báo cáo bài tập lớn giải tích 2 tích phân đường ứng dụng

LỜI CẢM ƠN Trong quá trình thực hiện Bài tập lớn, cũng như bài báo cáo và phần mềm lập trình Matlab, nhóm chúng em đã nhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ của các anh chị khóa trước

BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG & ỨNG DỤNG

Giảng viên hướng dẫn: TS Trần Ngọc Diễm

Nhóm: GT2-L18-16 Ngày 23 tháng 04 năm 2022

YÊU CẦU ĐỀ TÀI

Câu 1: Nêu 5 ứng dụng thực tế của tích phân đường, cho ví dụ cụ thể (chỉ ra tính thực tế của

ứng dụng)

Câu 2: Viết một code tính diện tích mặt trụ đứng, có một biên nằm trên đường cong x x t , y  y t , t1 t t2 trong mặt phẳng Oxy, biên còn lại nằm trong mặt cong f  f x y ,  Vẽ mặt trụ này Cho phép người dùng nhập x  x t , y y t , t1, t2, f x y ,

NHẬN XÉT VÀ CHẤM ĐIỂM CỦA THẦY/CÔ

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình thực hiện Bài tập lớn, cũng như bài báo cáo và phần mềm lập trình Matlab, nhóm chúng em đã nhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ của các anh chị khóa trước và các bạn sinh viên cùng khóa, đặc biệt là cô Trần Ngọc Diễm, giảng viên bộ môn Giải tích 2, lớp L18 Dù lớp học có đến hàng trăm sinh viên nhưng cô vẫn sẵn lòng dành chút thời gian quý báu của mình để hướng dẫn tận tình cho từng nhóm, phân tích kĩ từng câu hỏi, từng yêu cầu đề bài đưa ra Cũng vì thế mà nhóm chúng em đã hiểu rõ hơn về đề tài mà nhóm đang tìm hiểu và có đủ kiến thức để vượt qua những rào cản khi thực hiện Bài báo cáo để hoàn thành đúng tiến độ

Tuy đã cố gắng hết sức nhưng vì là công việc không chuyên nên chắc hẳn không thể tránh khỏi những sơ sót khi viết Bài báo cáo Mong cô bỏ qua!

Tập thể Nhóm 16, Lớp L18

MỤC LỤC

NHẬN XÉT VÀ CHẤM ĐIỂM CỦA THẦY/CÔ i

LỜI CẢM ƠN ii

CHƯƠNG 1 PHẦN MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 2

2.1 Tham số hóa đường cong 2

2.2 Tích phân đường loại 1 2

2.3 Tích phân đường loại 2 4

CHƯƠNG 3 THỰC HIỆN YÊU CẦU ĐỀ BÀI 7

3.1 Câu 1 7

3.2 Câu 2 15

3.2.1 Code Matlab 15

3.2.2 Một số ví dụ minh họa 16

CHƯƠNG 4 KẾT LUẬN 19

TÀI LIỆU THAM KHẢO 20

CHƯƠNG 1 PHẦN MỞ ĐẦU

Giải tích là môn học đại cương có tầm quan trọng đối với sinh viên các ngành thuộc khối

Khoa học kỹ thuật – Công nghệ nói chung và sinh viên Đại học Bách Khoa Tp.HCM nói

riêng Giải tích ứng dụng trong hầu hết các lĩnh vực của đời sống như: khoa học, kinh tế, môi

trường, xử lí tín hiệu, đồ họa, công nghệ máy tính, trí tuệ nhân tạo, Do đó, việc dành nhiều thời gian cho môn học này là điều tất yếu để giúp cho sinh viên có được cơ sở vững chắc về các môn khoa học tự nhiên và làm tiền đề để học tốt các môn học khác Sự phát triển của toán tin ra đời đã hỗ trợ rất lớn trong quá trình phát triển của giải tích Việc ứng dụng tin học trong quá trình giải thích các cơ sở dữ liệu của đại số, giải các bài toán đại số đã làm cho thời gian

bỏ ra được rút ngắn lại và mang lại hiệu quả cao hơn

Trong chương trình học, giải tích tập trung xoay quanh các nội dung như: giới hạn, liên

tục, đạo hàm, vi phân, tích phân và chuỗi Nhưng, tích phân có lẽ là vấn đề luôn được nhiều học sinh/ sinh viên quan tâm, vì đây là nội dung khá khó, mới mẻ và chiếm khối lượng kiến thức rộng lớn Hơn thế nữa, tích phân đường còn là một phạm trù mới hoàn toàn mà ở bậc THPT chúng ta chưa từng được tiếp cận nhưng lại có ứng dụng rất nhiều trong thực tế (như tính khối lượng một sợi dây mỏng hay tính công do một lực thực hiện trên một đường cong, v.v )

Ở Bài tập lớn này, nhóm chúng em thực hiện nội dung “Tìm hiểu về tích phân đường và một số ứng dụng thực tế của tích phân đường” Đây là một đề tài không dễ để có thể hoàn thành nhưng nhóm hi vọng sau đề tài này sẽ giúp các bạn học sinh/ sinh viên đến gần hơn với tích phân và không còn cảm thấy khô khan, khó hiểu khi giải những bài tập liên quan đến tích phân, đặc biệt là tích phân đường

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT

2.1 Tham số hóa đường cong

Có 3 dạng tham số hóa đường cong thường gặp trong đường cong phẳng:

- Theo tọa độ Descartes: tham số là x hoặc y

- Theo tham số dạng tổng quát t

- Theo tọa độ cực: tham số là r hoặc 

a) Tham số hóa đường cong phẳng dạng tổng quát

Chúng ta có thể tham số hóa như sau:

 

 

cossin

c) Tham số hóa đường cong trong không gian

Nguyên tắc: Tham số hóa cho 2 biến trong mặt phẳng để suy ra tham số cho biến thứ 3

- Bước 1: Chiếu đường cong lên mặt phẳng thích hợp

- Bước 2: Tham số hóa cho đường cong trong hình chiếu (trong mặt phẳng)

- Bước 3: Tham số hóa cho biến còn lại

2.2 Tích phân đường loại 1

a) Định nghĩa

- Cho f x y , xác định và liên tục trên đường cong (C) với điểm đầu là A, điểm cuối là B

- Phân hoạch 𝐴𝐵⏜ thành những cung 𝐶𝑘 có độ dài ∆𝑙𝑘

- Trên mỗi cung 𝐶𝑘 lấy điểm 𝑀𝑘, xét tổng:

- Trong mặt phẳng Oxy cho hàm vector 𝐹⃗ = (𝑃(𝑥, 𝑦), 𝑄(𝑥, 𝑦)) xác định trên cung 𝐵𝐶⏜

- Phân hoạch cung 𝐵𝐶⏜ thành n cung nhỏ không trùng lên nhau bởi 𝐵0, 𝐵1, … 𝐵𝑛

- Lấy điểm M(𝑥𝑘, 𝑦𝑘) trên cung 𝐵⏜ và lập thành tổng tích phân: 𝑘𝐵𝑘+1

𝑆𝑛 = ∑[𝑃(𝑥𝑘, 𝑦𝑘)∆𝑥𝑘+ 𝑄(𝑥𝑘, 𝑦𝑘)∆𝑦𝑘]

𝑛

𝑘=1

- Nếu lim

𝑛→∞𝑆𝑛 tồn tại hữu hạn thì giới hạn đó là tích phân đường loại 2 của hàm P(x,y),

Q(x,y) dọc theo cung 𝐵𝐶⏜ :

- Trường hợp 1:  C dạng tham số: xx t ;y y t ; t1: điểm đầu, t2: điểm cuối

Nếu (C) là đường cong kín, biên của miền D ⊂ 𝑅2 Khi đi theo đường cong (C) thì miền D

sẽ nằm bên trái đường cong (C) thì chiều lấy tích phân là chiều dương

Tích phân đường loại 2 trên đường cong kín được kí hiệu: ∮ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦𝐶

Cho miền D là miền đóng trong mặt phẳng Oxy với biên C trơn từng khúc Các hàm P(x,y),

Q(x,y) liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp 1 của chúng liên tục trong D Khi đó ta có:

Tích phân đường vế trái được lấy theo chiều dương quy ước

C có thể gồm nhiều chu tuyến giới hạn miền D

e) Tích phân không phụ thuộc vào đường đi

- Cho hàm P(x,y), Q(x,y) và các đạo hàm riêng cấp 1 của chúng liên tục trong miền mở đơn liên D chứa cung 𝐴𝐵⏜

- Các mệnh đề sau tương đương:

 𝜕𝑄

𝜕𝑥 =𝜕𝑃

𝜕𝑦

 Tích phân 𝐼 = ∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦𝐴𝐵⏜ không phụ thuộc đường cong trơn từng khúc nối cung

AB nằm trong D

 Tồn tại hàm u x y ,  là vi phân toàn phần của P x y dx ,  Q x y dy ,  :

𝑑𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝐼 = ∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 = 𝑢(𝑥𝐵, 𝑦𝐵) − 𝑢(𝑥𝐴, 𝑦𝐴)

𝐴𝐵

𝐴𝐵⏜ phải nằm trong miền D

 Tích phân trên mọi chu tuyến kín C, trơn từng khúc trong D bằng 0:

𝐼 = ∮ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 = 0

𝐶

CHƯƠNG 3 THỰC HIỆN YÊU CẦU ĐỀ BÀI

3.1 Câu 1

Yêu cầu: Nêu 5 ứng dụng thực tế của tích phân đường, cho ví dụ cụ thể (chỉ ra tính thực tế

của ứng dụng)

Ứng dụng 1: Tính khối lượng sợi dây; tính khối tâm và momen quán tính của một sợi dây

trong không gian

* Tính khối lượng sợi dây:

Giả sử rằng một đoạn dây được mô tả bằng một đường cong C trong không gian ba chiều

Khối lượng trên một đơn vị chiều dài của dây là một hàm liên tục Khi đó, tổng khối lượng của dây được biểu thị thông qua tích phân đường của hàm vô hướng như sau:

Ví dụ: Tìm khối lượng của một sợi dây chạy dọc theo đường cong mặt phẳng C với mật

độ:x y, 3x2y Đường cong C là đoạn thẳng từ điểm A(1,1) đến điểm B(2,4)

= √10 ∫ (9𝑡 + 5)01 𝑑𝑡

= 19√10

2 ≈30

* Tính khối tâm và momen quán tính của một sợi dây trong không gian:

Giả sử một đoạn dây được mô tả bằng một đường cong C với mật độ khối lượng được cho

0 𝐶

Trong vật lý, việc tính momen quán tính có ý nghĩa quan trọng bởi nó giúp chúng ta khảo sát chuyển động quay của các vật Từ đó tìm ra mối quan hệ giữa gia tốc góc và momen lực thông qua momen quán tính

Ứng dụng 2: Ứng dụng tích phân đường loại 2 trong ngành công nghệ dệt may

Trường Đại học Công Nghiệp Dệt may Hà Nội đã dạy học tích phân đường loại 2 giúp sinh viên tính được diện tích các chi tiết thành phẩm của sản phẩm dệt may Cụ thể của bài học tích phân đường loại 2, giảng viên lấy ví dụ cụ thể tính diện tích túi áo để sinh viên tiếp cận với chuyên ngành may mặc một cách dễ dàng nhất Ở đây ưu tiên sử dụng mô hình thành phẩm của sản phẩm cắt may để sinh viên quan sát và tính toán

Ví dụ: Giảng viên sẽ đưa ra chi tiết thành phẩm túi áo và yêu cầu sinh viên tính diện tích

của túi áo để phục vụ cho việc thiết kế và cắt may để tạo thành sản phẩm Và từ đó sinh viên

sẽ áp dụng tích phần đường loại 2 vào để tính diện tích túi áo

Ứng dụng 3: Tích phân đường loại 2 được dùng để tính công sinh ra bởi một lực F tác động

vào một chất điểm làm cho chất điểm chuyển động từ A đến B Biết F thay đổi và

F x y P x y iQ x y j

Trường hợp lực F không đổi, AB là một đoạn thẳng/đường thẳng, F tạo với AB một góc

 thì công sinh ra được tính bằng công thức: A F AB .cos F AB

Trường hợp lực F thay đổi và F x y , P x y i ,  Q x y j ,  AB là một đường cong thì

AB

A  P x y dx Q x y dy (1)

Khi tính (1) cần phải lưu ý chiều đường đi vì khi đổi chiều đường đi tích phân (1) sẽ đổi

dấu Điều này có ý nghĩa thực tế vì khi ta tác động một lực theo chiều từ A đến B, giả sử công sinh ra nhận giá trị dương thì khi tác động theo chiều ngược lại (từ B đến A), công sinh ra sẽ

Trong thực tế, các máy móc bao giờ cũng có ma sát Vì vậy, công mà chúng ta phải tốn để làm một vật chuyển động bao giờ cũng lớn hơn công làm vật chuyển động khi không có ma sát, đó là vì phải tốn một phần công để thắng lực ma sát

Gọi A là công toàn phần, A là công có ích và 1 A2 là công hao phí

Hiệu suất của máy (hoặc động cơ): H A1 A A2 1 A2



Vì A luôn lớn hơn A nên hiệu suất luôn nhỏ hơn 100% Tuy nhiên, nhờ việc tính công, 1

người ta có thể tính toán để thiết kế những máy móc, động cơ có công có ích xấp xỉ với công toàn phần để gia tăng hiệu suất của máy móc, động cơ

Ứng dụng 4: Tính diện tích của một mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz (trục thẳng

đứng), biên dưới là đường cong (C) nằm trong mặt phẳng Oxy (mặt đáy)

Bài toán 1: Tính diện tích xung quanh của một hồ nước được tạo bởi một mặt trụ sinh bởi

đường cong  C có phương trình: 1 2

(Tham khảo Slide bài giảng Tích phân đường, cô Huỳnh Thị Vu,

có thay đổi số liệu, hình vẽ)

Diện tích mặt trụ tạo bởi đường cong  C có giá trị đúng bằng tích phân:

2 9

Mặt phẳng y9 chạy song song với trục Oz, nhưng giới hạn bởi   9 x 9 và 0 z 5

tạo thành hình chữ nhật có chiều rộng bằng 5 (đvđd) và chiều dài bằng 9.218 (đvđd) Diện tích của hình chữ nhật nói trên bằng: I2 18.590 (đvdt)

Vậy, diện tích xung quanh của hồ nước bằng: I  I1 I2 133,1 90 223,1 (đvdt)

Bài toán 2: Tính diện tích mặt trụ song song với đường Oz có đường chuẩn là đường cardioid   C :r  2 1 cos   với 0  2; chiều cao là 1,5

(Tham khảo Đề thi cuối kì 202 – Ca 3 – Đại học Bách Khoa Tp.HCM;

có thay đổi số liệu, hình vẽ)

I 1,5.1624 (đvdt)

(Mặt trụ song song với đường Oz có đường chuẩn là đường cardioid

   C :r  2,5 1 sin   với 0  2 ; chiều cao là 3,5)

(Mặt trụ song song với đường Oz có đường chuẩn hình trái tim

   C :r t  1 t 1 3 t  với    1 t 1; chiều cao là 1)

Qua hai bài toán và những hình ảnh trên, chúng ta thấy rằng có thể ứng dụng trong thực tế thông qua việc tính diện tích xung quanh của một cái hồ nước (chẳng hạn: hồ cá, hồ bơi, ) dùng trong thiết kế, tính toán chi phí vật tư,

Ứng dụng 5: Tính độ dài tấm phôi kim loại dùng làm tôn lợp nhà

Ta cần tính độ dài đường cong của hàm số y f x  giới hạn bởi hai đường thẳng xa

và xb, tức là độ dài của cung AB với A a f a ;    và B b f b ;    trên đồ thị hàm số

Ta có thể chia nhỏ đường cong này thành vô số đoạn “gần thẳng” rồi lấy tổng chúng lại với nhau Xét x0 a b; và  x 0 sao cho x0  x  a b; Với x đủ nhỏ, ta xem độ dài đường cong đồ thị y f x  giới hạn giữa 2 đường thẳng xa và xb là độ dài của đoạn thẳng nối 2 điểm x0; f x 0  và x0 x f x;  0 x , cũng do x nhỏ, ta có thể xem đoạn thẳng này thuộc tiếp tuyến tại x0 của đường cong y f x  Như vậy độ dài của đoạn thẳng

nối 2 điểm x0; f x 0  và x0 x f x;  0 x  được tính bằng

  2 0

1 '

l  x  f x 

Lấy tổng độ dài các đoạn thẳng nhỏ lại với nhau, ta được công thức tính độ dài đường cong

đồ thị y f x  giới hạn giữa hai đường thẳng xa và xb là   2

1 '

b

a

L  f x  dx

Ví dụ 1: Một con diều hâu bay tại độ cao 180 m tình cờ

đánh rơi con mồi Con mồi rơi theo quỹ đạo là đường parapol

có phương trình

2

18045

x

y  cho đến khi nó chạm đất (trong

đó y (m) là độ cao tính từ mặt nước biển và x (m) là khoảng

cách dịch chuyển theo phương ngang) Tính quãng đường di

chuyển của con mồi từ lúc rơi đến khi chạm đất Biết độ dài

đường cong y f x  trên đoạn  a b; được xác định bằng

Ví dụ 2: Một luồng gió thổi ổn định con diều về hướng

Tây, chiều cao của con diều phụ thuộc vào vị trí tính theo

phương ngang từ x0 đến x80 (m) được cho bởi

phương trình 1  2

40

y  x (trong đó y (m) là độ

cao tính từ mặt nước biển và x (m) là khoảng cách dịch

chuyển theo phương ngang) Tìm quãng đường con diều bay

Ứng dụng thực tế: Một nhà máy sản xuất tấm lợp kim loại bằng tôn có chiều rộng 28 inch

và cao 4 inch, bề mặt tấm lợp được dàn bằng máy theo chương trình máy tính lập trình trước

mà tập hợp các điểm trên bề mặt tấm lợp đều thuộc đồ thị của hàm số 2sin

chế tạo được tấm lợp theo yêu cầu trên, biết rằng độ dài đường cong y f x  trên đoạn

 a b; được xác định bởi công thức:   2

Trong các nhà máy, người ta có thể dùng công thức trên để xác định chiều dài của tấm phôi

để sản xuất ra những tấm phôi có kích thước phù hợp tạo thành những tấm tôn lợp nhà

x = input('nhap ham x theo t: x = ');

y = input('nhap ham y theo t: y = ');

t1 = input('nhap gia tri t1 = ');

t2 = input('nhap gia tri t2 = ');

f = input('nhap f(x,y) = ');

dx = diff(x,t);

0 t 2 trong mặt phẳng Oxy, biên còn lại nằm trong mặt cong   2

, 1

f x y  x Vẽ mặt trụ này

Ví dụ 2: Tính diện tích mặt trụ đứng, có một biên nằm trên đường cong x2 1 sin  tcost,

Ví dụ 4: Tính diện tích mặt trụ đứng, có một biên nằm trên đường cong xcost, 3

sin3

đỡ từ một số thầy/cô, anh/chị khóa trước, chúng em đã hoàn thành đúng tiến độ

Có thể nói, trong quá trình phát triển và hội nhập không ngừng, kỹ năng giao tiếp, ứng xử, kỹ năng làm việc nhóm, thuyết trình, quản lý và phân bố thời gian là vô cùng quan trọng đối với mỗi người, đặc biệt là học sinh, sinh viên Những Bài tập lớn ấy đã chúng em có cơ hội, thời gian để trao đổi, học hỏi, sẻ chia kinh nghiệm lẫn nhau; đồng thời, cũng là dịp để trau dồi, rèn luyện những kỹ năng mềm Đó chính là “bệ phóng” tốt nhất để chúng em có thể vươn xa hơn, bay cao hơn trong chặng đường lắm gian nan phía trước

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Slide Bài giảng Tích phân đường loại 1, 2, TS Trần Ngọc Diễm Đại học Bách Khoa - Đại học Quốc Gia Tp.HCM

[2] Slide Bài giảng Tích phân đường loại 1, 2, TS Huỳnh Thị Hồng Diễm Đại học Bách Khoa - Đại học Quốc Gia Tp.HCM

[3] Giáo trình Giải tích 2, Nguyễn Đình Huy NXB Đại học Quốc Gia Tp.HCM

https://phungkon1.wordpress.com/2011/02/14/ph%C6%B0%C6%A1ng-trinh-[8] Website: tich-phan-2223.html

https://vted.vn/tin-tuc/cong-thuc-xac-dinh-do-dai-cua-duong-cong-dua-vao-[9] Website: https://www.geogebra.org/m/PAnCUC2p