Báo cáo bài tập lớn giải tích 1 đề tài số 8 tính xấp xỉ tích phân

Nhắc lại rằng tích phân xác định được định nghĩa là giới hạn của các tổng Riemann, vì vậy bất kỳ tổng Riemann nào cũng có thể được sử dụng như là phép tính xấp xỉ của tích phân: Nếu chún

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 3

I CƠ SỞ LÝ THUYẾT 4

1 Quy tắc Trung điểm 5

2 Quy tắc Hình thang 6

3 Quy tắc Simpson 8

II ỨNG DỤNG 13

1 Quy tắc Trung điểm 13

1.1 Bài 1 13

1.2 Bài 2 14

1.3 Bài 3 15

1.4 Bài 4 15

1.5 Bài 5 16

1.6 Bài 6 17

2 Quy tắc Hình thang 17

2.1 Bài 1 17

2.2 Bài 2 18

2.3 Bài 3 19

2.4 Bài 4 19

2.5 Bài 5 20

2.6 Bài 6 21

3 Quy tắc Simpson 22

3.1 Bài 1 22

3.2 Bài 2 23

3.3 Bài 3 24

3.4 Bài 4 26

III TÀI LIỆU THAM KHẢO 28

LỜI MỞ ĐẦU

I CƠ SỞ LÍ THUYẾT

Có các tình huống mà ta không thể tìm chính xác giá trị của một tích phânxác định Ví dụ như ta không thể tính chính xác các tích phân hay ,…; hay hàm sốđược xác định từ một thí nghiệm khoa học thông qua việc đọc thiết bị hoặc từ dữliệu thu nhập được Và không có công thức nào dành cho hàm số dạng này Chúng ta đã biết một phương pháp tìm giá trị xấp xỉ của tích phân xác định.Nhắc lại rằng tích phân xác định được định nghĩa là giới hạn của các tổngRiemann, vì vậy bất kỳ tổng Riemann nào cũng có thể được sử dụng như là phéptính xấp xỉ của tích phân:

Nếu chúng ta chia thành khoảng có độ dài bằng nhau là thì ta có:n

Nếu , thì tích phân biểu diễn một diện tích và (1) biểu diễn một phép tính

xấp xỉ cho diện tích được tạo thành từ các hình chữ nhật như trong hình 1(a)

(a)Xấp xỉ đầu mút bên trái Nếu ta chọn là điểm đầu mút bên phải, thì , và ta có

[Xem hình 1(b)] Giá trị gần đúng và được xác định bởi (1) và (2) được gọi

là xấp xỉ đầu mút bên trái và xấp xỉ đầu mút bên phải

(b)Xấp xỉ đầu mút bên phải Chúng ta cũng xét trường hợp được chọn làm trung điểm của khoảng con[] Hình 1(c) biểu diễn giá trị gần đúng của trung điểm , dường như trông có vẻ tốthơn và

=

và nếu chúng ta cộng diện tích của tất cả những hình thang này lại, ta sẽ có được

vế bên phải của Quy tắc Hình thang

Hình 2 Xấp xỉ hình thang

● Có một số điểm cần lưu ý như sau:

1 Đối với tất cả các phương pháp, ta có được các giá trị xấp xỉ chính xác hơnkhi tăng giá trị của (Tuy nhiên, giá trị của càng lớn thì càng đòi hỏi nhiềuphép tính số học và chúng ta phải cẩn thận với sai số tích lũy do làm tròn)

2 Các sai số trong phép tính xấp xỉ đầu mút bên trái và bên phải ngược dấunhau và có khuynh hướng giảm đi một thừa số là 2 khi ta gấp đôi giá trị của

3 Các giá trị xấp xỉ bằng quy tắc Hình thang và Quy tắc Trung điểm chính xáchơn các giá trị xấp xỉ bằng điểm đầu mút

4 Các sai số trong Quy tắc Hình thang và Quy tắc Trung điểm ngược dấu nhau

và có khuynh hướng giảm đi một thừa số là 4 khi ta gấp đôi giá trị của

5 Độ lớn của sai số trong Quy tắc Trung điểm bằng một nửa độ lớn của các sai

số trong Quy tắc Hình thang

Hình 5 giải thích tại sao chúng ta thường kỳ vọng Quy tắc Trung điểm chínhxác hơn Quy tắc Hình thang Diện tích của một hình chữ nhật bình thường theoQuy tắc Trung điểm là bằng diện tích của hình thang ABCD có dạng trên là tiếptuyến với đồ thị tại P Diện tích hình thang này gần với diện tích của miền nằmdưới đồ thị hơn là diện tích của hình thang AQRD được sử dụng trong Quy tắcHình thang [Sai số trung điểm (miền màu đỏ) nhỏ hơn sai số hình thang (miềnmàu xanh)]

Hình 5

3 Quy tắc Simpson

trong đó, chẵn và n

Ví dụ 1: Sử dụng quy tắc Simpson với n=10 để tính xấp xỉ

GIẢI: Đặt theo quy tắc Simpson, ta có:

Lưu ý rằng ở ví dụ 4, Quy tắc Simpson cho chúng ta giá trị xấp xỉ ( cho chúng tagiá trị chính xác của tích phân (47), nó chính xác hơn nhiều so với Quy tắc Hìnhthang () hay Quy tắc Trung điểm () Hóa ra là (xem bài tập 50) các xấp xỉ trongQuy tắc Simpson là các giá trị trung bình có trong số của các xấp xỉ trong Quy tắcHình thang và Quy tắc Trung điểm:

Nhắc lại

Trong nhiều ứng dụng của Giải tích, chúng ta cần phải tính một tích phân ngay cảkhi không biết một công thức tường minh nào của hàm số theo Một hàm số cóy x.thể được cho dưới dạng đồ thị hay một bảng các giá trị từ những dữ liệu thu thậpđược Nếu có bằng chứng cho thấy các giá trị này không thay đổi đột ngột thì ta cóthể sử dụng Quy tắc Hình thang hoặc Quy tắc Simpson để tính một giá trị xấp xỉcho tích phân , tích phân theo y x

Ví dụ 2: Hình 9 minh họa việc truyền dữ liệu trên đường dẫn nối từ Mỹ đếnSWITCH, mạng lưới nghiên cứu và học thuật của Thụy Sĩ, vào ngày 10/02/1998/D(t) là dữ liệu đưa vào, được đo bằng megabit/giây (Mb/s) Hãy sử dụng Quy tắcSimpson để ước tính tổng dữ liệu truyền đi trên đường dẫn từ nửa đêm đến trưangày hôm sau

GIẢI: Vì chúng ta muốn các đơn vị nhất quán và D(t) được đo bằng megabit/giây,

ta đổi các đơn vị của từ giờ sang giây Nếu ta gọi t A(t) là lượng dữ liệu (tính bằngmegabits) truyền đi trong thời gian , trong đó được đo bằng giây, thì t t A’(t) = D(t).Vậy, theo Định lý Thay đổi toàn phần (xem Mục 4.4), tổng dữ liệu truyền được đưađến trưa (khi ) là

A (43 200) =

Ta ước tính các giá trị của D(t) tại các khoảng tính theo giờ từ đồ thị và lập thànhmột bảng sau

789101112

25,20028,80032,40036,00039,60043,200

1.32.85.77.17.77.9

Sau đó, ta sử dụng Quy tắc Simpson với n = 12 và = 3600 để ước tính tích phân:[D(0) + 4D(3600) + 2D(7200) + … + 4D(39,600) + D(43,200)]

[3.2 +4(2.7) + 2(1.9) + 4(1.7) + 2(1.3) + 4(1.0) + 2(1.1) + 4(1.3) + 2(2.8) + 4(5.7)+ 2(7.1) + 4(7.7) + 7.9]]

đây theo Quy tắc Hình thang và Quy tắc Trung điểm, tuy nhiên nó sử dụng đạohàm bậc bốn của f

0.001927290.000486630.00012197

-0.00000734-0.00000047-0.00000003

Cận của sai số cho Quy tắc Simpson:

Ví dụ 4:

(a) Sử dụng Quy tắc Simpson với n = 10 để tính xấp xỉ tích phân

(b) Ước tính sai số của phép tính xấp xỉ tích phân này

Do đó, đặt K - 76e, a - 0, b - 1 và n = 10 ở 1, chúng ta thấy sai số lớn nhất bằng

(So sánh đáp án trên với Ví dụ 3.) Vậy, lấy chính xác đến ba chữ số thập phân, ta

có

Hình 10 minh họa phép tính ở Ví dụ 7 Chú ý rằng các cung parabol rất gần với

đồ thị y =đến nỗi chúng ta gần như không phân biệt được,

Nhiều máy tính và hệ thống đại số máy tính được lập trình sẵn các thuật toán giúp

ta tính được xấp xỉ của một tích phân xác định Một vài máy tính trong số này sửdụng Quy tắc Simpson; số khác sử dụng các kỹ thuật phức tạp hơn chẵng hạn như

kỹ thuật tích phân số thích ứng (adaptive numerical intergration) Có nghĩa là nếumột hàm biến thiên tại một phần nào đó trên một khoảng, nhiều hơn ở những chổkhác, thì phần đó sẽ được chia ra làm nhiều khoảng nhỏ hơn nữa Phương pháp lấytích phân này làm giảm bớt các phép tính toán cần thiết để ra được một kết quảchính xác

2.93.33.63.8

4.04.55.0

4.13.93.5

Kiểm tra kết quả bằng Wolfram Alpha:

Kiểm tra kết quả bằng Wolfram Alpha:

Kiểm tra kết quả bằng Wolfram Alpha: (tương tự câu 1.1)

2.6 Bài 6

, n=10

,8 1,9

= 0,1.( )

=1,506

Kiểm tra kết quả bằng Wolfram Alpha: (tương tự câu 1.6)

3 Quy tắc Simpson

3.1 Bài 1

Cho đồ thị biểu diễn nhiệt độ ở thành phố New York vào ngày 19/09/2009 như sau Hãy sử dụng Quy tắc Simpson với n = 12 để ước tính nhiệt độ trung bình trong ngày đó.

3.2 Bài 2

Một súng ra-da được sử dụng để đo vận tốc của một vận động viên điền kinh trong 5 giây đầu tiên của chặng đua (xem bảng) Sử dụng Quy tắc Simpson để ước tính quãng đường vận động viên chạy được trong 5 giây đầu tiên.

t(s) v(m/s) t(s) v(m/s)0

0.51.01.52.02.5

04.677.348.869.7310.22

3.03.54.04.55.0

10.5110.6710.7610.8110.81

Đối chiếu kết quả với đáp án trong sách Complete Solutions Manual for Single Variable Calculus:

3.3 Bài 3

Hình dưới đây minh họa một con lắc với chiều dài tạo ra mợt góc lớn nhất L

theo phương thẳng đứng Theo Định luật thứ hai về chuyển động của Newton, chúng ta thấy rằng chu kỳ (thời gian hoàn thanh một dao động của con lắc) T

được cho bởi công thức sau:

Trong đó và là gia tốc trọng trường.g

Nếu L = 1 m và = 42°, sử dụng Quy tắc Simpson với n = 10 để tìm chu kỳ dao động của con lắc.

T = 4

11.311.111.7

1.41.6

13.013.2

III TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] James Stewart, Calculus Early Transcendental Seventh Edition, ThomsonBrooks/Cole, 2011

[2] James Stewart, Jeffery A Cole, Daniel Drucker, Daniel Anderson, CompleteSolutions Manual for Single Variable Calculus Early Transcendentals SeventhEdition, Thomson Brooks/Cole, 2012

[3] Robert A Adams, Christopher Essex, Calculus A Complete Course NinthEdition, Pearson, 2018

[4] Lê Thái Thanh, Giáo trình Phương Pháp Tính, NXB Đại học quốc gia thànhphố Hồ Chí Minh, 2019

[5] Khan Academy (2013), Definite integral as the limit of a Riemann sum Youtube, truy câ …p lần cuối ngày 02/01/2022

-[6] 3Blue1Brown (2017), Integration and the fundamental theorem of calculus Youtube, truy câ …p lần cuối ngày 02/01/2022

-[7] Photon-Sphere (2021), Riemann Sum Animation! - Youtube, truy câ …p lần cuốingày 02/01/2022

[8] Hải Tống (2017), Tính Gần Đúng Tích Phân (Hình Thang & Simpson) Youtube, truy câ …p lần cuối ngày 02/01/2022

-[9] Nguyễn Văn Thùy (2021), Vi Phân & Xấp Xỉ Tuyến Tính | Vi Tích Phân 1c Youtube, truy câ …p lần cuối ngày 02/01/2022