Báo Cáo Bài Tập Lớn Giải Tích 2 Chủ Đề Bài Tập Lớn Số 2.Pdf

Trường hấp dẫn và điện trường là những ví đụ về trường lực, và dòng chảy của nước qua một con kênh và dòng không khí xung quanh cánh máy bay là những ví dụ về trường vận tốc.. Trường Vec

DAI HOC QUOC GIA TP HO CHi MINH TRƯỜNG ĐẠI HOC BACH KHOA KHOA KHOA HOC UNG DUNG

BO MON TOAN UNG DUNG

300

ọ c›

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN: GIẢI TÍCH 2 CHU ĐÈ BÀI TẬP LỚN SỐ 2

Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hữu Hiệp

Nhóm 2- P01

MUC LUC

PHẦN 15.1: TRƯỜNG VECTƠ - 22222: 222221112222111221211102201111102211 111101 xe 2

Tl Phân tích trường Ve€CtƠ L 2Q 220112111211 11211 15111121 1110111211118 111g 2

II Ứng dụng của trường VeCtOr 5s S1 1E 12111 11211112 1111 nen 3

1) Định nghĩa trường Vector trong không gian hai chiều -5-55- 55s: 4

2) Dinh nghia trường Vector trong không gian ba chiễu 5-5 5scscsc2 5

IV Trường Vector bảo tOàn c2 11201121 1121111211511 181111011181 11 81111811 ku 7

PHAN 15.2: SỰ PHÂN KỶ VÀ ĐỘ CONG 222v 2222112211211 ere 11

DAT VAN DE

1 Tìm hiểu về trường vectơ: định nghĩa cách vẽ (Tham khao phan 15.1, Soo T Tan,

Multivariable Calculus)

2 Tim hiéu vé Divergence va Curl (Rot) của trường vectơ: định nghĩa, ý nghĩa, cách

tính (tham khảo phân 15.2 của sách, các bài viêt/video trên internet)

3 Lam cac bai tap 1-6, 19-22, phan 15.1; bai tap 5-7, 13-15, phan 15.2 của sách

PHAN 15.1: TRUONG VECTO

I Truong vecto

Trường vectơ trong một không gian

ba chiều là hàm giá trị vectơ mà ta gán một

vector tới từng điểm trong vùng Các

trường vectơ được sử dụng trong khí động

học dé mô hình hóa tốc độ và hướng

chuyên động của không khí xung quanh

mặt phẳng máy bay Bức ảnh cho thấy

luồng không khí từ cánh của một máy bay

nông nghiệp Luồng không khí có thê được

nhìn thấy bằng cách sử dụng khói màu bốc lên từ mặt đắt

Dòng xoáy ở đầu cánh, một ống không khí tuần hoàn được để lại bởi cánh máy

bay khi nó tạo ra lực nâng, gây ảnh hưởng mạnh mẽ đến trường dòng chảy phía sau

máy bay Đây là lý đo Cơ quan Quản lý Hàng không Liên bang (FAA) yêu cầu máy

bay phải luôn duy trì khoảng cách đã đặt ra phía sau mỗi máy bay khác khi họ hạ

cánh

II Phân tích trường Vectơ

Trường vector là hàm gán một vectơ cho mỗi điểm trong một vùng Các nghiên

cứu về trường vectơ được thúc đây bởi nhiều trường vật lý như trường lực và các

trường vận tốc Trường hấp dẫn và điện trường là những ví đụ về trường lực, và dòng

chảy của nước qua một con kênh và dòng không khí xung quanh cánh máy bay là

những ví dụ về trường vận tốc

Việc tính toán trường vectơ cho phép tính được nhiều đại lượng liên quan đến

trường lực và trường vận tốc Ví đụ, sử dụng khái niệm về tích phân đường, một dạng

tông quát của tích phân xác định, chúng ta có thê tính công thực hiện bởi một trường

lực trong việc đi chuyên một vật từ điểm này sang điểm khác dọc theo một đường

cong Sử dụng tích phân bề mặt, một dạng tông quát hóa của tích phân kép, chúng ta

có thê tính toán dòng chảy (dòng chảy của chất lỏng và khí) trên một bề mặt

Việc tính toán liên quan đến tích phân đường và tích phân mặt được thực hiện dễ

dàng bằng các định lý Green, định lý Stokes và Định lý phân kỳ, tất cả đều có thể

được coi như tương tự Định lý cơ bản của Giải tích ở các chiều cao hơn

HI Ứng dụng của trường vector

Hình | cho thấy luồng không khí xung quanh cánh máy bay trong ham gió

Những đường cong mượt mà, được vạch ra bởi các hạt không khí riêng lẻ và có thé

được nhìn thấy băng khói dầu hỏa, được gọi là đòng chảy

Đề thuận tiện cho việc phân tích luồng này, chúng ta có thê liên kết một vectơ

tiếp tuyến với mỗi điểm trên dòng chảy Hướng của vectơ biéu thị cho hướng chuyên

động của hạt không khí và độ dài của vectơ cho biết tốc độ của hạt Nếu chúng ta gán

một vectơ tiếp tuyến với mỗi điểm trên mọi dòng chảy, ta thu được cái gọi là trường

vectơ liên kết với dòng chảy này

Một ví dụ khác về trường vectơ nảy sinh trong nghiên cứu về dòng chảy của máu

qua một động mạch Ở đây, các vectơ cho biết hướng đòng chảy và tốc độ của tế bào

1) Định nghĩa trường Vector trong không gian hai chiều

Cho # là một vùng trong mặt phăng Trường Vector trong R la ham F có giá trị

Trường vectơ E trong & (khéng gian hai chiều) được xác định bởi

F(x, y) =x +2] Hãy mô tả F và vẽ một số vectơ biểu diễn trường vector

Cúch giải:

Hàm có giá trị vecto F liên kết với từng điểm (*:*) trong #” vectơ vị trí của nó

là F =*!* 1Ì, Vectơ này hướng thắng ra khỏi gốc tọa độ và có độ dai

F(+ v)| =|f|=x¬ + | =)

và bằng khoảng cách (*-* từ gốc tọa độ Đề hỗ trợ việc phác thảo một số các

vectơ biểu diễn F, quan sát răng mỗi điểm trên một đường tròn bán kính ” có tâm tại

gốc được liên kết với một vectơ có độ dài “ Hình 3 thể hiện một số vectơ biểu điễn

trường vectơ này

Trường vector F trong #” được xác định bởi Foxy) == yb ta Hãy mô tả F, va

phác họa một sô vectơ biêu diễn trường vectơ

Cách giải:

Cho * 1+" Ja vector vi tri cia điểm (*:*), Sau đó

có độ dài băng khoảng cách giữa điểm gốc và )va hướng vuông góc với vectơ vi

trí của (*:*”, Một số vectơ đại điện cho vectơ này được phác họa trong Hình 4 Như

trong Ví dụ I, nhiệm vụ này được thực hiện dễ dàng bằng cách trước tiên phác họa

một vài vòng tròn đồng tâm có tâm ở gốc tọa độ

Hình 4 - Một số vectơ biếu thị cho trường vectơ F(x, y) =- yi +3]

Truong vecto “spin” cua Vi du 2 được sử dụng để mô tả các hiện tượng đa dạng

như xoáy nước và chuyền động của bánh xe đu quay Nó được gọi là trường vận tốc

Định nghĩa trường vectơ trong không gian ba chiều tương tự như định nghĩa

trong trường vectơ hai chiều

2) Định nghĩa trường Vector trong không gian ba chiều

Cho T là một khu vực trong không gian Trường vector trong 7 là hàm F có giá

trị vectơ liên kết với mỗi điểm trong vector ba chiều

F(x yz) =/(x tr, z]Ï +O(x, t,=)j+ #(x, #, =}k

5

Với P„ Ở và R là các hàm ba biến xác định trên T

Các ứng dụng quan trọng của trường vectơ trong không gian ba chiều xảy ra ở

dạng trường hấp dẫn và điện trường, như được mô tả trong các ví dụ sau:

e© Ví dụ 3: Trường hấp dẫn

Giả sử một vật O có khối lượng M đặt tại sốc của hệ tọa độ ba chiêu Chúng ta

có thê coi đối tượng này như tạo ra một trường lực F trong không gian Tác dụng của

trường hấp dẫn nảy là thu hút bất kỳ vật được đặt gan nó với một lực được chỉ phối

bởi định luật vạn vật hấp dẫn của Newton Dé tim biéu thức cho F , giả sử rằng một

vật có khối lượng m nam tại một điểm (*:*›Z) có vectơ vị trí r=xi+sj+=k Vậy,

theo Định luật hấp dẫn của Newton, lực hút của vật O có khối lượng M lên vật có khối

Lực do trường hấp dẫn F tác dụng lên một hạt khối lượng m có vị trí vectơ r là

mF Truong vecto F duoc phac họa trong Hình 5

Quan sat rang tat ca cac muti tên đêu hướng về gốc tọa độ và độ dải của các mùi

tên giảm dân khi di chuyên ra xa điêm gốc VỆ mặt vật lý, F(x.1⁄Z) Tà lực trên một

đơn vị khối lượng sẽ tác dụng lên một khối lượng thử đặt tại điểm P(X.V,2)

¢ Vi du 4 Điện trường

Giả sử rằng một điện tích Coulomb Q nằm ở sốc của hệ tọa độ ba chiều Khi đó,

theo định luật Coulomb, lực điện do điện tích này tác dụng lên một điện tích coulomb

đặt tại một điểm với vectơ vị trí có độ lớn (trong đó k, hằng số điện, phụ thuộc vào

đơn vị được sử dụng) và hướng do vectơ đơn vị của các điện tích cùng dấu và (lực

đây) Vì vậy, chúng ta có thê viết điện trường E gây ra bởi Q

kO

E(x ) i r

kOn „ KO) kQ=

+y +2) (x ++w +#z) ` (x+t +7)

Lực do điện trường E tác dụng lên một điện tích coulomb đặt tại (x V2) „là 4 Ee

Vé mat vat ly, E(x, y,2) là lực tác dụng lên một đơn vị điện tích trong một điện tích

P(x.w.Z)

thử đặt tại điểm

IV Trường Vector bảo toàn

Nếu là hàm vô hướng ba biến, thì gradient của J Ò viết Vi hoặc grad J Ò được

xác định bởi

Vi (ez) =/.(vmz)Í+ /(xnz)j+ Úc z}R

Nếu Í là hàm hai biến thi

W/(x.v) =/(x.v]i+/ (x.1 ij

Vi V gán cho mỗi điểm (x; ¥52) một vectơ Vi (x.9,2) nén ching ta thay Vi la

một trường vectơ liên kết với mỗi điểm trong miền xác định của nó một vectơ chỉ

hướng của mức tăng lớn nhất của J „ Trường vectơ V được gọi là trường vectơ

gradient cua J „

® Vídụ5

Hay tim trong vecto gradient cua I

Cách giải:

Trường vectơ gradient được viết:

cf yy Wxevez) te Lye Ok

Trước khi chúng ta tiếp tục, cần chỉ ra rằng các trường vectơ trong cả không gian

hai và ba chiều có thê được vẽ với sự trợ giup cua hau hét hé thống đại số máy tính

Máy tính thường chia tỷ lệ độ dài của vectơ nhưng vẫn cho kết quả biểu diễn trực

quan tốt của trường vector Các trường vectơ của Ví dụ I và 2 và hai ví dụ về trường

vectơ trong không gian 3 chiều được hiển thị trong Hình 6a-6d

OGTANNKAAARAAA AS AZ 6 PEE EBM MALEK,

NNNXXÀ 4414/4277 PE EEL MANE EER

AERRRKRRANA AAA AAA ALPE EEK KAP ERRRK

+ | "®1`S*`*x*x*è |} 4⁄“xZxxxx AAA dae a

“ T~~+~***>|4xYxxxxx “THERE RAAT eh

~~ ~~>xY* ˆ Ývvr + + VV rrr razr hhh hhh

eee e aap yi rawness / i {{t\t\444‡~444444 X

ALAA AEE PY ERR RRR S| aE ERY ERR RRR -2}XXx44^>‡yx*⁄4⁄4444 “Ì|Xxxxa^>‡+rxz#Z£4á£

~Z#ZZZ####f#†xxxx»»% X\Xxxx^^>+>ờy#ếZZZZ£

AT ee LEER EP YN MRR -4†xxx»»»>+>xxx*#ZZZ

Z#Z//#/ƒýƒ†YXxx%x%%% \MAAAA SH rr TAA A

674K KY yyy VAN VANS -6†*»»»>>>>++>>xx x#Z

Hình 6 - Những đồ thị về trường vectơ được máy tính tạo ra

“ Định nghĩa về trường vectơ bảo toàn

Trường vectơ F trong một vùng R là bảo toàn nếu tồn tại hàm ⁄ vô hướng được

xác định trong R sao cho

F- Vf Ham nay duoc goi la ham tiém nang F

Trường Vector có dang

được gọi là trường bình phương nghịch đảo Trường hấp dẫn và điện trường

trong ví đụ 3 và 4 là trường bình phương nghịch đảo Ví dụ tiếp theo cho thấy các

trường này là bảo toan

® Ví dụ6

Hay tim truong vector gradient cua ham

v1, =}—=- xl\xv +1 +7

từ đó suy ra rằng trường bình phương nghịch đảo F là bảo toàn

là một gradiaent của hàm tiềm năng Ý và bảo toàn

Trong Ví đụ 6, chúng ta đã có thế chứng minh răng một trường bình phương

nghịch đảo F là trường bảo toàn vì chúng ta đã cho một hàm thế sao cho F=Vi

Chúng tôi sẽ đồng thời tìm hiểu cách xác định xem một trường vectơ có bảo toàn hay

không mà không cần biết nó hàm tiềm năng

10

PHAN 15.2: SU PHAN KY VA DO CONG Trong mục này chúng ta sẽ xem xét hai cách đo tốc độ thay đôi của tường vectơ

F: sự phân kỳ của F tại một điểm P và độ cong của F tại P Sự phân kỳ và độ cong

của trường vectơ đóng vai trò rất quan trọng trong việc mô tả đòng chất lỏng, sự dẫn

nhiệt và điện từ

I Sw phan kỳ

Gia str F là trường vectơ trong 2 hoặc 3 không gian và P là một điểm trong miền

xác định của nó Ở phần này, chúng ta giả sử rằng trường vectơ F mô tả luồng của

chất lỏng trong không gian 2 hoặc 3 chiều Khi đó, sự phân kỳ của F tại P, viết là

divF(P), đo tốc độ trên một đơn vị diện tích (hoặc thé tich) ma chat long di chuyén

hoặc tích tụ tại P Hãy xem xét một số ví dụ:

® Vidụl

a Hình la thế hiện trường vectơ “' ‘>! I=*!*31Ì được mô tả trong Vi du | cua

Muc 15.1 Cho P 1a mét diém trong mat phang và N là một lân cận của P với tâm P

Hình Ib, quan sát thấy một mũi tên đi vào N dọc theo một đường thắng khớp với một

mũi tên khác đi ra từ N và có độ dài lớn hơn (vì nó nằm xa gốc tọa độ hơn) Điều này

cho thấy đòng chảy thoát ra nhiều hơn đi vào vùng lân cận của P Chúng tôi sẽ trình

bày trong Ví dụ 2a trường vectơ F là “phân kỷ” tại P; nghĩa là, sự phân kỷ của E tại P

Hình Ib - Dòng chảy qua vùng lân cận của P (Được phóng to, không theo tỉ lệ)

b Hình 2a cho biết trường vector FL+:!) ='Ï chọ x >0 và ” =9 Quan sát dòng

chảy song song với trục x - và độ dài của các mũi tên trên mỗi đường ngang là không

đổi Chúng ta có thê coi như F mô tả dòng chảy của sông gần bờ Vận tốc của dòng

chảy gần bằng 0 ở gần bờ sông (trục x) và tăng lên khi chúng di chuyên ra xa Ta có

thê thấy trong Hình 2b rằng lượng chất lỏng chảy vào vùng lân cận N của P khớp với

lượng thoát ra N Do đó, sự phân kì ở P bằng không Chúng ta sẽ chỉ ra trường hợp

Hinh 2b - Dong chay qua vùng lân cận của P (Được phóng to, không theo tỉ lệ)

c Hình 3a biểu diễn trường vectơ

Với x>0 và y #0, Quan sát rằng các đường thăng song song với trục x, ta thay

độ dài của các mũi tên trên mỗi đường ngang sẽ nhỏ hơn khi Y tăng đân

Từ Hình 3b, bạn có thê thấy rằng “đòng” vào một vùng lân cận N của P lớn hơn

dòng chảy xuất hiện từ N Trong trường hợp này, nhiều dòng chảy đi vào vùng lân cận

hơn là thoát ra, do đó “sự phân kỳ” là âm Chúng tôi sẽ chứng minh trực giác của

13

Hinh 3b - Dòng chảy qua vung lân cận của P (Được phóng to, không theo tỉ lệ)

Cho đến nay, chúng ta chỉ xem khái niệm “phân kỳ” bằng trực giác Sự phân kỳ

của trường vectơ có thê được định nghĩa như sau:

“ Định nghĩa sự phân kì của một trường vectơ

Cho Ftt3sz) =ØÍ+ Ó]+ RK ya một trường vectơ trong không gian, trong đó P, Q,

và R có đạo hàm riêng cấp một ở một số vùng T Sự phân kỳ của F là hàm vô hướng

được xác định bởi

OPQ OR

Đề giúp ghi nhớ phương trinh (1), chúng tôi xin giới thiệu vectơ toán tử đạo hàm

(đọc là “del”) được xác định bởi

là sự phân kỳ của trường vector F Vì vậy, chúng ta có thế viết ký hiệu sự phân kỳ

của F như sau:

divF=V-F Hãy áp dụng định nghĩa phân kỳ cho các trường vectơ mà chúng ta đã thảo luận

6 phan Vi dụ I

® Ví dụ2

oe F(xy)= a+ yj Fixvy=vi 22 F(x, yF I Tìm sự phân kỷ của (a) ` `" 13] (b) › ”, Và (C) vel,

Điều chỉnh kết quả của bạn bằng những quan sát trực quan được thực hiện ở Ví dụ I

Cách giải:

livF =—(x)+—(y) =1+1 =2 có

a ø Ở đây, dìY F >0 đúng như mong đợi

Ly div F = —(y)+—(0) =0

b O day F vi Oj vay œ 9 Trong truong hop nay ,

div F~ 0 như đã thực hiện trong Ví du Lb

c.Với FUN!) '*" tạ thấy,

div F= —(x+1l)° +—(0) =-(v +41)

va d!v F =0 nhự chúng ta đã kết luận băng trực giác trong Ví dụ lc

Bây giờ chúng ta chuyên sang một ví dụ liên quan đến trường vectơ có đường

thẳng khó hình dung

® Ví dụ3

15

Sw phan ky cua truong vecto Fx y) =yi trong Vi du lb va 2b bang khong

Tổng quát, nếu đív F =Ũ_ thị F không thể co giãn Trong lý thuyết điện từ, trường

vectơ F thỏa mãn V'F=0 được gọi là cảm biến điện từ Ví dụ, điện trường E trong

Bây giờ chúng ta tập trung sang thước đo khác về tốc độ thay đối của trường

vectơ F Giả sử F là một trường vectơ trong không gian 3 chiều và F la một điểm

trong miễn xác định của nó Coi trường vectơ là trường mô tả dòng chảy của chất

lỏng Giả sử rằng một bánh guồng nhỏ, như Hình 4, được nhúng trong chất lỏng tại P

Độ cong của E, ký hiệu curl F, là thước đo xu hướng quay của chất lỏng quanh trục

thăng đứng tại P Lát sau chúng ta sẽ chứng minh rằng bánh guỗng sẽ quay nhanh nhất

nếu trục của nó trùng với hướng của curl F tại P vả tốc độ quay cực đại của nó tại P

được cho bởi độ dài của độ cong E tại P