ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 1 NHÓM 7 – CHỦ ĐỀ 7 ĐỊNH LUẬT LÀM LẠNH CỦA NEWTON Giảng viên Thầy Nguyễn Đình Dương TP HCM 2022 1 Danh sách thành viên Họ[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH NHĨM – CHỦ ĐỀ ĐỊNH LUẬT LÀM LẠNH CỦA NEWTON Giảng viên: Thầy Nguyễn Đình Dương TP.HCM - 2022 Danh sách thành viên Họ tên Hoàng Quốc Huy Vũ Đại Dương Đinh Thành Long Hà Văn Nam Phạm Hồng Minh Thơng Mã số sinh viên 1810934 2012893 1913986 2114112 1613405 Phân công nhiệm vụ 20% 20% 20% 20% 20% MỤC LỤC I CƠ SỞ LÝ THUYẾT Lịch sử hình thành Cơng thức tốn học định luật Newton Công thức đơn giản hóa II TRÌNH BÀY NỘI DUNG BÀI LÀM Câu .5 Câu .6 Câu .8 Câu .9 Câu .9 Câu 10 III ÁP DỤNG KẾT QUẢ CỦA CHỦ ĐỀ CHO CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ 11 Ví dụ 1: 11 Ví dụ 2: 12 Ví dụ 3: 12 IV KẾT LUẬN, NHẬN XÉT 14 I CƠ SỞ LÝ THUYẾT Lịch sử hình thành Isaac Newton xuất cơng trình nghiên cứu làm lạnh vào năm 1701 Định luật làm lạnh Newton phát biểu tốc độ nhiệt vật tỷ lệ thuận với chênh lệch nhiệt độ vật mơi trường Định luật thường đủ điều kiện để bao gồm điều kiện chênh lệch nhiệt độ nhỏ chất chế truyền nhiệt giữ nguyên Như vậy, tương đương với tuyên bố hệ số truyền nhiệt, trung gian tổn thất nhiệt chênh lệch nhiệt độ, số Điều kiện thường gặp dẫn nhiệt (được sử dụng định luật Fourier) tính dẫn nhiệt hầu hết vật liệu phụ thuộc yếu vào nhiệt độ Trong truyền nhiệt đối lưu, Định luật Newton tn theo làm mát khơng khí cưỡng chất lỏng bơm, đặc tính chất lỏng khơng thay đổi mạnh theo nhiệt độ, với đối lưu dẫn động lực nổi, vận tốc dịng chảy tăng lên theo Nhiệt độ khác Cuối cùng, trường hợp truyền nhiệt xạ nhiệt, định luật làm lạnh Newton áp dụng cho chênh lệch nhiệt độ nhỏ Khi phát biểu khác biệt nhiệt độ, định luật Newton (với số giả thiết đơn giản hóa nữa, chẳng hạn số Biot thấp nhiệt dung không phụ thuộc vào nhiệt độ) dẫn đến phương trình vi phân đơn giản biểu thị chênh lệch nhiệt độ dạng hàm thời gian Lời giải cho phương trình mơ tả giảm chênh lệch nhiệt độ theo cấp số nhân theo thời gian Sự chênh lệch nhiệt độ liên quan đến định luật làm lạnh Newton Cơng thức tốn học định luật Newton Phát biểu định luật Newton sử dụng tài liệu truyền nhiệt đưa vào toán học ý tưởng tốc độ nhiệt thể tỷ lệ với chênh lệch nhiệt độ thể môi trường xung quanh Đối với hệ số truyền nhiệt không phụ thuộc vào nhiệt độ, phát biểu là: Trong đó: ̇ tốc độ truyền nhiệt khỏi vật thể (đơn vị SI: W), Q h hệ số truyền nhiệt (giả⋅ định không phụ thuộc vào T tính trung bình bề mặt) (đơn vị SI: W / m2 K), A diện tích bề mặt truyền nhiệt (đơn vị SI: m2), T nhiệt độ bề mặt vật thể (đơn vị SI: K), Tenv nhiệt độ môi trường (đơn vị SI: K), ΔT(t) = T(t) – Tenv chênh lệch nhiệt độ phụ thuộc vào thời gian môi trường vật thể (đơn vị SI: K) Cơng thức đơn giản hóa Trong đó: Ṫ tốc độ nhiệt (đơn vị SI: K / giây) r hệ số truyền nhiệt (đơn vị SI: / giây) T nhiệt độ bề mặt vật thể (đơn vị SI: K), Tenv nhiệt độ mơi trường (đơn vị SI: K), Lấy tích phân vế ta II TRÌNH BÀY NỘI DUNG BÀI LÀM Câu Gọi T(t) nhiệt độ vật thời điểm t Nhiệt độ môi trường TA = 80°C Hằng số k = 0,5 Theo Định luật làm lạnh Newton: dT dt => = k(A - T) => dT dt dT = -k(T - A) dt = -0,5(T - 80) dT =>∫ T −80 = -0,5∫ dt => ln|T −80| = -0,5t + C1 |T −80| = e−0,5 t +C => T(t) = 80 + Ce−0,5 t (1) Nếu xét theo trường hợp tổng quát ta có: dT = k(A - T) => dt dT = -k(T – A) dt Vì phương trình vi phân tách biến nên lấy tích phân vế ta được: ∫ T dT −A = -k∫ dt => ln|T − A| = -kt + C −0,5 t +C => T(t) = A + Ce−0,5 t | T − A| = e (2) Ta xét thời điểm t0 (2)=>T(0)=TA+C=>C=T(0)-A Vậy cơng thức (2) viết lại thành công thức (3) T(t) = A + (T0 – A)e−kt (3) Xét trường hợp T(0) = 10°C Từ phương trình (3) ta T(t) = 80 - 70e−0,5 t Xét trường hợp T(0) = 60°C Từ phương trình (3) ta T(t) = 80 - 20e−0,5 t Xét trường hợp T(0) = 120°C Từ phương trình (3) ta T(t) = 80 + 40e−0,5 t Dùng Maple vẽ đồ thị phương trình code sau >plot([80-20*exp(0.5*x),80-70*exp(-0.5*x),80+40*exp(-0.5*x)],x=0 4,y=0 125); Câu Dùng đồ thị câu 1, thích trục tọa độ, vẽ tay thích đường tương đương với biểu thức T = A, thích ba đường cong ba đồ thị câu Câu Trên hình vẽ tạo câu 1, vẽ đồ thị tương ứng với trường hợp T(0) = 100°C Để vẽ đồ thị T(t) = 80 + 20e−0,5 t ta vẽ đồ thị đối xứng với đồ thị T(t) = 80 - 20e−0,5 t qua đường thẳng T = A Câu Dựa vào hình vẽ tay đồ thị câu T(t) = 80 + 20e−0,5 t , ta ước lương nhiệt độ T(4) trường hợp T(4) = 83°C Câu Nếu T(0) < A thì: a) Biểu thức (*): dT dt = k(A - T) có ý nghĩ dấu dT dt Vì k số ln dương, nên T(0) > A (A - T) > 0, mang dấu dương b) Điều có nghĩa T tăng hay giảm dT lim dT T (t +∆ t )−T nên dt > với trường hợp T tăng c) Giải thích (theo sở vật lý) T gần A t lớn Ta có dt = ∆t →0 ∆t Nhiệt dạng lượng có vật chất Dạng lượng tạo thành nhờ chuyển động hỗn loạn hạt phân tử vật chất Nhiệt có chất tổng động tạo thành từ chuyển động hỗn loạn phân tử cấu thành vật chất.Vì vật có chênh lệch nhiệt độ so với mơi trường động hạt phân tử nơi có nhiệt cao va đập truyền động cho phân tử nơi có nhiệt thấp, từ xảy tượng tỏa nhiệt Nếu từ công thức (3) ta có: lim T ( t) = lim [ A+(T ( 0) – A) e−kt t →+ ∞ ] t →+ ∞ lim = lim ¿ A + t →+ ∞ [T (0)− A ]kt t →+ ∞ =A Vậy t lớn nhiệt độ T tiến gần A Câu Nếu T(0) > A thì: a) Biểu thức (*): dT dt = k(A - T) có ý nghĩ dấu dT dt Vì k số ln dương, nên T(0) > A (A - T) < 0, mang dấu âm b) Điều có nghĩa T tăng hay giảm dT lim T (t +∆ t )−T dT Ta có dt = ∆t →0 nên dt < với trường hợp T giảm ∆t c) Giải thích (theo sở vật lý) T gần A t lớn Nhiệt dạng lượng có vật chất Dạng lượng tạo thành nhờ chuyển động hỗn loạn hạt phân tử vật chất Nhiệt có chất tổng động tạo thành từ chuyển động hỗn loạn phân tử cấu thành vật chất.Vì vật có chênh lệch nhiệt độ so với mơi trường động hạt phân tử nơi có nhiệt cao va đập truyền động cho phân tử nơi có nhiệt thấp, từ xảy tượng tỏa nhiệt Nếu từ cơng thức (3) ta có: lim T ( t) t →+ ∞ −kt = lim [ A+(T ( 0) – A) e ] t →+ ∞ 10 lim = lim ¿ A + t →+ ∞ [T (0)− A ]kt t →+ ∞ =A Vậy t lớn nhiệt độ T tiến gần A III ÁP DỤNG KẾT QUẢ CỦA CHỦ ĐỀ CHO CÁC BÀI TỐN TƯƠNG TỰ Ví dụ 1: Một ly trà nhiệt độ ban đầu độ ly trà 61∘ F a Tính nhiệt độ ly trà sau nửa nữa? b Sau nhiệt độ ly trà 50 ℉ ? Giải: T =(T 0−T s ) ekt + T s ; a { T 72∘ F = kt T s= 44 ∘ F ⇒T =28 e +44 ; t=30 ;T =61∘ F :61=28 e30k + 44 ⇒ 28 e30 k=17 ln ⇒ k= (17 ) 28 30 =−0,016633 ; ⇒T =28 e−0,016633 t + 44 ⇒T (60)=28 e−0,016633 t + 44=54,32( ∘ F) ; 11 b T =50∘ F : 50=28 e−0,016633 t + 44 ⇒ e−0,016633 t = 286 ln ⇒t= (286 ) =92,61 ( Phút ) ; −0,016633 Ví dụ 2: Một bánh nhiệt độ lúc lấy từ lò nướng 180 ℉ đem vào phịng có nhiệt độ 70∘ F phút sau nhiệt độ bánh 160∘ F a Tính nhiệt độ bánh sau 20 phút ? b Sau nhiệt độ bánh 90∘ F ? Giải: a T =(T 0−T s ) ekt + T s ; T0 =180∘ F { kt ⇒ T s=70∘ F T =110 e +70 ; *) kt t=3 ;T =160 :160=110 e ln 3k + 70⇒110 e =90 ⇒ k= ⇒ T =110 e−0,06689 t +70 ⇒ T (20 )=110 e−0,06689.20 +70=98,87 (℉); b T =90 :90=110 e−0,06689t +70 ⇒ e−0,06689 t= 110 ln ⇒t = 20 20 ) 110 −0,06689 =25,49 (Phút); ( Ví dụ 3: ( 90 110 ) =−0,06689 12 Theo chuyên gia pha chế, nhiệt độ tối ưu để phục vụ khách hang ly cà phê từ 155°F-175°F Giả sử ly cà phê pha chế 200°F sau phút đặt phòng nhiệt độ cịn lại 180°F (Giả sử nhiệt độ phịng 70°F) a) Sau ly cà phê đủ nguội để phục vụ b) Sau ly cà phê lạnh để phục vụ Giải: a) Dựa theo cơng thức (3) ta có: T =200°F T = (T0 – A)ekt + A với {A => T = 130ekt +70 (*) =70 ° F Từ giả thiết t = 2, T2 = 180°F ta suy 180 = 130e2k +70 => k = ln (110 ) 130 = -0,083527 Vậy phương trình làm lạnh ly cà phê T(t) = 130e-0,083527t + 70 Ly cà phê đủ nguội để phục vụ T = 175°F 105 130 => t = => 175 = 130e-0,083527t + 70 => e-0,083527t = 105 ln ( 130 ) = 2,56 (phút) −0,083527 b) Ly cà phê nguội để phục vụ nhiệt độ xuống 155°F Khi T = 155°F 85 130 => t = => 155 = 130e-0,083527t + 70 => e-0,083527t = 85 ln ( 130 ) = 5,09 (phút) −0,083527 13 IV KẾT LUẬN, NHẬN XÉT Qua giảng dạy hướng dẫn thầy Nguyễn Đình Dương tập lớn mơn Giải tích chủ đề Định luật làm lạnh Newton, chúng em nhận thấy ứng dụng thực tiễn mơn Giải tích trường hợp thực tế sống Từ kiến thức lý thuyết phương trình vi phân cách sử dung phần mềm Maple mà chúng em có tảng kiến thức vững cho kì thi cuối kỳ mơn Giải tích kinh nghiệm ấp dụng mơn Giải tích vào đời sống 14