Báo cáo bài tập lớn giải tích 1 đề tài số 8 tính xấp xỉ tích phân

Nhắc lại rằng tích phân xác định được định nghĩa là giới hạn của các tổng Riemann, vì vậy bất kỳ tổng Riemann nào cũng có thể được sử dụng như là phép tính xấp xỉ của tích phân: Nếu chún

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINHTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

LỜI MỞ ĐẦU

I.CƠ SỞ LÍ THUYẾT

Có các tình huống mà ta không thể tìm chính xác giá trị của một tích phân xác định Ví dụ như ta không thể tính chính xác các tích phân hay ,…; hay hàm số được xác định từ một thí nghiệm khoa học thông qua việc đọc thiết bị hoặc từ dữ liệu thu nhập được Và không có công thức nào dành cho hàm số dạng này Chúng ta đã biết một phương pháp tìm giá trị xấp xỉ của tích phân xác định Nhắc lại rằng tích phân xác định được định nghĩa là giới hạn của các tổng Riemann, vì vậy bất kỳ tổng Riemann nào cũng có thể được sử dụng như là phép tính xấp xỉ của tích phân:

Nếu chúng ta chia thành khoảng có độ dài bằng nhau là thì ta có:n

Nếu , thì tích phân biểu diễn một diện tích và (1) biểu diễn một phép tính

xấp xỉ cho diện tích được tạo thành từ các hình chữ nhật như trong hình 1(a).

(a)Xấp xỉ đầu mút bên trái Nếu ta chọn là điểm đầu mút bên phải, thì , và ta có

[Xem hình 1(b)] Giá trị gần đúng và được xác định bởi (1) và (2) được gọi là xấp xỉ đầu mút bên trái và xấp xỉ đầu mút bên phải.

(b)Xấp xỉ đầu mút bên phải

Chúng ta cũng xét trường hợp được chọn làm trung điểm của khoảng con [] Hình 1(c) biểu diễn giá trị gần đúng của trung điểm , dường như trông có vẻ tốt

Có một cách tính xấp xỉ khác được gọi là Quy tắc Hình thang, trong đó ta tính xấp xỉ tích phân bằng cách lấy trung bình các xấp xỉ ở (1) và (2):

Để hiểu vì sao công thức này có tên là Quy tắc Hình thang, chúng ta xem Hình 2 minh họa cho trường hợp và Diện tích của hình thang nằm trên khoảng thứ là

=

và nếu chúng ta cộng diện tích của tất cả những hình thang này lại, ta sẽ có được vế bên phải của Quy tắc Hình thang.

Hình 2 Xấp xỉ hình thang

● Có một số điểm cần lưu ý như sau:

1 Đối với tất cả các phương pháp, ta có được các giá trị xấp xỉ chính xác hơn khi tăng giá trị của (Tuy nhiên, giá trị của càng lớn thì càng đòi hỏi nhiều phép tính số học và chúng ta phải cẩn thận với sai số tích lũy do làm tròn) 2 Các sai số trong phép tính xấp xỉ đầu mút bên trái và bên phải ngược dấu

nhau và có khuynh hướng giảm đi một thừa số là 2 khi ta gấp đôi giá trị của 3 Các giá trị xấp xỉ bằng quy tắc Hình thang và Quy tắc Trung điểm chính xác

hơn các giá trị xấp xỉ bằng điểm đầu mút.

4 Các sai số trong Quy tắc Hình thang và Quy tắc Trung điểm ngược dấu nhau và có khuynh hướng giảm đi một thừa số là 4 khi ta gấp đôi giá trị của 5 Độ lớn của sai số trong Quy tắc Trung điểm bằng một nửa độ lớn của các sai

số trong Quy tắc Hình thang.

Hình 5 giải thích tại sao chúng ta thường kỳ vọng Quy tắc Trung điểm chính xác hơn Quy tắc Hình thang Diện tích của một hình chữ nhật bình thường theo Quy tắc Trung điểm là bằng diện tích của hình thang ABCD có dạng trên là tiếp tuyến với đồ thị tại P Diện tích hình thang này gần với diện tích của miền nằm dưới đồ thị hơn là diện tích của hình thang AQRD được sử dụng trong Quy tắc Hình thang [Sai số trung điểm (miền màu đỏ) nhỏ hơn sai số hình thang (miền

Ví dụ 1: Sử dụng quy tắc Simpson với n=10 để tính xấp xỉ GIẢI: Đặt theo quy tắc Simpson, ta có:

Lưu ý rằng ở ví dụ 4, Quy tắc Simpson cho chúng ta giá trị xấp xỉ ( cho chúng ta giá trị chính xác của tích phân (47), nó chính xác hơn nhiều so với Quy tắc Hình thang () hay Quy tắc Trung điểm () Hóa ra là (xem bài tập 50) các xấp xỉ trong Quy tắc Simpson là các giá trị trung bình có trong số của các xấp xỉ trong Quy tắc Hình thang và Quy tắc Trung điểm:

Nhắc lại

Trong nhiều ứng dụng của Giải tích, chúng ta cần phải tính một tích phân ngay cả khi không biết một công thức tường minh nào của hàm số theo Một hàm số cóy x thể được cho dưới dạng đồ thị hay một bảng các giá trị từ những dữ liệu thu thập được Nếu có bằng chứng cho thấy các giá trị này không thay đổi đột ngột thì ta có thể sử dụng Quy tắc Hình thang hoặc Quy tắc Simpson để tính một giá trị xấp xỉ cho tích phân , tích phân theo y x.

Ví dụ 2: Hình 9 minh họa việc truyền dữ liệu trên đường dẫn nối từ Mỹ đến SWITCH, mạng lưới nghiên cứu và học thuật của Thụy Sĩ, vào ngày 10/02/1998/ D(t) là dữ liệu đưa vào, được đo bằng megabit/giây (Mb/s) Hãy sử dụng Quy tắc Simpson để ước tính tổng dữ liệu truyền đi trên đường dẫn từ nửa đêm đến trưa ngày hôm sau.

GIẢI: Vì chúng ta muốn các đơn vị nhất quán và D(t) được đo bằng megabit/giây, ta đổi các đơn vị của từ giờ sang giây Nếu ta gọi t A(t) là lượng dữ liệu (tính bằng megabits) truyền đi trong thời gian , trong đó được đo bằng giây, thì t t A’(t) = D(t) Vậy, theo Định lý Thay đổi toàn phần (xem Mục 4.4), tổng dữ liệu truyền được đưa đến trưa (khi ) là

A (43 200) =

Ta ước tính các giá trị của D(t) tại các khoảng tính theo giờ từ đồ thị và lập thành

Vậy, tổng dữ liệu truyền đi từ nửa đêm đến trưa ngày hôm sau là khoảng 144,000 megabits, tương đương 144 gigabits.

Bảng ở bên dưới mô tả sự so sánh giữa Quy tắc Simpson và Quy tắc Trung điểm khi áp dụng cho tích phân , có giá trị khoảng 0.6314718 Bảng thứ hai cho thấy sai số trong Quy tắc Simpson giảm đi một nửa thừa số là 16 khi tăng gấp đôi (Ởn các Bài tập 27 và 28, được yêu cầu kiểm chứng điều này cho hai tích phân nữa.) Điều này hoàn toàn phù hợp với sự xuất hiện của ở mẫu của ước lượng sai số sau

đây theo Quy tắc Hình thang và Quy tắc Trung điểm, tuy nhiên nó sử dụng đạo

Ví dụ 3: Chúng ta cần phải cho n bằng bao nhiêu để đảm bảo phép tính xấp xỉ cho tích phân theo Quy tắc Simpson với sai số trong phạm vi 0.0001?

Vậy = 8 (n phải chẵn) cho ta kết quả chính xác nhất (So sánh với Ví dụ 2, ta thấyn rằng chúng ta phải chọn n41 đối với phép tính bằng Quy tắc Hình thang và = 29n đối với phép tính bằng Quy tắc Trung điểm.)

Ví dụ 4:

(a) Sử dụng Quy tắc Simpson với n = 10 để tính xấp xỉ tích phân (b) Ước tính sai số của phép tính xấp xỉ tích phân này.

Do đó, đặt K - 76e, a - 0, b - 1 và n = 10 ở 1, chúng ta thấy sai số lớn nhất bằng

(So sánh đáp án trên với Ví dụ 3.) Vậy, lấy chính xác đến ba chữ số thập phân, ta có

Hình 10 minh họa phép tính ở Ví dụ 7 Chú ý rằng các cung parabol rất gần với đồ thị y =đến nỗi chúng ta gần như không phân biệt được,

Nhiều máy tính và hệ thống đại số máy tính được lập trình sẵn các thuật toán giúp ta tính được xấp xỉ của một tích phân xác định Một vài máy tính trong số này sử dụng Quy tắc Simpson; số khác sử dụng các kỹ thuật phức tạp hơn chẵng hạn như kỹ thuật tích phân số thích ứng (adaptive numerical intergration) Có nghĩa là nếu một hàm biến thiên tại một phần nào đó trên một khoảng, nhiều hơn ở những chổ khác, thì phần đó sẽ được chia ra làm nhiều khoảng nhỏ hơn nữa Phương pháp lấy tích phân này làm giảm bớt các phép tính toán cần thiết để ra được một kết quả

Kiểm tra kết quả bằng Wolfram Alpha:

Kiểm tra kết quả bằng Wolfram Alpha:

Kiểm tra kết quả bằng Wolfram Alpha: (tương tự câu 1.1)

3 Quy tắc Simpson3.1 Bài 1

Cho đồ thị biểu diễn nhiệt độ ở thành phố New York vào ngày 19/09/2009như sau Hãy sử dụng Quy tắc Simpson với n = 12 để ước tính nhiệt độtrung bình trong ngày đó.

3.2 Bài 2

Một súng ra-da được sử dụng để đo vận tốc của một vận động viên điềnkinh trong 5 giây đầu tiên của chặng đua (xem bảng) Sử dụng Quy tắcSimpson để ước tính quãng đường vận động viên chạy được trong 5 giây

Đối chiếu kết quả với đáp án trong sách Complete Solutions Manual for Single Variable Calculus:

3.3 Bài 3

Hình dưới đây minh họa một con lắc với chiều dài tạo ra mợt góc lớn nhất L

theo phương thẳng đứng Theo Định luật thứ hai về chuyển động của Newton,chúng ta thấy rằng chu kỳ (thời gian hoàn thanh một dao động của con lắc) T

được cho bởi công thức sau:

Trong đó và là gia tốc trọng trường.g

Nếu L = 1 m và = 42°, sử dụng Quy tắc Simpson với n = 10 để tìm chu kỳ dao động của con lắc.

T = 4 .

III.TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] James Stewart, Calculus Early Transcendental Seventh Edition, Thomson Brooks/Cole, 2011

[2] James Stewart, Jeffery A Cole, Daniel Drucker, Daniel Anderson, Complete Solutions Manual for Single Variable Calculus Early Transcendentals Seventh Edition, Thomson Brooks/Cole, 2012

[3] Robert A Adams, Christopher Essex, Calculus A Complete Course Ninth Edition, Pearson, 2018

[4] Lê Thái Thanh, Giáo trình Phương Pháp Tính, NXB Đại học quốc gia thành phố Hồ Chí Minh, 2019

[5] Khan Academy (2013), Definite integral as the limit of a Riemann sum -Youtube, truy câ …p lần cuối ngày 02/01/2022

[6] 3Blue1Brown (2017), Integration and the fundamental theorem of calculus -Youtube, truy câ …p lần cuối ngày 02/01/2022

[7] Photon-Sphere (2021), Riemann Sum Animation! - Youtube, truy câ …p lần cuối ngày 02/01/2022

[8] Hải Tống (2017), Tính Gần Đúng Tích Phân (Hình Thang & Simpson) -Youtube, truy câ …p lần cuối ngày 02/01/2022

[9] Nguyễn Văn Thùy (2021), Vi Phân & Xấp Xỉ Tuyến Tính | Vi Tích Phân 1c -Youtube, truy câ …p lần cuối ngày 02/01/2022