BÁO cáo bài tập lớn GIẢI TÍCH 1 chủ đề 10 phác họa các bề mặt tròn xoay

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH Chủ đề 10: “Phác họa bề mặt tròn xoay” GVHD: TS NGUYỄN ĐÌNH DƯƠNG TS NGUYỄN NGỌC QUỲNH NHƠ Lớp: L36 Nhóm số: MỤC LỤC Tên thành viên Phạm Thủy Duyên BẢNG PHÂN CÔNG MSSV Nhiệm vụ 2110950 Soạn ppt + viết báo cáo Mã Khánh Hào 2111125 Soạn sở lý thuyết + tìm hình ảnh Phạm Bảo Hồng 2113415 Soạn sở lý thuyết + tìm hình ảnh Nguyễn Khánh Quốc 2112146 Viết code + làm tập Nguyễn Trương Khánh Vy 2115353 Thuyết trình + soạn ppt + viết báo cáo DANH MỤC HÌNH ẢNH TĨM TẮT *Đề bài: -Tạo bề mặt trịn xoay cách cho đồ thị hàm số f(x) = quay quanh trục x, trục y, đường thằng y=k, x=k với k số *Hướng giải quyết: -Input: + Nhập f(x)= + Nhập số k -Output: Hình ảnh bề mặt trịn xoay ( Hình ảnh 3D) *Ý nghĩa tốn: -Cung cấp nhìn cụ thể, xác, nhanh chóng hình ảnh bề mặt tròn xoay Matlab CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1/ Sự tạo thành mặt tròn xoay - Là bề mặt không gian Euclide tạo cách quay đường cong (các đường sinh mặt) xung quanh trục quay Bề mặt thu có đối xứng phương vị - Các bề mặt tạo đường thẳng bề mặt hình trụ hình nón tùy thuộc vào việc đường thẳng có song song với trục hay khơng + Ví dụ đời sống: bề mặt táo, hình nón (khơng bao gồm phần đế), khối hình nón (khơng bao gồm đầu), hình trụ (khơng bao gồm phần cuối), hình cầu Hình 1.1 + Ví dụ tốn học: Trong khơng gian, cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng Δ đường (C) Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh Δ góc 3600 điểm M (C) vạch đường trịn có tâm O thuộc Δ nằm mặt phẳng vng góc với Δ Như quay mặt phẳng (P) quanh Δ đường (C) tạo nên hình gọi mặt trịn xoay (C): đường sinh Δ: trục mặt tròn xoay Hình 1.2 1.2/ MẶT NĨN, KHỐI NĨN: 1.2.1/ Mặt nón trịn xoay: - Trong mặt phẳng (P), cho đường thẳng d, Δ cắt O chúng tạo thành góc β với 0o < β ≤ 90o Khi quay mp(P) xung quanh trục Δ với góc β khơng thay đởi gọi mặt nón trịn xoay đỉnh O Hình 1.3 - Đường thẳng Δ gọi trục, đường thẳng d gọi đường sinh góc 2β gọi góc đỉnh 1.2.2/ Khối nón trịn xoay: - Cho ΔOIM vng I quay quanh cạnh góc vng OI đường gấp khúc OIM tạo thành hình, gọi hình nón trịn xoay (gọi tắt hình nón) (hình 2) - Đường thẳng OI gọi trục, O đỉnh, OI gọi đường cao OM gọi đường sinh hình nón - Hình trịn tâm I, bán kính r = IM đáy hình nón Hình 1.4 1.2.3/ Cơng thức diện tích hình nón thể tích khối nón: - Cho hình nón có chiều cao h, bán kính đáy r đường sinh l ta có: + Diện tích xung quanh: Sxq= πrl + Diện tích tồn phần: Stp= πrl + πr2 + Thể tích khối nón: 1.2.4/ Tính chất: - Trường hợp 1: + Nếu cắt mặt nón trịn xoay mp(P) qua đỉnh có trường hợp sau xảy ra: + Nếu mp(P) cắt mặt nón theo đường sinh ⇒ Thiết diện tam giác cân + Nếu mp(P) tiếp xúc với mặt nón theo đường sinh Trong trường hợp này, người ta gọi mặt phẳng tiếp diện mặt nón - Trường hợp 2: +Nếu cắt mặt nón trịn xoay mp(Q) khơng qua đỉnh có trường hợp sau xảy ra: + Nếu mp(Q) vng góc với trục hình nón ⇒ giao tuyến đường tròn + Nếu mp(Q) song song với đường sinh hình nón giao tuyến nhánh hypebol + Nếu mp(Q) song song với đường sinh hình nón giao tuyến đường parabol 1.3/ MẶT TRỤ: 1.3.1/ Mặt trụ trịn xoay: Hình 1.5 - Trong mp(P) cho hai đường thẳng Δ l song song nhau, cách khoảng r Khi quay mp(P) quanh trục cố định Δ đường thẳng l sinh mặt tròn xoay gọi mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt mặt trụ (hình 3) + Đường thẳng Δ gọi trục + Đường thẳng l gọi đường sinh + Khoảng cách r gọi bán kính mặt trụ 1.3.2/ Hình trụ trịn xoay: Hình 1.6 - Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa cạnh, chẳng hạn cạnh AB đường gấp khúc ABCD tạo thành hình, hình gọi hình trụ trịn xoay hay gọi tắt hình trụ (hình 4) + Đường thẳng AB gọi trục + Đoạn thẳng CD gọi đường sinh + Độ dài đoạn thẳng AB = CD = h gọi chiều cao hình trụ + Hình trịn tâm A, bán kính r = AD hình trịn tâm B, bán kính r = BC gọi đáy hình trụ + Khối trụ trịn xoay, gọi tắt khối trụ, phần không gian giới hạn hình trụ trịn xoay kể hình trụ 1.3.3/ Công thức tính diện tích hình trụ thể tích khối trụ: Cho hình trụ có chiều cao bán kính đáy r, đó: + Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2πrh + Diện tích tồn phần hình trụ: Stp = Sxq + 2.SĐay = 2πrh + 2πr2 + Thể tích khối trụ: V = B.h = πr2h 1.3.4/ Tính chất: - Nếu cắt mặt trụ trịn xoay (có bán kính r) mp(α) vng góc với trục Δ ta đường trịn có tâm α có bán kính r với r cũng bán kính mặt trụ - Nếu cắt mặt trụ trịn xoay (có bán kính r) mp(α) khơng vng góc với trục Δ cắt tất đường sinh, ta giao tuyến đường elíp có trụ nhỏ 2r trục lớn 2r/sinφ, φ góc giữa trục Δ mp(α) với 00 < φ < 900 - Cho mp(α) song song với trục Δ mặt trụ tròn xoay cách Δ khoảng d + Nếu d < r mp(α) cắt mặt trụ theo hai đường sinh ⇒ thiết diện hình chữ nhật + Nếu d = r mp(α) tiếp xúc với mặt trụ theo đường sinh + Nếu d > r mp(α) không cắt mặt trụ 1.4/ MẶT CONG: - Diện tích bề mặt trịn xoay quay đường cong y= f(x) > từ trục x=a sang x=b là: - Diện tích bề mặt trịn xoay quay đường cong theo trục x cho t [a;b] x(t) > 0: dt - Diện tích bề mặt trịn xoay quay đường cong x= g(y) > từ trục y=c sang y=d là: - Diện tích bề mặt trịn xoay quay đường cong theo trục y cho t [c;d] y(t) > 0: - Độ dài đường cong: L= 10 Hình 2.6 Hình 2.7 -Khi cho đồ thị quay quanh đường thẳng x=-1/2 14 Hình 2.8 Hình 2.9 2.2) Nhận xét: 15 2.2.1) Khi nhấp vào đồ họa Maple tạo ra, menu (mới) xuất cho phép bạn để thay đổi giao diện đồ họa Đặc biệt, bạn thay đổi góc θ = −140◦ ϕ = 80◦ cách: -Sử dụng cuộn mũi tên menu Chưa có hình -Nhập lại giá trị hộp giá trị menu Hình 2.10 -Theo cách thủ cơng tự xoay đồ họa 2.2.2) Nếu bạn sử dụng đoạn code để hỗ trợ bạn làm tập văn bản, bạn bỏ qua dịng 7, 8, 10 11 đoạn code Hình 2.11 2.2.3) Ví dụ: Nếu ta thay hàm số f(x)= hàm số g(x)=x2 16 Hình 2.12 - Khi cho đồ thị quay quanh trục x Hình 2.13 -Khi cho đồ thị quay quanh trục y Hình 2.14 -Khi cho đồ thị quay quanh đường thằng y=-1/2 17 Hình 2.15 -Khi cho đồ thị quay quanh đường thẳng x=-1/2 Hình 2.16 *Nhận xét: - Hàm f(x)= hàm g(x)=x2 hàm ngược x≥0, nên: + Tập xác định f(x) tập giá trị g(x) Và ngược lại tập giá trị f(x) tập xác định g(x) Hay nói cách khác trục x đồ thị f(x) trục y đồ thị g(x) ngược lại + Ngoài ra, đồ thị hàm số cịn đối xứng qua đường thẳng y=x *Do đó: 18 - Bề mặt tròn xoay hàm g(x) quay quanh trục x bề mặt trịn xoay hàm f(x) quay quanh trục y - Bề mặt tròn xoay hàm g(x) quay quanh trục y bề mặt trịn xoay hàm f(x) quay quanh trục x - Bề mặt tròn xoay hàm g(x) quay quanh y=-1/2 bề mặt tròn xoay hàm f(x) quay quanh x=-1/2 - Bề mặt tròn xoay hàm g(x) quay quanh x=-1/2 bề mặt trịn xoay hàm f(x) quay quanh y=-1/2 + Khi cho hai đồ thị f(x)= đồ thị g(x)=x2 quay quanh trục hay đường thẳng tạo hai bề mặt tròn xoay khác + Khi cho đồ thị f(x)= quay quanh trục x, trục y, y=-1/2, x=-1/2 cho đồ thị g(x) quay quanh trục y, trục x, x=-1/2, y=-1/2 cho hai bề mặt tròn xoay giống 2.2.4) 19 Nếu ta thay hàm số y=f(x) thành hàm số x=g(y) Hình 2.17 - Khi cho đồ thị quay quanh trục y Hình 2.18 - Khi cho đồ thị quay quanh trục x 20 Hình 2.19 -Khi cho đồ thị quay quanh đường thằng x=-1/2 Hình 2.20 - Khi cho đồ thị quay quanh đường thẳng y=-1/2 21 Hình 2.21 22 CHƯƠNG 3: MỞ RỘNG VÀ ÁP DỤNG 3.1/ Đề bài: Cho hình tam giác ABC vng cân A, có AB=AC=6 Kẻ đường thẳng qua H vng góc với AB cắt BC D, với H thuộc đoạn thằng AB cho AB=3BH Cho cạnh BC xoay quanh đoạn HD tạo khối tròn xoay Tính thể tích khối trịn xoay 3.1.2/ Hướng giải quyết: C *Phác họa: D B A H *Viết phương trình đường thẳng BC: -Gọi H gốc tọa độ, AB thuộc trục Ox, HD thuộc trục Oy -B(-2;0) C(4;6) -BC đường thằng nên phương trình có dạng: y=ax+b 0=-2a+b 6=4a+b y= x+2 *Sử dụng Maple phác họa hình ảnh khối trịn xoay: 23 -Cho cạnh BC xoay quanh đoạn HD , cho đường thẳng: y=x+2 xoay quanh trục Oy Hình 3.1 Hình 3.2 24 Hình 3.3 - Như vậy, thể tích khối trịn xoay thể tích hai hình nón *Tính thể tích khối trịn xoay ( thể tích hai hình nón ): - Thể tích hình nón thứ ( hình nón lớn ) + Có chiều cao h1=4, bán kính đáy r1=4 V1= π.42.4=π ( đơn vị thể tích) - Thể tích hình nón thứ hai ( hình nón nhỏ ) + Có chiều cao h2=2, bán kính đáy r2=2 V2= π.22.2=π ( đơn vị thể tích) -Vậy thể tích khối nón là: V=V1+V2= π+π= 24π ( đơn vị thể tích) 3.2) Nhận xét: -Như vậy, ta sử dụng Maple để phác họa hình ảnh bề mặt trịn xoay ( dạng 3D) cách xác, dễ nhìn Và thơng qua giúp chúng ta giải toán liên quan đến khối tròn xoay cách dễ dàng CHƯƠNG 4: KẾT LUẬN 4.1) Nhận xét Maple: 25 - Ưu điểm: • Tính tốn dễ dàng, tiện lợi, cho kết xác cách phở thơng • Giúp hiểu thêm ứng dụng toán kỹ thuật • Tiết kiệm thao tác thời gian so với cách phác họa tay - Khuyết điểm: • Thiết kế đoạn code nhiều thời gian, công sức • Đoạn code phức tạp 4.2) Kết luận: -Đề tài hỗ trợ xác định bề mặt tròn xoay cách xác Với phương pháp sử dụng phần mềm Maple giúp thuận tiện dễ dàng việc giải toán tương tự mà giải tay -Với phân cơng chuẩn bị kỹ lưỡng cố gắng hết mình, nhóm hồn thành đề tài giao Maple cho kết mong muốn Qua phần tập lớn nhóm đã: • Biết thao tác giải tốn Maple • Nâng cao hứng thú mơn học • Trao dồi kỹ học tập làm việc nhóm • Nâng cao tinh thần trách nhiệm thắt chặt tình đồn kết thành viên nhóm nói riêng bạn khoa Cơ Khí nói chung 26 27 ... đó: 18 - Bề mặt tròn xoay hàm g(x) quay quanh trục x bề mặt trịn xoay hàm f(x) quay quanh trục y - Bề mặt tròn xoay hàm g(x) quay quanh trục y bề mặt tròn xoay hàm f(x) quay quanh trục x - Bề mặt. .. trục x - Bề mặt tròn xoay hàm g(x) quay quanh y= -1/ 2 bề mặt trịn xoay hàm f(x) quay quanh x= -1/ 2 - Bề mặt tròn xoay hàm g(x) quay quanh x= -1/ 2 bề mặt tròn xoay hàm f(x) quay quanh y= -1/ 2 + Khi cho... vụ 211 0950 Soạn ppt + viết báo cáo Mã Khánh Hào 211 112 5 Soạn sở lý thuyết + tìm hình ảnh Phạm Bảo Hồng 211 3 415 Soạn sở lý thuyết + tìm hình ảnh Nguyễn Khánh Quốc 211 214 6 Viết code + làm tập Nguyễn