Định hướng khai thác giả thiết vị trí tương đối giữa mặt cầu với mặt phẳng, mặt cầu với đường thẳng để giải một số bài toán phương pháp tọa độ trong không gian Hình học lớp 12 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO T[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HOẰNG HOÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỊNH HƯỚNG KHAI THÁC GIẢ THIẾT VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VỚI MẶT PHẲNG, MẶT CẦU VỚI ĐƯỜNG THẲNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN - HÌNH HỌC LỚP 12 Người thực hiện: Nguyễn Hữu Các Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HÓA, NĂM 2018 SangKienKinhNghiem.net MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài .1 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu .2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các biện pháp thực I Các kiến thức trọng tâm vị trí tương đối mặt cầu với mặt phẳng, mặt cầu với đường thẳng 1.1 Vị trí tương đối mặt cầu với mặt phẳng .4 II Một số ví dụ việc tìm định hướng giải thơng qua việc khai thác giả thiết 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 13 2.4.1 Trước thực sáng kiến kinh ghiệm…… …………………… …13 2.4.2 Sau thực sáng kiến kinhghiệm………………………………….13 KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 13 TÀI LIỆU THAM KHẢO .15 SangKienKinhNghiem.net MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Tốn học mơn học khó, học sinh muốn học tốt cần phải hiểu chất vấn đề, biết định hướng khai thác giả thiết để vận dụng giải tập Mặt khác tập toán đa dạng phong phú, phân phối chương trình số tiết ơn tập lại không nhiều so với nhu cầu luyện tập dạng tập cho học sinh Chính thế, giáo viên giảng dạy cần phải định hướng cho học sinh cách khai thác giả thiết cách tốt nhất, hiệu nhằm giúp em có định hướng việc giải tập Hướng dẫn cho học sinh định hướng khai thác giả thiết tạo cho học sinh có cảm giác giải toán, tạo cho học sinh niềm say mê, hứng thú u thích mơn học Trong đề thi trung học phổ thông Quốc gia, đề thi học sinh giỏi năm gần đây, câu hỏi có liên qua tới vị trí tương đối mặt cầu với mặt phẳng, mặt cầu với đường thẳng đa dạng phong phú, đồng thời nhóm câu hỏi thường nằm câu hỏi thuộc nhóm câu hỏi vận dụng hay vận dụng cao Gặp câu hỏi liên quan đến chủ đề học sinh thường lúng túng việc tìm định hướng giải tốn, cách khai thác giả thiết biết vị trí tương đối Giúp học sinh tìm định hướng giải tốn phương pháp giảng dạy giúp học sinh tự tìm tịi sáng tạo việc lĩnh hội tri thức nhanh hiệu Qua thực tế 15 năm giảng dạy trường trung học phổ thơng tơi tìm tịi nghiên cứu định hướng khai thác giả thiết thơng qua vị trí tương đối mặt cầu với mặt phẳng, mặt cầu với đường thẳng nhằm giúp học sinh giải dạng tập khó chủ đề Vì tơi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm để nghiên cứu là: “Định hướng khai thác giả thiết vị trí tương đối mặt cầu với mặt phẳng, mặt cầu với đường thẳng để giải số toán phương pháp tọa độ khơng gian – Hình học lớp 12” 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích đề tài giúp em học sinh tìm tịi hướng giải tốn có liên quan tới mặt cầu chủ đề phương pháp tọa độ không gian thông qua việc khai thác giả thiết vị trí tương đối Từ em SangKienKinhNghiem.net phân loại đưa phương pháp giải tập liên qua tới mặt cầu cách nhanh nhất, xác đạt hiệu cao 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài “Định hướng khai thác giả thiết vị trí tương đối mặt cầu với mặt phẳng, mặt cầu với đường thẳng để giải số tốn phương pháp tọa độ khơng gian – Hình học lớp 12” tập trung nghiên cứu hệ thống kiến thức trọng tâm vị trí tương đối mặt cầu với mặt phẳng, với đường thẳng cách khai thác giả thiết nhằm tìm định hướng giải số tốn phương pháp tọa độ khơng gian chương trình hình học lớp 12 THPT 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.4.1 Nghiên cứu lí luận -Nghiên cứu sở lí luận để làm sáng tỏ cách khai thác giả thiết tốn nhằm tìm định hướng giải tốn, áp dụng để giải dạng tập liên quan tới mặt cầu nói riêng tập tốn nói chung 1.4.2 Nghiên cứu thực tiễn - Nghiên cứu nội dung sách giáo khoa tìm hiểu chương trình hình học lớp 12 THPT, nghiên cứu tài liệu tham khảo có liên quan để xác định dạng tập có liên quan tới mặt cầu Từ xác định kiến thức vị trí tương đối mặt cầu với mặt phẳng, với đường thẳng, kiến thức liên quan để vận dụng giải tập nhanh xác 1.4.3 Thực nghiệm sư phạm - Tiến hành giảng dạy song song với việc tìm hiểu học sinh lớp 12 trường THPT Hoằng Hoá – Hoằng Hoá – Thanh Hoá Trên sở phân tích định tính định lượng kết thu trình thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi tính hiệu biện pháp đề tài sáng kiến đưa - Thời gian tiến hành thực nghiệm sư phạm: Từ tháng 08 năm 2017 đến tháng 05 năm 2018 - Địa điểm: Trường THPT Hoằng Hoá – Hoằng Hoá – Thanh Hoá 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm - Đề tài “Định hướng khai thác giả thiết vị trí tương đối mặt cầu với mặt phẳng, mặt cầu với đường thẳng để giải số tốn phương pháp tọa độ khơng gian – Hình học lớp 12” đưa định hướng giải SangKienKinhNghiem.net toán liên quan tới mặt cầu trong hệ tọa độ Oxyz thông qua việc khai thác giả thiết - Từ định hướng giúp em học sinh phân loại đưa phương pháp giải phù hợp để giải số dạng tập thường gặp mặt cầu hệ tọa độ Oxyz đề thi THPT quốc gia NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Việc dạy học tốn học nhà trường phổ thơng khơng giúp học sinh hiểu sâu sắc đầy đủ kiến thức tốn học phổ thơng mà cịn giúp em vận dụng kiến thức giải nhiệm vụ tập tốn Để đạt điều đó, học sinh phải có định hướng đắn việc giải toán Kỹ khai thác giả thiết để tìm định hướng giải tốn thước đo độ sâu sắc vững vàng kiến thức toán mà học sinh học 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua thực tế khảo sát học sinh lớp trực tiếp giảng dạy học sinh khối lớp trường tơi nhận thấy việc định hướng tìm lời giải học sinh tương đối thụ động, phụ thuộc vào giáo viên giảng dạy, đặc biệt việc giải tốn khó ịn hạn chế Khi gặp dạng tập toán học sinh thường lúng túng trình phân tích, phân loại dạng tập sử dụng kiến thức liên quan để giải toán Các tài liệu tham khảo có thường giải số tập cụ thể, học sinh không áp dụng cho dạng tập dạng tương tự Các năm gần đây, để phân loại học sinh đề thi thường xuyên xuất số câu hỏi khó mặt cầu hệ tọa độ Oxyz Khi gặp dạng tập đòi hỏi học sinh phải sử dụng nhiều kiến thức toán học kết hợp với chất mặt cầu vị trí tương mặt phẳng, đường thẳng đưa cách giải nhanh xác Xuất phát từ thực trạng tơi viết đề tài “Định hướng khai thác giả thiết vị trí tương đối mặt cầu với mặt phẳng, mặt cầu với đường thẳng để giải số toán phương pháp tọa độ khơng gian – Hình học lớp 12” nhằm giúp học sinh có nhìn tổng quan dạng toán này, phân loại đưa phương pháp giải phù hợp với dạng tập, giúp học sinh khắc sâu kiến thức vận dụng để giải câu hỏi mức độ vận dụng vận dụng cao đề thi THPT quốc gia SangKienKinhNghiem.net 2.3 Các biện pháp thực I Các kiến thức trọng tâm vị trí tương đối mặt cầu với mặt phẳng, mặt cầu với đường thẳng Vị trí tương đối mặt phẳng với mặt cầu [1], [3] Cho mặt cầu S I ; R mặt phẳng P Đặt d d (I;(P)) Khi có trường hợp sau xảy : TH1) d R (S) (P) M1 R I M2 P H TH2) d R (S) (P) H , H hình chiếu I mặt phẳng P Trong trường hợp này, mặt phẳng (P) gọi tiếp diện mặt cầu (S), điểm chung H gọi tiếp điểm (P) với (S) I R P H TH3) d R (S) (P) (C) , (C) đường tròn có tâm H hình chiếu I (P), có bán kính r R IH I d R r I' α Vị trí tương đối đường thẳng với mặt cầu [1], [3] Cho mặt cầu S I ; R đường thẳng Gọi H hình chiếu I lên Khi có trường hợp sau xảy ra: TH1) IH R : không cắt mặt cầu SangKienKinhNghiem.net H R I TH2) IH R : tiếp xúc với mặt cầu tiếp tuyến (S) H tiếp điểm H R I TH3) IH R : cắt mặt cầu hai điểm phân biệt I R Δ H B A Trong trường hợp cắt (S) điểm A, B bán kính R (S) tính AB sau: R IH AH IH , ( d I ; IH ) 2 II Một số ví dụ việc tìm định hướng giải thơng qua việc khai thác giải thiết Ví dụ 1.[9]: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A(10;6; 1),B(5;10; 9) mặt phẳng () : x y z 12 Điểm M di động mặt phẳng () cho MA, MB tạo với mặt phẳng () góc Biết điểm M ln thuộc đường trịn () cố định, tìm hồnh độ tâm đường trịn () SangKienKinhNghiem.net Phân tích tốn: +) Trong hệ tọa độ Oxyz đường tròn xem giao tuyến mặt cầu mặt phẳng +) Do điểm M di động mặt phẳng () nên để chứng tỏ M thuộc đường tròn cố định ta cần chứng tỏ M thuộc mặt cầu (S) cố định Bài giải: Gọi H K hình chiếu A B lên mặt phẳng () Ta có AH d (A;(P)) 2.10 2.6 12 6; BK d (B;(P)) 2.5 2.10 12 1 Vì MA, MB ln tạo với () góc nên 2 2 1 2 3 AH BK · sin ·AMH sin BMK MA MB Gọi I điểm bất kỳ, đó: AM BM uuur uuur uur uuuruur MA2 MA ( MI IA) MI IA2 MI IA, uuur uuur uur uuuruur MB MB ( MI IB ) MI IB MI IB uuur uur uur 2 2 Suy MB MA 3MI IB IA MI (4 IB IA) uur uur r 10 34 34 Chọn điểm I cho IB IA I ( ; ; ) 3 4 IB IA2 Ta có 3MI IB IA MI 40 2 2 Do điểm M () nên M thuộc đường tròn giao tuyến mặt cầu tâm I bán kính R 40 mặt phẳng () Do tâm K đường trịn () hình chiếu I lên mặt phẳng () Ta tìm K (2;10; 12) x k Ví dụ 2.[9]: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A, B, C (không trùng O ) thay đổi trục Ox, Oy, Oz thỏa mãn điều kiện: tỉ Biết mặt phẳng (ABC) ln tiếp xúc với mặt cầu cố định, tính bán kính số diện tích tam giác ABC thể tích khối tứ diện OABC mặt cầu Phân tích tốn: SangKienKinhNghiem.net +) Để chứng tỏ (ABC) tiếp xúc với mặt cầu cố định ta cần chứng tỏ (ABC) cách điểm cố định khoảng không đổi Bài giải: Giả sử A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c), abc Trong mặt phẳng (OAB) kẻ OH AB,(H AB) , AB OC AB (OHC) AB HC · · , CH ) OHC · (OH Từ ta có ((OAB),(ABC)) Trong mặt phẳng (OHC) kẻ OK CH (K CH) OK d (O;(ABC)) · Ta có SOAB SABC cos OHC SABC abc SOAB OC.SOAB · OK 2d (O;(ABC)) sin OCH 1 Lại có VOABC OA.OB.OC abc , 6 mặt khác abc SABC d (O;(ABC)) VOABC 2d (O;(ABC)) abc Vậy mặt phẳng (ABC) tiếp xúc với mặt cầu tâm O bán kính Ví dụ 3.[9]: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(0;0; 4),B(5;0;0) mặt cầu (S) : (x 1) (y 2) (z 3) 27 Gọi () mặt phẳng qua hai điểm A, B cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn () cho khối nón có đỉnh tâm (S) , đáy () tích lớn Biết mặt phẳng () có phương trình dạng ax by z c Tính giá trị biểu thức a b c SangKienKinhNghiem.net Phân tích tốn: +) Do mặt phẳng () cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn () nên ta tìm mối liên hệ chiều cao bán kính khối nón +) Biện luận để thể tích khối nón lớn ta tìm khoảng cách từ tâm mặt cầu tới mặt phẳng () Bài giải: Mặt cầu (S) có tâm I (1; 2;3);R 3 Do A, B () a 2,c 4 () : x by z Ta tích khối nón 2 1 27 r r 2 r r V 27 r r 4.(27 r ) 4.( ) 18 3 2 3 Dấu xảy r2 27 r r h 27 r d (I;()) b 2 Vậy a 2, b 2, c 4 a b c 4 Ví dụ 4.[9]: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d): x y z mặt cầu (S) : (x 1) (y 2) (z 1) Hai mặt phẳng 1 (P),(Q) chứa đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu ( S ) Gọi M , N hai tiếp điểm Tính độ dài đoạn thẳng MN Phân tích tốn: +) Do mặt phẳng (P),(Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên tiếp điểm hình chiếu tâm mặt cầu mặt phẳng (P),(Q) +) Xét mặt phẳng chứa hai tiếp điểm tâm mặt cầu Bài giải: Mặt cầu (S) có tâm I (1;2;1) bán kính R Gọi H (2 t; t;4 t) hình chiếu I lên d Ta có uuur uuur uur IH (2 t 1; t 2;4 t 1); IH nd 2(2 t 1) ( t 2) 4(4 t 1) t uuur Do IH (1; 2; 1) , suy khoảng cách từ I đến đường thẳng d IH SangKienKinhNghiem.net Xét mặt phẳng (IMN), mặt phẳng cắt mặt cầu (S) theo đường trịn tâm I, bán kính R Ta có IM (P) IM d ; IH d d (IMH) , tương tự d (INH) Do bốn điểm I, M, N, H thuộc mặt phẳng qua I vng góc với d Ta có HM IH IM ME IM HM MN ME IH 3 Ví dụ 5.[10]: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S) : x y z , điểm M (1;1;2) mặt phẳng (P) : x y z Gọi đường thẳng qua M , thuộc (P) cắt (S) hai điểm A, B cho AB ngắn r Biết có véc tơ phương u (1;a;b) Tính a b Phân tích tốn: +) Do đường thẳng cắt mặt cầu (S) nên ta tìm mối liên hệ khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB với độ dài AB +) Do AB ngắn khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB dài Bài giải: SangKienKinhNghiem.net Mặt cầu (S) có tâm O bán kính R , ta có d (O,(P)) R; OM R Suy mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường trịn giao tuyến có tâm điểm H điểm M nằm phía mặt cầu Gọi I trung điểm đoạn thẳng AB Ta có OI AB, AB AI R OI d (O, ) Suy độ dài đoạn AB nhỏ d (O, ) nhỏ Ta có d (O, ) OM , suy d (O, ) nhỏ uuuur uur I M OM AB OM u a 2b (1) uur uuur Mặt khác (P) u n(P) a b (2) Từ (1) (2) suy a 1; b T a b 1 Ví dụ 6.[10]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm B(2; 2;0) A(4;6;2), mặt phẳng (P) : x y z Xét đường thẳng d thay đổi thuộc (P) qua B , gọi H hình chiếu vng góc A d Biết d thay đổi H thuộc đường trịn cố định Tính bán kính đường trịn Phân tích tốn: +) Do H thuộc (P) nên để chứng tỏ H thuộc đường tròn cố định ta cần chứng tỏ H nhìn đoạn thẳng khơng đổi mặt phẳng (P) góc 900 Bài giải: Gọi I hình chiếu vng góc A lên (P) O, E trung điểm cạnh AB IB Ta có d AI , d AH d IH IHB vuông H Suy H ln nằm đường trịn cố định có tâm E bán kính R IB 10 SangKienKinhNghiem.net Ta có AI d (A;(P)) 3, AB IB AB AI 72 48 IB Ví dụ 7.[10]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(3; 2;6), Vậy R B(0;1;0) mặt cầu (S) : (x 1) (y 2) (z 3) 25 Mặt phẳng (P) có phương trình dạng ax b y c z qua A,B cắt (S) theo giao tuyến đường trịn có bán kính nhỏ Tính T a b c Phân tích tốn: +) Do mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) nên ta có r R d (I;(P)) +) Do r nhỏ d(I;(P)) lớn Bài giải: Mặt cầu (S) có tâm I (1;2;3) bán kính R Do B (0;1;0) (P) b x t Ta có phương trình đường thẳng AB y t Gọi r bán kính đường z 2t trịn giao tuyến, K hình chiếu vng góc I lên đường thẳng AB, H hình chiếu vng góc I lên mặt phẳng (P) uur Ta có K AB K (t;1 t;2 t) IK (t 1; t 1;2t 3) uuur uur uur IK AB AB.IK t IK (0; 2; 1) r R d (I;(P)) 25 d (I;(P)) 25 IH uur uur Ta có rmin IH max H K (P) IK n p , IK phương 11 SangKienKinhNghiem.net a uur uur a Suy n p k IK b 2k Vậy T a b c c c k Ví dụ 8.[9]: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) : x y z Có mặt cầu có tâm nằm mặt phẳng (P) tiếp xúc với ba trục x ' Ox, y' Oy,z' Oz ? Phân tích tốn: +) Do mặt cầu tiếp xúc với ba trục nên tâm mặt cầu cách ba trục +) Do gọi tâm mặt cầu điểm I (a;b;c) a b c Bài giải: a 2b c Gọi tâm mặt cầu điểm I (a;b;c) , theo ta có a b c Xét trường hợp a, b, c ta có ba số a, b, c thỏa mãn, có mặt cầu thỏa mãn u cầu tốn Ví dụ 9.[10]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1;2;1), B(3; 1;1),C(1; 1;1) Gọi (S1 ) mặt cầu có tâm A , bán kính 2; (S2 ) , (S3 ) hai mặt cầu có tâm B, C bán kính Hỏi có mặt phẳng tiếp xúc với ba mặt cầu (S1 ) , (S2 ) , (S3 ) ? Phân tích tốn: +) Gọi (P) mặt phẳng tiếp xúc với ba mặt cầu, ta có (P) cách B, C cách A khoảng +) Để tìm số mặt phẳng (P) ta cần tìm hệ số a, b, c, d dạng phương trình mặt phẳng Bài giải: r Gọi n (a,b,c), a b c VTPT mặt phẳng (P) tiếp xúc với ba mặt uuur cầu (S1 ),(S2 ),(S3 ) ; M trung điểm BC, suy M (1; 1;1); BC (4;0;0) TH1: (P) qua trung điểm M BC, suy phương trình mặt phẳng (P) : a(x 1) b(y 1) c(z 1) ax by cz a b c 2 3b 2a d (A;(P)) 3b a b c Mặt khác ta có 2 2 d(B;(P)) 2a a b c 4a a b c 12 SangKienKinhNghiem.net Hệ cho ta bốn nghiệm khơng trùng nên có bốn mặt phẳng TH1 r uuur n TH2: (P) song song với BC BC a suy phương trình mặt phẳng (P) : by cz d Mặt khác ta có 2 2b c d b c d d (A;(P)) 2b c d b c 2 d(B;(P)) b c d b c b c d b c Hệ cho ta ba nghiệm không trùng nên có ba mặt phẳng TH2 Vậy có mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Khi áp dụng đề tài q trình giảng dạy mơn tốn trường trung học phổ thơng Hoằng Hố 4, tơi thấy học sinh nắm bắt vận dụng nhanh định hướng tìm tịi lời giải vào việc giải dạng tập vận dụng cao mặt cầu hệ tọa độ Oxyz Kết năm trực tiếp giảng dạy chương trình hình học 12 cụ thể sau: 2.4.1.Trước thực sáng kiến kinh nghiệm Kết đạt năm học 2016 - 2017 sau: - Kết tổng kết cuối năm lớp giảng dạy Lớp Sĩ số Kết học tập mơn Tốn Giỏi 12A6 41 10 Khá 24% 21 52% Trung bình Yếu 10 24% 0% 2.4.2.Sau thực sáng kiến kinh nghiệm * Kết đạt năm học 2017-2018 sau: - Kết tổng kết cuối năm lớp giảng dạy Lớp Sĩ số Kết học tập mơn Tốn Giỏi 12A1 43 32 Khá 76% 11 24% Trung bình Yếu 0 0% 0% KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Trong đề tài với khả hạn chế thời gian khơng cho phép, tơi đưa số ví dụ điển hình dạng tập Qua thực tế giảng dạy, thấy giới thiệu đề tài cho học sinh em tự tin việc tìm tịi định hướng giải tốn nhanh cho kết xác 13 SangKienKinhNghiem.net Đề tài phát triển bổ sung thêm vị trí tương đối hai mặt cầu, mở rộng cho dạng tập khác chương trình tốn học phổ thơng năm Tuy có nhiều cố gắng kinh nghiệm giảng dạy cịn hạn chế nên tơi tin đề tài cịn có thiếu sót Tơi mong nhận xét góp ý chân thành hội đồng khoa học ngành, đồng chí đồng nghiệp em học sinh để đề tài hồn chỉnh Tơi xin chân thành cảm ơn ! XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 21 tháng 05 năm 2018 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Nguyễn Hữu Các 14 SangKienKinhNghiem.net TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sách giáo khoa hình học 12 (Văn Như Cương) [2] Sách tập hình học 12 (Văn Như Cương) [3] Tài liệu chun tốn hình học 12 (Đồn Quỳnh) [4] Tài liệu chun tốn tập hình học 12 (Đoàn Quỳnh) [5] Rèn luyện luyện tư qua việc giải tập tốn (Nguyễn Thái Hịe) [6] Sáng tạo toán học (G.POLYA) [7] Toán học suy luận có lý (G.POLYA) [8] Giải tốn (G.POLYA) [9] Các đề thi thi thử THPT Quốc gia trường THPT Sở GD&ĐT [10] Đề thi THPT Quốc gia năm 2017, đề minh họa thi THPT Quốc gia năm 2018 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SKKN ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG CẤP SỞ GD&ĐT ĐÁNH GIÁ STT TÊN ĐỀ TÀI SKKN HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ LOẠI NĂM Các biện pháp phát triển khả SỞ GD&ĐT C 2015 định hướng giải toán cho học sinh THPT Xây dựng hệ thống câu hỏi định hướng để hướng dẫn học sinh lớp 10 giải toán SỞ GD&ĐT C 2016 phương pháp tọa độ mặt phẳng 15 SangKienKinhNghiem.net ... tâm vị trí tương đối mặt cầu với mặt phẳng, mặt cầu với đường thẳng 1.1 Vị trí tương đối mặt cầu với mặt phẳng .4 II Một số ví dụ việc tìm định hướng giải thông qua việc khai thác. .. thực I Các kiến thức trọng tâm vị trí tương đối mặt cầu với mặt phẳng, mặt cầu với đường thẳng Vị trí tương đối mặt phẳng với mặt cầu [1], [3] Cho mặt cầu S I ; R mặt phẳng P Đặt d d (I;(P))... Đề tài ? ?Định hướng khai thác giả thiết vị trí tương đối mặt cầu với mặt phẳng, mặt cầu với đường thẳng để giải số toán phương pháp tọa độ khơng gian – Hình học lớp 12” đưa định hướng giải SangKienKinhNghiem.net