BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM ĐH QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2 ĐỀ TÀI 7 Giảng viên hướng dẫn TS ĐÀO HUY CƯỜNG Nhóm GT2 L02 04 Thành phố Hồ[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM - ĐH QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH ĐỀ TÀI 7: Giảng viên hướng dẫn: TS ĐÀO HUY CƯỜNG Nhóm: GT2 - L02 - 04 Thành phố Hồ Chí Minh – 2022 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com moi nhat DANH SÁCH THÀNH VIÊN NHÓM Stt Họ tên MSSV Công Lương Quang Trịnh 2012296 1,2 Trần Duy Niên 1914570 Giải bà Vũ Anh Tuấn 1915793 Tổng Bùi Võ Thiên Tú 2112599 Sử dụng ph Phạm Nguyễn Tiến Thành 2114792 3,4 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com moi nhat MỤC LỤC MỞ ĐẦU……………………………………………………………………………4 CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT……………………………………………………….5 1.Đạo hàm theo hướng vectơ gradiant 2.Các khoảng cách có hướng vecto tương đối 3.Mặt phẳng tiếp tuyến với mặt phẳng ngang 4.Ký hiệu vecto gradient CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG GIẢI BÀI TẬP 2121 TỔNG KẾT TÀI LIỆU THAM KHẢO TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com moi nhat MỞ ĐẦU Trong trình học tập làm việc giảng đường đại học, môn học Giải tích mơn học khơng thể thiếu, giúp cho sinh viên hiểu biết thêm tính tốn đạo hàm, tích phân mặt, tích phân đường, chuỗi,…và ứng dụng chúng vào tốn thực tế, từ tăng kiến thức khả tư cho sinh viên khơng cho thân mơn học mà cịn môn học liên quan Để hiểu sâu mơn học Giải tích 2, cụ thể chủ đề đạo hàm theo hướng vectơ gradient, nhóm cố gắng tìm hiểu lý thuyết ứng dụng lý thuyết để giải tập nhằm rèn luyện kỹ để hiểu kỹ chủ đề Trong q trình thực tập lớn nhóm có phần mềm matlab,maple,…Về nội dung có tập lớn chủ yếu nói đến đạo hàm theo hướng gì? Cơng thức?,… ứng dụng lý thuyết vào tập Trong trình làm việc, nhóm cố gắng hồn tất u cầu giảng viên giao xem xét kỹ làm, khơng thể tránh sai xót nhầm lẫn Nhóm mong phản hồi giảng viên có thiếu xót để tập lớn hồn thiện Chân thành cám ơn góp ý giảng viên Nhóm 04 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com moi nhat CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT Đạo hàm theo hướng vectơ gradiant Bản đồ thời tiết hình bên cho thấy đồ đường viền hình nhiệt hàm T(x,y) cho bang California and Nevada vào lúc 3:00 chiều ngày tháng Mười Các đường mức , đẳng nhiệt nối với với giá trị có nhiệt độ Đạo hàm riêng Tx vị trí chẳng hạn Reno tốc độ thay đổi nhiệt độ theo khoảng cách nêu di chuyển phía Đơng từ Reno, Ty tốc độ thay đổi nhiệt độ du lịch phía Bắc Nhưng điều xảy muốn biết tốc độ thay đổi nhiệt độ di chuyển phía Đơng Nam (về phía Las Vegas) theo số hướng khác? Trong phần này, chúng em giới thiệu loại đạo hàm, gọi đạo hàm có hướng, cho phép chúng em tìm tốc độ thay đổi hàm hai nhiều biến theo hướng 1.1 Đạo hàm theo hướng Nhớ lại z = f (x , y ), đạo hàm riêng f x f y định nghĩa là: (1) Và đại diện cho tốc độ thay đổi z theo hướng x y, nghĩa theo hướng vectơ đơn vị i j TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com moi nhat Giả sử muốn tìm tốc độ thay đổi z (x0 y0) theo hướng vectơ đơn vị tùy ý u = (a,b) (Xem hình trên) Để làm điều này, f (x, y ) cần phải xem xét bề mặt S phương trình z = (Đồ thị f ) để z0 = f (x0, y0) Sau đó, điểm P(x0, y0, z0) nằm S Mặt phẳng thẳng đứng qua P theo hướng u giao S đường cong C (Xem hình dưới) Hệ số góc đường tiếp tuyến T tới C điểm Plaf tốc độ thay đổi z theo hướng u Nếu Q(x,y,z) điểm khác C P ', Q ' hình chiếu P Q mặt phẳng xy, vectơ ⃗P'Q' song song với u ⃗P'Q' = hu = (ha, hb) Cho số vơ hướng h Vì x – x0 = ha, y – y0 = hb, x = x0 + ha, y = y0 + hb, TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com moi nhat Nếu coi giới hạn h → 0, thu tốc độ thay đổi z (đối với khoảng cách) theo hướng u, gọi đạo hàm có hướng f theo hướng u ĐỊNH NGHĨA 2: Đạo hàm có hướng f (x0 , y0) theo hướng vectơ đơn vị u = (a,b) : Nếu giới hạn tồn Bằng cách so sánh định nghĩa với phương trình (1), thấy u = i = (1,0), sau Dif = f x u = j = (0,1), sau Djf = f y Nói cách khác, đạo hàm riêng f hướng x y trường hợp đặc biệt đạo hàm có Ví dụ 1: Sử dụng đồ thời tiết để ước tính giá trị thị hàm nhiệt độ Reno theo hướng Đông Nam Giải:Vectơ đơn vị theo hướng phía Đơng Nam u =(i− j)/√2 Nhưng không cần thiết phải sử dụng biểu thức Chúng ta bắt đầu cách vẽ đường qua Reno phía Đơng Nam (Như hình vẽ bên) Chúng ta tính gần đạo hàm có hướng DuT tốc độ thay đổi nhiệt độ trung bình điểm mà đường thẳng cắt đường đẳng nhiệt TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com moi nhat T = 50 T = 60 Nhiệt độ điểm phía Đơng Nam Reno T = 60°F nhiệt độ điểm phía Tây Bắc Reno T = 50°F Khoảng cách điểm khoảng 75 dặm Vì vậy, tốc độ thay đổi nhiệt độ hướng Đông nam là: D uT ≈ 60−50 75 = 10 ≈ 0.13 ° F /mi 75 Khi tính đạo hàm có hướng hàm xác định công thức, sử dụng định lý sau ĐỊNH LÝ 3: Nếu hàm phân biệt x y, f có đạo hàm theo hướng vectơ đơn vị u = (a.b) Duf (x,y) = f x (x,y)a + f y (x,y)b Nếu xác định hàm g biến đơn h bằng: g(h) = f (x0 + ha, y0 + hb) sau đó, theo định nghĩa đạo hàm, ta có: (4) Mặt khác viết g(h) = f (x,y), nơi x = x0 + ha, y = y0 + hb, theo quy tắc chuỗi (định lý 14.5.2) cho (5) Nếu đặt h = 0, sau x = x0 , y = y0 , g ' (0) = f x (x0, y0)a + f y (x0, y0)b So sánh phương trình (4) (5), thấy rằng: Duf (x0, y0) = f x (x0, y0)a + f y (x0, y0)b TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com moi nhat Nếu vectơ đơn vị u tạo góc θ với trục dương x, ta viết u = (cosθ, sinθ) cơng thức định lý trở thành: Duf (x0, y0) = f x (x, y) cosθ + f y (x, y) sinθ Ví dụ 2: Tìm đạo hàm có hướng Duf (x, y) f (x, y) = x3 – 3xy + 4y2 u vectơ đơn vị cho góc θ = π /6 Tìm Duf (1,2)? Giải: Công thức (6) cho: π Duf (x, y) = f x (x, y)cos π + fy (x, y)sin = (3x2 – 3y) = √3 + (-3x + 8y) [3 x2 – 3x + (8 - √ Vì vậy: [3 (1)2 – 3(1) + (8 - Duf (1,2) = √ )(2)] = 13−3 √ 1.2 Vectơ Gradiant Lưu ý từ định lý đạo hàm có hướng viết dạng tích vơ hướng hai vectơ: Duf (x, y) = f x (x, y)a + f y (x, y)b = (f x (x, y), f y (x, y)) (a,b) = (f x (x, y), f y (x, y)) u Vectơ đầu điên xuất tích vơ hướng khơng xuất dẫn xuất có hướng tính tốn mà cịn nhiều ngữ cảnh khác Vì vậy, ta đặt cho tên đặc biệt (gradient f ) kí hiệu đặc biệt (grad f f ) √ ... Quang Trịnh 20 122 96 1 ,2 Trần Duy Niên 1914 570 Giải bà Vũ Anh Tuấn 191 579 3 Tổng Bùi Võ Thiên Tú 21 125 99 Sử dụng ph Phạm Nguyễn Tiến Thành 21 1 47 92 3,4 TIEU LUAN MOI download : skknchat 123 @gmail.com... hướng hàm số f ( x , y ) = x2 y3 – 4y điểm (2, –1) theo hướng vectơ v = i + j Giải: Đầu tiên tính toán vectơ gradient (2, -1): f ( x , y ) = 2xy3 i + (3x2 y2 – 4)j f (2 ,−1) = –4 i + j Lưu ý v... = ? ?29 , vectơ đơn vị theo hướng v = u ¿ v∨¿= √ 29 i+ √ 29 j¿ Do theo phương trình (9) ta có: Duf (2 ,−1) = i+ j f (2 ,−1) u = (–4 i + j) ( √ 29 √ 29 ) 10 TIEU LUAN MOI download : skknchat 123 @gmail.com