BÁO cáo bài tập lớn GIẢI TÍCH 1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG ——————– * ——————— BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH HỘI ĐỒNG: Khoa học ứng dụng GVHD: TS Trần Ngọc Diễm GVPB: TS Trần Ngọc Diễm —o0o— NHÓM: GT1-L05-04 TP HỒ CHÍ MINH, 02/01/2022 Lời cảm ơn / Lời ngỏ Chúng em xin chân thành cảm ơn cô Trần Ngọc Diễm, giáo viên giảng dạy mơn Giải tích 1, dành nhiều thời gian công sức giải đáp thắc mắc nhóm chủ đề Hơn hết, cảm ơn truyền đạt cách đầy tâm huyết kiến thức vô bổ ích cho chúng em Chúc điều tốt đẹp đến với Tóm tắt nội dung Trong báo cáo này, ta sâu vào công cụ mạnh dùng để trực quan hóa nghiệm phương trình vi phân cấp Đó phương pháp dựng Trường định hướng Đồng thời, ta sử dụng để khảo sát mơ hình tiếng tốn học: Mơ hình quần thể thú săn - mồi1 Mơ hình Lotka-Volterra 0.1 0.1.1 Danh sách thành viên nội dung đề tài Danh sách thành viên STT Họ tên Võ Quốc Bình Lê Tấn Sang Ngơ Trung Tín Nguyễn Anh Đức Phạm Đức Hào MSSV 2112912 2114631 2115007 2113216 2111128 Vai trò Thành viên Thành viên Thành viên Thành viên Nhóm trưởng Bảng 1: Danh sách thành viên nhóm 04 0.1.2 Nội dung đề tài Tìm hiểu Direction Fields2 (9.2) mơ hình quần thể đa loài Predator-Prey System3 (9.6) James Stewart, Calculus – Early Transcendentals Tìm hiểu cách sử dụng công cụ Slope Field Plotter để vẽ Direction Field Vẽ minh họa Diy′ = F(x, y) rection Field cho phương trình y′ = F(x, y) tìm hàm nghiệm toán: y0 = f (x0 ) dựa Direction Field Trường Mơ định hướng hình thú săn-con mồi 0.2 Nhận xét giáo viên hướng dẫn Nhận xét: Ngày tháng năm Ký tên Mục lục 0.1 i i i ii 1 1 4 Công cụ Slope Field Plotter GeoGebra 2.1 Danh sách hàm sử dụng 2.2 Bài tập áp dụng 9 Tổng kết 0.2 Danh sách thành viên nội dung đề tài 0.1.1 Danh sách thành viên 0.1.2 Nội dung đề tài Nhận xét giáo viên hướng dẫn Lý thuyết ứng dụng 1.1 Trường định hướng 1.1.1 Đặt vấn đề 1.1.2 Cơ sở lý thuyết 1.1.3 Ví dụ tập 1.2 Mơ hình thú săn - mồi 1.2.1 Đặt vấn đề 1.2.2 Cơ sở lý thuyết 1.2.3 Ví dụ tập 11 Tài liệu tham khảo 12 iii Danh sách bảng Danh sách thành viên nhóm 04 i 1.1 Bảng tính hệ số góc số điểm mặt phẳng tọa độ 2.1 2.2 Source Code Bài Source Code Bài 10 iv Danh sách hình vẽ 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 Trường định hướng phương trình vi phân y′ = x + y Trường định hướng phương trình vi phân y′ = x2 + y2 − Đường cong nghiệm qua gốc tọa độ Mạch điện Trường định hướng Các đường cong nghiệm qua điểm (0, 0), (1, 0) (2, 0) Trường định hướng số đường cong nghiệm phương trình (1.5) Đường cong nghiệm qua P0 (1000; 40) Đồ thị W R theo thời gian Biểu đồ so sánh số lượng thỏ sói thời điểm 2 3 7 2.1 2.2 Trường định hướng đường cong nghiệm Trường định hướng vài nghiệm 10 10 v Chương Lý thuyết ứng dụng 1.1 1.1.1 Trường định hướng Đặt vấn đề Cho đến thời điểm tại, giải tất phương trình vi phân theo hướng tìm cơng thức tường minh cho nghiệm phương trình Trong phần này, khơng có công thức nghiệm tường minh nào, biết nhiều thơng tin nghiệm phương trình vi phân thơng qua phương pháp đồ thị (trường định hướng) phương pháp số học (phương pháp Euler) Do giới hạn nội dung báo cáo nên xem xét phương pháp đầu tiên: Trường định hướng.[1] 1.1.2 Cơ sở lý thuyết Giả sử ta có phương trình vi phân cấp có dạng y′ = F(x, y) F(x, y) biểu thức theo x y Phương trình vi phân nói hệ số góc đường cong nghiệm điểm (x0 , y0 ) đường cong F(x0 , y0 ) Nếu ta vẽ đoạn thẳng ngắn với hệ số góc F(x0 , y0 ) điểm (x0 , y0 ) tương ứng, ta nhận Trường định hướng (hoặc Trường hệ số góc) Các đoạn thẳng cho thấy hướng mà đường cong nghiệm tiến Mật độ điểm vẽ dày đặc giúp ta xác định xác hình dạng đường cong nghiệm (b) Độ dày đặc cao (a) Độ dày đặc thấp Hình 1.1: Trường định hướng phương trình vi phân y′ = x + y 1.1.3 Ví dụ tập Ví dụ 1: Cho phương trình vi phân y′ = x2 + y2 − (a) Vẽ trường định hướng (b) Sử dụng câu (a) để vẽ đường cong nghiệm qua gốc tọa độ Lời giải (a)Ta bắt đầu việc tính hệ số gốc số điểm bảng sau: x y ′ y = x + y2 − -2 -1 0 0 -1 0 -2 -1 1 1 1 Bảng 1.1: Bảng tính hệ số góc số điểm mặt phẳng tọa độ Bây ta vẽ đoạn thẳng ngắn với hệ số góc điểm tương ứng Kết có trường định hướng Hình 1.2 Hình 1.2: Trường định hướng phương trình vi phân y′ = x2 + y2 − (b) Từ gốc tọa độ, ta vẽ đoạn thẳng hướng nghiêng sang bên phải (hệ số góc -1) Ta tiếp tục vẽ đường cong nghiệm cho song song với đoạn gần tìm đường Hình 1.3 Quay trở lại gốc tọa độ, ta vẽ đường cong nghiệm nghiêng sang bên trái tương tự Hình 1.3: Đường cong nghiệm qua gốc tọa độ Ví dụ 2: Bây xem trường định hướng giúp hiểu thêm tượng vật lí Một mạch điện đơn giản Hình 1.4 có chứa suất điện động (thường ắc-qui hay máy phát điện) làm sản sinh điện E(t)(V ) cường độ điện trường I(t)(A) thời điểm t Mạch điện chứa điện trở R(Ω) cuộn cảm có tự cảm L(H) Theo Định luật Ohm, giảm áp điện trở gây RI Điện áp giảm cuộn cảm gây L dI dt Một định luật Kirchhoff nói tổng sụt áp với điện áp cung cấp E(t) Vậy ta có: L dI + RI = E(t) dt Hình 1.4: Mạch điện (1.1) Dễ thấy (1.1) phương trình vi phân cấp mơ cường độ dịng điện I thời điểm t Ta thử gán giá trị cụ thể cho đại lượng vật lí để tiến hành tính tốn: Giả sử mạch điện đơn giản Hình 1.4, điện trở 12Ω, độ tự cảm 4H, ắc-qui có điện khơng đổi 60V (a) Vẽ trường định hướng cho Phương trình (1.1) dựa giá trị (b) Nhận xét giá trị tới hạn cường độ dòng điện? (c) Xác định Nghiệm cân bằng1 (d) Nếu ta đóng cơng tắc t = dịng điện bắt đầu với I(0) = Hãy sử dụng trường định hướng để vẽ đường cong I(t) Lời giải (a) Nếu L = 4, R = 12 E(t) = 60 vào phương trình (1.1), ta được: dI + 12I = 60 dt hay I ′ = 15 − 3I (1.2) Trường định hướng cho phương trình vi phân minh họa Hình 1.5 (b)Căn vào trường định hướng này, thấy dường tất nghiệm tiến giá trị 5A, có nghĩa là: lim I(t) = t→+∞ (c) Có vẻ hàm I(t) = nghiệm cân Thật vậy, kiểm chứng điều dI = 15 − 3I = trực tiếp từ (1.2) Nếu I(t) = dt 15 − 3.5 = (d) Chúng ta sử dụng trường định hướng để vẽ đường cong nghiệm qua điểm (0, 0), kết thu Hình 1.7 (đường cong màu đỏ) đây: (Tên Hình 1.5: Trường định hướng tiếng anh: Equilibrium Solution) nghiệm phương trình vi phân mà đạo hàm khơng điểm thuộc đường cong nghiệm Đồ thị đường cong nghiệm cân thường giống đường tiệm cận ngang Lưu ý Hình 1.5, đoạn hệ số góc dọc theo đường nằm ngang (có hồnh độ) phải song song với nhau, t khơng xuất vế phải phương trình vi phân Nhìn chung, phương trình vi phân có dạng y′ = F(y) gọi phương trình vi phân tự trị2 Với phương trình vậy, hai hệ số góc tương ứng hai điểm khác có tung độ y phải Điều có nghĩa ta biết nghiệm phương trình vi phân tự trị, ta tìm nhiều nghiệm khác cách dịch chuyển đồ thị Hình 1.6: Các đường cong nghiệm nghiệm biết sang bên phải bên trái Ở Hình 11, biểu diễn nghiệm tìm dịch qua điểm (0, 0), (1, 0) (2, 0) chuyển đường cong nghiệm màu đỏ sang phải hai đơn vị thời gian (cụ thể giây), tương ứng với việc ta đóng cơng tắc t = t = 1.2 1.2.1 Mơ hình thú săn - mồi Đặt vấn đề Ở phần này, xem xét mơ hình thực tế để giải thích tương tác hai giống loài sống mơi trường Chúng ta thấy mơ hình có dạng cặp phương trình vi phân liên kết với nhau.[1] 1.2.2 Cơ sở lý thuyết Đầu tiên xem xét tình lồi gọi mồi, có nguồn thức ăn phong phú, loài thứ hai gọi thú săn, chủ yếu ăn thịt mồi Một số ví dụ mồi thú săn như: thỏ sói, cá ngừ cá mập, rệp bọ rùa, vi khuẩn trùng amip Mơ hình có hai biến độc lập hai hàm số theo thời gian Gọi R(t) số mồi (sử dụng R cho thỏ) W (t) số thú săn (với W sói) thời điểm t Khi khơng có thú săn, nguồn thức ăn phong phú giúp mồi tăng trưởng nhanh, có nghĩa là: dR = kR k số dương dt Ngược lại, khơng có mồi, ta giả sử số lượng thú săn giảm với tốc độ theo tỉ lệ nó, có nghĩa là: dW = −rW r số dương dt Tuy nhiên, hai loài tồn tại, giả sử nguyên nhân dẫn đến chết mồi thú săn ăn thịt, giả sử tỷ lệ sinh tỷ lệ sống sót thú săn phụ thuộc vào lượng thức ăn sẵn có, tức phụ thuộc vào mồi Chúng ta giả sử hai loài chạm trán với mức độ tỷ lệ với số lượng hai loài, có nghĩa tỷ lệ với tích RW (Số lượng lồi nhiều, mức độ chạm trán cao.) Chúng ta có hệ gồm hai phương Tên tiếng anh: Autonomous Differential Equation trình vi phân kết hợp tất giả thiết sau:  dR   = kR − aRW   dt (1.3)     dW = −rW + bRW dt k, r, a b số dương Chú ý số hạng −aRW làm giảm tỷ lệ tăng trưởng tự nhiên mồi số hạng bRW làm tăng tỷ lệ tăng trưởng tự nhiên thú săn Hệ phương trình (1.3) gọi hệ phương trình thú săn - mồi, hệ phương trình Lotka – Volterra Nghiệm hệ phương trình cặp hàm số R(t) W (t) mô tả số lượng mồi thú săn dạng hàm số theo thời gian Bởi hệ phương trình ghép thành cặp (R W xuất hai phương trình ), nên khơng thể giải phương trình đến phương trình Ta phải giải chúng cách đồng thời Không may thời điểm tại, ta khơng thể tìm công thức tường minh cho R W dạng hàm số theo t, ta sử dụng phương pháp Trường định hướng để phân tích phương trình 1.2.3 Ví dụ tập Bây ta gán giá trị cụ thể cho số k, r, a b để phân tích thử mơ hình Ví dụ 1: Giả sử quần thể thỏ sói mơ tả phương trình Lotka-Volterra với k = 0.08, a = 0.001, r = 0.02 b = 0.00002 Thời gian t tính theo tháng (a) Tìm nghiệm cân nêu ý nghĩa sinh học chúng dW (b) Sử dụng hệ phương trình vi phân để tìm biểu thức cho dR (c) Vẽ trường định hướng cho phương trình vi phân vừa tìm mặt phẳng R-W Sau sử dụng trường định hướng để vẽ vài đường cong nghiệm (d) Giả sử vào thời điểm có 1000 thỏ 40 sói Vẽ đường cong nghiệm tương ứng sử dụng để mơ tả thay đổi số lượng hai quần thể (e) Sử dụng câu (d) để vẽ đồ thị biễu diễn R W theo biến t Lời giải (a) Thay giá trị đề cho vào (1.3), ta được:  dR   = 0.08R − 0.001RW   dt     dW = −0.02W + 0.00002RW dt R W số đạo hàm chúng 0, đó:  ′  R = R(0.08 − 0.001W ) = (1.4)   ′ W = W (−0.02 + 0.00002R) = Một nghiệm hệ (1.4) R = W = 0, điều hiển nhiên khơng có thỏ sói kích thước quần thể chắn không thay đổi Một nghiệm khác hệ là: W= 0.08 0.02 = 80 R = = 1000 0.001 0.00002 Vậy quần thể cân có 1000 thỏ 80 sói Điều có nghĩa 1000 thỏ đủ để trì số lượng sói 80 không không (b) Ta sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp để khử t: dW dW dR dW −0.02W + 0.00002RW dW = ⇔ = dt = dR dt dR dt dR 0.08R − 0.001RW dt (1.5) dW −0.02W + 0.00002RW dW (c) Ta có phương trình vi phân W theo R: = dt = dR dR 0.08R − 0.001RW dt Ta tiến hành vẽ trường định hướng cho phương trình vi phân (Hình 1.7a) dựa vào vẽ đường cong nghiệm hệ (Hình 1.7b) Ta thấy mối liên hệ R W thay đổi qua thời gian đường cong nghiệm đường cong khép kín Điểm (1000; 80) ln nằm bên tất đường cong nghiệm ta gọi điểm cân bằng3 tương ứng với số lượng quần thể trạng thái cân (a) Trường định hướng (b) Đường cong nghiệm Hình 1.7: Trường định hướng số đường cong nghiệm phương trình (1.5) (d) Với 1000 thỏ 40 sói ta vẽ đường cong nghiệm qua điểm P0 (1000; 40) Hình 1.8 biểu diễn quỹ đạo mơ hình sau xóa trường định hướng Thay R = 1000 W = 40 vào phương trình đầu (1.4), ta có: R′ = 1000(0.08 − 0.001(40)) = 40 > Ta thấy đạo hàm R theo t lớn nên R tăng điểm P0 Do ta bắt đầu P0 ngược chiều kim đồng hồ Tên tiếng anh: Equilibrium Point Nhận xét: Tại P0 số lượng sói khơng đủ để trì cân hai lồi nên số lượng thỏ tăng lên Điều dẫn tới số lượng sói tăng theo chí có q nhiều sói dẫn đến việc thỏ khó tránh việc bị ăn thịt Số lượng thỏ bắt đầu giảm P1 (khi số lượng thỏ đạt đến cực đại R ≈ 2800), điều lại dẫn đến việc khoảng thời gian sau số lượng sói bắt đầu giảm (tại P2 số lượng thỏ 1000 số lượng sói khoảng 140), lượng sói giảm lại có lợi cho thỏ nên số lượng thỏ bắt đầu tăng lên (ở P3 , số lượng thỏ khoảng 210 số lượng sói 80) Điều lại dẫn đến việc lượng sói tăng Hình 1.8: Đường cong nghiệm qua lên sau số lượng hai quần thể lại P0 (1000; 40) trở trạng thái ban đầu P0 , kết thúc chu kì (e) Mặc dù khơng thể tìm cơng thức tường minh W (t) R(t), ta ước tính đồ thị hai hàm số Từ diễn tả tăng giảm số lượng thỏ sói câu (d) ta vẽ lại đồ thị R W theo t Hình 1.9 Giả sử điểm P1 , P2 P3 Hình 1.8 xảy vào thời điểm t1 , t2 t3 (a) Đồ thị W (t) (b) Đồ thị R(t) Hình 1.9: Đồ thị W R theo thời gian Để dễ dàng so sánh hai đồ thị với nhau, ta vẽ hai đồ thị hệ trục tọa độ, kết thu hoàn toàn phù hợp với diễn tả câu (d): Hình 1.10: Biểu đồ so sánh số lượng thỏ sói thời điểm Tiếp theo, ta thử dựa vào phương trình tốn học để xét ý nghĩa thực tế nó, xem mơ điều Ví dụ 2: Hệ phương trình vi phân mơ hình thú săn - mồi với x y đại diện cho số lượng thỏ sói Xác định vai trị x y Liệu số lượng thỏ bị giới hạn mối nguy từ sói, hay chúng mối nguy hiểm khác? Liệu nguồn thức ăn sói thỏ, hay cịn nguồn dinh dưỡng khác để thay thế?  dx   = −0.05x + 0.0001xy   dt     dy = 0.1y − 0.005xy dt Lời giải dx = −0.05x < 0, điều có nghĩa trường hợp mơi trường khơng dt chứa y x giảm với tốc độ tỷ lệ với Suy x số lượng sói, y số lượng thỏ Sự phát triển quần thể thỏ bị giới hạn chạm trán với thú săn (tích −0.005xy) Suy sói mối de dọa quần thể thỏ Ngược lại, tốc độ phát triển quần thể sói tăng tích 0.0001xy, tức chúng ăn thỏ để sinh trưởng Xét y = 0, ta có Chương Công cụ Slope Field Plotter GeoGebra GeoGebra phần mềm miễn phí sử dụng dạy học nghiên cứu tốn học Nó cung cấp đầy đủ chức liên quan đến dựng hình học hỗ trợ công cụ Đại số Giải tích Trong hầu hết hình ảnh thêm vào báo cáo này, chúng em sử dụng GeoGebra để vẽ tính tốn Chương trình bày khái quát chức cách sử dụng hàm cần thiết để dựng trường định hướng giải phương trình vi phân Bài tập áp dụng lấy từ phần Exercise [1] 2.1 Danh sách hàm sử dụng SlopeField( , ): Dựng trường định hướng phương trình vi phân y′ = f (x, y) với độ dày đặc nxn điểm hình (Mặc định n=40) SolveODE( , ): Tìm hàm số thỏa mãn phương trình vi phân y′ = f (x, y) qua điểm cho trước 2.2 Bài tập áp dụng Bài 1: Cho phương trình vi phân y′ = y(1 − y2 ) (a) Vẽ trường định hướng đường cong nghiệm thỏa điều kiện ban đầu sau: (i) y(0) = (ii) y(0) = −1 (iii) y(0) = −3 (iv) y(0) = (b) Tìm tất nghiệm cân phương trình vi phân Lời giải (a) Sử dụng Geogebra, ta nhanh chóng dựng trường định hướng đường cong nghiệm Hình 2.1 Source Code: slopefield = SlopeField(y(1 − 14 y2 ), 20) f(x) = SolveODE(y(1 − 14 y2 ), (0,1)) g(x) = SolveODE(y(1 − 14 y2 ), (0,-1)) h(x) = SolveODE(y(1 − 14 y2 ), (0,-3)) k(x) = SolveODE(y(1 − 14 y2 ), (0,3)) Bảng 2.1: Source Code Bài Hình 2.1: Trường định hướng đường cong nghiệm (b) Ta giải phương trình y′ = để tìm nghiệm cân bằng: y′ = ⇔ y(1 − y2 ) = ⇔ y = 0, −2, Vậy đường y = 0, y = ±2 nghiệm cân phương trình vi phân Dễ thấy nghiệm khác có xu hướng xuất phát tiến nghiệm cân Phương trình vi phân thuộc loại phương trình vi phân tự trị mà ta đề cập đến Bài 2: Dựng trường định hướng cho phương trình vi phân y′ = x(y2 − 4) vẽ vài đường cong nghiệm thỏa mãn Source Code: slopefield1 = SlopeField(x(y2 − 4), 25) f(x) = SolveODE(x(y2 − 4), (0,0)) g(x) = SolveODE(x(y2 − 4), (1,2)) h(x) = SolveODE(x(y2 − 4), (3,4)) Bảng 2.2: Source Code Bài Hình 2.2: Trường định hướng vài nghiệm 10 Chương Tổng kết Các khái niệm ví dụ liên quan đến Trường định hướng Mơ hình thú săn - mồi nhìn chung mơ tả đầy đủ báo cáo Tuy nhiên, hạn chế thời gian kiến thức mà chúng em chưa thể phát triển nội dung cách nâng cao Đây chủ đề đáng đào sâu thêm Bên cạnh đó, hàm lệnh GeoGebra có số hạn chế như: Ít tùy biến, chạy chậm không chạy phương trình vi phân khó Nếu có hội tương lai, nhóm em tìm hiểu thêm phần mềm chuyên dụng khác (như MATLAB) để cải thiện suất làm việc Xin gửi đến cô lời cảm ơn chân thành dành thời gian đọc báo cáo 11 Tài liệu tham khảo [1] James Stewart, Daniel K Clegg, and Saleem Watson Calculus: Early Transcendentals Thomson Learning, 2008 12 ... Bài Source Code Bài 10 iv Danh sách hình vẽ 1. 1 1. 2 1. 3 1. 4 1. 5 1. 6 1. 7 1. 8 1. 9 1. 10 Trường định hướng phương trình vi phân y′ =... 0 .1. 1 Danh sách thành viên 0 .1. 2 Nội dung đề tài Nhận xét giáo viên hướng dẫn Lý thuyết ứng dụng 1. 1 Trường định hướng 1. 1 .1 Đặt vấn đề 1. 1.2 Cơ sở lý thuyết 1. 1.3... Phạm Đức Hào MSSV 211 2 912 211 46 31 211 5007 211 3 216 211 112 8 Vai trò Thành viên Thành viên Thành viên Thành viên Nhóm trưởng Bảng 1: Danh sách thành viên nhóm 04 0 .1. 2 Nội dung đề tài Tìm hiểu Direction