báo cáo bài tập lớn giải tích 1 đề tài tìm hiểu về đường cong cycloid

Danh mục hình ảnhHình 1: Đường cong Cycloids...8Hình 2: Sự hình thành đường cong Cycloids...8Hình 3: Vị trí của bánh xe sau khi quay được một khoảng radian...9Hình 4: Đồ thị của đường co

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 1

ĐỀ TÀI: TÌM HIỂU VỀ ĐƯỜNG CONG CYCLOID

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN: VÕ TRẦN AN

NHÓM SỐ: 02 LỚP: L10

Sinh viên thực hiện:

Lớp L10; Nhóm: 02

GHI CHÚ (NẾU KHÔNG THAM GIA)

Danh mục hình ảnh

Hình 1: Đường cong Cycloids 8

Hình 2: Sự hình thành đường cong Cycloids 8

Hình 3: Vị trí của bánh xe sau khi quay được một khoảng radian 9

Hình 4: Đồ thị của đường cong Trochoid ( Trường hợp d < R) 11

Hình 5: Hình vẽ mô phỏng đồ thị đường cong Trochoid được cho them hàm số như trên (Quĩ đạo do P vạch ra) 12

Hình 6: Đồ thị của đường cong Trochoid (trường hợp d > R) 12

Hình 7: Hình vẽ mô phỏng đồ thị đường cong Trochoid được cho theo hàm số như trên (Quĩ đạo do P vạch ra) 13

Hình 8: Hình vẽ mô phỏng đồ thị đường cong Trochoid được cho theo hàm số như trên (Quĩ đạo do P vạch ra) 13

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, nhóm chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Võ Trần An vì sự hướng dẫn và hỗ trợ của mình trong quá trình thực hiện bài tập lớn Đối với chúng em, đây không chỉ là một nhiệm vụ đơn thuần, mà còn là một hành trình học tập quan trọng Sự hướng dẫn chi tiết và góp ý của thầy không chỉ giúp chúng em hiểu rõ hơn về chủ đề mà còn phát triển kỹ năng làm việc nhóm, tìm kiếm thông tin, và giải quyết vấn đề Qua bài tập lớn này, chúng

em đã học được nhiều điều mới và cảm thấy hứng thú với môn giải tích 1 hơn Điều này không thể đạt được nếu không có sự hỗ trợ và dẫn dắt từ thầy Chúng

em rất biết ơn vì thầy đã dành thời gian và công sức để giúp chúng em phát triển Điều này sẽ là một kí ức quý giá trong chương trình học của chúng em Một lần nữa, xin chân thành cảm ơn thầy

Mục Lục

1 Đề tài tìm hiểu về đường cong CYCLOID 7

1.1 Đề bài 7

1.2 Tài liệu tham khảo 7

2 Nội dung báo cáo 8

2.1 Cơ sở lí thuyết 8

2.2 Bài tập 40 11

2.3 Code Matlab để vẽ lại chuyển động tạo ra đường Trochoid 15

3 Tổng kết 17

1 Đề tài tìm hiểu về đường cong CYCLOID:

1.1 Đề bài:

1.1.1 Trình bày lại sự hình thành đường cong cycloid, thành lập

phương trình tham số của cycloid, xem ví dụ 6, phần 9.2, Soo T Tan Single variable - Calculus early transcendentals Dùng cách khảo sát cực trị hàm số cho bởi phương trình tham số chỉ ra giá trị cực đại của hàm số y = y(x) cho bởi phương trình cycloid

1.1.2 Làm bài tập 40 của phần 9.2 trong câu trên

1.1.3 Dùng một phần mềm hoặc một ứng dụng để vẽ lại chuyển động

tạo ra đường Trochoid của bài tập 40 cho cả 3 trường hợp

(r < d, r = d, r > d) với d và r được nhập tùy ý.

1.2 Tài liệu tham khảo:

1.2.1 Thí nghiệm đường cong Cycloid | bietthemmoingayofficial.

https://youtube.com/shorts/z55cyPIfXxA?si=3d3KXQl25z4OKR5G

1.2.2 Đường cong Cycloid |Bạn biết không.

https://youtube.com/shorts/mJkFjzQWUEM?si=hmKkUgsTTeQSp21q

1.2.3 Soo T Tan Single variable - Calculus early transcendentals

(tài liệu điện tử)

1.2.4. Cycloid animation parametric equations for a cycloid and plotting values

of t for one rotation

https://youtu.be/24NsNXW47w4?si=5mWPfld3qBDF9vtC

2 Nội dung báo cáo:

2.1 Cơ sở lí thuyết:

2.1.1 Sự hình thành đường cong Cycloids:

Trên một đường tròn cho trước, ta đánh dấu một điểm cố định Ta sẽ quan sát chuyển động của điểm đã đánh dấu này khi đường tròn đã cho lăn không trượt trên đường thẳng và lăn trên đường tròn

Trong quá trình chuyển động, điểm đã đánh dấu vạch ra một đường cong và

ta có hình ảnh:

2.1.2 Phương trình tham số:

Giả sử bánh xe lăn theo chiều dương với điểm ban đầu tại gốc của hệ tọa độ Gọi R=a là bán kính của bánh xe

Ta lấy 1 điểm P trên bánh xe sao cho tại gốc tọa độ, điểm đó nằm tại đáy Khi cho bánh xe quay, ta sẽ thấy điểm trên vòng tròn khi nó lắm từ trái sang phải tạo thành một hình dạng cụ thể được biểu thị bởi đường cong bên dưới gọi

là đường cong cycloid:

Hình 2: Sự hình thành đường cong Cycloids Hình 1: Đường cong Cycloids

Vì bánh xe không trượt nên quãng đường bánh xe lăn được tính từ gốc tọa độ là:

Theo P(x;y) ta thấy:

Ta có thể rút ra được phương trình tham số của cycloids như sau:

2.1.3 Tìm giá trị cực đại của phương trình cycloid:

Khảo sát cực trị của hàm số cho bởi phương trình tham số chỉ ra giá trị cực đại của hàm số cho bởi phương trình cycloid:

Tập xác định:

Hình 3: Vị trí của bánh xe sau khi quay được một khoảng radian.

Đạo hàm phương trình:

Bảng biến thiên:

Xét trong khoảng (các khoảng còn lại tương tự)

0

0 + + 0

0 + 0 - 0 + 0 -

Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra giá trị cực đại của hàm số cho bởi phương trình cycloid là 2R

2.2.Bài tập 40

Gọi P là điểm cách tâm của đường tròn bán kính một đoạn d ( ), thời điểm ban đầu khi điểm P ở một trong những điểm thấp nhất trên đường trochoid, sau một thời gian hình tròn lăn không trượt ta được trạng thái như hình vẽ, quĩ đạo điểm P vạch ra gọi là đường cong Trochoid

Chứng minh phương trình tham số của đường cong trochoid (trường hợp )

Hình 4: Đồ thị của đường cong Trochoid ( Trường hợp d < R)

Dựa vào đồ thị trên, ta có:

(ĐPCM)

(Mặc dù những kết quả trên rút ra thử giả định ngầm , nhưng có thể chứng minh rằng chúng hợp lệ với mọi giá trị của )

Hình 5: Hình vẽ mô phỏng đồ thị đường cong Trochoid được cho them hàm

số như trên (Quỹ đạo do P vạch ra)

Chứng minh phương trình tham số của đường cong trochoid (trường hợp )

Hình 6: Đồ thị của đường cong Trochoid (trường hợp d > R)

Dựa vào đồ thị trên, ta có:

(ĐPCM)

(Mặc dù những kết quả trên rút ra thử giả định ngầm , nhưng có thể chứng

minh rằng chúng hợp lệ với mọi giá trị của θ).

Hình 7: Hình vẽ mô phỏng đồ thị đường cong Trochoid được cho theo hàm

số như trên (Quỹ đạo do P vạch ra)

Hình 8: Hình vẽ mô phỏng đồ thị đường cong Trochoid được cho theo hàm

số như trên (Quỹ đạo do P vạch ra)

2.3.2.3 Code Matlab để vẽ lại chuyển động tạo ra đường

Trochoid:

R=input('Nhập giá trị của R =');

d=input('Nhập giá trị của d =');

u=[0:0.126:8*pi];

x=R.*u-d.*sin(u);

y=R-d.*cos(u);

figure;

if d==R

title('Cycloid (Trường hợp đặc biệt của Trochoid d = R)');

end

if d<R

title('Đường cong Trochoid (d < R)');

end

if d>R

title('Đường cong Trochoid (d > R)');

end

axis([-5 130 -5 15]);

hold on

f=plot(x(1),y(1),'B','LineWidth',2);

grid on

for i=2:length(x)

set(f,'xdata',x(1:i),'ydata',y(1:i));

pause(0.1);

end

if d==R

legend('Đường cong Cycloid');

end

if d<R

legend('Đường cong Trochoid');

if d>R

legend('Đường cong Trochoid ');

end

xlabel('Trục hoành');

ylabel('Trục tung');

hold off;

Chú thích code:

Dòng 1-2: Lệnh nhập giá trị R và d từ bàn phím

Dòng 3-5: Khởi tạo miền giá trị cho biến u, gán giá trị cho biến x, biến y

Dòng 6: Tạo mới hình ảnh (đồ thị)

Dòng 7-15: Đặt tên tiêu đề cho đồ thị trong từng trường hợp

Dòng 16: Chia lại trục tọa độ

Dòng 17: Cho phép thêm các nét vẽ vào đồ thị đã có sẵn mà không xóa các nét

vẽ cũ

Dòng 18: Lệnh vẽ đồ thị

Dòng 19: Hiển thị lưới tọa độ

Dòng 20-23: Thêm animation

Dòng 24-32: Thêm chú thích cho các đường đồ thị

Dòng 33-35: Đặt tên cho trục tọa độ

3 Tổng kết:

Qua quá trình nghiên cứu và thực hiện bài tập lớn, chúng em đã có thêm

cơ hội hiểu sâu hơn về kiến thức, cũng như trải nghiệm quá trình làm việc nhóm

và giải quyết vấn đề Bài tập lớn này đã giúp chúng em hiểu rõ hơn về tính chất, ứng dụng, sự đa dạng và phức tạp của đường cong Cycloid Qua quá trình làm việc nhóm, chúng em học được cách tận dụng sức mạnh của đồng đội và học hỏi

từ đa dạng ý kiến Mỗi thành viên đều mang đến một góc nhìn mới, giúp chúng

em xây dựng một cái nhìn toàn diện về đường cong cycloid và ứng dụng của nó Bài báo cáo đến đây là hết, chúng em xin chân thành cảm ơn