ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2 Đề 9 Khối vật thể giới hạn bởi mặt cầu và mặt phẳng Giảng viên giảng dạy Lê Nguyễn Hạnh Vy Nhóm 19 Lớp L38 Thành phố Hồ[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH Đề : Khối vật thể giới hạn mặt cầu mặt phẳng Giảng viên giảng dạy: Lê Nguyễn Hạnh Vy Nhóm: 19 Lớp: L38 Thành phố Hồ Chí Minh – 2022 DANH SÁCH THÀNH VIÊN 1913738 Lê Quốc Khánh khanh.le_saltpower@hcmut.edu.vn 2013948 Nguyễn Minh Nguyệt nguyet.nguyenmoon2510@hcmut.edu.vn 1914427 Đào Trí Nhân nhan.daobachkhoa@hcmut.edu.vn 1813522 Nguyễn Diệp Hoàng Thanh Phong phong.nguyen2000bk@hcmut.edu.vn 1912217 Bùi Ngọc Tồn toan.buimtt5302@hcmut.edu.vn Bảng phân cơng cơng việc MSSV Họ tên Cơng việc giao Mức độ hồn thành 1913738 Lê Quốc Khánh Giải tập làm video 100% 2013948 Nguyễn Minh Nguyệt Thuyết trình tính tốn 100% 1914427 Đào Trí Nhân 100% 1813522 Nguyễn Diệp Hồng Thanh Phong Bùi Ngọc Toàn Tổng hợp word kiếm tài liệu Vẽ xoắn ốc làm sở lý thuyết Giải Bài tập vẽ hình 1912217 100% 100% Mục Lục Lời mở đầu ……………………………………………………………………………………4 I )Phần Nội Dung 1.1 định nghĩa …………………………………………………………………………………5 1.2 Ý nghĩa hình học ………………………………………………………………………….6 1.3 Cách tính tích phân kép (trong hệ toạ độ descartes)……………………………….7 1.4 Biến đổi tích phân kép ………………………………………………………8 II) Dựng Mơ Hình tính tốn ……………………………………………………………….11 III) Nhận xét ………………………………………………………………………………… 21 IV) Tài liệu tham khảo ……………………………………………………………………… 21 LỜI MỞ ĐẦU Những vấn đề thường gặp sống nói chung hoạt động kinh tế nói riêng đa dạng phức tạp Toán học công cụ hiệu giúp cho việc phát biểu, phân tích giải vấn đề cách chặt chẽ hợp lý, mang lại lợi ích thiết thực Việc biết cách mơ tả vấn đề kinh tế dạng mô hình tốn học thích hợp, vận dụng phương pháp tốn học để giải chúng, phân tích giải kiểm nghiệm kết đạt cách logic yêu cầu cấp bách chuyên gia làm việc lĩnh vực phân tích kinh tế Hiểu tầm quan trọng tốn học đời sống , nhóm chúng em chọn đề Qua đó, đề tài tìm hiểu cụ thể định nghĩa, công thức tích phân ứng dụng quan trọng tích phân nhằm giải tốn vấn đề tới Nội dung : I) Lý thuyết 1.1 Định nghĩa Cho hàm f(x,y) xác định miền đóng, bị chặn D Chia miền D thành n mảnh rời D1, D2, , Dn có diện tích ΔS 1, ΔS2, , ΔSn Trong mảnh Di , lấy tuỳ ý điểm Mi(xi, yi) Lập tổng (gọi tổng tích phân hàm f(x,y)) n Sn=∑ f (x i , y i) ∆ Si i=1 Gọi d(Di) khoảng cách lớn hai điểm Di Nếu tồn giới hạn lim S n= n →+∞ lim maxd ( Di )→0 S n=S hữu hạn, không phụ thuộc vào cách chia miền D cách chọn điểm M i(xi, yi), hàm f(x,y) gọi khả tích miền D, S gọi tích phân kép hàm f(x,y) miền D, ký hiệu Nếu f(x,y) khả tích miền D, tích phân kép khơng phụ thuộc vào cách chia miền D Do đó, ta chia miền D đường thẳng song song với trục tọa độ Khi đó, ΔSi=Δx, Δy dS = dx.dy Vì viết: Người ta chứng minh rằng: Hàm f(x,y) liên tục miền đóng, bị chặn D khả tích miền Tính chất: a (diện tích miền D) b c d D = D1∪ D2, D1 D2 khơng dẫm (tối đa dính biên) e Định lý giá trị trung bình D miền liên thông điểm tùy ý D nối 1đường cong liên tục D Cho f liên tục tập đóng, bị chặn, liên thơng D Khi tồn M 0(x0, y0) ∈ D cho Đại lượng gọi giá trị trung bình f D 1.2 Ý nghĩa hình học Ta xét tốn: “Tìm thể tích vật thể Ω giới hạn miền D ⸦ (Oxy), giới hạn mặt cong có phương trình z = f(x,y) ≥ giới hạn xung quanh mặt trụ có đường sinh song song với Oz đường chuẩn biên D” Ta tính thể tích Ω phương pháp gần Chia miền D thành n mảnh rời D1,D2, ,Dn có diện tích ΔS1, ΔS2, , ΔSn Lấy mảnh nhỏ làm đáy, dựng hình trụ có đường sinh song song với Oz, mặt phía giới hạn mặt z = f(x,y) Xét hình trụ thứ i: đáy D i, lấy tuỳ ý điểm Mi(xi,yi) Ta tích hình trụ thứ i: ΔVi ≈ f(xi,yi).ΔSi n Thể tích gần Ω: V ( Ω ) ≈ ∑ f (x i ¿ , y i) ∆ Si ¿ i=1 Phép xấp xỉ xác n lớn mảnh D i có đường kính nhỏ (d(Di): đường kính Di ) Vậy: V (Ω) ≈ n lim ¿ max d (Di ¿)→ ∑ f (xi ¿ , y i ) ∆ Si =∬ f ( x, y ) dS ¿¿ i=1 D 1.3 Cách tính tích phân kép (trong hệ toạ độ descartes) Định lý Fubini: Trường hợp 1: D hình chữ nhật D = [a;b]x[c,d] Chú ý: Khi D = [a;b]x[c,d] f(x,y) = g(x)h(y), ta có: { a ≤ x ≤b Trường hợp 2: D : f (x)≤ y ≤ f ( x ) { c≤ y ≤d Trường hợp 3: D : g ( y ) ≤ x ≤ g ( y ) 1.4 Biến đổi tích phân kép a Biến đổi tổng quát Đổi biến { x=x ( u , v ) (∗) y= y ( u , v ) Giả sử rằng: x=x(u,v), y=y(u,v) hàm số liên tục đạo hàm riêng cấp miền D’ mặt phẳng Ouv Công thức (*) xác định song ánh từ D’ lên D Định thức Jacobi Khi đó, Khi D miền đối xứng qua Ox Oy gốc O, ta có kết sau: D = D1∪ D2 với D1 D2 rời Nếu D1 đối xứng D2 qua Ox { { { kℎi f ( x ,− y )=− f ( x , y) I = 2∬ f ( x , y ) dxdy kℎi f ( x ,− y )=f ( x , y ) D1 D1 Nếu D1 đối xứng D2 qua Oy kℎi f ( − x , y ) =− f ( x , y ) I = 2∬ f ( x , y ) dxdy kℎi f ( − x , y )=f ( x , y ) D1 D1 Nếu D1 đối xứng D2 qua O kℎi f ( − x ,− y )=− f ( x , y ) I = 2∬ f ( x , y ) dxdy kℎi f ( − x ,− y )=f ( x , y ) D1 D1 b Phép biến đổi toạ độ cực Toạ độ cực: Tọa độ cực điểm M số (r , φ) ¿ Mối liên hệ tọa độ cực tọa độ Đề cosφ {x=r y =r sinφ Chú ý: x2 + y2 = r2 tgφ= y x Phép biến đổi độ cực Đổi biến cosφ {x=r y =r sinφ Ta có: J= D ( x , y) =r D (r , φ) D ↔ Dr ,φ { φ1 ≤ φ ≤φ r (φ) ≤ r ≤ r (φ) Phép biến đổi độ cực mở rộng Trường hợp 1: Miền phẳng D hình trịn (x - x0)2 + (y – y0)2 ≤ a2 { x − x =r cosφ Dùng phép đổi biến: y − y =r sinφ |cosφ Khi định thức Jacobi J = sinφ | − r sinφ r cosφ Khi lấy cận r , φ ta coi gốc toạ độ dời tâm hình trịn Trường hợp 2: Miền phẳng D Ellipse Dùng phép biến đổi: x2 y + ≤ , a>0 , b> a b cosφ {x=ar y =br sinφ Khi định thức Jacobi: J= |a.b cosφ sinφ Khi cận r , φ II) | − ar sinφ =a b r br cosφ {00≤≤rφ≤≤21π Dựng mơ hình vật thể tính tốn 10 Vật thể tạo x 2+ y 2+ z 2=4 z = Thể tích vật: đặt x=rcos(θ) y=rsin(θ) ❑ ∫ x2 + y 2=3 2π √3 0 √ − x − y − dxdy=∫ dθ ∫ r ( √ −r −1) dr=5.2360 2 Diện tích mặt tạo nên vật thể: diện tích chỏm cầu + diện tích hình trịn bán kính √ x=rcos(θ) y=rsin(θ) ❑ ∫ x + y =3 √ 2π √3 x y 1+ + dxdy =∫ dθ ∫ r √ 1+ r cos ¿ ¿ ¿¿ ¿ 2 2 −x − y 4− x − y 0 Diện tính hình trịn bán kính √ 3: bán kính π Vậy tổng diện tích π +12.5664 11 Vật thể tạo x 2+ y 2+ z 2=4 z = -1 Thể tích vật: tính cách lấy thể tích tồn cầu trừ thể tích chỏm cầu đặt x=rcos(θ) y=rsin(θ) 2π ❑ √3 32 32 π 2 ×8 π − ∫ −1 − √ − x − y dxdy= π −∫ dθ ∫ r ( √ −r −1 ) dr = −5.2360=28.2743 3 0 x + y =3 2 Diện tích mặt tạo nên vật thể: diện tích tồn cầu - diện tích chỏm cầu + diện tích hình trịn bán kính √ x=rcos(θ) y=rsin(θ) ❑ π ×4− ∫ x + y =3 √ 2π √3 x2 y2 1+ + dxdy=16 π −∫ dθ ∫ r √ 1+ r cos ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 2 2 4−x − y 4−x − y 0 Diện tính hình trịn bán kính √ 3: π Vậy tổng diện tích π +37.6991 12 Vật thể tạo x 2+ y 2+ z 2=4 z = x + y, vật thể chia cách với phần cịn lại z=0 Thể tích vật: đặt x=rcos(θ) y=rsin(θ) ❑ ∫ √4 − x − y 2 x + y =4 2π 0 −( x+ y)dxdy=∫ dθ∫ r ( √ − r − r (cos ( θ )+ sin (θ ))) dr=16.7552 Diện tích mặt tạo nên vật thể: diện tích chỏm cầu + diện tích hình trịn bán kính x=rcos(θ) y=rsin(θ) 13 ❑ ∫ x + y =4 √ 2π x2 y2 1+ + dxdy=∫ dθ∫ r √ 1+r cos ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 2 2 4−x − y 4−x − y 0 Diện tính hình trịn bán kính 2: π Vậy tổng diện tích π + 25.1327 Vật thể tạo x 2+ y 2+ z 2=4 z = x + Thể tích vật: đặt x=rcos(θ) y=rsin(θ) ❑ ∫ (2 x+ √ 2) + y 2=2 √4− x 2π √2 0 − y −( √ 2)dxdy =∫ dθ∫ r ( √ −r − √ 2) dr =1.9456 2 Diện tích mặt tạo nên vật thể: diện tích chỏm cầu + diện tích hình trịn bán kính √ x=rcos(θ) y=rsin(θ) ❑ ∫ 2 (2 x+ √ 2) + y =2 √ 1+ 2π √2 x y + dxdy =∫ dθ∫ r √ 1+r cos ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 2 2 4− x − y 4−x − y 0 14 Diện tính hình trịn bán kính √ 2:2 π Vậy tổng diện tích π + 7.3612 Vật thể tạo x 2+ y 2+ z 2=4 , z=1 z = -1 Thể tích vật: đặt x=rcos(θ) y=rsin(θ) 2π ❑ √3 4π 4π 32 π × − ∫ 2( √ − x2 − y −1)dxdy = × 8− ∫ dθ∫ r ( √ − r − 1) dr= −2 ×5.2360=23.0383 3 0 x + y =3 2 Diện tích mặt tạo nên vật thể: tổng diện tích cầu -2 diện tích chỏm cầu +2 diện tích hình trịn bán kính √ x=rcos(θ) y=rsin(θ) ❑ π ×4−2 ∫ x + y =3 √ 2π √3 x y 1+ + dxdy=16 π − 2∫ dθ∫ r √1+r cos ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 2 2 4−x − y 4− x − y 0 Diện tính hình trịn bán kính √ :3 π Vậy tổng diện tích π +25.1327 15 Vật thể tạo x 2+ y 2+ z 2=4 , z=1 z = -1.5 Thể tích vật: đặt x=rcos(θ) y=rsin(θ) ❑ 4π 2 × − ∫ √ − x − y −1 dxdy − x + y =3 2 ❑ ∫ 2 x +y= 1.5− √ − x − y dxdy= 2π √3 2π √ 4π ×8 −∫ dθ ∫ r ( √ −r −1 ) dr −∫ dθ ∫ r 0 0 Diện tích mặt tạo nên vật thể: tổng diện tích cầu - diện tích chỏm cầu +2 diện tích hình trịn bán kính √ (√ 74 ) x=rcos(θ) y=rsin(θ) ❑ π ×4− ∫ x + y =3 √ x2 y2 1+ + dxdy − 2 2 4−x − y 4−x − y x Diện tính hình trịn bán kính √ √ 7 :3 π + π 4 Vậy tổng diện tích π + π +31.3269 16 ❑ ∫ +y = √ 2π √3 x2 y2 1+ + dxdy=16 π −∫ dθ ∫ r √ 1+ r 2 2 4−x − y −x − y 0 Với x¿(1 −u)(3+ cos( v)) cos( πu), y=(1 −u)(3+cos (v ))sin(4 πu),z=3 u+sin (v )(1− u) Thể tích: ❑ V=∫ dxdydx V 17 Đổi biến: dxdydz = J dudv Với J định thức jacobi xác định sau: πsin(4 πu)×(cos (v )+ 3)×(u −1)− cos( πu)×(cos (v )+3) cos (4 πu)×sin(v)×(u −1) − sin(4 πu)×(cos(v)+3) −4 πcos (4 πu) ×(cos( v )+3)×(u −1) sin( πu)× sin( v)×(u − 1) −sin (v ) − cos(v) ×(u− 1) Với ma trận trên, chưa thể tính định thức Jacobi nên chưa tìm thể tích vật III) NHẬN XÉT 18 - Đây tích phân có nhiều ứng dụng quan trọng thực tế - Tích phân kép có khả ứng dụng vào tính diện tích, thể tích vật thể , diện tích mặt cong , IV) TÀI LIỆU THAM KHẢO Giáo trình giải tích trường đại học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh ThS.Bùi Xn Diệu, Giáo trình giải tích 2, truy cập từ https://vieclamvui.com/viec-lam-giao-duc-dao-tao/giai-tich-21942.html#1giao-trinh-giai-tich-2-bui-xuan-dieu ThS.Lê Nguyễn Hạnh Vy giải tích truy cập từ, http://elearning.hcmut.edu.vn/pluginfile.php/1936292/mod_resource/content/0/ N3_TICHPHANKEP.pdf Mark zegarelli (January 24, 2012), Calculus II For Dummies 19 20 ... π Vậy tổng diện tích π + 12. 5664 11 Vật thể tạo x 2+ y 2+ z 2= 4 z = -1 Thể tích vật: tính cách lấy thể tích tồn cầu trừ thể tích chỏm cầu đặt x=rcos(θ) y=rsin(θ) 2? ? ❑ √3 32 32 π 2 ×8 π − ∫ −1 −... hình vật thể tính tốn 10 Vật thể tạo x 2+ y 2+ z 2= 4 z = Thể tích vật: đặt x=rcos(θ) y=rsin(θ) ❑ ∫ x2 + y 2= 3 2? ? √3 0 √ − x − y − dxdy=∫ dθ ∫ r ( √ −r −1) dr=5 .23 60 2 Diện tích mặt tạo nên vật thể: ... =4 √ 2? ? x2 y2 1+ + dxdy=∫ dθ∫ r √ 1+r cos ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 2 2 4−x − y 4−x − y 0 Diện tính hình trịn bán kính 2: π Vậy tổng diện tích π + 25 .1 327 Vật thể tạo x 2+ y 2+ z 2= 4 z = x + Thể tích vật: đặt