ | < ÿ ⇒ |ÿ(ā) 2󰇍󰇍󰇍ÿ  |0 < Ā Vßi ÿ(ā) = (x(t), y(t)) 󰇍󰇍ÿ󰇍0 = (ý0 , ỵ0 ) ta cú Do ú |() 0| = (ý() ý0 )2 + (ỵ() þ0 )2 + (ÿ(ā) ÿ0 )2 Khi t ta thu c ònh lý sau | |ỵ() ýỵ00|| f | () 22 00| f |ý() f |ÿ (ā) 󰇍0| { f |ÿ(ā) ÿ0 | f |ÿ(ā) 2󰇍󰇍ÿ N¿u ÿ(ā) = (x(t), y(t), z(t)) lim t ² ā� 㕜 ÿ(ā) =󰇍󰇍󰇍ÿ⟺ lim ý() = ý0 t { lim ỵ() = þ0 t ² ā�㕜 lim ÿ(ā) = ÿ0 t ² ā�㕜 vßi đißu kißn gißi h¿n cÿa nhÿng hàm x(t), y(t), z(t) tßn t¿i t ² āĀ b Tính liên tÿc Đßnh nghĩa: Hàm véc t¡ ÿ(ā) đ±ÿc gßi liên tÿc t¿i āĀ n¿u xác đßnh t¿i āĀ lim ÿ(ā) = ÿ( āĀ ) t ² ā�㕜 Nh± v¿y , hàm véc t¡ ÿ(ā) liên tÿc t¿i āĀ chß hàm x(t), y(t), z(t) liên tÿc t¿i āĀ Đ¿o hàm cÿa véc t¡ khơng gian a Đßnh nghĩa: Đ¿o hàm cÿa hàm véc t¡ ÿ(ā) t¿i āĀ gißi h¿n (n¿u có) ÿ(ā) ÿ( āĀ ) t ² ā� 㕜 t āĀ lim ký hiệu l ( ) /ỵ ( ) b Ý nghĩa hình hßc Khi đißm M (x(t), y(t)) ti¿n d¿n đ¿n đißm �㕀Ā (x(āĀ ), y(āĀ ), z(āĀ )), tÿc t ² āĀ véc t¡ ÿ(ā )2 ÿ( ā�㕜 ) t2 ā� 㕜 s¿ ti¿n d¿n đ¿n vß trí ti¿p tuy¿n vßi đ±ßng cong t¿i đißm �㕀Ā N¿u ÿ(ā) = (x(t), y(t), z(t)) x(t), y(t), z(t) nhÿng hàm kh¿ vi t¿i āĀ ÿ(āĀ ) = (x′ (āĀ ), y′ (āĀ ), z′(āĀ )) Tích phân cÿa hàm véc t¡ khơng gian a Nguyên hàm Đßnh nghĩa: Nguyên hàm cÿa véc t¡ ÿ(ā) = (x(t), y(t), z(t)) kho¿ng (a, b) mßt hàm 󰇍(ā) cho 󰇍 �㕅 (ā) = ÿ(ā), ∀ā ∈ (ÿ, Ā) �㕅 b Tích phân b¿t đßnh Đßnh nghĩa: N¿u 󰇍�㕅 (ā) nguyên hàm cÿa véc t¡ ÿ(ā) = (x(t), y(t), z(t)) véc t¡󰇍�㕅 (ā) +   ÿ, vßi ÿ véc t¡ cß đßnh, đ±ÿc gßi tích phân b¿t đßnh cÿa hàm véc t¡ ÿ(ā) đ±ÿc kí hißu c Tích phân xác đßnh ∫ ÿ(ā)Ăā = 󰇍�㕅 (ā) + ÿ 10 Đßnh nghĩa: Tích phân xác đßnh cÿa hàm véc t¡ ÿ(ā) = (x(t), y(t), z(t)) Ā Ā Ā Ā () = ( ý(), ỵ (), () ÿ(ā)Ăā = [󰇍�㕅 (ā)]Ā = 󰇍(Ā) �㕅 �㕅 ) ÿ ÿ ÿ 11 ÿ ÿ PHẦN II BÀI TẬP 12 Bài 2.1(Cơng thức Fubini) Hãy tính tích phân sau Tính tích phân  D x2 ydxdy , với D hình chữ nhật  x  2, 1  y  2 y I   dx  x ydy  I   x 0 1 2 1 3x dx  I   dx  Tính thể tích khối bên mặt z   x  y bên hình chữ nhật  x  1,1  y  13 y2 I    x  ydxdy  I   dx   x  ydy   y  xy  1   4*2  2x  2 4 x  3.Gọi D miền bao đường cong y  x4 x  y x2 x I   x  y dxdy  I   dx  x  y dy I  y3 xy  x x2 I  ( x )3  (x2 )3 x( x  x )   0.14 14 2 4.Gọi D miền bao đường cong x  y , y  x  3, y  3, y  Tính  D xdxdy I   xdxdy  I  y2  dy   3 xdx  I  y 3 3 x2 2 y2 y 3 dy  I  25 (y (y 3) ) dy    2 3 Gọi D góc nằm miền phần tư thứ nhất, nằm bên đường hyperbola xy  1, bên đường thẳng y  x , bên đưới đường thẳng y  Tính  D ydxdy 15 y 2 I   ydxdy  I   dy  ydx  I   yx dy  I   y(y  ) dy  y 1 1 y y y 6.Tính tích phân hàm x y miền bao đường y  x , y   x2 x2   x2 û x1  0.934 ú x  0.934 x2 I  dx 5 3x2  4x x1 x2 y4 x y dy  I   x x1  x2 x2 dx x2 (5  3x )  (4 x ) dx  9.55 Ix x1 Tính tích phân hàm  x  y miền bao bọc đường y   x, x  y , y  2, z  16 y 2 x2 I   dy  (1  x  y )dy  I   ( x   yx) y 0 y y dy ù ù y  y2 I  ú y y   y ( y  y ) údy  8.48 û 0û Tính tích phân hàm xy hình tam giác với đỉnh (0,0), (1,0), (1,1) x y2 I   dx  xydy  I   x 0 17 x x2 dx  I   x dx  Bài 2.3: (Cơng thức đổi biến) Hãy tính tích phân sau: Tính thß tích cÿa khßi đ±ÿc bao bòi mt = ý 2 ỵ mặt ph¿ng xOy Bài làm: ÿ = ý 2 ỵ2 = (tng ng vi mt phng xOy) ý + ỵ = t: ý = , ỵ = Ā = {(ÿ, �㔑): f �㔑 f 2ÿ, f ÿ f 2} Thể tích vật thể cần tìm là: 2�㔋 �㕉 =ÿ, (4 ý 2 ỵ )ýỵ = +0 [+0 (4 ) ÿĂÿ] Ă�㔑 = +0 [2ÿ 2 2�㔋 ÿ=2 ] ÿ4 ÿ=0 Ă�㔑 = 4.0 + 2�㔋 2�㔋 = [�㔑] Ă�㔑 = 4.2ÿ = 8ÿ Tính thß tích cÿa khßi đ±ÿc bao bßi mặt z = x2 y2, y f x, góc ph¿n tám thÿ nh¿t (tÿc x, y, z g 0) Bi lm: Ta cú: = {(ý, ỵ): = ý 2 ỵ , þ f ý, ÿ g 0} ÿ = ý 2 ỵ2 =0 ý + ỵ = t: ý = , ỵ = → Ā = {(ÿ, �㔑): f �㔑, 0ff ÿ f 3} �㔋 Thß tích v¿t thß c¿n tìm l: =, (9 ý 2 ỵ )ýỵ = +04 [+0 (9 ) ] Ă�㔑 �㔋 = +04 [ 9ÿ �㔋 = = ÿ4 ] ÿ=0 81 �㔋 81�㔋 ÿ=3 16 Ă�㔑 81 =4 +04 Ă�㔑 = �㔋 18 81 [�㔑] +ỵ ýỵ Tớnh tớch phõn , ý 2 cong ý + ỵ = v ý + ỵ = ú D mißn đ±ÿc bao bßi hai đ±ßng Bài làm: Ta cú: = {(ý, ỵ): f ý + ỵ f 9} t: ý = , þ = ÿĀÿÿ�㔑 → Ā = {(ÿ, �㔑): f �㔑 f 2ÿ, f ÿ f 3} Theo công thức tính tích phân kếp hệ tọa độ cực, ta cú: = , ý + ỵ ýỵ =+0 [+2 ] = +0 [ ] 2�㔋ÿ ÿ=3 ÿ=2 2�㔋 Ă�㔑 =3 +0 Ă�㔑 = 19 2�㔋 19 2�㔋 [�㔑] =3 2ÿ = 19 38�㔋 Tớnh tớch phõn , (ý + ỵ)ýỵ ú D mißn đ±ÿc bao bßi hai đ±ßng ÿ cong ý + ỵ = v ý + þ = góc ph¿n t± thÿ nh¿t Bi lm: Ta cú: = {(ý, ỵ): f ý + ỵ f 4, ỵ g 0, ý g 0} Vì lấy góc phần tư thứ nht nờn ỵ g 0, ý g t: ý = , ỵ = = {(ÿ, �㔑): f �㔑, 1ff ÿ f 2} Theo cơng thức tính tích phân kếp hệ tọa độ cực, ta có: �㔼 =ÿ , (ý + þ)ĂýĂþ =+02 [+1 (ÿāĀĀ�㔑 + ÿĀÿÿ�㔑) ÿĂÿ ] Ă�㔑 �㔋 = +02 (āĀĀ�㔑 + Āÿÿ�㔑)Ă�㔑 +1 ÿ Ăÿ = +02(āĀĀ�㔑 + Āÿÿ�㔑)Ă�㔑 �㔋 = [Āÿÿ�㔑 āĀĀ�㔑]= = �㔋/2 Tớnh tớch phõn , (ý + ỵ2) 3 7 14 ýỵ ú D mißn góc ph¿n t± thÿ nh¿t đ±ÿc bao bòi hai òng cong ý + ỵ = 9, òng thng ỵ = v ỵ = 3ý Bi lm: Ta cú: = {(ý, ỵ): ý + ỵ f 9, ỵ = 0, ỵ = 3ý } t: ý = , ỵ = ÿĀÿÿ�㔑 19 Mà �㔑 = arctan () ⇒ �㔑 = arctan(3) =3 ỵ ý = {(, ): f �㔑, 0ff ÿ f 3} �㔋 Theo cơng thức tính tích phân kếp hệ tọa độ cực, ta có: ] Ă�㔑 �㔼 =Ā , (ý2 + ỵ22)ýỵ = +03 [+03 [(2 )2 ] ] Ă�㔑 =03 + 03[+ ÿ Ăÿ ÿ=3 = +03 [ ] �㔋 ÿ ÿ=0 Tính tích phân , ÿ = Ă�㔑 =5 +03 Ă�㔑 243 ỵ2 ýỵ ý2 2 243 [�㔑]0 = �㔋/3 3= 243�㔋 81�㔋 5 D mißn góc ph¿n t± th nht c bao bòi hai òng congý + ỵ = 1, ý + ỵ = 4, òng thng ỵ = v ỵ = ý Bi lm: Ta cú: = {(ý, ỵ): f ý + ỵ f 4, ỵ = 0, ỵ = ý } t: ý = , ỵ = → Ā = {(ÿ, �㔑 ): f �㔑, 1ff ÿ f 2} �㔋 Theo cơng thức tính tích phân kếp hệ tọa độ cực, ta có: ] = ,ý ýỵ = +04 [+1 ỵ2 =2 = +04 +1 ÿĂÿ = [ ] �㔋 = 0,2146 j 0,3219 Tính tích phân , ý ýỵ =1 +04 tron D mißn đ±ÿc bao bßi elip 3ý + 4ỵ = Bi lm: Ta cú: = {(ý, ỵ): 3ý + 4ỵ = 8} t: 3ý = , 2ỵ = Thay vo bt ng thc ta c: 3ý + 4ỵ f ⇒ ÿ f 2√2 f �㔑 f 2ÿ Lúc D đ±ÿc gißi h¿n bßi:{ f ÿ f 2√2 Đßnh thÿc Jacobi là: ÿĀÿ = ÿĂÿ 1 √ 20 Bài 2.1(Cơng thức Fubini) Hãy tính tích phân sau Tính tích phân  D x2 ydxdy , với D hình chữ nhật  x  2, 1  y  2 y I   dx  x ydy  I   x 0 1 2 1 3x dx  I   dx  Tính thể tích khối bên mặt z   x  y bên hình chữ nhật  x  1,1  y  13 y2 I    x  ydxdy  I   dx   x  ydy   y  xy  1   4*2  2x  2 4 x  3.Gọi D miền bao đường cong y  x4 x  y x2 x I   x  y dxdy  I   dx  x  y dy I  y3 xy  x x2 I  3 x ( ) (x )  x( x  x )   0.14  14 4.Gọi D miền bao đường cong x  y , y  x  3, y  3, y  Tính ... ph¿ng x = k c¿t mặt ph¿ng Ellipsoid theo đ±ßng Ellipse -a < k < a ? ?2 ? ?2 ? ?2 + + ? ?2 2 ? ?2 = 12 = 12 = 12 �㕘 , vßi ? ?2 đißu kißn �㕘 ? ?2 ? ?2 ? ?2 , vßi đißu kißn , vßi đißu kißn Nh± v¿y, mßi mặt c¿t đißu Ellipse... Hyberbol ? ?2 2 ? ?2 2 + + = 1+ 2 ? ?2 2 = 12 = 12 �㕘 ? ?2 �㕘 ? ?2 Nh± v¿y, mặt c¿t nhÿng Hyberbol Ellipse nên mặt cong đ±ÿc gßi Hyberboloid mßt t¿ng b Ph±¡ng trình chớnh tc ca mt Hyberboloid hai tng ? ?2 ? ?2 +...  Mßi mặt ph¿ng x = k c¿t mặt Hyberboloid mßt tng theo òng Hyberbol ? ?2 ? ?2 2 2 2 = 21 + 2 ? ?2 v ßi ? ?2 = 21 = �㕘 ? ?2 �㕘 21 ? ?2 Nh± v¿y, mặt c¿t nhÿng Hyberbol Ellipse nên mặt cong đ±ÿc gßi Hyberboloid