Phương pháp newton nửa trơn

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♠❛ tr➟♥ ❈❤♦ A = [aij ]mn ❝ï m × n ✈➔ ♠❛ tr➟♥ B = [bik ]nq ❝ï n × q ✳ ❚➼❝❤ ❝õ❛ A ✈ỵ✐ B ❧➔ ♠ët ♠❛ tr➟♥ C = [cij ]mq ❝ï m × q, ✈ỵ✐ m n cik = aij bjk = ai1 bik + ai2 b2k + + ain bnk , i = 1, m, k = 1, q i=1 j=1 ❑➼ ❤✐➺✉✿ C = A.B ❤❛② C = AB ú ỵ tr A ữủ ✈ỵ✐ ♠❛ tr➟♥ B t❤➻ sè ❝ët ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ A ♣❤↔✐ ❜➡♥❣ sè ❤➔♥❣ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ B ✳ ✐✐✮ ❚➼❝❤ ❤❛✐ ♠❛ tr➟♥ ❦❤æ♥❣ ❝â t➼♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦→♥✳ ✶✳✷✳✺ ❈❤✉➞♥ ♠❛ tr➟♥ ❈❤✉➞♥ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ A✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ ||A|| t❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❧➔ ♠ët sè ❦❤æ♥❣ ➙♠ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉✿ ❑❤â❛ ▲✉➟♥ ❚èt ◆❣❤✐➺♣ ❙❱❚❍✿ ◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❇➻♥❤ ✶✵ ✭✶✮ ||A|| ≥ ✈➔ ||A|| = ⇔ A = 0✳ ✭✷✮ ||αA|| = |α|||A||, α ❧➔ sè t❤ü❝ ❜➜t ❦➻✳ ✭✸✮ ||A + B|| ≤ ||A|| + ||B||✳ ✭✹✮ ||A.B|| = ||A||.||B||✳ ◆❣÷í✐ t❛ t❤÷í♥❣ ❞ị♥❣ ❜❛ ❝❤✉➞♥ s❛✉✿ ❈❤✉➞♥ ❝ët✿ m ||A||1 = max |aij | j ❈❤✉➞♥ ❒❝❧✐t✿  m i=1 1/2 n a2ij  ||A||2 =  i=1 j=1 ❈❤✉➞♥ ❤➔♥❣✿ n ||A||∞ = max i ❱➼ ❞ö ✶✳✷✳✶✳ ❈❤♦ |aij | j=1   −2   A=1 3 −1 ❚❛ t➼♥❤ ✤÷đ❝ ❝→❝ ❝❤✉➞♥ ❝õ❛ A t❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ tr➯♥ ♥❤÷ s❛✉✿ ||A||1 = max(5 + + 2, + + 1, + + 7) = max(8, 7, 11) = 11✳ ||A||2 = (52 + 22 + + + 42 + 32 + 22 + + 72 )1/2 = 1101/2 = 10.5 ||A||∞ = max(5 + + 1, + + 3, + + 7) = max(8, 8, 10) = 10 ✶✳✸ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ Rn ✶✳✸✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❚❛ ❦➼ ❤✐➺✉ Rn ❧➔ t➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ ❜ë ❝â t❤ù tü ❝õ❛ n sè t❤ü❝✱ Rn = {(x1 , x2 , , xn ); xi ∈ R} ❑❤✐ n = t❤➻ R1 ❧➔ t➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ sè t❤ü❝ R✳ ❑❤✐ n = t❤➻ R2 ❧➔ t➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ ❝➦♣ sè t❤ü❝ (x1 , x2 ) ❤❛② t➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❝â tå❛ ✤ë (x1 , x2 )✳ ❈→❝ ✤✐➸♠ ❝õ❛ R2 t❤÷í♥❣ ✤÷đ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ (x, y) t❤❛② ❝❤♦ (x1 , x2 )✳ ❑❤â❛ ▲✉➟♥ ❚èt ◆❣❤✐➺♣ ❙❱❚❍✿ ◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ữỡ Pì PP Rn ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ tr➻♥❤ ❜➔② ✈➲ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❦❤↔ ✈✐ s✉② rë♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ ❦❤ỉ♥❣ ❦❤↔ ✈✐ ❝ị♥❣ ✈ỵ✐ ỵ t t ự ỵ ❚✐➳♣ t❤❡♦✱ t❛ s➩ t➻♠ ❤✐➸✉ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ♥û❛ trì♥✳ ❈✉è✐ ❝ị♥❣✱ t❛ tr➻♥❤ ❜➔② ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ◆❡✇t♦♥ ♥û❛ trì♥ tr♦♥❣ Rn ✈➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ sü ❤ë✐ tư ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ♥â ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✮✳ ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② sû ❞ư♥❣ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ t÷ì♥❣ ù♥❣ ❝→❝ ❞❛♥❤ ♠ö❝ ❬✶✶✲✶✻❪✳ ✹✳✶ ❱✐ ♣❤➙♥ s✉② rë♥❣ ❱✐➺❝ ①➙② ❞ü♥❣ ♠ët ❦❤↔ ✈✐ s✉② rë♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❤➔♠ ổ ỹ r ỵ ỵ r sỷ F : Rn → Rm ❧✐➯♥ tư❝ ▲✐♣❝❤✐t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳ ❑❤✐ ✤â✱ F ❦❤↔ ✈✐ 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F s✉② r❛ ❝❤♦ xk → x✱ Gk ∈ ∂F (xk ) ✈➔ Gk → G t❤➻ G ∈ ∂F (x)✳ ❚÷ì♥❣ tü ∂B F ✈➔ ∂C F ✳ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ♥➔② ❝ơ♥❣ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ t➼♥❤ ✤â♥❣ ❝õ❛ ∂B F ✱ ∂F ✈➔ ∂C F ✱ t÷ì♥❣ ù♥❣ t↕✐ ①✳ ❏❛❝♦❜✐ s✉② rë♥❣ ✭❣r❛❞✐❡♥t✮ t❤ä❛ ♠➣♥ t➼♥❤ ❝❤➜t ✈➲ ❣✐→ trà tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ♥❤÷ s❛✉✿ ❑❤â❛ ▲✉➟♥ ❚èt ◆❣❤✐➺♣ ❙❱❚❍✿ ◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❇➻♥❤ ✸✸ ỵ ỵ U tö ✈➔ ♠ð✳ ❈❤♦ F : U → Rm ❧✐➯♥ tử t ữỡ õ ợ t x, y ∈ U ✱ ⊂ Rn F (y) − F (x) ∈ co(∂F ([x, y])(y − x)), tr♦♥❣ ✤â [x, y] ✤↕✐ ❞✐➺♥ ❝❤♦ ♣❤➙♥ ❦❤ó❝ ✤÷í♥❣ ♥è✐ x ✈➔ y✳ ✣➸ t➼♥❤ t♦→♥ ❝→❝ ✤↕♦ ❤➔♠ s✉② rë♥❣ ❝õ❛ F ✱ t❛ ✤✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ q✉② t➢❝ ✤↕♦ ủ s rở ỵ ✹✳✶✳✹✳ ❬✶✶✱ ❍➺ q✉↔ ✷✳✻✳✻❪ ❈❤♦ U ⊂ Rn ✈➔ V ❧➔ t➟♣ ♠ð ❦❤æ♥❣ ré♥❣✳ ❈❤♦ g : U → V ❧✐➯♥ tư❝ ▲✐♣❝❤✐t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ t↕✐ x ∈ U ✈➔ ❝❤♦ h : V → Rm ❧✐➯♥ tö❝ ▲✐♣❝❤✐t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ t↕✐ g(x)✳ ❑❤✐ ✤â✱ F = h g t ữỡ t x ợ v ∈ Rn ❝❤♦ r➡♥❣✿ ⊂ Rl ∂F (x)v ⊂ co(∂h(g(x))∂g(x)v) = co{Gh Gg v : Gh ∈ ∂h(g(x)), Gg ∈ ∂g(x)} ◆➳✉✱ ♥❣♦➔✐ r❛✱ h ❦❤↔ ✈✐ ❧✐➯♥ tö❝ ❣➛♥ g(x) t❤➻ ✈ỵ✐ ♠å✐ v ∈ Rn✱ ∂F (x)v = ∇h(g(x))∂g(x)v ◆➳✉ h ❧➔ ❣✐→ trà t❤ü❝ ✭tù❝ ❧➔✱ ♥➳✉ m = 1✮ t❤➻ ❝↔ ❤❛✐ ❝❤✉é✐ q✉✐ t➢❝ ✈❡❝t♦ v ❝â t❤➸ 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✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ F (x, d) = lim t↓0 F (x + td) − F (x) t ❧➔ ♠ët ✤↕♦ t ữợ F t x t ữợ d ❈❤♦ m = 1✱ t❛ ❝â ✈ỵ✐ (x; d) ∈ U × Rn t❤➻ F (x; d) ≤ F ◦ (x; d) ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✹✳✶✳✹✳ ❈❤♦ F : U ⊂ Rn → Rm ❧➔ ▲✐♣❝❤✐t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➯♥ t➟♣ ♠ð U ✳ F ✤÷đ❝ ❝❤♦ ❧➔ C − ❝❤➼♥❤ q✉② t↕✐ x ∈ U ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ ✶✳ f t ữợ t x g (x; d) = g (x; d) ✈ỵ✐ ♠å✐ d ∈ Rn ✳ ❚❛ ❝â ❝→❝ q✉✐ t➢❝ t➼♥❤ t♦→♥✿ ✣à♥❤ ỵ Fi : Rn → R✱ i = 1, , m ❧➔ ♠ët ❤å ❝õ❛ ❤➔♠ ▲✐♣❝❤✐t t↕✐ x✳ ✶✳ ❱ỵ✐ ❜➜t ❦➻ ai✱ t❛ ❝â✿ m ∂ m F i i=1 ⊆ ∂Fi (x) i=1 ✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ♥➳✉ t➜t ❝↔ ❤➔♠ ✤➲✉ ❧➔ C − ❝❤➼♥❤ q✉② t↕✐ x ✈➔ ais ❧➔ ❦❤æ♥❣ ➙♠✳ ❑❤â❛ ▲✉➟♥ ❚èt ◆❣❤✐➺♣ ❙❱❚❍✿ ◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❇➻♥❤ ✸✺ ✷✳ ∂(F1F2)(x) ⊆ F2(x)∂F1(x) + F1(x)∂F2(x) ✈ỵ✐ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ♥➳✉ F1 ✈➔ F2 ✤➲✉ ❧➔ C − ❝❤➼♥❤ q✉② t↕✐ x ✈➔ min(F1 (x), F2 (x)) ≥ 0✳ ✸✳ ◆➳✉ g2(x) = t❤➻ ∂ F1 F2 (x) ⊆ F2 (x)∂F1 (x) − F1 (x)∂F2 (x) F22 (x) ✈ỵ✐ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ♥➳✉ F1 ✈➔ −F2 ✤➲✉ ❧➔ C − ❝❤➼♥❤ q✉② t↕✐ x✱ F1 (x) ≥ 0✱ ✈➔ F2 (x) > 0✳ ✹✳ ❈❤♦ F (x) = max{Fi(x) : i = 1, , m}✱ ❦❤✐ ✤â✿ ∂F (x) ⊆ co{∂Fi (x) : i ∈ A(x)}, tr♦♥❣ ✤â A(x) := {i : Fi(x) = F (x)}✳ ✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ♥➳✉ ♠å✐ Fi ❧➔ C q t x rữợ t ♥û❛ trì♥ ❝õ❛ F ✱ t❛ ❝â ✷ ❦➳t q✉↔ tứ sỹ t ổ trỡ ỵ ✭✣à♥❤ ❧➼ ✈➲ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝ ▲✐♣❝❤✐t ✮ ❈❤♦ F : Rn × Rp → Rn ❧✐➯♥ tư❝ ▲✐♣❝❤✐t tr♦♥❣ ♠ët ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ ♠ët ✤✐➸♠ (x, y) ∈ Rn × Rp ♠➔ F (x, y) = 0✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ t➜t ❝↔ ♠❛ tr➟♥ tr♦♥❣ x ∂F (x, y) ổ s õ tỗ t ♠ð Vx ✈➔ Vy ❝õ❛ x ✈➔ y✱ t÷ì♥❣ ù♥❣✱ s ợ ộ y Vy ữỡ tr➻♥❤ F (x, y) = ❝â ♠ët ❣✐↔✐ ♣❤→♣ ❞✉② ♥❤➜t x ≡ f (y) ∈ Vx✱f (y = x)✱ ✈➔ →♥❤ ①↕✿ f : Vx → Vy ❧✐➯♥ tử t ỵ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ tê♥❣ q✉→t✮ ❈❤♦ F : U ⊆ Rn → Rn ❧➔ ▲✐♣❝❤✐t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ t↕✐ x ∈ ω✳ ◆➳✉ ❏❛❝♦❜✐ s✉② rë♥❣ ∂F (x) ❦❤æ♥❣ s✉② ❜✐➳♥ t❤➻ F ởt t ữỡ ỗ ổ t x ỵ F (x) ổ s tự ❧➔✱ ♠å✐ G ∈ ∂F (x) ✤➲✉ ❦❤æ♥❣ s✉② ❜✐➳♥ t õ tỗ t , r > s ❝❤♦✱ ✈ỵ✐ ❜➜t ❦➻ y ∈ B(x, r) ✈➔ ❜➜t ❦➻ G(y) ∈ ∂F (y)✱ G(y) ❦❤æ♥❣ s✉② ❜✐➳♥ ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥ G(y)−1 ≤ β ❑❤â❛ ▲✉➟♥ ❚èt ◆❣❤✐➺♣ ❙❱❚❍✿ ◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❇➻♥❤ ✸✻ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ t ổ ú õ tỗ t ởt ❞➣② xk → x✱ Gk ∈ ∂F (xk ) s❛♦ ❝❤♦ ♠å✐ Gk ❧➔ s✉② G−1 → +∞✳ ❚❤❡♦ ✣à♥❤ ỵ tỗ t ởt {xk(l) } k s ❝❤♦ Gk(l) → G✳ ❑❤✐ ✤â✱ G ♣❤↔✐ s✉② ❜✐➳♥✳ ❚ø ♥û❛ ❧✐➯♥ tư❝ 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