✣❸■ ❍➴❈ ✣⑨ ◆➂◆● ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ✣⑨ ◆➂◆● ❑❍❖❆ ❚❖⑩◆ −−− −−− ◆●➷ ❚❍➚ ❚❍❆◆❍ ❇➐◆❍ P❍×❒◆● P❍⑩P ◆❊❲❚❖◆ ◆Û❆ ❚❘❒◆ ❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❈û ♥❤➙♥ ❚♦→♥ ❚✐♥ P ữớ ữợ P ị ì ử ❝↔♠ ì♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹ ▼ð ✤➛✉ ✺ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❒ ❙Ð ✼ ✶✳✶ ❍➔♠ ❦❤↔ ✈✐ ♠ët ❜✐➳♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✷ ▼❛ tr➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽ ✶✳✷✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽ ✶✳✷✳✷ ❈→❝ ❧♦↕✐ ♠❛ tr➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽ ✶✳✷✳✸ ▼❛ tr➟♥ ❝❤✉②➸♥ ✈à ✲ ▼❛ tr➟♥ ✤è✐ ①ù♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾ ✶✳✷✳✹ P❤➨♣ t♦→♥ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾ ✶✳✷✳✺ ❈❤✉➞♥ ♠❛ tr➟♥ ✾ ✶✳✸ ✶✳✹ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ Rn ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵ ✶✳✸✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵ ✶✳✸✳✷ ❑❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❣✐ú❛ ❤❛✐ ✤✐➸♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶ ✶✳✸✳✸ ❚➟♣ ❤ñ♣ tr♦♥❣ Rn ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ổ ữợ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷ ❍➔♠ sè ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸ ✶✳✹✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸ ✶✳✹✳✷ ▼✐➲♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❝õ❛ ❤➔♠ sè ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸ ✶✳✹✳✸ ●✐ỵ✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ❤➔♠ sè ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸ ✶✳✹✳✹ ❚➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝ ❝õ❛ ❤➔♠ sè ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥ sè ✶✳✹✳✺ ✣↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺ ✶✳✹✳✻ ●r❛❞✐❡♥t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻ ✶✳✹✳✼ ✣↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛ ❤➔♠ sè ❤ñ♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻ ✶✳✹✳✽ ❈æ♥❣ t❤ù❝ ❚❛②❧♦r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼ ❑❤â❛ ▲✉➟♥ ❚èt ◆❣❤✐➺♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ❙❱❚❍✿ ◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ Pì PP Pữỡ ◆❡✇t♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽ ✷✳✷ ❚➼♥❤ ❤ë✐ tö ✷✳✸ ✣→♥❤ ❣✐→ s❛✐ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵ ✷✳✹ ❱➼ ❞ö ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾ ✸ P❍×❒◆● P❍⑩P ◆❊❲❚❖◆ ◆Û❆ ❚❘❒◆ ❚❘❖◆● R ✸✳✶ ✸✳✷ ✷✸ ❑❤↔ ✈✐ ◆❡✇t♦♥ ✈➔ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸ ✸✳✶✳✶ ❑❤↔ ✈✐ ◆❡✇t♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸ ✸✳✶✳✷ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ ❦❤↔ ✈✐ ◆❡✇t♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✺ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ◆❡✇t♦♥ ♥û❛ trì♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✽ ✸✳✷✳✶ ❱á♥❣ ❧➦♣ ◆❡✇t♦♥ ♥û❛ trì♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✽ ✸✳✷✳✷ ❙ü ❤ë✐ tư ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✽ ✹ P❍×❒◆● P❍⑩P ◆❊❲❚❖◆ ◆Û❆ ❚❘❒◆ ❚❘❖◆● Rn ✸✶ ✹✳✶ ❱✐ ♣❤➙♥ s✉② rë♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✶ ✹✳✷ ❚➼♥❤ ♥û❛ trì♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✻ ✹✳✸ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ◆❡✇t♦♥ ♥û❛ trì♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✽ ✹✳✹ ◆û❛ trì♥ ❜➟❝ ❝❛♦ ❤ì♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✾ ✹✳✺ ❱➼ ❞ư ✈➲ ❤➔♠ ♥û❛ trì♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✶ ✹✳✺✳✶ ❍➔♠ ❒✲❝❧✐t ❝❤✉➞♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✶ ✹✳✺✳✷ ❍➔♠ ❋✐s❝❤❡r✲❇✉r♠❡✐st❡r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✷ ❑➳t ❧✉➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✸ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✹ ❑❤â❛ ▲✉➟♥ ❚èt ◆❣❤✐➺♣ ❙❱❚❍✿ ◆❣ỉ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❇➻♥❤ ✹ ▲í✐ ❝↔♠ ì♥✦ ❇➔✐ ữủ t ữợ sỹ ữợ trỹ t P ỵ ữớ ✲ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ✣➔ ◆➤♥❣✳ ❚r♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❧➔♠ ❧✉➟♥ ✈➠♥✱ ❡♠ ✤➣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ sü q✉❛♥ t➙♠ ❣✐ó♣ ✤ï ♥❤✐➺t t➻♥❤ ❝õ❛ t❤➛②✳ ❊♠ ①✐♥ ✤÷đ❝ ❜➔② tä sü ❦➼♥❤ trå♥❣ ✈➔ ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ ✤è✐ ✈ỵ✐ t❤➛②✳ ❊♠ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ t❤➛② ✤➣ ❣✐ó♣ ✤ï ❡♠ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ tèt ✤đt ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔②✳ ❊♠ ❝ơ♥❣ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ tỵ✐ ❇❛♥ ❧➣♥❤ ✤↕♦ ♥❤➔ tr÷í♥❣ ❝ị♥❣ t♦➔♥ t❤➸ ❝→❝ t❤➛② ❝ỉ ❣✐→♦ ✤➣ t➟♥ t➻♥❤ ❣✐↔♥❣ ❞↕②✱ ❣✐ó♣ ✤ï ✈➔ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤♦ ❡♠ ✤÷đ❝ ♣❤➜♥ ✤➜✉ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ t↕✐ ❑❤♦❛ ❚♦→♥ ✲ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ✣➔ ◆➤♥❣✳ ◆❤➙♥ ❞à♣ ♥➔②✱ ❡♠ ❝ô♥❣ ①✐♥ ữủ ỷ ỡ t tợ ❜↕♥ ❜➧ ✤➣ ❧✉ỉ♥ ❜➯♥ ❡♠✱ ❝ê ✈ơ✱ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥✱ ❣✐ó♣ ✤ï ❡♠ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣✳ ❑❤â❛ ▲✉➟♥ ❚èt ◆❣❤✐➺♣ ❙❱❚❍✿ ◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❇➻♥❤ ✺ ▼Ð ✣❺❯ ❚r♦♥❣ ♥❤✐➲✉ ❜➔✐ t♦→♥✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ♣❤↔✐ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✮ F (x) = ✈ỵ✐ F : Rn → Rn ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ❦❤æ♥❣ ❦❤↔ ✈✐ ✭t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ ❝ê ✤✐➸♥✮✳ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❤➔♠ sè F ❦❤↔ ✈✐✱ ♥❤✐➲✉ ❣✐↔✐ t❤✉➟t ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✮ ✤➣ ✤÷đ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ✤÷❛ r❛✳ ❈❤➥♥❣ ❤↕♥ ♥❤÷ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ●r❛❞✐❡♥t✱ ♣❤÷ì♥❣ ữợ t ữỡ t ữỡ ♣❤→♣ tü❛ ◆❡✇t♦♥ ❬✻❪✳ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ F ❦❤ỉ♥❣ ❦❤↔ ✈✐✱ ❝❤➾ ♠ët ✈➔✐ ❦➳t q✉↔ ✤➣ ✤↕t ✤÷đ❝✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✮ ①✉➜t ❤✐➺♥ r➜t ♥❤✐➲✉ tr♦♥❣ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ❬✻✲ ✶✵❪✳ ❚r♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ ✷✵ ♥➠♠ trð ❧↕✐ ✤➙②✱ ❜➔✐ t♦→♥ ✤➣ ✤÷đ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❜ð✐ ♥❤✐➲✉ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ♥❤÷ ▼✳ ❍✐♥t❡r♠✉❧❧❡r✱ ❑✳ ■t♦✱ ❑✳❑✉♥✐s❝❤✱ ❏✳ ❇❛♥❣t✐✱ ❉✳ ▲♦r❡♥③✱✳✳✳ ▼ët sè ❣✐↔✐ t❤✉➟t ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✮ tr♦♥❣ ♠ët sè tr÷í♥❣ ❤đ♣ ✤➦❝ ❜✐➺t ✤➣ ✤÷đ❝ ✤÷❛ r❛ ♥❤÷ ❣✐↔✐ t❤✉➟t ●r❛❞✐❡♥t s✉② rë♥❣✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ◆❡✇t♦♥ ♥û❛ trì♥ ❬✶✼✱✶✽❪✳ ✣➲ t➔✐✿ ✧P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ◆❡✇t♦♥ ♥û❛ trì♥✧ ❧➔ ✤➲ t➔✐ ❧➔♠ ❧✉➟♥ ✈➠♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ❝õ❛ ❡♠✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ♥❤➡♠ sû ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ◆❡✇t♦♥ ♥û❛ trì♥ ✤➸ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✮✳ ◆❣♦➔✐ ♣❤➛♥ ▼ð ✤➛✉ ✈➔ ♣❤➛♥ ❑➳t ❧✉➟♥✱ ỗ ữỡ ữỡ ởt t ❝→❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝ì ❜↔♥ ✤÷đ❝ sû ❞ư♥❣ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ❈❤÷ì♥❣ ❤❛✐✿ ❚r➻♥❤ ❜➔② ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ◆❡✇t♦♥✱ ❝→❝ ✤à♥❤ ỵ t t ự ỵ ữ r ✈➼ ❞ư ❝ư t❤➸ ✤➸ ❤✐➸✉ ♠✐♥❤ ❤å❛ ❝❤♦ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣✳ ❈❤÷ì♥❣ ❜❛✿ ❚r➻♥❤ ❜➔② ✈➲ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✤↕♦ ❤➔♠ ◆❡✇t♦♥ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ ❦❤↔ ✈✐ ◆❡✇t♦♥✳ ❚✐➳♣ t❤❡♦✱ tr➻♥❤ ❜➔② ♣❤÷ì♥❣ ❑❤â❛ ▲✉➟♥ ❚èt ◆❣❤✐➺♣ ❙❱❚❍✿ ◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❇➻♥❤ ✻ ♣❤→♣ ◆❡✇t♦♥ ♥û❛ trì♥ tr♦♥❣ R ✈ỵ✐ ✈✐➺❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ sü ❤ë✐ tö ❝õ❛ ♥â ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✮ ✈➔ ♠ët sè ✈➼ ❞ư s➩ ✤÷đ❝ ✤÷❛ r❛ ✤➸ ♠✐♥❤ ❤å❛ ❝❤♦ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣✳ ❈❤÷ì♥❣ ❜è♥✿ ❚r➻♥❤ ❜➔② ✈➲ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈✐ ♣❤➙♥ s✉② rë♥❣ ✈➔ t➼♥❤ ♥û❛ trì♥ tr♦♥❣ Rn ũ ợ ỵ t t ố ũ tr ữỡ t ỷ trỡ tr Rn ợ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ sü ❤ë✐ tö ❝õ❛ ♥â ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✮✳ ✣➔ ◆➤♥❣✱ t❤→♥❣ ✺ ♥➠♠ ✷✵✶✹ ❙✐♥❤ ✈✐➯♥ ◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❇➻♥❤ ❑❤â❛ ▲✉➟♥ ❚èt ◆❣❤✐➺♣ ❙❱❚❍✿ ◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❇➻♥❤ ✼ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❒ ❙Ð ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ t❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ❝â ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ♠❛ tr➟♥✱ ❤➔♠ ♠ët ❜✐➳♥ ợ ỵ ✈➔ ♠ët sè ✈➼ ❞ư✳ ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ❝â sû ❞ư♥❣ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ t÷ì♥❣ ù♥❣ ❞❛♥❤ ♠ư❝ ❬✷❪✱ ❬✹❪✱ ❬✺❪✳ ✶✳✶ ❍➔♠ ❦❤↔ ✈✐ ♠ët ❜✐➳♥ ❚❤❡♦ ♥❣❤➽❛ ❝ê ✤✐➸♥✱ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛ F t↕✐ x0 ✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥❤÷ s❛✉✿ F (x0 + h) − F (x0 ) h→0 h F (x0 ) = lim ✈➔ ❤➔♠ f : U → R ✭U ❧➔ t➟♣ ❤ñ♣ ♠ð tr♦♥❣ R✮ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ t↕✐ ✤✐➸♠ x0 U tỗ t ởt số A s ❝❤♦✿ |f (x0 + h) − f (x0 ) − Ah| =0 h→0 |h| lim ❚❛ ❜✐➳t r➡♥❣✱ f ❦❤↔ ✈✐ t↕✐ x0 ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ f ❦❤↔ ✈✐ t↕✐ ✤✐➸♠ ✤â ✈➔ A = F (x0 )✳ ❉ò♥❣ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥➔②✱ ❝→❝ ❤➔♠ sè |x0 |✱ max(0, x), ❦❤æ♥❣ ❦❤↔ ✈✐ t↕✐ x0 = ❑❤â❛ ▲✉➟♥ ❚èt ◆❣❤✐➺♣ ❙❱❚❍✿ ◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❇➻♥❤ ✽ ✶✳✷ ▼❛ tr➟♥ ✶✳✷✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❈❤♦ m, n ❧➔ ❤❛✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✳ ❚❛ ❣å✐ ♠ët ♠❛ tr➟♥ ❝ï m ì n ởt số ỗ m × n sè t❤ü❝ ✤÷đ❝ ✈✐➳t t❤➔♥❤ m ❤➔♥❣ n ❝ët ❝â ❞↕♥❣ ♥❤÷ s❛✉✿ a11 a21 A= am1 a12 a22 am2 a1n a2n amn ✭✶✳✶✮ tr♦♥❣ ✤â ❝→❝ sè t❤ü❝ aij ❀ i = 1, m❀ j = 1, n ❣å✐ ❧➔ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥✱ ❝❤➾ sè i ❝❤➾ t❤ù tü ❤➔♥❣ ✈➔ ❝❤➾ sè j ❝❤➾ t❤ù tü ❝ët ❝õ❛ ♣❤➛♥ tû aij tr♦♥❣ ♠❛ tr➟♥✳ ▼❛ tr ù m ì n tr ỏ ữủ t ❣å♥ ❧➔ [aij ]mn ✳ ✶✳✷✳✷ ❈→❝ ❧♦↕✐ ♠❛ tr➟♥ ▼❛ tr➟♥ ✈✉ỉ♥❣ ▼❛ tr➟♥ ❝ï n × n ✭❝â sè ❤➔♥❣ ❂ sè ❝ët ❂n✮ ❣å✐ ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ✈✉æ♥❣ ❝➜♣ n✳ ❈→❝ ♣❤➛♥ tû a11 , a22 , , ann ♥➡♠ tr➯♥ ♠ët ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ❜↔♥❣ ✈✉ỉ♥❣ ♠❛ tr➟♥✱ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ✤â ❣å✐ ❧➔ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ ✈✉ỉ♥❣✱ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ❝á♥ ❧↕✐ ❝õ❛ ❜↔♥❣ ✈✉ỉ♥❣ ♠❛ tr➟♥ ❣å✐ ❧➔ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ♣❤ư ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ ✈✉ỉ♥❣✳ ▼❛ tr➟♥ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ▼❛ tr➟♥ ✈✉ỉ♥❣ ❝➜♣ n ❝â ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ♥➡♠ ♥❣♦➔✐ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ❝❤➼♥❤ ✤➲✉ ❜➡♥❣ ✵ (aij = 0, ∀i = j) ❣å✐ ❧➔ ▼❛ tr➟♥ ✤ì♥ ✈à ♠❛ tr➟♥ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦✳ ▼❛ tr➟♥ ❝❤➨♦ ❝â aii = 1✱ i = 1, n ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤✐➺✉ ❧➔ In ❤❛② En ✳ ❑❤â❛ ▲✉➟♥ ❚èt ◆❣❤✐➺♣ ♠❛ tr➟♥ ✤ì♥ ✈à ❝➜♣ ♥✳ ❑➼ ❙❱❚❍✿ ◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❇➻♥❤ ✾ ✶✳✷✳✸ ▼❛ tr➟♥ ❝❤✉②➸♥ ✈à ✲ ▼❛ tr➟♥ ✤è✐ ①ù♥❣ ▼❛ tr➟♥ ❝❤✉②➸♥ ✈à ❝õ❛ A ❧➔ ♠ët ♠❛ tr➟♥ ❝â ✤÷đ❝ tø A ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❝❤✉②➸♥ ❤➔♥❣ t❤➔♥❤ ❝ët✱ ❝❤✉②➸♥ ❝ët t❤➔♥❤ ❤➔♥❣ t❤❡♦ ✤ó♥❣ t❤ù tü✳ a11 a12 ❑➼ ❤✐➺✉ AT = a1n ❚➼♥❤ ❝❤➜t a21 a22 a2n am1 am2 amn ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ❝❤✉②➸♥ ✈à ❝õ❛ ❆ ✐✮ ❈❤♦ ♠❛ tr➟♥ A✱ t❛ ❝â (AT )T = A ✐✐✮ ◆➳✉ AT = A t❤➻ A ❣å✐ ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ✤è✐ ①ù♥❣✳ ✶✳✷✳✹ P❤➨♣ t♦→♥ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ P❤➨♣ ❝ë♥❣ ❈❤♦ ❤❛✐ ♠❛ tr➟♥ ❝ị♥❣ ❝ï m × n✿ A = [aij ]mn ✈➔ B = [bij ]mn ✳ ❚ê♥❣ ❝õ❛ ❤❛✐ ♠❛ tr➟♥ A, B ❧➔ ♠ët ♠❛ tr➟♥ C = [cij ]mn ❝ị♥❣ ❝ï m × n s❛♦ ❝❤♦✿ cij = aij + bij , ∀i, j : i = 1, m; j = 1, n✳ ❑➼ ❤✐➺✉✿ C = A + B ✳ P❤➨♣ ♥❤➙♥ ♠❛ tr➟♥ ✈ỵ✐ ♠❛ tr➟♥ ❈❤♦ A = [aij ]mn ❝ï m × n ✈➔ ♠❛ tr➟♥ B = [bik ]nq ❝ï n × q ✳ ❚➼❝❤ ❝õ❛ A ✈ỵ✐ B ❧➔ ♠ët ♠❛ tr➟♥ C = [cij ]mq ❝ï m × q, ✈ỵ✐ m n cik = aij bjk = ai1 bik + ai2 b2k + + ain bnk , i = 1, m, k = 1, q i=1 j=1 ❑➼ ❤✐➺✉✿ C = A.B ❤❛② C = AB ú ỵ tr A ữủ ✈ỵ✐ ♠❛ tr➟♥ B t❤➻ sè ❝ët ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ A ♣❤↔✐ ❜➡♥❣ sè ❤➔♥❣ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ B ✳ ✐✐✮ ❚➼❝❤ ❤❛✐ ♠❛ tr➟♥ ❦❤æ♥❣ ❝â t➼♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦→♥✳ ✶✳✷✳✺ ❈❤✉➞♥ ♠❛ tr➟♥ ❈❤✉➞♥ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ A✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ ||A|| t❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❧➔ ♠ët sè ❦❤æ♥❣ ➙♠ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉✿ ❑❤â❛ ▲✉➟♥ ❚èt ◆❣❤✐➺♣ ❙❱❚❍✿ ◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❇➻♥❤ ✶✵ ✭✶✮ ||A|| ≥ ✈➔ ||A|| = ⇔ A = 0✳ ✭✷✮ ||αA|| = |α|||A||, α ❧➔ sè t❤ü❝ ❜➜t ❦➻✳ ✭✸✮ ||A + B|| ≤ ||A|| + ||B||✳ ✭✹✮ ||A.B|| = ||A||.||B||✳ ◆❣÷í✐ t❛ t❤÷í♥❣ ❞ị♥❣ ❜❛ ❝❤✉➞♥ s❛✉✿ ❈❤✉➞♥ ❝ët✿ m ||A||1 = max |aij | j ❈❤✉➞♥ ❒❝❧✐t✿ m i=1 1/2 n a2ij ||A||2 = i=1 j=1 ❈❤✉➞♥ ❤➔♥❣✿ n ||A||∞ = max i ❱➼ ❞ö ✶✳✷✳✶✳ ❈❤♦ |aij | j=1 −2 A=1 3 −1 ❚❛ t➼♥❤ ✤÷đ❝ ❝→❝ ❝❤✉➞♥ ❝õ❛ A t❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ tr➯♥ ♥❤÷ s❛✉✿ ||A||1 = max(5 + + 2, + + 1, + + 7) = max(8, 7, 11) = 11✳ ||A||2 = (52 + 22 + + + 42 + 32 + 22 + + 72 )1/2 = 1101/2 = 10.5 ||A||∞ = max(5 + + 1, + + 3, + + 7) = max(8, 8, 10) = 10 ✶✳✸ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ Rn ✶✳✸✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❚❛ ❦➼ ❤✐➺✉ Rn ❧➔ t➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ ❜ë ❝â t❤ù tü ❝õ❛ n sè t❤ü❝✱ Rn = {(x1 , x2 , , xn ); xi ∈ R} ❑❤✐ n = t❤➻ R1 ❧➔ t➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ sè t❤ü❝ R✳ ❑❤✐ n = t❤➻ R2 ❧➔ t➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ ❝➦♣ sè t❤ü❝ (x1 , x2 ) ❤❛② t➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❝â tå❛ ✤ë (x1 , x2 )✳ ❈→❝ ✤✐➸♠ ❝õ❛ R2 t❤÷í♥❣ ✤÷đ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ (x, y) t❤❛② ❝❤♦ (x1 , x2 )✳ ❑❤â❛ ▲✉➟♥ ❚èt ◆❣❤✐➺♣ ❙❱❚❍✿ ◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ữỡ Pì PP Rn ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ tr➻♥❤ ❜➔② ✈➲ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❦❤↔ ✈✐ s✉② rë♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ ❦❤ỉ♥❣ ❦❤↔ ✈✐ ❝ị♥❣ ✈ỵ✐ ỵ t t ự ỵ ❚✐➳♣ t❤❡♦✱ t❛ s➩ t➻♠ ❤✐➸✉ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ♥û❛ trì♥✳ ❈✉è✐ ❝ị♥❣✱ t❛ tr➻♥❤ ❜➔② ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ◆❡✇t♦♥ ♥û❛ trì♥ tr♦♥❣ Rn ✈➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ sü ❤ë✐ tư ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ♥â ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✮✳ ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② sû ❞ư♥❣ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ t÷ì♥❣ ù♥❣ ❝→❝ ❞❛♥❤ ♠ö❝ ❬✶✶✲✶✻❪✳ ✹✳✶ ❱✐ ♣❤➙♥ s✉② rë♥❣ ❱✐➺❝ ①➙② ❞ü♥❣ ♠ët ❦❤↔ ✈✐ s✉② rë♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❤➔♠ ổ ỹ r ỵ ỵ r sỷ F : Rn → Rm ❧✐➯♥ tư❝ ▲✐♣❝❤✐t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳ ❑❤✐ ✤â✱ F ❦❤↔ ✈✐ ❤➛✉ ❦❤➢♣ ♥ì✐✳ ●å✐ DF ⊂ Rn ❧➔ t➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ ✤✐➸♠ ♠➔ t↕✐ ✤â F ❦❤↔ ✈✐✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✹✳✶✳✶✳ ❈❤♦ F : U ⊇ Rn → Rm✱ ✈ỵ✐ U ♠ð✱ ❧➔ ❧✐➯♥ tư❝ ▲✐♣❝❤✐t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ t↕✐ x ∈ U ✳ ✶✳ ✣➦t ∂B F (x) := {G ∈ Rn×m : ∃{xk } ⊂ DF ✈ỵ✐ xk → x, ∇F (xk ) → G} ❑❤â❛ ▲✉➟♥ ❚èt ◆❣❤✐➺♣ ❙❱❚❍✿ ◆❣ỉ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❇➻♥❤ ✸✷ ✤÷đ❝ B ữợ F t x✳ ✷✳ ❏❛❝♦❜✐ tê♥❣ q✉→t ❈❧❛r❦❡ ✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥❤÷ ∂F (x) = co(∂B F (x)) tr♦♥❣ ✤â co ❧➔ ỗ t C F (x) = F1 (x) × × ∂Fm (x) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ Qi ữợ r trữớ ủ m = ∂F (x) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ●r❛❞✐❡♥t s✉② rë♥❣✳ ❚✐➳♣ t❤❡♦✱ t❛ t➻♠ ❤✐➸✉ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ∂B F, ∂F ✈➔ C F ỵ U Rn ♠ð ✈➔ F : U → Rm ❧✐➯♥ tö❝ ▲✐♣❝❤✐t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✳ ❑❤✐ ✤â✱ x ∈ U ❝è ✤à♥❤✿ ✶✳ ∂B F (x) ❧➔ ré♥❣ ✈➔ ❝♦♠♣❛❝t✳ ✷✳ ∂F (x) ✈➔ ∂C F (x) ❧➔ ré♥❣✱ ❝♦♠♣❛❝t ✈➔ ❤ë✐ tö✳ ✸✳ ❚➟♣ ❣✐→ trà ❝→❝ →♥❤ ①↕ ∂B F ✱ ∂F ✱ ✈➔ ∂C F ❧➔ ❤➔♠ ❜à ❝❤➦♥ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✈➔ ❤➔♠ ♥û❛ ❧✐➯♥ tư❝ tr➯♥✳ ✹✳ ∂B F (x) ⊂ ∂F (x) ⊂ ∂C F (x)✳ ✺✳ ◆➳✉ ❋ ❦❤↔ ✈✐ ❧✐➯♥ tö❝ tr♦♥❣ ♠ët ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ x✱ ❦❤✐ ✤â✿ ∂C F (x) = ∂F (x) = ∂B F (x) = {∇F (x)} ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✣à♥❤ ỵ ữủ ự tr ①➨t ✹✳✶✳✶✳ ❚➼♥❤ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ❝õ❛ ∂B F ✱ ∂F ✈➔ ∂C F s✉② r❛ ❝❤♦ xk → x✱ Gk ∈ ∂F (xk ) ✈➔ Gk → G t❤➻ G ∈ ∂F (x)✳ ❚÷ì♥❣ tü ∂B F ✈➔ ∂C F ✳ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ♥➔② ❝ơ♥❣ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ t➼♥❤ ✤â♥❣ ❝õ❛ ∂B F ✱ ∂F ✈➔ ∂C F ✱ t÷ì♥❣ ù♥❣ t↕✐ ①✳ ❏❛❝♦❜✐ s✉② rë♥❣ ✭❣r❛❞✐❡♥t✮ t❤ä❛ ♠➣♥ t➼♥❤ ❝❤➜t ✈➲ ❣✐→ trà tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ♥❤÷ s❛✉✿ ❑❤â❛ ▲✉➟♥ ❚èt ◆❣❤✐➺♣ ❙❱❚❍✿ ◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❇➻♥❤ ✸✸ ỵ ỵ U tö ✈➔ ♠ð✳ ❈❤♦ F : U → Rm ❧✐➯♥ tử t ữỡ õ ợ t x, y ∈ U ✱ ⊂ Rn F (y) − F (x) ∈ co(∂F ([x, y])(y − x)), tr♦♥❣ ✤â [x, y] ✤↕✐ ❞✐➺♥ ❝❤♦ ♣❤➙♥ ❦❤ó❝ ✤÷í♥❣ ♥è✐ x ✈➔ y✳ ✣➸ t➼♥❤ t♦→♥ ❝→❝ ✤↕♦ ❤➔♠ s✉② rë♥❣ ❝õ❛ F ✱ t❛ ✤✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ q✉② t➢❝ ✤↕♦ ủ s rở ỵ ✹✳✶✳✹✳ ❬✶✶✱ ❍➺ q✉↔ ✷✳✻✳✻❪ ❈❤♦ U ⊂ Rn ✈➔ V ❧➔ t➟♣ ♠ð ❦❤æ♥❣ ré♥❣✳ ❈❤♦ g : U → V ❧✐➯♥ tư❝ ▲✐♣❝❤✐t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ t↕✐ x ∈ U ✈➔ ❝❤♦ h : V → Rm ❧✐➯♥ tö❝ ▲✐♣❝❤✐t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ t↕✐ g(x)✳ ❑❤✐ ✤â✱ F = h g t ữỡ t x ợ v ∈ Rn ❝❤♦ r➡♥❣✿ ⊂ Rl ∂F (x)v ⊂ co(∂h(g(x))∂g(x)v) = co{Gh Gg v : Gh ∈ ∂h(g(x)), Gg ∈ ∂g(x)} ◆➳✉✱ ♥❣♦➔✐ r❛✱ h ❦❤↔ ✈✐ ❧✐➯♥ tö❝ ❣➛♥ g(x) t❤➻ ✈ỵ✐ ♠å✐ v ∈ Rn✱ ∂F (x)v = ∇h(g(x))∂g(x)v ◆➳✉ h ❧➔ ❣✐→ trà t❤ü❝ ✭tù❝ ❧➔✱ ♥➳✉ m = 1✮ t❤➻ ❝↔ ❤❛✐ ❝❤✉é✐ q✉✐ t➢❝ ✈❡❝t♦ v ❝â t❤➸ ✤÷đ❝ ❜ä q✉❛✳ ✣ỉ✐ ❦❤✐✱ ❝â ♠ët sè tr÷í♥❣ ❤đ♣ ✤➦❝ ❜✐➺t✱ tr♦♥❣ ✤â h(y) = ei y = yi ✱ tr♦♥❣ ✤â ei ❧➔ ✈❡❝t♦ ✤ì♥ ✈à t❤ù i ✈➔ g = F ✳ ❑❤✐ ✤â✱ t❛ ❝â✿ ❍➺ q✉↔ ✹✳✶✳✶✳ ❈❤♦ U ⊂ Rn ♣❤÷ì♥❣ t↕✐ x ∈ U ✳ ❑❤✐ ✤â ∂Fi (x) = ei ∂F (x) = {Gi,• : Gi,• ♠ð✱ ✈➔ ❝❤♦ F : U ∈ Rm ❧➔ ▲✐♣❝❤✐t ✤à❛ ❧➔ ❞á♥❣ t❤ù ✐ ❝õ❛ G ∈ ∂F (x)} ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ m = 1✱ ●r❛❞✐❡♥t tê♥❣ q✉→t ❈❧❛r❦❡ ❝â t❤➸ ữủ trữ ởt ữợ s rở ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✹✳✶✳✷✳ ❈❤♦ F : U ⊂ Rn → R ▲✐♣❝❤✐t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➯♥ t➟♣ ♠ð U ✳ ✣↕♦ ữợ s rở f t x U t ữợ d Rn ữủ F (x; d) := lim sup y→x t↓0 ❑❤â❛ ▲✉➟♥ ❚èt ◆❣❤✐➺♣ F (y + td) − F (y) t ❙❱❚❍✿ ◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❇➻♥❤ ✸✹ ❚❛ ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t s❛✉ ✤➙② ❝õ❛ F ◦ ✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✹✳✶✳✶✳ ❬✶✹✱ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✶❪ ❈❤♦ F : U ⊂ Rn → R ❧➔ ▲✐♣❝❤✐t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➯♥ t➟♣ ♠ð U ✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✶✳ ❱ỵ✐ ♠é✐ x ∈ U ✱ F ◦(x; ·) ❧✐➯♥ tư❝ ▲✐♣❝❤✐t ✱ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ❞÷ì♥❣ ✈➔ t t ữợ ợ ộ (x, d) U × Rn t❛ ❝â F ◦ (x, d) = max{ξ d : ξ ∈ ∂F (x)} ✸✳ F ◦ : U × Rn → R ❧➔ ♥û❛ ❧✐➯♥ tư❝ tr➯♥✳ ❚✐➳♣ t❤❡♦✱ t❛ ❝â ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➲ ✤↕♦ ❤➔♠ t❤❡♦ ữợ F F : U ⊂ Rn → Rm ❧➔ ▲✐♣❝❤✐t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➯♥ t➟♣ ♠ð U ✳ ❚❛ ❣å✐ F (x, d) ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ F (x, d) = lim t↓0 F (x + td) − F (x) t ❧➔ ♠ët ✤↕♦ t ữợ F t x t ữợ d ❈❤♦ m = 1✱ t❛ ❝â ✈ỵ✐ (x; d) ∈ U × Rn t❤➻ F (x; d) ≤ F ◦ (x; d) ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✹✳✶✳✹✳ ❈❤♦ F : U ⊂ Rn → Rm ❧➔ ▲✐♣❝❤✐t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➯♥ t➟♣ ♠ð U ✳ F ✤÷đ❝ ❝❤♦ ❧➔ C − ❝❤➼♥❤ q✉② t↕✐ x ∈ U ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ ✶✳ f t ữợ t x g (x; d) = g (x; d) ✈ỵ✐ ♠å✐ d ∈ Rn ✳ ❚❛ ❝â ❝→❝ q✉✐ t➢❝ t➼♥❤ t♦→♥✿ ✣à♥❤ ỵ Fi : Rn → R✱ i = 1, , m ❧➔ ♠ët ❤å ❝õ❛ ❤➔♠ ▲✐♣❝❤✐t t↕✐ x✳ ✶✳ ❱ỵ✐ ❜➜t ❦➻ ai✱ t❛ ❝â✿ m ∂ m F i i=1 ⊆ ∂Fi (x) i=1 ✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ♥➳✉ t➜t ❝↔ ❤➔♠ ✤➲✉ ❧➔ C − ❝❤➼♥❤ q✉② t↕✐ x ✈➔ ais ❧➔ ❦❤æ♥❣ ➙♠✳ ❑❤â❛ ▲✉➟♥ ❚èt ◆❣❤✐➺♣ ❙❱❚❍✿ ◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❇➻♥❤ ✸✺ ✷✳ ∂(F1F2)(x) ⊆ F2(x)∂F1(x) + F1(x)∂F2(x) ✈ỵ✐ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ♥➳✉ F1 ✈➔ F2 ✤➲✉ ❧➔ C − ❝❤➼♥❤ q✉② t↕✐ x ✈➔ min(F1 (x), F2 (x)) ≥ 0✳ ✸✳ ◆➳✉ g2(x) = t❤➻ ∂ F1 F2 (x) ⊆ F2 (x)∂F1 (x) − F1 (x)∂F2 (x) F22 (x) ✈ỵ✐ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ♥➳✉ F1 ✈➔ −F2 ✤➲✉ ❧➔ C − ❝❤➼♥❤ q✉② t↕✐ x✱ F1 (x) ≥ 0✱ ✈➔ F2 (x) > 0✳ ✹✳ ❈❤♦ F (x) = max{Fi(x) : i = 1, , m}✱ ❦❤✐ ✤â✿ ∂F (x) ⊆ co{∂Fi (x) : i ∈ A(x)}, tr♦♥❣ ✤â A(x) := {i : Fi(x) = F (x)}✳ ✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ♥➳✉ ♠å✐ Fi ❧➔ C q t x rữợ t ♥û❛ trì♥ ❝õ❛ F ✱ t❛ ❝â ✷ ❦➳t q✉↔ tứ sỹ t ổ trỡ ỵ ✭✣à♥❤ ❧➼ ✈➲ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝ ▲✐♣❝❤✐t ✮ ❈❤♦ F : Rn × Rp → Rn ❧✐➯♥ tư❝ ▲✐♣❝❤✐t tr♦♥❣ ♠ët ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ ♠ët ✤✐➸♠ (x, y) ∈ Rn × Rp ♠➔ F (x, y) = 0✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ t➜t ❝↔ ♠❛ tr➟♥ tr♦♥❣ x ∂F (x, y) ổ s õ tỗ t ♠ð Vx ✈➔ Vy ❝õ❛ x ✈➔ y✱ t÷ì♥❣ ù♥❣✱ s ợ ộ y Vy ữỡ tr➻♥❤ F (x, y) = ❝â ♠ët ❣✐↔✐ ♣❤→♣ ❞✉② ♥❤➜t x ≡ f (y) ∈ Vx✱f (y = x)✱ ✈➔ →♥❤ ①↕✿ f : Vx → Vy ❧✐➯♥ tử t ỵ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ tê♥❣ q✉→t✮ ❈❤♦ F : U ⊆ Rn → Rn ❧➔ ▲✐♣❝❤✐t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ t↕✐ x ∈ ω✳ ◆➳✉ ❏❛❝♦❜✐ s✉② rë♥❣ ∂F (x) ❦❤æ♥❣ s✉② ❜✐➳♥ t❤➻ F ởt t ữỡ ỗ ổ t x ỵ F (x) ổ s tự ❧➔✱ ♠å✐ G ∈ ∂F (x) ✤➲✉ ❦❤æ♥❣ s✉② ❜✐➳♥ t õ tỗ t , r > s ❝❤♦✱ ✈ỵ✐ ❜➜t ❦➻ y ∈ B(x, r) ✈➔ ❜➜t ❦➻ G(y) ∈ ∂F (y)✱ G(y) ❦❤æ♥❣ s✉② ❜✐➳♥ ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥ G(y)−1 ≤ β ❑❤â❛ ▲✉➟♥ ❚èt ◆❣❤✐➺♣ ❙❱❚❍✿ ◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❇➻♥❤ ✸✻ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ t ổ ú õ tỗ t ởt ❞➣② xk → x✱ Gk ∈ ∂F (xk ) s❛♦ ❝❤♦ ♠å✐ Gk ❧➔ s✉② G−1 → +∞✳ ❚❤❡♦ ✣à♥❤ ỵ tỗ t ởt {xk(l) } k s ❝❤♦ Gk(l) → G✳ ❑❤✐ ✤â✱ G ♣❤↔✐ s✉② ❜✐➳♥✳ ❚ø ♥û❛ ❧✐➯♥ tư❝ tr➯♥ ❝õ❛ ∂F t❛ ❝â ✤÷đ❝ G ∈ ∂F (x)✱ ✤✐➲✉ ♥➔② ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈ỵ✐ ❞↕♥❣ ổ s F (x) ữ ỵ ✤➣ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❜✐➳♥ ✈➔ ✹✳✷ ❚➼♥❤ ♥û❛ trì♥ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✹✳✷✳✶✳ ❈❤♦ U ⊂ Rn ré♥❣ ✈➔ ♠ð✳ ❍➔♠ F : U → Rm ❧➔ ♥û❛ trì♥ t↕✐ x ∈ U ✱ ♥➳✉ ❧➔ ▲✐♣❝❤✐t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ t↕✐ x lim Gd GF (x+td) dd,t0 tỗ t ✈ỵ✐ ♠å✐ d ∈ Rn ✳ ◆➳✉ F ❧➔ ♥û❛ trì♥ t↕✐ ♠å✐ ✤✐➸♠ x ∈ U t❤➻ t❛ ❣å✐ F ỷ trỡ tr U ữ ỵ r ỷ trỡ ỗ t ♣❤÷ì♥❣✳ ❉♦ ✤â✱ ♥➳✉ F ❧➔ ♥û❛ trì♥ t↕✐ x t❤➻ F ❝ơ♥❣ ❧➔ ❧✐➯♥ tư❝ ▲✐♣❝❤✐t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ t↕✐ x õ t ữợ ✈➔ B ✲✈✐ ♣❤➙♥✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✹✳✷✳✷✳ ❈❤♦ F : U ⊂ Rn → Rm ❧➔ ▲✐♣❝❤✐t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➯♥ t➟♣ ♠ð U ✳ ✶✳ ❚❛ ❣å✐ F (x, d) ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ F (x, d) = lim t↓0 F (x + td) − F (x) t ❧➔ ♠ët t ữợ F t x t ữợ d✳ ✷✳ F ❧➔ B ✲✈✐ ♣❤➙♥ t↕✐ x ∈ Rn ♥➳✉ F ❧➔ ✤↕♦ ❤➔♠ ❧➜② ✈✐ ♣❤➙♥ ✤÷đ❝ t↕✐ x ✈➔ F (x + d) − F (x) − F (x, d) = o( d ), ❦❤✐ d → ❑❤â❛ ▲✉➟♥ ❚èt ◆❣❤✐➺♣ ❙❱❚❍✿ ◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❇➻♥❤ ✸✼ ✸✳ F ❧➔ B ✲✈✐ ♣❤➙♥ ❜➟❝ γ t↕✐ x ∈ Rn ✱ < γ ≤ ♥➳✉ F ❧➔ ✤↕♦ ❤➔♠ ❧➜② ✈✐ ♣❤➙♥ ✤÷đ❝ t↕✐ x ✈➔ F (x + d) − F (x) − F (x, d) = O( d 1+γ ), ❦❤✐ d ữ ỵ r F (x, Ã) t❤✉➛♥ ♥❤➜t ❞÷ì♥❣✳ ❈→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ♥û❛ trì♥ tr♦♥❣ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✹✳✷✳✶ ❤ì✐ ♣❤ù❝ t↕♣✱ ✤➦❝ ❜✐➺t ❧➔ tr♦♥❣ t ố ợ ữỡ t ỷ trỡ õ ỵ s ỳ t t tữỡ ữỡ ỡ ỵ F : U → Rm ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ t➟♣ ♠ð U ⊂ Rn✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈ỵ✐ x ∈ U ✱ ❝→❝ ♠➺♥❤ ✤➲ s❛✉ ✤➙② t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿ ❛✮ F ❧➔ ♥û❛ trì♥ t↕✐ x✳ ❜✮ F ❧✐➯♥ tư❝ ▲✐♣❝❤✐t ữỡ t x F (x; Ã) tỗ t ✈ỵ✐ ❜➜t ❦➻ G ∈ ∂F (x + d), Gd − F (x, d) = o( d ), ❝✮ F ❧✐➯♥ tư❝ ▲✐♣❝❤✐t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ t↕✐ x✱ ❦❤✐ d → F (x; Ã) tỗ t ợ t G ∈ ∂F (x + d), F (x + d) − F (x) − Gd = o( d ) ❦❤✐ d → ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❛✮ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ❜✮ ①❡♠ tr♦♥❣ ❬✶✷✱ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✸❪✳ ◆➳✉ F ❧✐➯♥ tö❝ ▲✐♣❝❤✐t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ t↕✐ x ✈➔ ❧➔ ✤↕♦ ❤➔♠ ❧➜② ✈✐ ữủ t x t ữ ữ ỵ tr F ❝ô♥❣ ❧➔ B ✲✈✐ ♣❤➙♥ t↕✐ x✳ ❉♦ ✤â✱ t t tữỡ ữỡ ợ G ∈ ∂F (x + d) | F (x + d) − F (x) − Gd − Gd − F (x, d) | ≤ F (x + d) − F (x) − F (x, d) = o( d ), ❦❤✐ d → ❚❛ ❝â ♥❣❛② ♠ët ❤➺ q✉↔ ❝õ❛ ✣à♥❤ ỵ ỵ U Rn ◆➳✉ F : U → Rm ❦❤↔ ✈✐ ❧✐➯♥ tö❝ tr♦♥❣ ♠ët ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ x ∈ U t❤➻ F ❧➔ ♥û❛ trì♥ t↕✐ x✳ ❑❤â❛ ▲✉➟♥ ❚èt ◆❣❤✐➺♣ ❙❱❚❍✿ ◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❇➻♥❤ ✸✽ ❚✐➳♣ t❤❡♦✱ t❛ ❝â ✣à♥❤ ỵ t ỷ trỡ ủ ỵ ✹✳✷✳✸✳ ❬✶✺✱ ❍➺ q✉↔ ✶✽❪ ❈❤♦ U ⊂ Rn ✈➔ V ❧➔ t➟♣ ♠ð✳ ❈❤♦ ❣✿ U → V ♥û❛ trì♥ t↕✐ x ∈ U ✈➔ h : V → Rm ♥û❛ trì♥ t↕✐ g(x) ✈ỵ✐ g(U ) ⊂ V ✳ ❑❤✐ ✤â✱ F = h ◦ g : U → Rm ♥û❛ trì♥ t↕✐ x✳ ❍ì♥ ♥ú❛✿ ⊂ Rl F (x, ·) = h (g(x), g (x, ·)) ✹✳✸ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ◆❡✇t♦♥ ♥û❛ trì♥ ❇➙② ❣✐í✱ t❛ ✤✐ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ◆❡✇t♦♥ ♥û❛ trì♥ ❝❤♦ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✹✳✶✮ F (x) = tr♦♥❣ ✤â F : U → Rn ✱ U ⊂ Rn ♠ð✱ ❧➔ ♥û❛ trì♥ t↕✐ ♥❣❤✐➺♠ x∗ ∈ U ✿ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✶✳ ✭P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ◆❡✇t♦♥ ♥û❛ trì♥✮✳ ✶✳ ❈❤å♥ x0 ∈ Rn ✈➔ k := 0✳ ✷✳ ❚rø ❦❤✐ ♠ët q✉✐ t➢❝ ❞ø♥❣ ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥✿ G(xk )dk = −F (xk ) ❝❤♦ dk ✱ tr♦♥❣ ✤â G(xk ) ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ tỷ tũ ỵ F (xk ) xk+1 := xk + dk ✱ k = k + ✈➔ ✤✐ ✤➳♥ ✭✶✮✳ ❙ü ❤ë✐ tư ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❡✇t♦♥ ♥û❛ trì♥ s➩ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ tr♦♥❣ ✣à♥❤ ỵ s ỵ ỹ tử ữỡ ●✐↔ sû r➡♥❣ x∗ ∈ Rn t❤ä❛ ♠➣♥ F (x∗) = 0✱ F ❧✐➯♥ tư❝ ▲✐♣❝❤✐t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✱ ♥û❛ trì♥ t↕✐ x∗ ✈➔ ∂F (x∗) ❦❤æ♥❣ s✉② ❜✐➳♥✳ ❑❤✐ ✤â✱ tỗ t > s ợ x0 B(x, ) ợ {xk } ữủ t r ữỡ ◆❡✇t♦♥ ♥û❛ trì♥ ✭❚❤✉➟t t♦→♥ ✶✮ ❧➔ ①→❝ ✤à♥❤✱ ❤ë✐ tö ✤➳♥ x∗ ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥ xk+1 − x∗ = o( xk − x∗ ), ❑❤â❛ ▲✉➟♥ ❚èt ◆❣❤✐➺♣ ❦❤✐ k → +∞ ❙❱❚❍✿ ◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❇➻♥❤ ✸✾ ❈❤ù♥❣ ỗ t r > s F (x) ❦❤ỉ♥❣ s✉② ❜✐➳♥ ✈ỵ✐ ❜➜t ❦➻ x ∈ B(x∗ , r) ỵ > ❝❤➦♥ tr➯♥ ♠å✐ x ∈ B(x∗ , r) ✈➔ ❝❤å♥ ≤ r✳ ❚❛ ❝â✱ G(x0 ) ∈ ∂F (x0 ), G(x)−1 ✈ỵ✐ x1 − x∗ = x0 − x∗ − G(x0 )−1 F (x0 ) = G(x0 )−1 (F (x∗ ) − F (x0 ) − G(x0 )(x∗ − x0 )) ❉♦ t➼♥❤ ♥û❛ trì♥ ❝õ❛ F t↕✐ x✱ ✈ỵ✐ tũ ỵ < < c ợ < c < ố tỗ t r > s❛♦ ❝❤♦ F (x∗ ) − F (x0 ) − G(x0 )(x∗ − x0 ) ≤ η x0 − x∗ , ✈ỵ✐ x0 ∈ B(x∗ , r)✳ ❇ð✐ ❝â t❤➸ ❧➔♠ ❣✐↔♠ s❛♦ ❝❤♦ x1 − x∗ ≤ βη ≤ min{r, r} ♥➯♥ t❛ ❝â ✤÷đ❝ x0 − x∗ ≤ c x0 − x∗ < x0 − x∗ ❱➻ ✈➟②✱ ♥➳✉ x0 ∈ B(x∗ , ) t❤➻ x1 ∈ B(x∗ , )✳ ❚÷ì♥❣ tü✱ tø ✤â✱ t❛ ❝â ✤÷đ❝ xk → x∗ tø < c < 1✳ ◆❤÷♥❣ ❦❤✐ ✤â✱ ❞♦ t➼♥❤ ♥û❛ trì♥ ❝õ❛ F t↕✐ x∗ ✱ t❛ t➻♠ ✤÷đ❝✿ xk+1 − x∗ ≤ β F (x∗ ) − F (xk ) − G(xk )(x∗ − xk ) = o( xk − x∗ ) ❦❤✐ k ữ ỵ ữủ ự ♠✐♥❤✳ ✹✳✹ ◆û❛ trì♥ ❜➟❝ ❝❛♦ ❤ì♥ ❚è❝ ✤ë ❤ë✐ tư ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ◆❡✇t♦♥ ♥û❛ trì♥ ❝â t❤➸ ✤÷đ❝ ❝↔✐ t❤✐➺♥ ♥➳✉ t❛ sû ❞ư♥❣ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥û❛ trì♥ ❜➟❝ ❝❛♦ ❤ì♥✳ ❚ø ✤â✱ t❛ ❝â ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ s❛✉✿ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✹✳✹✳✶✳ ❈❤♦ F : U → Rn ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ t➟♣ ♠ð U ⊂ Rn✳ ❑❤✐ ✤â✱ ợ < F ữủ ♥û❛ trì♥ ❜➟❝ γ t↕✐ x ∈ U ♥➳✉ F t ữỡ t x tỗ t F (x, ·) ✈➔ ✈ỵ✐ ❜➜t ❦➻ G ∈ ∂F (x + d), Gd − F (x, d) = O( d ❑❤â❛ ▲✉➟♥ ❚èt ◆❣❤✐➺♣ 1+γ ) ❦❤✐ d → ❙❱❚❍✿ ◆❣ỉ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❇➻♥❤ ✹✵ ◆➳✉ F ❧➔ ♥û❛ trì♥ ❜➟❝ γ t↕✐ ♠å✐ x ∈ U t❤➻ t❛ ❣å✐ F ❧➔ ♥û❛ trì♥ ❜➟❝ γ ✭tr➯♥ U ✮✳ ❚❛ õ ởt t t tữỡ tỹ ữ ỵ ỵ F : U Rm ữủ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ t➟♣ ♠ð U ⊂ Rn✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈ỵ✐ x ∈ U ✈➔ < γ ≤ ✱ ❝→❝ ♠➺♥❤ ✤➲ s❛✉ ✤➙② ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿ ❛✮ F ❧➔ ♥û❛ trì♥ ❜➟❝ γ t↕✐ x✳ ❜✮ F ❧✐➯♥ tư❝ ▲✐♣❝❤✐t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ t↕✐ x✱ F (x, ·) tỗ t ợ t G F (x + d)✱ F (x + d) − F (x) − Gd = O( d 1+γ ) ❦❤✐ d → ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❤❡♦ ❦➳t q✉↔ tr♦♥❣ ❬✶✸❪✱ ♥û❛ trì♥ ❜➟❝ γ t↕✐ x ♥❣❤➽❛ ❧➔ ❇✲✈✐ ♣❤➙♥ ❜➟❝ γ t↕✐ x✳ ❚✐➳♣ t❤❡♦ t❛ t✐➳♥ ❤➔♥❤ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♥❤÷ tr♦♥❣ ỵ t tử r ❧➔ ♥û❛ trì♥ ❜➟❝ γ ✳ ❈❤➼♥❤ ①→❝ ❤ì♥✱ t❛ õ ỵ U ♠ð✳ ◆➳✉ F : U → Rm ❦❤↔ ✈✐ ❧✐➯♥ tư❝ tr♦♥❣ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ x ∈ U ✈ỵ✐ ❧✐➯♥ tö❝ ❍♦❧❞❡r ✤↕♦ ❤➔♠ ❜➟❝ γ ✱ < γ ≤ t❤➻ F ❧➔ ♥û❛ trì♥ ❜➟❝ γ t↕✐ x ✈➔ ∂F (x) = ∂B F (x) = {F (x)} ỵ tử ữỡ ỷ trỡ ❜➟❝ γ ✮ ●✐↔ sû x∗ ∈ Rn t❤ä❛ ♠➣♥ F (x∗) = 0✱ F ❧✐➯♥ tư❝ ▲✐♣❝❤✐t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✈➔ ♥û❛ trì♥ ❜➟❝ γ t↕✐ x∗✱ ✈ỵ✐ < γ ≤ ✈➔ ∂F (x∗) ❦❤æ♥❣ s✉② ❜✐➳♥✳ ❑❤✐ õ tỗ t > s ợ x0 B(x, ) ợ {xk } ữủ t Pữỡ ♣❤→♣ ◆❡✇t♦♥ ♥û❛ trì♥ ✭❚❤✉➟t t♦→♥ ✶✮ ❧➔ ①→❝ ✤à♥❤✱ ❤ë✐ tö ✤➳♥ x∗ ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥ xk+1 − x∗ = O( xk − x∗ 1+γ ), ❦❤✐ k → ự ỗ t r > s ∂F (x) ❦❤ỉ♥❣ s✉② ❜✐➳♥ ✈ỵ✐ ❜➜t ❦➻ ⊂ Rn x B(x , r) ỵ β > ❧➔ ❝❤➦♥ tr➯♥ ❑❤â❛ ▲✉➟♥ ❚èt ◆❣❤✐➺♣ G(x)−1 ✈ỵ✐ ❙❱❚❍✿ ◆❣ỉ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❇➻♥❤ ✹✶ ♠å✐ x ∈ B(x∗ , r) ✈➔ ❝❤å♥ ≤ r✳ ❚❛ ❝â✱ G(x0 ) ∈ ∂F (x0 ), x1 − x∗ = x0 − x∗ − G(x0 )−1 F (x0 ) = G(x0 )−1 (F (x∗ ) − F (x0 ) − G(x0 )(x∗ − x0 )) ❉♦ t➼♥❤ ♥û❛ trì♥ ❜➟❝ γ ❝õ❛ F t↕✐ x (0 < γ ≤ 1)✱ ợ tũ ỵ < < ợ c < c < ố tỗ t r > s❛♦ ❝❤♦ F (x∗ ) − F (x0 ) − G(x0 )(x∗ − x0 ) ≤ η x0 − x∗ 1+γ ✈ỵ✐ x0 ∈ B(x∗ , r)✳ ❇ð✐ ❝â t❤➸ ❧➔♠ ❣✐↔♠ x1 − x∗ ≤ βη s❛♦ ❝❤♦ x0 − x∗ ≤ min{r, r} ♥➯♥ t❛ ❝â ✤÷đ❝ 1+γ ≤c x0 − x∗ 1+γ < x0 − x∗ 1+γ ❱➻ ✈➟②✱ ♥➳✉ x0 ∈ B(x∗ , ) t❤➻ x1 ∈ B(x∗ , )✳ ❚÷ì♥❣ tü✱ tø ✤â✱ t❛ ❝â ✤÷đ❝ xk → x∗ tø < c < 1✳ ◆❤÷♥❣ ❦❤✐ ✤â✱ ❞♦ t➼♥❤ ♥û❛ trì♥ ❝õ❛ F t↕✐ x∗ ✱ t❛ t➻♠ ✤÷đ❝✿ xk+1 − x∗ ≤ β F (x∗ ) − F (xk ) − G(xk )(x∗ − xk ) = O( xk − x∗ 1+γ ) ❦❤✐ k → ∞ ◆❤÷ ✈➟②✱ ✤à♥❤ ỵ ữủ ự ♥û❛ trì♥ ✹✳✺✳✶ ❍➔♠ ❒✲❝❧✐t ❝❤✉➞♥ ❍➔♠ ❒✲❝❧✐t ❝❤✉➞♥ e : x ∈ Rn → x (xT x)1/2 ❧➔ ♠ët ✈➼ ❞ư q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ ♥û❛ trì♥ ❜➟❝ ✶✳ ❘ã r➔♥❣ e ❧✐➯♥ tö❝ ▲✐♣❝❤✐t tr➯♥ Rn ✈➔ C ∞ tr➯♥ Rn \ {0} ✈ỵ✐ xT e (x) = x ❉♦ ✤â✱ ∂e(x) = ∂B e(x) = ∂B e(0) = {v T : v ∈ Rn , v ❑❤â❛ ▲✉➟♥ ❚èt ◆❣❤✐➺♣ 2= xT x 2= ✈ỵ✐ x = 0, 1}, ✈➔ ∂e(0) = {v T : v ∈ Rn , v 2≤ 1} ❙❱❚❍✿ ◆❣æ ❚❤à ỵ e ỷ trì♥ ❜➟❝ ✶ tr➯♥ Rn \ {0}✳ ▼➦t ❦❤→❝✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ d ∈ Rn \ {0} ✈➔ v ∈ ∂e(d) ❝è ✤à♥❤ v = dT / e(d) − e(0) − vd = d d − d ✈➔ 2= ❉♦ ✤â✱ e ❝ơ♥❣ ❧➔ ♥û❛ trì♥ ❜➟❝ ✶ t↕✐ ✵✳ ✹✳✺✳✷ ❍➔♠ ❋✐s❝❤❡r✲❇✉r♠❡✐st❡r ❍➔♠ ❋✐s❝❤❡r✲❇✉r♠❡✐st❡r✿ φF B : R2 → R, φF B (x) = x1 + x2 − x21 + x22 φ = φF B ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ❝õ❛ ❤➔♠ t✉②➳♥ t➼♥❤ F (x) = x1 + x2 ✈➔ ❧➔ ♥û❛ trì♥ ❜➟❝ ✶ ✈➔ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝ ▲✐♣❝❤✐t ✭♣❤➛♥ ✹✳✺✳✶✮✳ ❉♦ ✤â✱ φ ❧✐➯♥ tö❝ t ỷ trỡ ỵ ◆❣♦➔✐ r❛✱ tø ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➲ ∂B φ ✈➔ ∂φ✱ t❛ ①→❝ ✤à♥❤ ✤÷đ❝ ∂B φ(x) = F (x) = ∂B x 2, ∂φ(x) = F (x) − ∂ x ❉♦ ✤â✱ ✈ỵ✐ x = 0✱ ∂φ(x) = ∂B φ(x) = (1, 1) − xT x , ✈➔ ∂B φ(0) = (1, 1) − y T : x 2= 1, ∂φ(0) = {(1, 1) − y T : y 2≤ 1} ❚ø ✤➙②✱ ❝â t❤➸ t❤➜② ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ R2 ✈➔ ✈ỵ✐ ♠å✐ v ∈ ∂φF B (x) ❝è ✤à♥❤ √ √ v1 , v2 ≥ 0✱ − ≤ v1 + v2 ≤ + 2✳ ✣✐➲✉ ✤â ❝❤♦ t❤➜② t➜t ❝↔ ❣r❛❞✐❡♥t s✉② rë♥❣ ✤➲✉ ❜à ❝❤➦♥ tr➯♥ ✈➔ ❜à ❝❤➦♥ tr➯♥ tø sè ❦❤æ♥❣✳ ❑❤â❛ ▲✉➟♥ ❚èt ◆❣❤✐➺♣ ❙❱❚❍✿ ◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❇➻♥❤ ✹✸ ❑➌❚ ▲❯❾◆ ❙❛✉ ♠ët t❤í✐ ❣✐❛♥ t➻♠ ❤✐➸✉ ự t ũ ợ sỹ ữợ t t t P ỵ ữớ t ✈➠♥ ❝õ❛ ❡♠ ✤➣ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤✳ ❚♦➔♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤➣ t➟♣ tr✉♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ✧P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ◆❡✇t♦♥ ♥û❛ trì♥✧✳ ❈ư t❤➸ ❧➔ ✤➣ ✤↕t ✤÷đ❝ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ s❛✉✿ r ữỡ t ợ ổ tự ✤➸ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ①➜♣ ①➾ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ F (x) = ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷đ❝ sü ❤ë✐ tư ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥➔②✳ ✲ ◆➯✉ ✤÷đ❝ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠✱ ❝→❝ ✤à♥❤ ❧➼ ✈➔ ❤➺ q✉↔ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ◆❡✇t♦♥ ♥û❛ trì♥ tr♦♥❣ R ✈➔ tr♦♥❣ Rn ✳ ❇➯♥ ❝↕♥❤ ✤â✱ ♠ët sè ✈➼ ❞ư sè ✤÷đ❝ ✤÷❛ r❛ ✤➸ ♠✐♥❤ ❤å❛ ❝❤♦ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✈➔ tè❝ ✤ë ❤ë✐ tư ❝õ❛ ❣✐↔✐ t❤✉➟t ❝â tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ▼➦❝ ❞ò ✤➣ ❝â ♥❤✐➲✉ ❝è ❣➢♥❣✱ ♥é ❧ü❝ tr♦♥❣ ✈✐➺❝ t➻♠ tá✐ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥❤÷♥❣ ❞♦ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝á♥ ❤↕♥ ❝❤➳ ✈➔ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❦❤ỉ♥❣ ❝❤♦ ♣❤➨♣ ♥➯♥ ✤➲ t➔✐ ♥➔② ❦❤æ♥❣ t❤➸ tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣ t❤✐➳✉ sât ✈➲ ❝↔ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❧➝♥ ❤➻♥❤ t❤ù❝✳ ❊♠ r➜t ♠♦♥❣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ♥❤ú♥❣ þ ❦✐➳♥ ✤â♥❣ ❣â♣ q✉þ ❜→✉ tø ♣❤➼❛ ❝→❝ t❤➛② ❝æ ❣✐→♦ ✈➔ ❝→❝ ❜↕♥ s✐♥❤ ✈✐➯♥ ✤➸ ✤➲ t➔✐ ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❤ì♥✳ ❊♠ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥✦ ❑❤â❛ ▲✉➟♥ ❚èt ◆❣❤✐➺♣ ❙❱❚❍✿ ◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❇➻♥❤ ✹✹ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❬✶❪ P❤↕♠ ❑ý ❆♥❤ ✭✶✾✾✺✮✱ ●✐↔✐ t➼❝❤ sè✱ tr ✶✵✸✲✶✵✺✱ ◆❳❇ ✣↕✐ ❤å❝ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❍➔ ◆ë✐✳ ❬✷❪ ✣➦♥❣ ◆❣å❝ ❉ö❝✱ ◆❣✉②➵♥ ❱✐➳t ✣ù❝ ✭✷✵✵✾✮✱ ✣↕✐ sè t✉②➳♥ t➼♥❤✱ tr ✷✽✲✸✹✱ ◆❳❇ ✣➔ ◆➤♥❣✳ ❚♦→♥ ❝❛♦ P ỵ ữớ ổ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❇➻♥❤ ✭✷✵✶✸✮✱ ✧ ✣↕♦ ❤➔♠ ◆❡✇t♦♥ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ◆❡✇t♦♥ ♥û❛ trì♥✧✱ ✣↕✐ ❤å❝ ✣➔ ◆➤♥❣✱ ✽✭✻✾✮✳ ❚↕♣ ❝❤➼ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✈➔ ❝æ♥❣ ♥❣❤➺✱ ❬✹❪ ◆❣✉②➵♥ ✣➻♥❤ ❚r➼ ỗ ý ❝❛♦ ❝➜♣ ✭❚➟♣ ✶✮✲ ✣↕✐ sè ✈➔ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❣✐↔✐ t➼❝❤✱ ◆❳❇ ●✐→♦ ❞ö❝ ❱✐➺t ◆❛♠✳ ❬✺❪ ◆❣✉②➵♥ ✣➻♥❤ ❚r➼ ỗ ý ❝❛♦ ❝➜♣ ✭❚➟♣ ✸✮✲ P❤➨♣ t➼♥❤ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥ sè✱ ◆❳❇ ●✐→♦ ❞ö❝ ❱✐➺t ◆❛♠✳ ❬✻❪ ❇♦♥♥❛♥s✱ ❏✳ ❋r➨❞➨r✐❝✱ ❏✳ ❈✳ ●✐❧❜❡rt✱ ❛♥❞ ❈✳ ▲❡♠❛r➨❝❤❛❧✳ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥✳ ❙♣r✐♥❣❡r✱ ✷✵✵✼✳ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❬✼❪ ▼✳ ❍✐♥t❡r♠✉❧❧❡r✱ ❑✳ ■t♦ ❛♥❞ ❑✳❑✉♥✐s❝❤✳ ❚❤❡ Pr✐♠❛❧✲❉✉❛❧ ❆❝t✐✈❡ ❙❡t ❙tr❛t❡❣② ❛s ❛ ❙❡♠✐s♠♦♦t❤ ◆❡✇t♦♥ ▼❡t❤♦❞✳ ♠✐③❛t✐♦♥✱ ✶✸✿✸✱ ✽✻✺✲✽✽✽✱✷✵✵✷✳ ❙■❆▼ ❏♦✉r♥❛❧ ♦♥ ❖♣t✐✲ ❬✽❪ ❘✳ ●r✐❡ss❡ ❛♥❞ ❉✳ ❆✳ ▲♦r❡♥③✳ ❆ s❡♠✐s♠♦♦t❤ ◆❡✇t♦♥ ♠❡t❤♦❞ ❢♦r ❚✐❦❤♦♥♦✈ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧s ✇✐t❤ s♣❛rs✐t② ❝♦♥str❛✐♥ts✳ ■♥✈❡rs❡ Pr♦❜❧❡♠s✱ ✷✹✿✵✸✺✵✵✼✱ ✷✵✵✽✳ ❑❤â❛ ▲✉➟♥ ❚èt ◆❣❤✐➺♣ ❙❱❚❍✿ ◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❇➻♥❤ ✹✺ ❬✾❪ P✳ ◗✳ ▼✉♦✐✱ ❉✳ ◆✳ ❍➔♦✱ P✳ ▼❛❛ss✱ ▼✳ P✐❞❝♦❝❦✳ ❙❡♠✐s♠♦♦t❤ ◆❡✇t♦♥ ❛♥❞ ◗✉❛s✐✲◆❡✇t♦♥ ▼❡t❤♦❞s ✐♥ ❲❡✐❣❤t❡❞ ✲❘❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥✱ s✉❜♠✐tt❡❞✱ ✷✵✶✸✳ ❬✶✵❪ ❈✳ ❈❧❛s♦♥ ❛♥❞ ❇✳ ❏✐♥✳ ❆ ❙❡♠✐s♠♦♦t❤ ◆❡✇t♦♥ ▼❡t❤♦❞ ❢♦r ◆♦♥❧✐♥❡❛r P❛r❛♠❡t❡r ■❞❡♥t✐❢✐❝❛t✐♦♥ Pr♦❜❧❡♠s ✇✐t❤ ■♠♣✉❧s✐✈❡ ◆♦✐s❡✳ ❙■❆▼ ❏♦✉r✲ ♥❛❧ ♦♥ ■♠❛❣✐♥❣ ❙❝✐❡♥❝❡s ✷✵✶✷ ✺✿✷✱ ✺✵✺✲✺✸✻✳ ❬✶✶❪ ❋✳ ❍✳❈❧❛r❦❡✱ ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ❛♥❞ ♥♦♥s♠♦♦t❤ ❛♥❛❧②s✐s✱ ❏♦❤♥ ❲✐❧❡② ✫ ❙♦♥s ■♥❝✳✱ ◆❡✇❨♦r❦✱ ✶✾✽✸✳ ❈♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ s♦♠❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠s ❢♦r s♦❧✈✐♥❣ ♥♦♥s♠♦♦t❤ ❡q✉❛t✐♦♥s✱ ▼❛t❤✳❖♣❡r✳ ❘❡s✳✱ ✶✽✭✶✾✾✸✮✱ ♣♣✳✷✷✼✕✷✹✹✳ ❬✶✸❪ ▲✳◗✐ ❛♥❞ ❏✳❙✉♥✱ ❆ ♥♦♥s♠♦♦t❤ ✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ◆❡✇t♦♥✬s ♠❡t❤♦❞✱ ▼❛t❤✳ Pr♦✲ ❬✶✷❪ ▲✳◗✐✱ ❣r❛♠♠✐♥❣✱ ✺✽✭✶✾✾✸✮✱ ♣♣✳✸✺✸✕✸✻✼✳ ❬✶✹❪ ▼✐❝❤❛❡❧ ❍✐♥t❡r♠✉❧❧❡r✱ ❙❡♠✐s♠♦♦t❤ ◆❡✇t♦♥ ▼❡t❤♦❞s ❛♥❞ ❆♣♣❧✐❝❛✲ t✐♦♥s✳ ❉❡♣❛rt♠❡♥t ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ❍✉♠❜♦❧❞t✲❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❇❡r❧✐♥✱ ✶✶✭✷✵✶✵✮✳ ❬✶✺❪ ❙♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ♠♦♥♦t♦♥❡ ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t❛r✐t② ♣r♦❜❧❡♠s ✇✐t❤ ❧♦❝❛❧❧② ❧✐♣s✲ ❝❤✐t③✐❛♥ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ▼❛t❤✳Pr♦❣r❛♠♠✐♥❣✱ ✼✻✭✶✾✾✼✮✱ ♣♣✳✺✶✸✕✺✸✷✳ ❬✶✻❪ ▼✐❝❤❛❡❧ ❯❧❜r✐❝❤✱ ◆♦♥s♠♦♦t❤ ◆❡✇t♦♥✲❧✐❦❡ ▼❡t❤♦❞s ❢♦r ❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❛♥❞ ❈♦♥str❛✐♥❡❞ ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❋✉♥❝t✐♦♥ ❙♣❛❝❡s✱ ❏✉♥❡ ✷✵✵✶✱r❡✈✐s❡❞ ❋❡❜r✉❛r② ✷✵✵✷ ❬✶✼❪ ❑✳ ❇r❡❞✐❡s✱ ❉✳❆✳ ▲♦r❡♥③✱ ❛♥❞ P✳ ▼❛❛ss✳ ❆ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❝♦♥❞✐✲ t✐♦♥❛❧ ❣r❛❞✐❡♥t ♠❡t❤♦❞ ❛♥❞ ✐ts ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥ t♦ ❛♥ ✐t❡r❛t✐✈❡ s❤r✐♥❦❛❣❡ ♠❡t❤♦❞✳❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥✱ ✹✷✭✷✮✿✶✼✸✲✶✾✸✱ ✷✵✵✾✳ ❬✶✽❪ ■✳ ❉❛✉❜❡❝❤✐❡s✱ ▼✳ ❉❡❢r✐s❡✱ ❛♥❞ ❈✳ ❉❡▼♦❧✳ ❆♥ ✐t❡r❛t✐✈❡ t❤r❡s❤♦❧❞✐♥❣ ❛❧✲ ❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ❧✐♥❡❛r ✐♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠s ✇✐t❤ ❛ s♣❛rs✐t② ❝♦♥str❛✐♥t✳ ❈♦♠♠✳ P✉r❡ ❆♣♣❧✳ ▼❛t❤✱ ✺✼✿✶✹✶✸✕✶✺✹✶✱ ✷✵✵✹✳ ❑❤â❛ ▲✉➟♥ ❚èt ◆❣❤✐➺♣ ❙❱❚❍✿ ◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❇➻♥❤