PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN CHO BÀI TOÁN BÙ PHI TUYẾN SEMISMOOTH NEWTON METHOD FOR NONLINEAR COMPLEMENTARITY PROBLEMS

62 Dương Xuân Hiệp, Phạm Quý Mười, Phan Đức Tuấn PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN CHO BÀI TOÁN BÙ PHI TUYẾN SEMISMOOTH NEWTON METHOD FOR NONLINEAR COMPLEMENTARITY PROBLEMS Dương Xuân Hiệp1, Phạm Quý Mười2,.

Dương Xuân Hiệp, Phạm Quý Mười, Phan Đức Tuấn 62 PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN CHO BÀI TOÁN BÙ PHI TUYẾN SEMISMOOTH NEWTON METHOD FOR NONLINEAR COMPLEMENTARITY PROBLEMS Dương Xuân Hiệp1, Phạm Quý Mười2, Phan Đức Tuấn2* Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng Tác giả liên hệ: pdtuan@ued.udn.vn (Nhận bài: 30/4/2022; Chấp nhận đăng: 29/8/2022) Tóm tắt - Trong báo này, nhóm tác giả nghiên cứu phương pháp Newton nửa trơn cho tốn bù phi tuyến khơng gian ℝ𝑛 Sử dụng hàm NCP 𝜙(𝑎, 𝑏) = min{𝑎, 𝑏}, nhóm tác giả chuyển tốn bù phi tuyến tốn tìm nghiệm phương trình khơng trơn khơng gian ℝ𝑛 Để áp dụng phương pháp Newton nửa trơn cho phương trình khơng trơn vừa nhận được, nghiên cứu tính khả vi Newton hàm số NCP hàm số bên trái phương trình Tính khả nghịch bị chặn đạo hàm Newton hàm số chứng minh với số điều kiện phù hợp Từ đó, trình bày phương pháp Newton nửa trơn để giải phương trình khơng trơn Phương pháp chứng minh có tốc độ hội tụ bậc hai địa phương đến nghiệm tốn Đây kết báo Abstract - In this paper, we study the semismooth Newton method for nonlinear complementarity problem in space ℝ𝑛 Using NCP function 𝜙(𝑎, 𝑏) = min{𝑎, 𝑏}, we rewrite the problem as a nonsmooth equation in space ℝ𝑛 In order to apply the semismooth Newton method to this nonsmooth equation, we study the Newton differentiability of NCP function and the function on the right hand side of the equation The inverse property and boundedness of Newton derivative of the function on the right hand side of the equation is obtained under some mild conditions Then, we present the semismooth Newton method to solve the equation The method is proved to have the local convergence rate of second order This is a main result in this paper Từ khóa - Đạo hàm Newton; Khả vi Newton; đạo hàm Newton mạnh; Khả vi Newton mạnh; Phương pháp Newton nửa trơn Key words - Newton Derivative; Newton differential; Strong Newton Derivative; Strong Newton differential; Semismooth Newton method Đặt vấn đề Trong báo này, nhóm tác giả kí hiệu 𝐼 = {1,2, , 𝑛} nghiên cứu tốn bù phi tuyến 𝑁𝐶𝑃(𝐹) sau: Tìm 𝑥 ∈ ℝ𝑛 thỏa mãn 𝑥𝑖 ≥ 0, 𝐹𝑖 (𝑥) ≥ 0, 𝑥𝑖 𝐹𝑖 (𝑥) = 0, ∀𝑖 ∈ 𝐼, (1) Trong đó, hàm số 𝐹: ℝ𝑛 → ℝ𝑛 xác định 𝐹(𝑥) = (𝐹1 (𝑥), 𝐹2 (𝑥), , 𝐹𝑛 (𝑥)) hàm khả vi liên tục 𝑥 = (𝑥1 , 𝑥2 , , 𝑥𝑛 ) ∈ ℝ𝑛 Bài toán bù phi tuyến áp dụng nhiều ứng dụng nghiên cứu toán tử, hệ cân kinh tế khoa học kĩ thuật giới thiệu lần đầu luận án tiến sĩ Cottle năm 1964 Phương pháp thường dùng để giải toán bù phi tuyến đưa tốn tìm nghiệm phương trình tương đương Sau đó, sử dụng phương pháp số để tìm nghiệm phương trình Một phương pháp thường sử dụng đưa tốn 𝑁𝐶𝑃(𝐹) giải hệ phương trình Φ(𝑥) = Mangasarian giới thiệu [1] sử dụng giải thuật Newton để tìm nghiệm Hiện nay, có số kỹ thuật để đưa toán 𝑁𝐶𝑃(𝐹) tốn giải hệ Φ(𝑥) = hàm Φ(𝑥) chọn khác nhau, xem [2, 3, 4, 5, 6, 7] Tuy nhiên, hàm Φ hàm không trơn nên người ta cần mở rộng giải thuật Newton cho toán 𝑁𝐶𝑃(𝐹) Cách tiếp cận thứ sử dụng giải thuật Newton nửa trơn cho hàm Φ(𝑥) dựa khái niệm vi phân Clarke [8], Qi Sun [9] Một giải thuật Newton nửa trơn đưa sớm Harker Pang [10] phát triển Kanzow [11] Tuy nhiên, với cách chọn hàm Φ(𝑥) gồm hàm thành phần 𝜙(𝑎, 𝑏) = min{𝑎, 𝑏}, viết nghiên cứu cho toán bù phi tuyến với 𝐹 hàm tuyến tính Một cách tiếp cận khác sử dụng hàm Φ gồm hàm thành phần 𝜙(𝑎, 𝑏) = √𝑎2 + 𝑏 − (𝑎 + 𝑏) FisherBurmeister, xem [3, 4] Sau này, giải thuật cải tiến để nhận hội tụ toàn cục tốc độ hội tụ tuyến tính Luca [6], Qi [12], Facchine Soares [2] Một ưu điểm phương pháp áp dụng linh hoạt cho toán bù phi tuyến 𝑁𝐶𝑃(𝐹) Cách tiếp cận thứ hai sử dụng rộng rãi năm gần xấp xỉ hàm Φ(𝑥) hàm Φ𝜇 (𝑥) với 𝜇 > 0, gọi tham số trơn hóa, thỏa mãn lim𝜇→0 Φ𝜇 (𝑥) = Φ(𝑥) Từ đây, thay giải hệ Φ(𝑥) = 0, ta giải hệ Φ𝜇 (𝑥) = Phương pháp có ưu điểm áp dụng trực tiếp giải thuật Newton để tìm nghiệm trực tiếp tốn Đến nay, có nhiều báo sử dụng phương pháp Kanzow [5, 13] Kỹ thuật để đưa toán bù phi tuyến 𝑁𝐶𝑃(𝐹) tốn tìm nghiệm phương trình phi tuyến sử dụng hàm 𝑁𝐶𝑃 Hàm 𝑁𝐶𝑃 ánh xạ 𝜑: ℝ2 → ℝ có tính chất 𝜑(𝑎, 𝑏) = ⇔ 𝑎 ≥ 0, 𝑏 ≥ 0, 𝑎𝑏 = Trong báo này, nhóm tác giả dùng hàm 𝑁𝐶𝑃 cụ thể Đó hàm 𝜑 xác định 𝜑(𝑎, 𝑏) = 𝑚𝑖𝑛{𝑎, 𝑏} Vietnam Academy of Science and Technology - Institute of Mathematics (Duong Xuan Hiep) The University of Danang - University of Science and Education (Pham Quy Muoi, Phan Duc Tuan) (2) ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 20, NO 9, 2022 𝑛 𝑛 Lúc này, ta định nghĩa toán tử Φ: ℝ → ℝ xác định 𝜑(𝑥1 , 𝐹1 (𝑥)) Φ(𝑥) = ( ⋮ ), (3) 𝜑(𝑥n , 𝐹𝑛 (𝑥)) ta có: 𝑥 ∗ nghiệm toán 𝑁𝐶𝑃(𝐹) 𝑥 ∗ nghiệm phương trình Φ(𝑥) = Vì vậy, giải tốn 𝑁𝐶𝑃(𝐹) tương đương với việc giải phương trình phi tuyến Φ(𝑥) = Trong phần báo, nhóm tác giả trình bày phương pháp Newton nửa trơn để giải phương trình Φ(𝑥) = với Φ hàm cho (3) Một số tính chất tốn tử 𝚽 Bổ đề 2.1 Hàm 𝜑 xác định (2) hàm liên tục Lipschitz khả vi theo hướng điểm ℝ2 Chứng minh Trước hết, dễ dàng nhận thấy hàm 𝜑 xác định (2) biểu diễn dạng lim 𝜆→0 |𝜑(𝑥+𝜆𝑑)−𝜑(𝑥)| 𝜆 = lim+ 𝑑1 = 𝑑1 𝜆→0 Do đó, 𝜑 ′ (𝑥; 𝑑) = 𝑑1 Tương tự, 𝑎 > 𝑏 ′ 𝜑 (𝑥; 𝑑) = 𝑑2 Nếu 𝑎 = 𝑏 ′ 𝜑 (𝑥; 𝑑) = lim+ 𝜆→0 = lim+ 𝜆→0 |𝜑(𝑥+𝜆𝑑)−𝜑(𝑥)| 𝜆 [(𝑑1 +𝑑2 )−|𝑑1 −𝑑2 |] = min{𝑑1 , 𝑑2 } Vậy, Bổ đề 2.1 chứng minh Định nghĩa 2.1 Cho 𝑈 tập mở Ω ⊂ ℝ𝑛 𝑓 ánh xạ xác định Ω Ánh xạ 𝑓: Ω → ℝ𝑛 gọi khả vi Newton 𝑥 ∈ 𝑈 tồn ánh xạ 𝐹: 𝑈 → ℒ(Ω, ℝ𝑛 ) cho = 0, (4) Trong đó, ℒ(Ω, ℝ ) tập phiếm hàm tuyến tính liên tục từ Ω vào ℝ𝑛 Khi đó, 𝐹 gọi đạo hàm Newton 𝑓 𝑥 Định nghĩa 2.2 Cho 𝑈 tập mở Ω ⊂ ℝ𝑛 𝑓 ánh xạ xác định Ω Ánh xạ 𝑓: Ω → ℝ𝑛 gọi khả vi Newton mạnh 𝑥 ∈ 𝑈 tồn ánh xạ 𝐹: 𝑈 → ℒ(Ω, ℝ𝑛 ) cho Lim ||𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)−𝐹(𝑥+ℎ)ℎ|| ||ℎ||2 ℎ→0 = (5) Khi đó, 𝐹 gọi đạo hàm Newton mạnh 𝑓 𝑥 Định lí 2.1 Hàm 𝜑 xác định (2) khả vi Newton mạnh điểm với đạo hàm Newton mạnh cho ma trận cỡ × sau: 𝐺(𝑦) = (𝜑1 (𝑦) 𝜑2 (𝑦)), 𝑦 = (𝑦1 , 𝑦2 ) ∈ ℝ2 , 1, 𝑛ế𝑢 𝑦1 < 𝑦2 , 𝜑1 (𝑦) = 𝜑1 (𝑦1 , 𝑦2 ) = {0, 𝑛ế𝑢 𝑦1 > 𝑦2 , , 𝑛ế𝑢 𝑦1 = 𝑦2 𝜑 ′ (𝑥; 𝑑) = lim+ 63 𝑛 𝜑(𝑎, 𝑏) = [𝑎 + 𝑏 − |𝑎 − 𝑏|] Nếu 𝑎 < 𝑏 ta chọn 𝜆 → 0+ đủ bé cho 𝑎 + 𝜆𝑑1 < 𝑏 + 𝜆𝑑2 Khi đó, ||ℎ|| ℎ→0 Khi với 𝑥 = (𝑎1 , 𝑏1 ); 𝑦 = (𝑎1 , 𝑏2 ) ∈ ℝ2 , ta có: |𝜑(𝑥) − 𝜑(𝑦)| ≤ [|(𝑎1 − 𝑎2 ) + (𝑏1 − 𝑏2 )| + |𝑎1 − 𝑏1 | − |𝑎2 − 𝑏2 |] ≤ (|(𝑎1 − 𝑎2 ) + (𝑏1 − 𝑏2 )| + |(𝑎1 − 𝑎2 ) − (𝑏1 − 𝑏2 )|) ≤ (|(𝑎1 − 𝑎2 ) + (𝑏1 − 𝑏2 )| + |(𝑎1 − 𝑎2 ) − (𝑏1 − 𝑏2 )|) ≤ 2√2√(𝑎1 − 𝑎2 )2 + (𝑏1 − 𝑏2 )2 ≤ √2|𝑥 − 𝑦| Do đó, hàm 𝜑 xác định (2) hàm liên tục Lipschitz với số Lipschitz 𝐿 = √2 Tiếp theo, ta chứng minh hàm 𝜑 xác định (2) khả vi theo hướng điểm 𝑥 = (𝑎, 𝑏) ∈ ℝ2 với đạo hàm theo hướng 𝑑 = (𝑑1 , 𝑑2 ) ∈ ℝ2 xác định 𝑑1 , 𝑎 < 𝑏, 𝑎 > 𝑏, 𝜑 ′ (𝑥; 𝑑) = {𝑑2 , min{𝑑1 , 𝑑2 }, 𝑎 = 𝑏 ||𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)−𝐹(𝑥+ℎ)ℎ|| 0, 𝑛ế𝑢 𝑦1 < 𝑦2 , 𝜑2 (𝑦) = 𝜑2 (𝑦1 , 𝑦2 ) = {1, 𝑛ế𝑢 𝑦1 > 𝑦2 , , 𝑛ế𝑢 𝑦1 = 𝑦2 Chứng minh Ta chứng minh 𝐺(𝑦) ∈ ℒ(Ω, ℝ𝑛 ) Thật vậy, 𝐺(𝑦)(⋅) phiếm hàm tuyến tính Nếu 𝑦1 < 𝑦2 ||𝐺(𝑦)|| = sup ||𝐺(𝑦)ℎ|| ≤ ||ℎ||=1 Nếu 𝑦1 > 𝑦2 tương tự trên, ta có ||𝐺(𝑦)|| ≤ Nếu 𝑦1 = 𝑦2 ||𝐺(𝑦)|| = sup ||𝐺(𝑦)ℎ|| = ||ℎ||=1 𝑛 Vậy, ta có 𝐺 ∈ ℒ(Ω, ℝ ) ||𝐺(𝑦)|| ≤ với 𝑦 Tiếp theo, chứng minh 𝐺 đạo hàm Newton mạnh 𝜑 Thật vậy, với 𝑦 = (𝑦1 , 𝑦2 ) ∈ ℝ2 ℎ = (ℎ1 , ℎ2 ) ∈ ℝ2 Nếu 𝑦1 < 𝑦2 ℎ → nên ta chọn ℎ cho 𝑦1 + ℎ1 < 𝑦2 + ℎ2 Khi đó, ||𝜑(𝑦+ℎ)−𝜑(𝑦)−𝐺(𝑦+ℎ)ℎ|| lim ||ℎ||2 ℎ→0 = lim ℎ→0 ||(𝑦1 +ℎ1 )−𝑦1 −ℎ1 || ||ℎ||2 = Nếu 𝑦1 > 𝑦2 tương tự ta chọn ℎ cho 𝑦1 + ℎ1 > 𝑦2 + ℎ2 Khi đó, ta thu ||𝜑(𝑦+ℎ)−𝜑(𝑦)−𝐺(𝑦+ℎ)ℎ|| lim ||ℎ||2 ℎ→0 = Nếu 𝑦1 = 𝑦2 ta xét trường hợp sau: Trường hợp ℎ1 < ℎ2 : lim ||𝜑(𝑦+ℎ)−𝜑(𝑦)−𝐺(𝑦+ℎ)ℎ|| ||ℎ||2 ℎ→0 = lim ℎ→0 ||(𝑦1 +ℎ1 )−𝑦1 −ℎ1 || ||ℎ||2 = Dương Xuân Hiệp, Phạm Quý Mười, Phan Đức Tuấn 64 Trường hợp ℎ1 > ℎ2 : tương tự Trường hợp ℎ1 = ℎ2 : Nếu 𝑥𝑖 + 𝜔𝑖 > 𝐹𝑖 (𝑥 + 𝜔) tương tự trường hợp 𝑖 ∈ 𝛽, ta có ||𝜑(𝑦+ℎ)−𝜑(𝑦)−𝐺(𝑦+ℎ)ℎ|| lim lim ℎ→0 = lim 2 ||ℎ|| ||(𝑦1 +ℎ1 )−𝑦1 − (ℎ1 +ℎ2 )|| ℎ→0 𝜕𝐹𝑖 𝜕𝑥𝑗 lim ) 𝑙à 𝑚𝑎 𝑡𝑟ậ𝑛 𝐽𝑎𝑐𝑜𝑏𝑖 𝑐ủ𝑎 𝑓 𝑡ạ𝑖 𝑥 Chứng minh Với 𝑥 ∈ ℝ𝑛 𝜔 ∈ ℝ𝑛 , xét hiệu Φ(𝑥 + 𝜔) − Φ(𝑥) − Φ′ (𝑥 + 𝜔)𝜔 Bằng cách khai triển tính tốn trực tiếp ta thu vectơ biểu diễn hiệu với hàng thứ 𝑖 xác định 𝑀𝑖 = 𝜑(𝑥𝑖 + 𝜔𝑖 , 𝐹𝑖 (𝑥 + 𝜔)) − 𝜑(𝑥𝑖 , 𝐹𝑖 (𝑥)) −𝜑1 (𝑥𝑖 + 𝜔𝑖 , 𝐹𝑖 (𝑥 + 𝜔))𝜔𝑖 −𝜑2 (𝑥𝑖 + 𝜔𝑖 , 𝐹𝑖 (𝑥 + 𝜔)) ∑𝑛𝑗=1 𝜕𝐹𝑖 𝜕𝑥𝑗 𝜔𝑗 Đặt 𝛼 = {𝑗|𝑥𝑗 < 𝐹𝑗 (𝑥)}, 𝛽 = {𝑗|𝑥𝑗 > 𝐹𝑗 (𝑥)}, 𝛾 = {𝑗|𝑥𝑗 = 𝐹𝑗 (𝑥)} Ta xét trường hợp sau: Với 𝑖 ∈ 𝛼, chọn 𝜔 đủ bé cho 𝑥𝑖 + 𝜔𝑖 < 𝐹𝑖 (𝑥 + 𝜔), ta có: lim |𝑀𝑖 | 𝜔→0 ||𝜔|| = lim 𝜔→0 |𝑥𝑖 +𝜔𝑖 −𝑥𝑖 −𝜔𝑖 | ||𝜔|| = Với 𝑖 ∈ 𝛽, chọn 𝜔 đủ bé cho 𝑥𝑖 + 𝜔𝑖 > 𝐹𝑖 (𝑥 + 𝜔), ta có: 𝜕𝐹 lim |𝑀𝑖 | 𝜔→0 ||𝜔|| = lim 𝜔→0 𝑖 |𝐹𝑖 (𝑥+𝜔)−𝐹𝑖 (𝑥)−∑𝑛 𝑗=1 𝜕𝑥 𝜔𝑗 | 𝑗 ||𝜔|| = 𝐹𝑖 hàm khả vi Với 𝑖 ∈ 𝛾, ta có Nếu 𝑥𝑖 + 𝜔𝑖 < 𝐹𝑖 (𝑥 + 𝜔) tương tự trường hợp 𝑖 ∈ 𝛼, ta có lim |𝑀𝑖 | 𝜔→0 ||𝜔|| = = Nếu 𝑥𝑖 + 𝜔𝑖 = 𝐹𝑖 (𝑥 + 𝜔), ta có = Do 𝐺 đạo hàm Newton mạnh hàm 𝜑 xác định (2) điểm Định lí 2.2 Hàm 𝛷 xác định 𝜑(𝑥1 , 𝐹1 (𝑥)) 𝛷(𝑥) = ( ⋮ ), 𝜑(𝑥𝑛 , 𝐹𝑛 (𝑥)) khả vi Newton mạnh điểm 𝑥 ∈ ℝ𝑛 với đạo hàm Newton mạnh cho 𝛷 ′ (𝑥) = 𝐴(𝑥) + 𝐵(𝑥)𝐹 ′ (𝑥), (6) Trong 𝜑1 (𝑥1 , 𝐹1 (𝑥)) … ⋱ ⋮ 𝐴(𝑥) = (⋮ ), … 𝜑1 (𝑥𝑛 , 𝐹𝑛 (𝑥)) 𝜑2 (𝑥1 , 𝐹1 (𝑥)) … ⋱ ⋮ 𝐵(𝑥) = (⋮ ), … 𝜑2 (𝑥𝑛 , 𝐹𝑛 (𝑥)) 𝐹 ′ (𝑥) = ( |𝑀𝑖 | 𝜔→0 ||𝜔|| ||ℎ||2 |𝑀𝑖 | 𝜔→0 ||𝜔|| = lim 𝜕𝐹𝑖 𝜔 | 𝜕𝑥𝑗 𝑗 ||𝜔|| 𝜔→0 = lim |𝐹𝑖 (𝑥+𝜔)−𝐹𝑖 (𝑥)− 𝜔𝑖 − ∑𝑛 𝑖=1 𝜕𝐹𝑖 1 |2(𝐹𝑖 (𝑥+𝜔)−𝐹𝑖 (𝑥)−2 ∑𝑛 𝑖=1 𝜕𝑥 𝜔𝑗 )| 𝑗 ||𝜔|| 𝜔→0 = Do đó, tất trường hợp ta có lim 𝜔→0 ||Φ(𝑥+𝜔)−Φ(𝑥)−Φ′ (𝑥+𝜔)𝜔|| ||𝜔|| ≤ ∑𝑛𝑖=1 lim |𝑀𝑖 | 𝜔→0 ||𝜔|| = Vậy Φ′ xác định (6) đạo hàm Newton mạnh hàm Φ Định nghĩa 2.3 Một ma trận 𝑀 ∈ ℝ𝑛×𝑛 gọi 𝑃-ma trận với 𝑥 ∈ ℝ𝑛 \{0}, tồn tập số 𝑖0 = 𝑖0 (𝑥) ⊂ 𝐼 cho 𝑥𝑖0 [𝑀𝑥]𝑖0 > Định lí 2.3 Giả sử 𝐹 ′ (𝑥) 𝑃-ma trận Khi đó, đạo hàm Newton 𝛷 xác định (6) khả nghịch Chứng minh Dễ thấy 𝐴(𝑥) 𝐵(𝑥) ma trận đường chéo xác định dương Hơn 𝐴(𝑥) + 𝐵(𝑥) xác định dương nên với giả thiết 𝐹 ′ (𝑥) 𝑃 −ma trận, theo Định lí 2.7 [13] ta có điều phải chứng minh Trong [14], ta biết với 𝐴, 𝐵 ma trận vuông 𝐶 ma trận có chiều thích hợp (𝐴 + 𝐶𝐵𝐶 𝑇 )−1 = 𝐴−1 − 𝐴−1 𝐶(𝐵−1 + 𝐶 𝑇 𝐴−1 𝐶)−1 𝐶 𝑇 𝐴−1 Xét ma trận vng khối có dạng 𝐴 𝐵 𝑀=( ), (7) 𝐶 𝐷 Trong đó, 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 ma trận cỡ 𝑘 × 𝑚, 𝑘 × 𝑛, 𝑙 × 𝑚 𝑙 × 𝑛 cho 𝑘 + 𝑙 = 𝑚 + 𝑛 Khi đó, theo [15] [16] ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 2.1 (i) Giả sử 𝐴 khả nghịch Khi đó, ma trận khối 𝑀 xác định (7) khả nghịch phần bù Schur 𝐷 − 𝐶𝐴−1 𝐵 𝐴 khả nghịch 𝑚11 𝑚12 𝑀−1 = (𝑚 ), 21 𝑚22 𝑚11 = 𝐴−1 + 𝐴−1 𝐵(𝐷 − 𝐶𝐴−1 𝐵)−1 𝐶𝐴−1 , 𝑚12 = −𝐴−1 𝐵(𝐷 − 𝐶𝐴−1 𝐵)−1 , 𝑚21 = −(𝐷 − 𝐶𝐴−1 𝐵)−1 𝐶𝐴−1 , 𝑚22 = (𝐷 − 𝐶𝐴−1 𝐵)−1 (ii) Giả sử 𝐷 ma trận khả nghịch Khi đó, ma trận khối 𝑀 xác định (7) khả nghịch phần bù Schur 𝐴 − 𝐵𝐷 −1 𝐶 𝐷 khả nghịch 𝑚11 𝑚12 𝑀−1 = (𝑚 ), 21 𝑚22 𝑚11 = (𝐴 − 𝐵𝐷 −1 𝐶)−1 , ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 20, NO 9, 2022 −1 −1 −1 𝑚12 = −(𝐴 − 𝐵𝐷 𝐶) 𝐵𝐷 , 𝑚21 = −𝐷 −1 𝐶(𝐴 − 𝐵𝐷 −1 𝐶)−1 , 𝑚22 = 𝐷 −1 + 𝐷 −1 𝐶(𝐴 − 𝐵𝐷 −1 𝐶)−1 𝐵𝐷 −1 Với 𝑥 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) ∈ ℝ𝑛 𝐹 = (𝐹1 , 𝐹2 , … , 𝐹𝑛 ), ta kí hiệu tập số sau 𝛼 = {𝑖 ∈ 𝐼|𝑥𝑖 < 𝐹𝑖 (𝑥)}, 𝛽 = {𝑖 ∈ 𝐼|𝑥𝑖 > 𝐹𝑖 (𝑥)}, 𝛾 = {𝑖 ∈ 𝐼|𝑥𝑖 = 𝐹𝑖 (𝑥)} Cho M ma trận vuông cấp cấp 𝑛 Ta kí hiệu 𝑀𝛼𝛽 ma trận 𝑀 ứng với hàng 𝛼 cột 𝛽 Từ đây, ta định nghĩa ma trận ma trận Jacobi 𝐹 ′ (𝑥) = ( 𝜕𝐹𝑖 𝜕𝑥𝑗 ) = (𝐹𝑖𝑗′ ) ′ 𝐹𝜇𝜌 = (𝐹𝑖𝑗′ ), 𝑖 ∈ 𝜇, 𝑗 ∈ 𝜌, với 𝜇, 𝜌 tập số ma trận Jacobi 𝐹 ′ (𝑥) Khi đó, tính khả nghịch ma trận ′ ′ 𝐹𝛽𝛽 (𝑥) 𝐹𝛽𝛾 (𝑥) 𝑀(𝑥) = ( ′ ), ′ 𝐹𝛾𝛽 (𝑥) 𝐹𝛾𝛾 (𝑥) + 𝐼𝛾𝛾 đưa định lí sau ′ Định lí 2.4 (i) Nếu với 𝑥 ∈ ℝ𝑛 , 𝐹𝛽𝛽 (𝑥) khả nghịch ′ phần bù Schur 𝐹𝛽𝛽 (𝑥) khả nghịch 𝛷 ′ (𝑥) xác định (6) khả nghịch ′ (ii) Nếu với 𝑥 ∈ ℝ𝑛 , 𝐹𝛾𝛾 (𝑥) + 𝐼𝛾𝛾 khả nghịch ′ phần bù Schur 𝐹𝛾𝛾 (𝑥) + 𝐼𝛾𝛾 khả nghịch 𝛷 ′ (𝑥) xác định (6) khả nghịch Chứng minh Với 𝑥 ∈ ℝ𝑛 , ta có 𝜑1 (𝑥𝑖 , 𝐹𝑖 (𝑥)) = 1, 𝜑2 (𝑥𝑖 , 𝐹𝑖 (𝑥)) = 0, ∀𝑖 ∈ 𝛼, 𝜑1 (𝑥𝑖 , 𝐹𝑖 (𝑥)) = 0, 𝜑2 (𝑥𝑖 , 𝐹𝑖 (𝑥)) = 1, ∀𝑖 ∈ 𝛽, 1 2 𝜑1 (𝑥𝑖 , 𝐹𝑖 (𝑥)) = , 𝜑2 (𝑥𝑖 , 𝐹𝑖 (𝑥)) = , ∀𝑖 ∈ 𝛾 Do đó, để đơn giản kí hiệu ta viết lại ma trận 𝐴(𝑥), 𝐵(𝑥), 𝐹 ′ (𝑥), Φ′ (𝑥) dạng 𝐼𝛼 0 𝐴(𝑥): = 𝐴 = (0 0𝛽 ), 0𝛼 𝐵(𝑥): = 𝐵 = (0 ′ 𝐹𝛼𝛼 ′ 𝐹 ′ (𝑥): = 𝐹 ′ = (𝐹𝛽𝛼 ′ 𝐹𝛾𝛼 𝐼 𝛾 𝐼𝛽 0 ), 𝐼𝛾 ′ 𝐹𝛼𝛾 ′ 𝐹𝛽𝛾 ), ′ 𝐹𝛾𝛾 Khi đó, với 𝑑, 𝑦 ∈ ℝ𝑛 bất kì, ta có Φ′ 𝑑 = 𝑦 𝑑𝛼 ′ ′ ′ ⇔ {𝐹𝛽𝛼 𝑑𝛼 + 𝐹𝛽𝛽 𝑑𝛽 + 𝐹𝛽𝛾 𝑑𝛾 Phương pháp Newton nửa trơn Trong phần này, nhóm tác giả trình bày giải thuật Newton nửa trơn cho toán bù phi tuyến Giải thuật mô tả sau: Chọn 𝑥 ∈ ℝ𝑛 Với 𝑘 ≥ 0, xét dãy {𝑥 𝑘 } xác định 𝑥 𝑘+1 = 𝑥 𝑘 − Φ′ (𝑥 𝑘 )Φ(𝑥 𝑘 ) Giả thiết Cho Ω ⊂ ℝ𝑛 tập mở khác rỗng Xét ma trận ′ ′ 𝐹𝛽𝛽 (𝑥) 𝐹𝛽𝛾 (𝑥) 𝑀(𝑥) = ( ′ ), ′ 𝐹𝛾𝛽 (𝑥) 𝐹𝛾𝛾 (𝑥) + 𝐼𝛾𝛾 với 𝛽 = {𝑖 ∈ 𝐼|𝑥𝑖 > 𝐹𝑖 (𝑥)}, 𝛾 = {𝑖 ∈ 𝐼|𝑥𝑖 = 𝐹𝑖 (𝑥)} Giả sử hai điều kiện sau thỏa mãn ′ • 𝐹𝛽𝛽 (𝑥) khả nghịch bị chặn Ω Phần bù ′ Schur 𝐹𝛽𝛽 (𝑥) khả nghịch bị chặn Ω ′ • 𝐹𝛾𝛾 (𝑥) + 𝐼𝛾𝛾 khả nghịch bị chặn Ω Phần bù ′ Schur 𝐹𝛾𝛾 (𝑥) + 𝐼𝛾𝛾 khả nghịch bị chặn Ω Định lí 3.1 Giả sử Giả thiết thỏa mãn Khi đó, đạo hàm 𝛷 ′ (𝑥) khả nghịch với 𝑥 ∈ Ω [𝛷 ′ (𝑥)]−1 bị chặn 𝐷 Hơn ′ (𝑥) ∥ 3+∥ 𝐹𝛽𝛼 ||𝛷 ′ (𝑥)−1 || ≤ 1+∥ 𝑀−1 (𝑥) ∥ ( ), ′ +∥ 𝐹𝛾𝛼 (𝑥) ∥ 𝑀(𝑥) = ( = 𝑦𝛼 = 𝑦𝛽 1 2 ′ ′ ′ 𝑑𝛾 + 𝐹𝛾𝛼 𝑑𝛼 + 𝐹𝛾𝛽 𝑑𝛽 + 𝐹𝛾𝛾 𝑑𝛾 ′ ′ 𝐹𝛽𝛽 (𝑥) 𝐹𝛽𝛾 (𝑥) ), ′ ′ 𝐹𝛾𝛽 (𝑥) 𝐹𝛾𝛾 (𝑥) + 𝐼𝛾𝛾 ′ có nghiệm Hơn nữa, hệ có nghiệm ma trận khối ′ ′ 𝐹𝛽𝛽 𝐹𝛽𝛾 𝑀=( ′ ) ′ 𝐹𝛾𝛽 𝐹𝛾𝛾 + 𝐼𝛾𝛾 Φ𝛼′ ′ Φ (𝑥): = Φ = (Φ𝛽 ) Φ𝛾′ ′ Từ suy Φ′ khả nghịch hệ phương trình ′ ′ ′ 𝐹𝛽𝛽 𝑑𝛽 + 𝐹𝛽𝛾 𝑑𝛾 = 𝑦𝛽 − 𝐹𝛽𝛼 𝑑𝛼 { ′ ′ ′ 𝐹𝛾𝛽 𝑑𝛽 + (𝐹𝛾𝛾 + 𝐼𝛾𝛾 )𝑑𝛾 = 2𝑦𝛾 − 𝐹𝛾𝛼 𝑑𝛼 ′ 𝐹𝛼𝛽 ′ 𝐹𝛽𝛽 ′ 𝐹𝛾𝛽 = 𝑦𝛼 ′ = 𝑦𝛽 − 𝐹𝛽𝛼 𝑑𝛼 ′ = 2𝑦𝛾 − 𝐹𝛾𝛼 𝑑𝛼 khả nghịch Do đó, ma trận đạo hàm Φ′ khả nghịch ma trận khối 𝑀 xác định khả nghịch Theo Định lí 2.1 ta có kết luận (i) (ii) 𝑓 𝑥: 1≤𝑖,𝑗≤𝑛 𝑑𝛼 ′ ′ ⇔ {𝐹𝛽𝛽 𝑑𝛽 + 𝐹𝛽𝛾 𝑑𝛾 ′ ′ 𝐹𝛾𝛽 𝑑𝛽 + (𝐹𝛾𝛾 + 𝐼𝛾𝛾 )𝑑𝛾 65 = 𝑦𝛾 𝛼 = {𝑖 ∈ 𝐼|𝑥𝑖 < 𝐹𝑖 (𝑥)}, 𝛽 = {𝑖 ∈ 𝐼|𝑥𝑖 > 𝐹𝑖 (𝑥)}, 𝛾 = {𝑖 ∈ 𝐼|𝑥𝑖 = 𝐹𝑖 (𝑥)} Chứng minh Theo Định lí 2.4, Φ′ (𝑥) khả nghịch Phần cịn lại định lí chứng minh tương tự chứng minh Bổ đề 3.6 [17] Bổ đề 3.4 [18] Thật vậy, với 𝑑, 𝑦 ∈ ℝ𝑛 cho Φ′ (𝑥)𝑑 = 𝑦, từ chứng minh Định lí 2.4 tính khả nghịch Φ′ (𝑥), ta có 𝑑𝛼 𝑦𝛼 (Φ′ (𝑥))−1 𝑦 = 𝑑 = (𝑑𝛽 ) = ( −1 ), 𝑀 (𝑥)𝑁(𝑥) 𝑑𝛾 Dương Xuân Hiệp, Phạm Quý Mười, Phan Đức Tuấn 66 𝑁(𝑥) = ′ 𝑦𝛽 − 𝐹𝛽𝛼 (𝑥)𝑦𝛼 ( ) ′ 2𝑦𝛾 − 𝐹𝛾𝛼 (𝑥)𝑦𝛼 Từ suy 𝑦𝛼 ∥ Φ′ (𝑥))−1 𝑦 ∥= ‖( −1 )‖ 𝑀 (𝑥)𝑁(𝑥) ≤∥ 𝑦𝛼 ∥ +∥ 𝑀−1 (𝑥) ∥∥ 𝑁(𝑥) ∥ Hơn nữa, ′ ′ ∥ 𝑁(𝑥) ∥≤∥ 𝑦𝛽 − 𝐹𝛽𝛼 (𝑥)𝑦𝛼 ∥ +∥ 2𝑦𝛾 − 𝐹𝛾𝛼 (𝑥)𝑦𝛼 ∥ ′ ′ ≤∥ 𝑦𝛽 ∥ +∥ 𝐹𝛽𝛼 (𝑥) ∥∥ 𝑦𝛼 ∥ +2 ∥ 𝑦𝛾 ∥ +∥ 𝐹𝛾𝛼 (𝑥) ∥∥ 𝑦𝛼 ∥ Do đó, ∥ (Φ′ (𝑥))−1 𝑦 ∥ ′ ≤∥ 𝑦𝛼 ∥ +∥ 𝑀−1 (𝑥) ∥ (∥ 𝑦𝛽 ∥ +∥ 𝐹𝛽𝛼 (𝑥) ∥∥ 𝑦𝛼 ∥ ′ +2 ∥ 𝑦𝛾 ∥ +∥ 𝐹𝛾𝛼 (𝑥) ∥∥ 𝑦𝛼 ∥) ′ ′ ≤ (1+∥ 𝑀−1 (𝑥) ∥ (1+∥ 𝐹𝛽𝛼 (𝑥) ∥ +2+∥ 𝐹𝛾𝛼 (𝑥) ∥)) ∥ 𝑦 ∥ ′ ′ ≤ (1+∥ 𝑀−1 (𝑥) ∥ (3+∥ 𝐹𝛽𝛼 (𝑥) ∥ +∥ 𝐹𝛾𝛼 (𝑥) ∥)) ∥ 𝑦 ∥ Định lí 3.2 Giả sử hàm 𝐹 thỏa mãn Giả thiết Khi đó, với 𝑥 ∈ ℝ𝑛 đủ gần nghiệm 𝑥 ∗ ∈ Ω phương trình 𝛷(𝑥) = giải thuật Newton nửa trơn xác định 𝑥 𝑘+1 = 𝑥 𝑘 − [𝛷 ′ (𝑥 𝑘 )]−1 𝛷(𝑥 𝑘 ), hội tụ bậc hai nghiệm 𝑥 ∗ Chứng minh Vì Giả thiết thỏa mãn nên tồn 𝑀 > cho ∥ [Φ(𝑥)]−1 ∥≤ 𝑀 với 𝑥 ∈ Ω Mặt khác, Φ hàm khả vi Newton mạnh nên tồn 𝜖 ∈ (0,1) cho với 𝑥 ∈ 𝐵(𝑥 ∗ , 𝜖) ta có 𝜖 ∥ Φ(𝑥) − Φ(𝑥 ∗ ) − Φ′(𝑥)(𝑥 − 𝑥 ∗ ) ∥≤ ∥ 𝑥 − 𝑥 ∗ ∥2 𝑀 Khi đó, với 𝑥0 ∈ 𝐵(𝑥 ∗ , 𝜖) giả sử 𝑥𝑘 ∈ 𝐵(𝑥 ∗ , 𝜖), ta có ∥ 𝑥𝑘+1 − 𝑥 ∗ ∥ =∥ 𝑥𝑘 − 𝑥 ∗ − [Φ′ (𝑥 𝑘 )]−1 Φ(𝑥 𝑘 ) + [Φ′ (𝑥 𝑘 )]−1 Φ(𝑥 ∗ ) ∥ ≤ ‖[Φ′ (𝑥 𝑘 )]−1 ‖ ∥ Φ(𝑥𝑘 ) − Φ(𝑥 ∗ ) − Φ′(𝑥𝑘 )(𝑥𝑘 − 𝑥 ∗ ) ∥ ≤𝑀 𝜖 𝑀 ∥ 𝑥𝑘 − 𝑥 ∗ ∥2 = 𝜖 ∥ 𝑥𝑘 − 𝑥 ∗ ∥2 Điều rằng, 𝑥𝑘+1 ∈ 𝐵(𝑥 ∗ , 𝜖) dãy {𝑥𝑘 } hội tụ bậc hai nghiệm 𝑥 ∗ Kết luận Trong báo này, trình bày giải thuật Newton nửa trơn cho tốn bù phi tuyến Nhóm tác giả sử dụng hàm NCP 𝜙(𝑎, 𝑏) = min{𝑎, 𝑏} để đưa tốn bù phi tuyến tốn tìm nghiệm phương trình Φ(𝑥) = Nghiên cứu chứng minh rằng, hàm Φ khả vi Newton mạnh phương pháp Newton nửa trơn hội tụ địa phương bậc hai đến nghiệm phương trình Giả thiết thỏa mãn Lời cảm ơn: Một số kết báo tác giả Dương Xuân Hiệp nghiên cứu thời gian học thạc sĩ Viện toán học, Viện khoa học công nghệ Việt Nam Tác giả Dương Xuân Hiệp xin gửi lời cảm ơn Quỹ Unesco hỗ trợ đề tài nghiên cứu dành cho tài trẻ mã số ICRTM03_2021.03 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Q.L Mangasarian and M.V Solodov, “Nonlinear complementarity as unconstrained and constrained minimization”, Mathematical Programming, 62(1), 1993, 277-297 [2] F Facchinei and J Soares, “A new merit function for nonlinear complementarity problems and a related algorithm”, SIAM Journal on Optimization, 7(1), 1997, 226-247 [3] A Fisher, “A special newton-type optimization method”, Optimization, 24(3-4), 1992, 269-284 [4] A Fisher, “Solution of monotone complementarity problems with locally lipschitzian function”, Mathematical Programming, 76(3), 1996, 513-532 [5] C Kanzow, “Nonlinear complementarity as unconstrained optimization”, Journal of Optimization theory and apllications, 88(1), 1996, 139-155 [6] T.D Luca, F Facchinei, and C Kanzow, “A semismooth equation approach to the solution of nonlinear complementarity problems”, Mathematical programming, 75(3), 1996, 407-439 [7] Q.L Mangasarian and M.V Solodov, “Nonlinear complementarity as unconstrained and constrained minimization”, Mathematical Programming, 62(1), 1993, 277-297 [8] F.H Clarke, Optimization and nonsmooth analysis, Society for Industrial an Applied Mathematics Philadelphia, 1990 [9] L Qi and J Sun, “A nonsmooth verson of newton’s method”, Mathematical Programming, 58(1), 1993, 353–367 [10] P.T Harker and J.S Pang, “A damped-newton method for the linear complementarity problem”, Lectures in applied mathematics, 26, 1990, 265-284 [11] A Fischer and C Kanzow, “On finite termination of an iterative method for linear complementarity problems”, Mathematical Programming, 74, 1996, 279-292 [12] H Jiang and L Qi, “A new nonsmooth equations approach to nonlinear complementarity problems”, Journal on Control and Optimization, 35(1), 1997, 178–193 [13] C Kanzow and H Kleinmichel, “A new class of semismooth newtontype methods for nonlinear complementarity problems”, Computational Optimization and Applications, 11(1), 1998, 227-251 [14] D.P Bertsekas, Constrained optimization and Lagrange multiplier method, Academic Press, 1982 [15] Z Fuzhen, The Schur complement and its application, Springer Science and Business Media, 2005 [16] L.T Tzer and S.H Shiou, “Inverses of 2x2 block matrics”, An International Journal Computers and Mathematics with Application, 43(1-2), 2002, 119-29 [17] P.Q Muoi, D.N Hao, P Maass, and M Pidcock, “Semismooth newton and quasi-newton methods in weighted 𝑙1 -regularization”, Journal of Inverse and Ill-posed Problems, 21(5), 2013, 665-693 [18] P.Q Muoi, D.N Hao, S.K Sahoo, D Tang, N.H Cong, and D Cuong, “Inverse problems with nonnegative and sparse solutions: algorithms and application to the phase retrieval problem”, Inverse Problems, 34(5), 2018, 055007  ... =