Phương pháp newton nửa trơn cho bài toán bù phi tuyến

Lời nói đầu Chương BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C Mục lục Lời nói đầu Chương BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 1.1 Phát biểu toán 1.2 Sự tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân 1.3 Ứng dụng toán bất đẳng thức biến phân CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN CHO BÀI TOÁN BÙ PHI TUYẾN 2.1 Giới thiệu tốn 2.2 Tính chất tốn tử Φλ Tính chất hàm Ψλ 2.4 Thuật tốn hội tụ 2.5 Kết tính tốn KẾT LUẬN Lời nói đầu Chương BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C Lý chọn đề tài Lý thuyết bất đẳng thức biến phân đời vào năm 60 kỷ XX, công cụ mạnh thống để nghiên cứu toán cân Bài toán bất đẳng thức biến phân giới thiệu lần vào năm 1966.Những nghiên cứu bất đẳng thức biến phân liên quan tới việc giải toán biến phân, toán điều khiển tối ưu toán biên cho phương trình đạo hàm riêng Lời nói đầu Chương BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C Lý chọn đề tài Bất đẳng thức biến phân công cụ hữu ích việc nghiên cứu giải tốn cân kinh tế, khí, nghiên cứu tốn tử vật lí tốn Bài tốn bất đẳng thức biến phân liên quan mật thiết đến toán tối ưu khác Gần đây, toán bất đẳng thức biên phân đề tài nhiều người quan tâm nghiên cứu vai trị sử dụng cơng cụ lập trình tốn học mơ hình lớp rộng vấn đề phát sinh ngành khoa học túy ứng dụng Trong hướng nghiên cứu gần đây, việc giải toán bất đẳng thức biến phân đưa việc giải tốn tương đương có tên toán bù phi tuyến (Nonlinear complementarity problems - NCP) [4] Với mong muốn tìm hiểu kiến thức so với thân, gợi ý hướng dẫn cô Phan Quang Như Anh, em chọn đề tài: Phương pháp Newton nửa trơn cho tốn bù phi tuyến để làm khóa luận tốt nghiệp Lời nói đầu Chương BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C Mục đích nghiên cứu • Bất đẳng thức biến phân • Bài tốn bù phi tuyến • Phương pháp Newton nửa trơn cho toán bù phi tuyến Lời nói đầu Chương BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C Bố cục khóa luận Ngồi phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận trình bày ba chương: • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày kiến thức liên quan đến không gian Euclid - n chiều, tập lồi, nón lồi, hàm lồi, đạo hàm riêng, gradient, phép chiếu trực giao • Chương 2: Trình bày toán bất đẳng thức biến phân ứng dụng, định lý nghiệm toán bất đẳng thức biến phân, mối liên hệ toán bất đẳng thức biến phân toán bù phi tuyến Lời nói đầu Chương BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C Bố cục khóa luận • Chương 3: Trình bày phương pháp Newton nửa trơn cho toán bù phi tuyến Thuật toán đầu giống phương pháp Newton cổ điển ứng dụng cho hệ phương trình trơn Tuy nhiên, điểm khác biệt ta sử dụng khái niệm Jacobian suy rộng theo Clark [14] thay dùng khái niệm Jacobian cổ điển Thuật tốn hội tụ toàn cục với tốc độ hội tụ siêu tuyến tính Lời nói đầu Chương BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C 1.1 Phát biểu toán Bài toán Cho C tập con, lồi, đóng, khác rỗng Rn F : C → Rn Khi tốn bất đẳng thức biến phân, viết tắt VI (F , C ), phát biểu dạng: Tìm x ∗ ∈ C cho F (x ∗ ) , x − x ∗ ≥ ∀x ∈ C Như thường lệ, F gọi ánh xạ giá Một biểu diễn hình học toán bất đẳng thức biến phân VI (F , C ) có dạng: x ∗ ∈ C nghiệm VI (F , C ) góc tạo véc tơ F (x ∗ ) véc tơ y − x ∗ góc nhọn vng góc với y ∈ C Lời nói đầu Chương BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C 1.2 Sự tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Định nghĩa 1.2.1 Cho C tập con, lồi, khác rỗng không gian Rn ánh xạ F : C → Rn Ánh xạ F gọi (a) đơn điệu mạnh (strongly monotone) C với số β > 0, F (x) − F (y ) , x − y ≥ β x − y ∀x, y ∈ C , (b) đơn điệu chặt (strictly monotone) C , F (x) − F (y ) , x − y > ∀x, y ∈ C , x = y , (c) đơn điệu (monotone) C , F (x) − F (y ) , x − y > ∀x, y ∈ C , Lời nói đầu Chương BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C 1.2 Sự tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân (d) γ-giả đơn điệu mạnh (strongly pseudomonotone) C , với x, y ∈ C , F (y ) , x − y ≥ ⇒ F (x) , x − y ≥ γ x − y , (e) giả đơn điệu (pseudomonotone) C , với x, y ∈ C , F (y ) , x − y ≥ ⇒ F (x) , x − y ≥ 0, (f) tựa đơn điệu (quasimonotone) C , với x, y ∈ C , F (y ) , x − y > ⇒ F (x) , x − y ≥ 0, (g) tựa đơn điệu hiển (explicilty quasimonotone) C , với x, y ∈ C , F (y ) , x − y > ⇒ F (z) , x − y ≥ ∀z ∈ x +y ,x Lời nói đầu Chương BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C 1.2 Sự tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Mệnh đề 1.2.2 Cho C tập con, lồi khác rỗng Rn Nếu F : C → Rn ánh xạ tựa đơn điệu affine (hay F (x) = Mx + q, M ma trận vuông cấp n), F tựa đơn điệu hiển C Mệnh đề 1.2.3 Cho C tập còn, lồi, mở khác rỗng Rn Nếu F : C → Rn ánh xạ tựa đơn điệu affine (hay F (x) = Mx + q, M ma trận vng cấp n), F giả đơn điệu C Lời nói đầu Chương BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C 2.2 Tính chất toán tử Φλ Định nghĩa 2.2.2 ∂G (x) = conv {H∈mn |∃ x k ⊆ DG : lim x k→∞ lim G k→∞ x k = H} Jacobian suy rộng theo Clark [14] G x, với DG tập hợp tất điểm mà G khả vi Ta có ∂G (x) khác rỗng, lồi compact Định nghĩa 2.2.3 Ta gọi G nửa trơn (nửa trơn mạnh) nửa trơn (nửa trơn mạnh) điểm x ∈ Rn Ta biết với hàm C nửa trơn LC nửa trơn mạnh Lời nói đầu Chương BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C 2.2 Tính chất tốn tử Φλ Bổ đề 2.2.4 ϕλ hàm liên tục Lipschitz địa phương khả vi hầu khắp nơi ánh xạ ϕλ nửa trơn mạnh Định lý 2.2.5 Định lý bao gồm: (a) Φλ nửa trơn (b) Nếu F ánh xạ LC Φλ nửa trơn mạnh Lời nói đầu Chương BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C 2.2 Tính chất tốn tử Φλ Mệnh đề 2.2.6 Cho ánh xạ fλ : R2 → R xác dịnh fλ (a, b) := (a − b)2 + λab ∃ số c = cλ ∈ (0, 2) cho ∇fλ (a, b) → − với véc tơ (a, b) ∈ R2 khác ≤ cλ Lời nói đầu Chương BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C 2.2 Tính chất tốn tử Φλ Mệnh đề 2.2.7 Với điểm x ∈ Rn , ta có ∂Φλ (x) ⊆ Dα (x) + Db (x) F (x) , với Dα (x) = diag (a1 (x), , an (x)), DB (x) = diag (b1 (x), , bn (x)) ∈ Rn×n ma trận đường chéo mà phần tử thứ i cho (x) = (xi − Fi (x) + λFi (x)) − 1, 2 (xi − Fi (x)) + λxi Fi (x) bi (x) = −2 (xi − Fi (x) + λxi ) (xi − Fi (x))2 + λxi Fi (x) −1 Lời nói đầu Chương BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C 2.2 Tính chất toán tử Φλ Mệnh đề 2.2.7 (xi , Fi (x)) = (0, 0), với (x) = i − 1, bi (x) = χi − √ với ( i , χi ) ∈ R2 chẳng hạn (εi , χi ) ≤ cλ (xi , Fi (x)) = (0, 0), với cλ ∈ (0, 2) cho Bổ đề 2.2.6 Định nghĩa 2.2.8 Với H ∈ ∂Φλ (x) viết dạng H = Da + Db F (x) , với Da , Db ∈ Rn×n ma trận đường chéo nửa xác định âm cho tổng Da + Db xác định âm Lời nói đầu Chương BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C 2.2 Tính chất toán tử Φλ Định nghĩa 2.2.9 Một ma trận M ∈ Rn×n gọi P-Matrix với véc tơ → − x ∈ Rn khác , có số i0 = i0 (x) ∈ I cho xi0 [Mx]i0 > Mệnh đề 2.2.10 Một ma trận cho Da + Db M không suy biến với ma trận nửa xác định dương (âm) Da , Db ∈ Rn×n cho Da + Db xác định dương (âm) M ∈ Rn×n P-Matrix Mệnh đề 2.2.11 Giả sử x ∗ ∈ Rn nghiệm R-chính quy tốn bù phi tuyến Khi ta có tất phần tử Jacobian ∂Φλ (x ∗ ) khơng suy biến Lời nói đầu Chương BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C Tính chất hàm Ψλ Định lý 2.3.1 Hàm Ψλ khả vi liên tục với ∇Ψλ (x) = H T Φλ (x) cho H ∈ ∂Φλ (x) Bổ đề 2.3.2 ψλ hàm khả vi liên tục ∇ψλ (0, 0) = ta ln có ∂ψλ ∂ψλ (a, b) (a, b) ≥ ∂a ∂b với a, b ∈ R Lời nói đầu Chương BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C Tính chất hàm Ψλ Bổ đề 2.3.3 Ta ln có ψλ (a, b) = ⇔ ∇ψλ (a, b) = ⇔ ∂ψλ ∂ψλ (a, b) = ⇔ (a, b) = ∂a ∂b G iả sử x ∗ ∈ Rn điểm dừng Ψλ cho Jacobian F (x) P0 -matrix Khi x ∗ nghiệm toán bù phi tuyến Định lý 2.3.4 Giả sử x ∗ ∈ Rn điểm dừng Ψλ cho Jacobian F (x) P0 -matrix Khi x ∗ nghiệm tốn bù phi tuyến Lời nói đầu Chương BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C Tính chất hàm Ψλ Bổ đề 2.3.5 Luôn tồn số c1 > c2 > cho c1 |min {a, b}| ≤ |ϕλ (a, b)| ≤ c2 |min {a, b}| với a, b ∈ R (8) Lời nói đầu Chương BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C 2.4 Thuật toán hội tụ Thuật toán sau dùng để giải toán bù phi tuyến việc giải tương đương hệ phương trình phi tuyến Φλ (x) = Ta ứng dụng phương pháp Newton khơng trơn để giải hệ phương trình phi tuyến Phương pháp tổng quát hóa việc sử dụng hàm Ψλ trơn Nhấn mạnh thuật toán đầu giống với phương pháp Newton cổ điển ứng dụng cho hệ phương trình trơn Điểm khác biệt ta phải chọn phần tử H ∈ ∂Φλ (x) thay chọn Jacobian cổ điển Φλ x Lời nói đầu Chương BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C 2.4 Thuật toán hội tụ Thuật toán (S.0) (Khởi tạo) Chọn λ ∈ (0, 4), x ∈ Rn , ρ > 0, β ∈ (0, 1), σ ∈ (0, 1/2), p > 2, ≥ 0, tập hợp k:=0 (S.1) (Điều kiện dừng) Nếu ∇Ψλ x k ≤ , dừng vịng lặp (S.2) (Tìm kiếm phương án tính tốn) Chọn phần từ Hk ∈ ∂Φλ (x k ) Tìm nghiệm d k ∈ Rn hệ tuyến tính Hk d = −Φλ x k Lời nói đầu Chương BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C 2.4 Thuật toán hội tụ Thuật tốn Nếu hệ khơng tìm nghiệm điều kiện giảm ∇Ψλ (x k )T d k ≤ −ρ d k p không thỏa mãn, đặt d k := ∇Ψλ (x k ) (S.3) (Tìm kiếm) Tính tk := max β | = 0, 1, 2, cho Ψλ x k + tk d k ≤ Ψλ (x k ) + σ∇Ψλ (x k )T d k (S.4) (Thay nghiệm tìm được) Đặt x k+1 := x k + tk d k , k ← k + 1, tiến hành quay lại bước (S.1) Tính chất tồn cục địa phương thuật tốn tóm tắt định lý sau Lời nói đầu Chương BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C 2.4 Thuật toán hội tụ Định lý 2.4.1 (a) Mỗi điểm tụ dãy x k tạo thành từ thuật toán điểm dừng Ψλ (b) Giả sử x ∗ điểm tụ bị lập dãy x k tạo thuật tốn Vậy dãy x k hội tụ đến điểm x ∗ (c) Giả sử x ∗ điểm tích lũy dãy x k tạo thuật tốn cho x ∗ nghiệm R-chính quy toán bù phi tuyến Như vậy: (i) Dãy x k hội tụ đến x ∗ (ii) Hướng tìm kiếm d k suy từ nghiệm phương trình tuyến tính Hk d = −Φλ (x k ) bước (S.2) thuật toán (iii) Số lượng bước lặp tối đa tk = chấp nhận với k đủ lớn (iv) Tốc độ hội tụ tốn siêu tuyến tính (v) Ngồi ra, F ánh xạ LC , tốc độ hội tụ Q-bậc Lời nói đầu Chương BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C Kết luận Sau thời gian tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu, với giúp đỡ nhiệt tình ThS Phan Quang Như Anh luận văn em hồn chỉnh Khóa luận em tập trung nghiên cứu : "Phương pháp Newton nửa trơn cho toán bù phi tuyến" Sau em đạt kết sau: Phát biểu toán bất đẳng thức biến phân, tìm hiểu tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân ứng dụng tốn Lời nói đầu Chương BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C Kết luận Trình bày phương pháp Newton nửa trơn cho toán bù phi tuyến mối liên hệ toán bất đẳng thức biến phân toán bù phi tuyến Rn Thơng qua đưa số ví dụ cụ thể cho việc tìm nghiệm gần toán Tuy nhiên kiến thức chưa đủ rộng sâu nên nội dung thực nhiều hạn chế sai sót Rất mong góp ý xây dựng quý thầy cô bạn sinh viên để khóa luận hồn thiện Xin chân thành cảm ơn! ... PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C Kết luận Trình bày phương pháp Newton nửa trơn cho toán bù phi tuyến mối liên hệ toán bất đẳng thức biến phân tốn bù phi tuyến Rn Thơng qua... thức biến phân • Bài tốn bù phi tuyến • Phương pháp Newton nửa trơn cho tốn bù phi tuyến Lời nói đầu Chương BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C Bố cục khóa... CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C 2.4 Thuật toán hội tụ Thuật toán sau dùng để giải toán bù phi tuyến việc giải tương đương hệ phương trình phi tuyến Φλ (x) = Ta ứng dụng phương pháp Newton