BÁO cáo bài tập lớn GIẢI TÍCH 2 đề tài 04 ỨNG DỤNG KHOA học tên lửa

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH ĐỀ TÀI 04: ỨNG DỤNG KHOA HỌC TÊN LỬA Nhóm 14 - Lớp L23 GVHD : Lý thuyết: Cô Nguyễn Thị Hồng Nhung Bài tập: Cô Trần Thị Ngọc Huyền Danh sách thành viên: Trần Văn Tuấn - 2115193 Lê Ái Doanh - 2110907 Nguyễn Công Dương -2113092 Nguyễn Trần Thanh Huyền- 2113569 Nguyễn Thị Trang- 2115044 THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH, 5/2022 Lời cảm ơn Nhóm 14 chúng em xin chân thành gửi lời cảm ơn tới cô Nguyễn Thị Hồng Nhung trực tiếp giảng dạy cho chúng em mơn giải tích 2, giúp chúng em tiếp thu nhiều kiến thức bổ ích hồn thiện tiểu luận " khoa học tên lữa" Đồng thời chúng em xin bày tỏ lịng biết ơn thầy tận tình hướng dẫn bảo chúng em tiết học lớp Tuy nhiên, giới hạn kiến thức khả lí luận thân cịn nhiều thiếu sót hạn chế Vì cố gắng hoàn thành đề tài phạm vi khả cho phép chắn không tránh khỏi thiếu sót Chính chúng em mong nhận ý kiến đóng góp bạn để đề tài nhóm em hoàn thiện Chúng em xin chân thành cảm ơn ! MỤC LỤC Lời cảm ơn………………………………………………………………………… Nội dung I Giới thiệu tên lửa tầng II Cơ sở lý thuyết Cơ sở lý thuyết hoạt động tên lửa nhiều tầng phương pháp số nhân Lagrange (tốt ưu toán) III.bài tập Điều kiện đề cho Câu hỏi tập Cách giải đáp án IV Kết luận Tài liệu tham khảo Nội dung Giới thiệu tên lửa tầng Trong xu phát triển khoa học kỹ thuật công nghệ người ln hướng đến tinh vi thiết kế, … khơng ngừng tìm kiếm, chế tạo vật liệu,cơng nghê hội tụ tính đáp ứng nhu cầu phát triển không ngừng lĩnh vực hàng không vũ trụ Khoa học tên lửa nghiên cứu đơn cử để người có thêm hiểu biết về vũ trụ Những nhà khoa học đưa thiết bị vũ trụ tên gọi chung thiết bị với chức thực nhiều toán khác không gian vũ trụ, tiến hành nghiên cứu công việc khác bề mặt thiên thể khác Các thiết bị vũ trụ đưa lên quỹ đạo nhờ tên lửa đẩy Tên lửa nhiều tầng đẩy (tiếng Anh: multistage rocket, hay step rocket) phương tiện phóng có thiết kế bao gồm nhiều tầng tên lửa, tầng có động nhiên liệu riêng biệt Có hai kiểu thiết kế tầng tên lửa, kiểu nối tiếp song song, kiểu nối tiếp tầng tên lửa xếp chồng lên tầng tên lửa kia, kiểu song song tầng tên lửa gắn cạnh với thiết kế chia làm ba tầng trình bay vào vũ trụ Tầng đẩy I lớn ban đầu đẩy tên lửa cạn nhiên liệu, lúc tầng tháo rời để giảm trọng lượng tên lửa Tầng II III nhỏ hoạt động tương tự với mục đích đưa tầng đẩy mang tải trọng tên lửa vào quỹ đạo quay quanh trái đất (Với thiết kế này, cần hai tầng để đạt vận tốc cần thiết, việc sử dụng ba tầng chứng minh đáp ứng tốt chi phí hiệu suất) Cơ sở lý thuyết hoạt động tên lửa nhiều tầng Khoa học tên lửa chủ đề tên lửa nhiều tầng thiết kế tên lửa chia làm nhiều tầng đẩy giới hạn định luật vật lý áp dụng lên tốc độ tối đa đạt tên lửa phụ thuộc vào tỉ lệ cho trước khối lượng tên lửa lúc phóng chia cho khối lượng tên lửa sau cạn nhiên liệu Mối liên hệ tính theo phương trình tên lửa Δ𝑉 = −𝑐ln⁡ (1 − (1 − 𝑆)𝑀𝑟 ) 𝑃 + 𝑀𝑟 ΔV : thay đổi vận tốc mà tàu vũ trụ đạt cách đốt cháy toàn nhiên liệu Mr : khối lượng động tên lửa bao gồm nhiên liệu ban đầu P : khối lượng trọng tải S : hệ số kết cấu xác định theo thiết kế tên lửa (cụ thể tỷ số khối lượng phương tiện tên lửa khơng có nhiên liệu với tổng khối lượng phương tiện tên lửa khơng có tải) c : tốc độ xả không đổi so với tên lửa Hình1.1 cấu tạo tên lửa tầng Mục tiêu xác định khối lượng riêng ba tầng điều kiện tối thiểu hóa tổng khối lượng tên lửa mà cho phép tên lửa đạt vận tốc mong muốn Để giải u cầu tốn ta cần phải áp dụng phương pháp toán học lý thuyết để giải tích phương trình sau: phương pháp số nhân Lagrange (tối ưu toán) Là phương pháp để tìm cực tiểu cực đại địa phương hàm số chịu điều kiện giới hạn Tìm cực đại hàm f(x, y) Chịu điều kiện giới hạn g(x, y) = Chúng ta cần f g phải thỏa mãn chúng liên tục đạo hàm riêng bậc chúng Đặt biến (λ) gọi nhân tử Lagrange nghiên cứu hàm Lagrange (hay Lagrangian) định nghĩa Với số hạng λ cộng trừ Nếu f(x0, y0) giá trị cực đại f(x, y) cho tốn giới hạn ban đầu, tồn λ0 cho (x0, y0, λ0) điểm dừng hàm Lagrange (điểm dừng điểm mà đạo hàm riêng theo Λ 0) Tuy vậy, khơng phải điểm dừng cho tương ứng với nghiệm tốn ban đầu Do đó, phương pháp nhân tử Lagrange mang lại điều kiện cần cho mục đích tối ưu hóa tốn giới hạn.Điều kiện đủ cho giá trị cực đại cực tiểu phải thỏa mãn Giải câu hỏi đề tài 1) Giữ kiện đề cho Giờ xem tên lửa với ba tầng đẩy Giờ xem tên lửa với ba tầng đẩy tải trọng A Giả sử lực bên không đáng kể, c S không đổi tầng đẩy Nếu Mr khối lượng tầng…, ban đầu ta xem động tên lửa có khối lượng Mr tải trọng có khối lượng M2 + M3 + A; xử lý tương tự với tầng đẩy hai ba.là A Giả sử lực bên ngồi khơng đáng kể, c S không đổi tầng đẩy Nếu Mr khối lượng tầng…, ban đầu ta xem động tên lửa có khối lượng Mr tải trọng có khối lượng M2 + M3 + A; xử lý tương tự với tầng đẩy hai ba Đề bài: Câu 1: cho thấy vận tốc đạt sau tách rời ba tầng đẩy cho Mỗi tên lửa mơ theo phương trình Δ𝑉 = −𝑐ln⁡ (1 − (1−𝑆)𝑀𝑟 𝑃+𝑀𝑟 ) M𝑟 khối lượng động tên lửa Mỗi động tên lửa phải đốt cháy giai đoạn khác nhau, bao gồm khối lượng tên lửa tải trọng Tải trọng P sau viết để bao gồm tất tên lửa không sử dụng tải trọng A ⋅ 𝑀𝑟 Sẽ tên lửa đề cập thời gian kiệt sức, 𝑀𝑖 Δ𝑉 (1 − 𝑆𝑖 )𝑀𝑖 ) 𝑀𝑖 + 𝑀𝑖+1 … 𝑀𝑛 + 𝐴 𝑀𝑖 + 𝑀𝑖+1 … 𝑀𝑛 + 𝐴 ⁡= 𝑐𝑖 ln⁡ ( ) 𝑆𝑖 𝑀𝑖 + 𝑀𝑖+1 … 𝑀𝑛 + 𝐴 ⁡= −𝑐𝑖 ln⁡ (1 − Vận tốc cuối thu cách tìm tổng tất giai đoạn tên lửa 𝑛 𝑣𝑓 ⁡= ∑    𝑐𝑖 ln⁡ ( 𝑖=1 𝑀𝑖 + 𝑀𝑖+1 … 𝑀𝑛 + 𝐴 ) 𝑆𝑖 𝑀𝑖 + 𝑀𝑖+1 … 𝑀𝑛 + 𝐴 𝑀1 + 𝑀2 + 𝑀3 + 𝐴 𝑀2 + 𝑀3 + 𝐴 𝑀3 + 𝐴 ⁡= 𝑐𝑖 ln⁡ ( ) + 𝑐𝑖 ln⁡ ( ) + 𝑐𝑖 ln⁡ ( ) 𝑆𝑖 𝑀1 + 𝑀2 + 𝑀3 + 𝐴 𝑆𝑖 𝑀2 + 𝑀3 + 𝐴 𝑆𝑖 𝑀3 + 𝐴 𝑀1 + 𝑀2 + 𝑀3 + 𝐴 𝑀2 + 𝑀3 + 𝐴 𝑀3 + 𝐴 ⁡= 𝑐𝑖 [ln⁡ ( ) + ln⁡ ( ) + ln⁡ ( )] 𝑆𝑖 𝑀1 + 𝑀2 + 𝑀3 + 𝐴 𝑆𝑖 𝑀2 + 𝑀3 + 𝐴 𝑆𝑖 𝑀3 + 𝐴 Do đó, vận tốc sau ba giai đoạn là: 𝑐𝑖 [ln⁡ ( 𝑀1 + 𝑀2 + 𝑀3 + 𝐴 𝑀2 + 𝑀3 + 𝐴 𝑀3 + 𝐴 ) + ln⁡ ( ) + ln⁡ ( )] 𝑆𝑖 𝑀1 + 𝑀2 + 𝑀3 + 𝐴 𝑆𝑖 𝑀2 + 𝑀3 + 𝐴 𝑆𝑖 𝑀3 + 𝐴 Câu 2: Ta muốn giảm tối thiểu tổng khối lượng M – M1 + M2 + M3 động tên lửa theo ràng buộc vận tốc mong muốn v1 từ Bài toán đạt Để đơn giản hóa, ta định nghĩa biến N1 để phương trình ràng buộc biểu diễn dạng 𝑣𝑓 = 𝑐 (ln⁡ 𝑁1 + ln⁡ 𝑁2 + ln⁡ 𝑁3 ) Do M khó biểu diễn theo Ni, ta muốn dùng hàm đơn giản có cực tiểu với M Từ câu ta có: 𝑣𝑓 = 𝑐 [ln⁡ ( 𝑀1 + 𝑀2 + 𝑀3 + 𝐴 𝑀2 + 𝑀3 + 𝐴 𝑀3 + 𝐴 ) + ln⁡ ( ) + ln⁡ ( )] 𝑆𝑀1 + 𝑀2 + 𝑀3 + 𝐴 𝑆𝑀2 + 𝑀3 + 𝐴 𝑆𝑀3 + 𝐴 Biến đổi N𝑖 sau thay cho dấu ngoặc, mặ i, điều là, 𝑀𝑖 + ⋯ + 𝑀𝑛 + 𝐴 𝑀𝑖+1 + ⋯ + 𝑀𝑛 + 𝐴 (1 − 𝑆)(𝑀𝑖 + ⋯ + 𝑀𝑛 + 𝐴) 𝑆𝑀𝑖 + (1 − 𝑆)𝑀𝑖+1 + ⋯ + (1 − 𝑆)𝑀𝑛 + (1 − 𝑆)𝐴 − 𝑆𝑀𝑖 (1 − 𝑆)(𝑀𝑖 + ⋯ + 𝑀𝑛 + 𝐴) ⁡= 𝑆𝑀𝑖 + 𝑀𝑖+1 + ⋯ + 𝑀𝑛 + 𝐴 − 𝑆(𝑀𝑖 + ⋯ + 𝑀𝑛 + 𝐴) (1 − 𝑆)𝑁𝑖 ⁡= − 𝑆𝑁𝑖 ⁡= Đối với trường hợp với ba tên lửa, the (1−𝑆)𝑁𝑖 𝑆𝑁𝑖 , (1 − 𝑆)𝑁𝑖 (1 − 𝑆)𝑁1 (1 − 𝑆)𝑁2 (1 − 𝑆)𝑁3 =( )( )( ) − 𝑆𝑁𝑖 − 𝑆𝑁1 − 𝑆𝑁2 − 𝑆𝑁3 (1 − 𝑆)𝑁𝑖 (1 − 𝑆)3 𝑁1 𝑁2 𝑁3 = (1 − 𝑆𝑁1 )(1 − 𝑆𝑁2 )(1 − 𝑆𝑁3 ) − 𝑆𝑁𝑖 (1 − 𝑆𝑖 )𝑁𝑖 𝑀𝑖 + ⋯ + 𝑀𝑛 + 𝐴 Thay cho (1) 𝑀𝑖+1 + ⋯ + 𝑀𝑛 + 𝐴 − 𝑆𝑖 𝑁𝑗 (1 − 𝑆𝑖 )3 𝑁1 𝑁2 𝑁3 𝑀𝑖 + ⋯ + 𝑀𝑛 + 𝐴 = 𝑀𝑖+1 + ⋯ + 𝑀𝑛 + 𝐴 (1 − 𝑆𝑖 𝑁1 )(1 − 𝑆𝑖 𝑁2 )(1 − 𝑆𝑖 𝑁3 ) (1 − 𝑆𝑖 )3 𝑁1 𝑁2 𝑁3 𝑀1 + 𝑀2 + 𝑀3 + 𝐴 𝑀2 + 𝑀3 + 𝐴 𝑀3 + 𝐴 ( )( )( )= ⋯ ⋅ (2) (1 − 𝑆𝑖 𝑁1 )(1 − 𝑆𝑖 𝑁2 )(1 − 𝑆𝑖 𝑁3 ) 𝑀2 + 𝑀3 + 𝐴 𝑀3 + 𝐴 𝐴 (1 − 𝑆𝑖 )3 𝑁1 𝑁2 𝑁3 𝑀+𝐴 = (1 − 𝑆𝑖 𝑁1 )(1 − 𝑆𝑖 𝑁2 )(1 − 𝑆𝑖 𝑁3 ) 𝐴 (1 − 𝑆𝑖 )3 𝑁1 𝑁2 𝑁3 𝑀+𝐴 Như = (1 − 𝑆𝑖 𝑁1 )(1 − 𝑆𝑖 𝑁2 )(1 − 𝑆𝑖 𝑁3 ) 𝐴 Câu 3:Xác minh ln((M + A)/A) nhỏ vị trí với M; dùng số nhân Lagrange kết Bài toán để tìm biểu thức cho giá trị Ni cực tiểu theo ràng buộc 𝑣𝑓 = 𝑐 (ln⁡ 𝑁1 + ln⁡ 𝑁2 + ln⁡ 𝑁3 ) Áp dụng hàm lôgarit 𝑛 𝑀+𝐴 ] = ∑   [ln⁡ 𝑁𝑖 + ln⁡(1 − 𝑆𝑖 ) − ln⁡(1 − 𝑆𝑖 𝑁𝑖 )] ln⁡ [ 𝐴 𝑖=1 Áp dụng hệ số nhân Lagrange, bị ràng buộc bởi𝑣𝑓 = 𝑐 (ln⁡ 𝑁1 + ln⁡ 𝑁2 + ln⁡ 𝑁3 ) 𝑆𝑖 𝑐𝑖 − 𝜆𝑐𝑖 𝑆𝑖 + −𝜆 = + 𝑁𝑖 − 𝑆𝑖 𝑁𝑖 𝑁𝑖 𝑁𝑖 − 𝑆𝑖 𝑁𝑖 𝑁𝑖 = 𝜆𝑐𝑖 − 𝜆𝑐𝑖 𝑆𝑖 Câu 4: Tìm biểu thức cho giá trị nhỏ M hàm v1 Từ trước, N𝑖 viết, 𝑁𝑖 = 𝜆𝑐𝑖 − 𝜆𝑐𝑖 𝑆𝑖 Điều có nghĩa là𝑣𝑓 viết, 𝜆𝑐𝑖 − 𝑣𝑓 = 𝑛𝑐ln⁡ ( ) 𝜆𝑐𝑖 𝑆𝑖 Giải cho 𝜆 𝜆= 𝑣𝑓 𝑐 (1 − 𝑆𝑒 𝑚 c) Từ tập trước, 𝑁𝑖 = 𝜆𝑐𝑖 −1 𝜆𝑐𝑝 𝑆𝑖 mà 𝑣𝑓 thay bằng𝑒 𝑛𝑐, 𝑣𝑓 𝑛 𝑀+𝐴 𝐴 (1−𝑆)𝑒 𝑚𝑐 =[ 𝑣𝑓 ] 1−𝑆𝑒 𝑚𝑐 𝑣𝑓 𝑀=[ (1−𝑆)𝑛 𝑒⁡⁡𝑚𝑐 𝑣𝑓 𝑛 𝑚𝑐 (1−𝑆𝑒 ) − 1] 𝐴 Câu 5: Nếu ta muốn đưa tên lửa ba tầng đẩy vào quỹ đạo cách bề mặt trái đất 100 dặm cần vận tốc cuối xấp xỉ 17,500 mi/h Giả sử tầng đẩy xây dựng hệ số cấu trúc S – 0.2 tốc độ xả c – 6000 mi/h a Tìm tổng khối lượng nhỏ M động tên lửa dạng hàm số A b Tìm khối lượng tầng đẩy dạng hàm số A (Chúng kích thước nhau) a) Từ trước, tổng khối lượng tối thiểu động tên lửa 𝑣𝑓 (1 − 𝑆)𝑛 𝑒 𝑚𝑐 𝑀=[ 𝑣 𝑛 − 1] 𝐴 (1 − 𝑆𝑒 𝑚 ) Thay 17,500mi/h cho 𝑣𝑓 , cho 𝑛, 6,000mi/h cho 𝑐, 0.2 cho 𝑆 10 𝑀 ⁡= (1 − 0.2)3 𝑒 17,00𝑒 cin 6,00mit 17,50mib ) 0.2𝑒 (3,𝑘,000mih (1 − [ ⁡= 89.42⁡A 𝐴 −1 ] b) 𝑀3 + 𝐴 𝑆𝑀3 + 𝐴 𝑀3 + 𝐴 ⇒ 𝑒 [17,500/(3.0000)] = 0.2𝑀3 + 𝐴 𝐴(1 − 𝑒 35/36 ) ⇒ 𝑀3 = ≈ 3.49𝐴 0.2𝑒 35/36 − 𝑀2 + 𝑀3 + 𝐴 Sau⁡đó⁡𝑁2 = 𝑆𝑀2 + 𝑀3 + 𝐴 𝑀2 + 3.49𝐴 + 𝐴 = 0.2𝑀2 + 3.49𝐴 + 𝐴 4.49𝐴(1 − 𝑒 35/36 ) ⁡ ⇒ 𝑀2 = ≈ 15.675 0.2𝑒 35/36 − 𝑀1 + 𝑀2 + 𝑀3 + 𝐴 ⇒ 𝑁3 = 𝑆𝑀1 + 𝑀2 + 𝑀3 + 𝐴 𝑀1 + 15.67𝐴 + 3.49𝐴 + 𝐴 = 0.2𝑀1 + 15.67𝐴 + 3.49𝐴 + 𝐴 20.16𝐴(1 − 𝑒 25/36 ) ⇒ 𝑀1 = ≈ 70.36𝐴 0.2𝑒 25/36 − Trước⁡tiên, 𝑁3 = Câu 6: Cùng tên lửa cần vận tốc cuối xấp xỉ 24,700 mi/h để khỏi trọng lực trái đất Tìm khối lượng tầng đẩy mà giảm thiểu tổng khối lượng động tên lửa cho phép tên lửa đẩy tàu thăm dò nặng 500 pound vào không gian sâu 11 𝑀3 + 𝐴 𝑆𝑀3 + 𝐴 𝑀3 + 𝐴 ⇒ 𝑒 24,700/(3−6000) = 0.2𝑀3 + 𝐴 𝐴(1 − 𝑒 247/180 ) ⇒ 𝑀3 = ≈ 13.9𝐴 0.2𝑒 247/180 − 𝑀2 + 𝑀3 + 𝐴 𝑁2 = 𝑆𝑀2 + 𝑀3 + 𝐴 𝑀2 + 13.9𝐴 + 𝐴 = 0.2𝑀2 + 13.9𝐴 + 𝐴 14.9𝐴(1 − 𝑒 247/180 ) ⇒ 𝑀2 = ≈ 208𝐴 0.2𝑒 247/180 − 𝑁3 = 𝑀1 + 𝑀2 + 𝑀3 + 𝐴 𝑆𝑀1 + 𝑀2 + 𝑀3 + 𝐴 𝑀1 + 208𝐴 + 13.9𝐴 + 𝐴 = 0.2𝑀1 + 208𝐴 + 13.9𝐴 + 𝐴 222.9𝐴(1 − 𝑒 247/180 ) ⇒ 𝑀1 = ≈ 3110𝐴 0.2𝑒 247/180 − 𝑁3 = 𝐴 = 500, đó, khối lượng giai đoạn động tên lửa xấp xỉ 𝑀1 = 3110(500) = 1,550,000⁡lb 𝑀2 = 208(500) = 104,000⁡lb 𝑀3 = 13.9(500) = 6950lb Kết luận Tài liệu tham khảo http://duanungdung.com/doc.*http://duanungdung.com/doc 12 https://vi.wikipedia.org/wiki/T%C3%AAn_l%E1%BB%ADa_nhi%E1%BB%81u_t%E1% BA%A7ng 13