báo cáo bài tập lớn giải tích 2 đề tài roller derby

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA... LỜI NÓI ĐẦU Lời đầu tiên, chúng em gửi lời cảm ơn đến Trường Đại học Bách Khoa Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện cho chúng em tiếp cận kiến thức một cá

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

2110891 2111757 2114206 2110548 2114976

2114976 Lê Hoàng Các Tiên  Viết báo cáo

 Giải BT câu 3

2 Các bài toán được đề ra: 6

CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUY T Ế 7

CHƯƠNG 3 GIẢI QUY T BÀI TOÁN Ế 10

LỜI NÓI ĐẦU

Lời đầu tiên, chúng em gửi lời cảm ơn đến Trường Đại học Bách Khoa Thành

phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện cho chúng em tiếp cận kiến thức một cách chủ

động và sáng t o, bên cạ ạnh đó cũng góp phần rèn luyện kỹ năng viết báo cáo c a ủ

chúng em Ti p theo chúng em xin g i l i cế ử ờ ảm ơn chân thành nhất đến Cô Nguyễn

Thị H ng Nhung và Cô Tr n Thồ ầ ị Ngọc Huyền Trong quá trình h c t p và tìm hiọ ậ ểu

về môn Gi i tích 2, chúng em có vô vàn nh ng câu h i mà n u ch d a vào kiả ữ ỏ ế ỉ ự ến

thức trong giáo trình thì rất khó để ụ t i em tiếp thu thành ki n th c cế ứ ủa mình được Cảm ơn vì những tiết học trên lớp, Cô đã giúp chúng em hiểu rõ hơn về bản chất

của môn Gi i tích 2, nhả ờ nhận được sự quan tâm, chỉ dẫn tận tình của Thầy mà

chúng em có th ể hoàn thành đề tài được giao đúng tiến độ Bên cạnh đó, kiến th c cứ ủa vũ trụ là vô hạn nhưng sự tiếp thu, lĩnh hội ki n thế ức

ấy của con người là hữu hạn Do đó, trong quá trình làm việc, ch c chắ ắn không

thể tránh khỏi nh ng sai sót Nhóm chúng em r t mong nhữ ấ ận được sự góp ý c a ủ

Thầy để đề tài lần này trở nên hoàn thiện hơn

Nhóm 18 L p L– ớ 23, chân thành cảm ơn!

TÓM T T Ắ

Bài báo cáo bao gồm ba chương chính: Giới thiệu đề tài, Cơ sở lý thuy t, Giế ải

quyết bài toán và Tài li u tham khệ ảo

Trong chương một, các thành viên s tìm hi u k ẽ ể ỹ lưỡng v ề đề tài được giao và các bài toán đưa ra, đồng thời phân chia những công vi c cệ ần làm

Đến chương hai, nhóm đã tóm tắ ại các cơ sởt l lý thuyết cần cho vi c gi i bài tệ ả ập

hoặc giải thích đề tài, đồng thời xem xét hướng giải cho bài toán

Đến chương ba, nhóm vận dụng những ki n thế ức đã được học để tìm hi u, giể ải

quyết đặt ra Sau đó, các thành viên đưa ra đáp án và thảo luận, kết h p than khợ ải

tài liệu để tìm ra đáp án đúng

Ở chương cuối cùng, nhóm t ng h p l i cac lo i sách tham kh o cho bài báo cáo ổ ợ ạ ạ ảđể ớ gi i thiệu đến quý thầy cô và các bạn

CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI 1 Ý tưởng:

2 Các bài toán được đề ra:

CHƯƠNG CƠ SỞ2: LÝ THUYẾT

Trong h nh h c ph ng, h t ọ   ọa đ tr (cylindeical coordinates) đưc s dử ng đ ô mtả thu n  tin m t s  đường đi v min nht định Tuy nhiên n l i không c   ng d ng cao trong m t v i b i to n, m t h t   á   ọa đ  n a trong không gian ba chi u l t  ọa đ  c u (spherical) N đơn giản ha cách tnh tch phân bi ca trên nhng min đưc gii hn bi các hnh c u ho c h nh n   n

Tọa đ cu (𝜌, 𝜃, 𝜑) ca đim P trong không gian đưc ch ra trên Hình 1, trong đ ỉ 𝜌 = |𝑂𝑃| l kho ng c ả ách t g c t ọa đ đến P, gi𝜃 ng như gc trong tọa đ tr  v 𝜑l g c gi a hưng dương ca tr c z v i OP, Ch   r ng 𝜌 ≥0, 0 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋

H nh 1 ì H t ọa đ u đ c c bi t h u ch trong c c b i to n c   á  á  đim đ i x ng v g c t  ọa đđt ti đim ny V d, h nh cu v i tâm l g c t    ọa đ  bán k nh c c phương trnh đơn v giản 𝜌 = 𝑐 Hình 2), điu đ ả ch c i tên t ( gi i th á ọa đ “cu” Đ thị ca phương trnh 𝜃 =𝑐 l n a m t ph ng  ử   (Hình 3), phương hnh 𝜑 = 𝑐 bi u th n a h nh tr n v i tr c z c a n  ị ử      

(Hình 4)

Hình 2: 𝜌 = 𝑐 nh c u) (h  Hình 3: 𝜃 = 𝑐 ( nửa m t ph ng)  

Hình 4: 𝜑 = 𝑐 (nửa mt nn) Mi liên h gi a t  ọa đ Descartes v t ọa đ  c u c th thy t h nh 5 T c   ác tam giác 𝑂𝑃𝑄 v 𝑂𝑃𝑃’ ta

c:

{𝑧 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃𝑟 = 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃

T 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝜑,𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 ta c th d d ng chuy n th nh: ễ   

{𝑥 = 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑𝑦 = 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑𝑧 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃 v 𝐽 = 𝑝

Trong đ, 𝐸 = (𝜌, 𝜃, 𝜑) 𝑎 ≤ 𝜌 ≤ 𝑏, 𝛼 ≤ 𝜃 ≤ 𝛽, 𝑐 ≤ 𝜑 ≤ 𝑑{ | }

⇒ Chng ta c th ử ng phương phá s d p ny đ chuy n t t  ọa đ Descartes sang tọa đ c u  

CHƯƠNG 3 GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN

Giả sử rng mt trái banh đc, mt hnh tr đc v mt hnh tr rỗng lăn xung dc th cái no sẽ đến đim thp nht đu tiên?

Đ trả l i câu hỏi này, chúng ta xem trái banh hay hình tr có khờ i lưng 𝑚, bán kính và momen quán tính 𝑟 𝐼 (v trc quay) N u thế ả theo phương thng đng là thì th ℎ ếnăng ti đim đu là 𝑚𝑔ℎ Giả sử vt chm đáy vi vn tc 𝑣 và vn tc gc , d𝜔 o đ 𝑣 = 𝜔𝑟 Đng năng  đt gm 2 phn: 12𝑚𝑣2 t chuyn đng tịnh tiến (di chuyn xung

con dc) v 12𝐼𝜔2 t chuyn đng quay Nếu chng ta giả định rng sự mt mát năng lưng do ma sát l không đáng k, bảo ton năng lưng ta c:

𝑚𝑔ℎ =12 𝑚𝑣2+12 𝐼𝜔2

Bài toán 1:

Chứng minh r ng: ằ

𝒗 =𝟐𝒈𝒉𝑰+𝑰∗ và 𝑰∗=𝒎𝒓𝑰𝟐Ta có: 𝑚𝑔ℎ =12𝑚𝑣2+12𝐼𝜔2=12𝑚𝑣2+12𝐼𝑟𝑣22=12(𝑚 + 𝐼𝑟12)𝑣2

 𝑣2=2𝑚𝑔ℎ𝑚+𝐼

1+𝑚𝑟2𝐼 =2𝑔ℎ1+𝐼∗ vi 𝐼∗=𝑚𝑟𝐼2

Bài toán 2:

Nếu 𝒚(𝒕) là quãng đường theo phương thẳng đứng tại thời điểm 𝒕 ậ L p luận tương

tự bài toán 1, chưng minh:

𝒗𝟐=𝟏 + 𝑰𝟐𝒈𝑰∗.𝒅𝒚𝒅𝒕 =√ 𝟐𝒈𝑰𝟏 + 𝑰∗ (𝒔𝒊𝒏 𝜶) √𝒚

Với là góc nghiêng c𝜶 ủa mặt phẳng

Chng minh tương tự câu 1, ta đưc: 𝑣2=2𝑔𝑦1+𝐼∗

𝑑𝑦𝑑𝑡 = 𝑣 sin 𝛼 =√ 2𝑔𝑦1 + 𝐼∗ sin 𝛼 = √1 + 𝐼2𝑔∗ sin 𝛼 √𝑦

√𝑦= √1+𝐼2𝑔∗ sin 𝛼 𝑑𝑡  2√𝑦 = √1+𝐼2𝑔∗ sin 𝛼 𝑡 + 𝑐

𝑦(0) = 0 → 𝑐 = 0 → 2√𝑦 = √1 + 𝐼2𝑔 ∗ sin 𝛼 𝑡 𝑦 = ℎ → 𝑇 =sin 𝛼 √2√ℎ 1 + 𝐼2𝑔 =∗ √2ℎ(1 + 𝐼𝑔 (sin 𝛼)∗)2

Bài toán 4:

Chứng minh rằng 𝑰∗=𝟏𝟐 với trụ đặ c và 𝑰∗= 𝟏 với trụ ỗng r

Giả s r ng chi u dài cử   a hình tr là 𝑙 Mi liên h gi  ba đi lưng khi lương, mt đ và th tích: 𝑚 = 𝑝𝑉Khi đ khi lưng riêng c a hình tr rắn là:   𝑝 =𝜋𝑟𝑚2𝑙

Hình bị gii hn bi tr tròn, xét hình chi ếu ca tr lên mt phng Oxy, ta đưc đường tròn bị gi i hn b i phương trnh:𝑥2+ 𝑦 = 𝑟22

Momen quán tính là: 𝐼𝑧= ∭𝜋𝑟𝑚2𝑙(𝑥2+ 𝑦2)𝑑𝑉 = ∫ ∫ ∫𝑟𝜋𝑟𝑚2𝑙 𝑅2𝑅𝑑𝑅𝑑𝜑𝑑𝑧

02𝜋0𝑙0

=𝜋𝑟𝑚2𝑙 2𝜋𝑙 [14 𝑅4]

0𝑟

=𝑚𝑟22Kết lun: 𝐼∗=𝑚𝑟𝐼𝑧2=12Đ i v i hình tr rỗng, chúng ta coi toàn b khi lư ng c a nó nm cách tr c quay mt   khoảng r, do đ 𝑥2+ 𝑦 = 𝑟22 là mt hng s, chúng ta biu thị mt đ theo khi lưng

trên mt đơn vị din tch, sau đ momen quán tnh đưc tính b ng tích phân kép: 

𝐼𝑧= ∬(𝑥2+ 𝑦2) 𝑚2𝜋𝑟𝑙 𝑑𝐴 =2𝜋𝑟𝑙 ∬ 𝑑𝐴 = 𝑚𝑟𝑚𝑟2 2

Kết lun: 𝐼∗=𝑚𝑟𝐼𝑧2= 1

Bài toán 5:

Hãy tính 𝑰∗ cho một quả bóng rỗng một phần với bán kính trong là 𝒂 và bán kính

ngoài là 𝒓 Trình bày câu tr lả ời của bạn theo phương diện 𝒃 =𝒂𝒓 Điều gì s xẽ ảy ra

khi 𝒂 → 𝟎 và 𝒂 → 𝒓

Th tích kh i c u b ng:  V= 4

3𝜋(𝑅3− 𝑎3)= 43𝜋𝑅3(1 − 𝑏3) Mt đ c a kh i cu là:

3𝜋𝑅3(1 − 𝑏3)

𝐼𝑧= ∭4 𝑚

3𝜋𝑅3(1 − 𝑏3)(𝑥2+ 𝑦2)𝑑𝑉 =4 𝑚

3𝜋𝑅3(1 − 𝑏3)∫ ∫ ∫ (psin 𝜃)2(𝑝2sin 𝜃)𝑑𝜃𝑑𝜑𝑑𝑝

𝜋02𝜋0𝑟𝑎

= 𝑚4𝜋𝑅3(1−𝑏3)2𝜋43𝑟5−𝑎5 5=2𝑚𝑟5𝑟 (1−𝑏35(1−𝑏35))=2𝑚𝑟5(1−𝑏2(1−𝑏3)5)

Vì 𝐼∗=2(1−𝑏5(1−𝑏 )53)

Khi a đi di n cho bán kính trong ca khi cu, ta có a   th tương  0 ng vi qu bóng ảđc, khi a  r th tương ng v i quả bóng rỗng 

Bài toán 6:

Chứng minh rằng 𝑰∗=𝟐𝟓đối v i quớ ả bóng đặc và 𝑰∗=𝟐𝟑 đối v i quớ ả bóng r ng Sau ỗ

đó hãy đưa ra câu trả lời từ trên

Khi là quả bng đc a  0, thì b  0, vì vy 𝐼∗= lim𝑏→02(1−𝑏5(1−𝑏53))=25Khi là quả bóng r ng a ỗ r, thì b  1, vì vy 𝐼∗= lim𝑏→12(1−𝑏5(1−𝑏53))= lim𝑏→1−2.5𝑏−5.3𝑏42)=23→ Do ó, các v t th k t thúc đ   ế đường ua theo th t : đ  ự quả bóng đặc (𝐼∗=25), trụ đặc

(𝐼∗=12), quả bóng rỗ ng(𝐼∗=23), tr rụ ỗng (𝐼∗= 1)

CHƯƠNG 4 TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] James Stewart - Calculus Early Transcendentals 9e - Cengage Learning (2020)

[2] Giáo trình Gi i Tích 2, ả Nguyễn Đnh Huy, Lê Xuân Đi, Ngô Thu Lương, Nguyễn Bá Thi, Tr n Ng ọc Diễm, Đu Th Phi t ế 