Báo Cáo Bài Tập Lớn Giải Tích 2 Chủ Đề Bài Tập Lớn Số 2.Pdf

Trang 1

DAI HOC QUOC GIA TP HO CHi MINH TRƯỜNG ĐẠI HOC BACH KHOA

KHOA KHOA HOC UNG DUNG BO MON TOAN UNG DUNG

300

ọ c› BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

MƠN: GIẢI TÍCH 2 CHU ĐÈ BÀI TẬP LỚN SỐ 2

Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hữu Hiệp

Trang 2

MUC LUC 27.90.0625 0010098 ((31341 I PHẦN 15.1: TRƯỜNG VECTƠ - 22222: 222221112222111221211102201111102211 111101 xe 2 ID Wivvì 0 2 Tl Phân tích trường Ve€CtƠ L 2Q 220112111211 11211 15111121 1110111211118 111g 2 II Ứng dụng của trường VeCtOr 5s S1 1E 12111 11211112 1111 nen 3 1) Định nghĩa trường Vector trong khơng gian hai chiều -5-55- 55s: 4 2) Dinh nghia trường Vector trong khơng gian ba chiễu 5-5 5scscsc2 5 IV Trường Vector bảo tOàn c2 11201121 1121111211511 181111011181 11 81111811 ku 7 PHAN 15.2: SỰ PHÂN KỶ VÀ ĐỘ CONG 222v 2222112211211 ere 11

TV Sur phan se II

IHaAaaaaddadaiadđaiaaiiiaaaẳaẳaẳaẳaẳaẳâẳaciaÝỶậ 17

PHẦN GIẢI BÀI TẬP lỗ 2:::2222221222211112222111122222111.2211111.2112101 xe 25 PHẦN GIẢI BÀI TẬP L5.2 - :::2222221222211112222111122222111.22111111 111.21 1c 30

010080990ì197.9)0- 90.7 ẽ.ẻẽ 35

Trang 4

PHAN 15.1: TRUONG VECTO

I Truong vecto

Trường vectơ trong một khơng gian ba chiều là hàm giá trị vectơ mà ta gán một vector tới từng điểm trong vùng Các trường vectơ được sử dụng trong khí động

học dé mơ hình hĩa tốc độ và hướng

chuyên động của khơng khí xung quanh mặt phẳng máy bay Bức ảnh cho thấy

luồng khơng khí từ cánh của một máy bay

nơng nghiệp Luồng khơng khí cĩ thê được

nhìn thấy bằng cách sử dụng khĩi màu bốc lên từ mặt đắt

Dịng xốy ở đầu cánh, một ống khơng khí tuần hồn được để lại bởi cánh máy bay khi nĩ tạo ra lực nâng, gây ảnh hưởng mạnh mẽ đến trường dịng chảy phía sau máy bay Đây là lý đo Cơ quan Quản lý Hàng khơng Liên bang (FAA) yêu cầu máy bay phải luơn duy trì khoảng cách đã đặt ra phía sau mỗi máy bay khác khi họ hạ cánh

II Phân tích trường Vectơ

Trường vector là hàm gán một vectơ cho mỗi điểm trong một vùng Các nghiên cứu về trường vectơ được thúc đây bởi nhiều trường vật lý như trường lực và các trường vận tốc Trường hấp dẫn và điện trường là những ví đụ về trường lực, và dịng chảy của nước qua một con kênh và dịng khơng khí xung quanh cánh máy bay là những ví dụ về trường vận tốc

Trang 5

Việc tính tốn liên quan đến tích phân đường và tích phân mặt được thực hiện dễ dàng bằng các định lý Green, định lý Stokes và Định lý phân kỳ, tất cả đều cĩ thể được coi như tương tự Định lý cơ bản của Giải tích ở các chiều cao hơn

HI Ứng dụng của trường vector

Hình | cho thấy luồng khơng khí xung quanh cánh máy bay trong ham giĩ Những đường cong mượt mà, được vạch ra bởi các hạt khơng khí riêng lẻ và cĩ thé được nhìn thấy băng khĩi dầu hỏa, được gọi là địng chảy

Đề thuận tiện cho việc phân tích luồng này, chúng ta cĩ thê liên kết một vectơ tiếp tuyến với mỗi điểm trên dịng chảy Hướng của vectơ biéu thị cho hướng chuyên động của hạt khơng khí và độ dài của vectơ cho biết tốc độ của hạt Nếu chúng ta gán một vectơ tiếp tuyến với mỗi điểm trên mọi dịng chảy, ta thu được cái gọi là trường vectơ liên kết với dịng chảy này

Một ví dụ khác về trường vectơ nảy sinh trong nghiên cứu về dịng chảy của máu qua một động mạch Ở đây, các vectơ cho biết hướng địng chảy và tốc độ của tế bào máu (xem Hình 2)

Trang 6

1) Định nghĩa trường Vector trong khơng gian hai chiều

Cho # là một vùng trong mặt phăng Trường Vector trong R la ham F cĩ giá trị

(x Đ)

vector liên kết với mơi điêm trong # một vectơ hai chiêu F(x tr) =7(x, p)i + O(x, r)] Trong đĩ P và Q và là hàm của hai biến được xác định trên R e Vidul

Trang 7

Cho * 1+" Ja vector vi tri cia điểm (*:*), Sau đĩ For =(- 14+ xf) (xi + vị) —=-YY + =) và điều này cho thấy F trực giao với vector r Điều này cĩ nghĩa F(%:3) là tiếp K ` ` ` ; h rr) i 2k A ~ tuyên vào đường trịn bản kính | | cĩ tâm ở gốc tọa độ Hơn nữa F(x.')| =((- xì + \ =.ÍY +1 =; cho biết độ dài của vectơ vị trí Do dé, F lién kết với mỗi điểm (*:*) một vectơ (x + cĩ độ dài băng khoảng cách giữa điểm gốc và )va hướng vuơng gĩc với vectơ vi trí của (*:*”, Một số vectơ đại điện cho vectơ này được phác họa trong Hình 4 Như trong Ví dụ I, nhiệm vụ này được thực hiện dễ dàng bằng cách trước tiên phác họa một vài vịng trịn đồng tâm cĩ tâm ở gốc tọa độ YA ~^————>—|— TỶ ⁄ ⁄ \ < \T \ | A / | éNẠ \ Ị L Ỳ on A 4 | NYS LZ / ! > K VIN J \ ~ |e 7 ~ se Se ae - > Hình 4 - Một số vectơ biếu thị cho trường vectơ F(x, y) =- yi +3] Truong vecto “spin” cua Vi du 2 được sử dụng để mơ tả các hiện tượng đa dạng như xốy nước và chuyền động của bánh xe đu quay Nĩ được gọi là trường vận tốc

Định nghĩa trường vectơ trong khơng gian ba chiều tương tự như định nghĩa trong trường vectơ hai chiều

2) Định nghĩa trường Vector trong khơng gian ba chiều

Cho T là một khu vực trong khơng gian Trường vector trong 7 là hàm F cĩ giá trị vectơ liên kết với mỗi điểm trong vector ba chiều

Trang 8

Với P„ Ở và R là các hàm ba biến xác định trên T

Các ứng dụng quan trọng của trường vectơ trong khơng gian ba chiều xảy ra ở dạng trường hấp dẫn và điện trường, như được mơ tả trong các ví dụ sau:

e© Ví dụ 3: Trường hấp dẫn

Trang 9

Quan sat rang tat ca cac muti tên đêu hướng về gốc tọa độ và độ dải của các mùi tên giảm dân khi di chuyên ra xa điêm gốc VỆ mặt vật lý, F(x.1⁄Z) Tà lực trên một đơn vị khối lượng sẽ tác dụng lên một khối lượng thử đặt tại điểm P(X.V,2)

¢ Vi du 4 Điện trường

Giả sử rằng một điện tích Coulomb Q nằm ở sốc của hệ tọa độ ba chiều Khi đĩ, theo định luật Coulomb, lực điện do điện tích này tác dụng lên một điện tích coulomb đặt tại một điểm với vectơ vị trí cĩ độ lớn (trong đĩ k, hằng số điện, phụ thuộc vào đơn vị được sử dụng) và hướng do vectơ đơn vị của các điện tích cùng dấu và (lực đây) Vì vậy, chúng ta cĩ thê viết điện trường E gây ra bởi Q kO E(x ) i r kOn „ KO) kQ= +y +2) (x ++w +#z) ` (x+t +7) Lực do điện trường E tác dụng lên một điện tích coulomb đặt tại (x V2) „là 4 Ee Vé mat vat ly, E(x, y,2) là lực tác dụng lên một đơn vị điện tích trong một điện tích P(x.w.Z) thử đặt tại điểm

IV Trường Vector bảo tồn

Nếu là hàm vơ hướng ba biến, thì gradient của J Ị viết Vi hoặc grad J Ị được xác định bởi Vi (ez) =/.(vmz)Í+ /(xnz)j+ Úc z}R Nếu Í là hàm hai biến thi W/(x.v) =/(x.v]i+/ (x.1 ij Vi V gán cho mỗi điểm (x; ¥52) một vectơ Vi (x.9,2) nén ching ta thay Vi la một trường vectơ liên kết với mỗi điểm trong miền xác định của nĩ một vectơ chỉ hướng của mức tăng lớn nhất của J „ Trường vectơ V được gọi là trường vectơ gradient cua J „

® Vídụ5

Trang 10

Cách giải:

Trường vectơ gradient được viết:

cf yy Wxevez) te Lye Ok CX Oo} Cz C C C =—(xY +x'+f= jli+ —(v +var+r= lj+ —(x +ar+rz }k ox cv CZ =(Qvty)it(v+2yz )j+3y rk Trước khi chúng ta tiếp tục, cần chỉ ra rằng các trường vectơ trong cả khơng gian hai và ba chiều cĩ thê được vẽ với sự trợ giup cua hau hét hé thống đại số máy tính Máy tính thường chia tỷ lệ độ dài của vectơ nhưng vẫn cho kết quả biểu diễn trực quan tốt của trường vector Các trường vectơ của Ví dụ I và 2 và hai ví dụ về trường vectơ trong khơng gian 3 chiều được hiển thị trong Hình 6a-6d Yh yA

OGTANNKAAARAAA AS AZ 6 PEE EBM MALEK,

NNNXXÀ 4414/4277 PE EEL MANE EER

AERRRKRRANA AAA AAA ALPE EEK KAP ERRRK

MRRP AAAS PEER EAAREEERERKA

+ | "®1`S*`*x*x*è |} 4⁄“xZxxxx AAA dae a “ T~~+~***>|4xYxxxxx “THERE RAAT eh

~~ ~~>xY* ˆ Ývvr + + VV rrr razr hhh hhh

0 > 0 I htt

eee e aap yi rawness / i {{t\t\444‡~444444 X

ALAA AEE PY ERR RRR S| aE ERY ERR RRR -2}XXx44^>‡yx*⁄4⁄4444 “Ì|Xxxxa^>‡+rxz#Z£4á£

~Z#ZZZ####f#†xxxx»»% X\Xxxx^^>+>ờy#ếZZZZ£

AT ee LEER EP YN MRR -4†xxx»»»>+>xxx*#ZZZ

Z#Z//#/ƒýƒ†YXxx%x%%% \MAAAA SH rr TAA A

Trang 11

Hình 6 - Những đồ thị về trường vectơ được máy tính tạo ra “ Định nghĩa về trường vectơ bảo tồn

Trường vectơ F trong một vùng R là bảo tồn nếu tồn tại hàm ⁄ vơ hướng được xác định trong R sao cho

F- Vf Ham nay duoc goi la ham tiém nang F Trường Vector cĩ dang

Trang 12

là một gradiaent của hàm tiềm năng Ý và bảo tồn

Trong Ví đụ 6, chúng ta đã cĩ thế chứng minh răng một trường bình phương nghịch đảo F là trường bảo tồn vì chúng ta đã cho một hàm thế sao cho F=Vi Chúng tơi sẽ đồng thời tìm hiểu cách xác định xem một trường vectơ cĩ bảo tồn hay

khơng mà khơng cần biết nĩ hàm tiềm năng

Trang 13

PHAN 15.2: SU PHAN KY VA DO CONG

Trong mục này chúng ta sẽ xem xét hai cách đo tốc độ thay đơi của tường vectơ F: sự phân kỳ của F tại một điểm P và độ cong của F tại P Sự phân kỳ và độ cong của trường vectơ đĩng vai trị rất quan trọng trong việc mơ tả địng chất lỏng, sự dẫn

nhiệt và điện từ

I Sw phan kỳ

Gia str F là trường vectơ trong 2 hoặc 3 khơng gian và P là một điểm trong miền xác định của nĩ Ở phần này, chúng ta giả sử rằng trường vectơ F mơ tả luồng của chất lỏng trong khơng gian 2 hoặc 3 chiều Khi đĩ, sự phân kỳ của F tại P, viết là divF(P), đo tốc độ trên một đơn vị diện tích (hoặc thé tich) ma chat long di chuyén hoặc tích tụ tại P Hãy xem xét một số ví dụ:

® Vidụl

a Hình la thế hiện trường vectơ “' ‘>! I=*!*31Ì được mơ tả trong Vi du | cua Muc 15.1 Cho P 1a mét diém trong mat phang và N là một lân cận của P với tâm P Hình Ib, quan sát thấy một mũi tên đi vào N dọc theo một đường thắng khớp với một mũi tên khác đi ra từ N và cĩ độ dài lớn hơn (vì nĩ nằm xa gốc tọa độ hơn) Điều này cho thấy địng chảy thốt ra nhiều hơn đi vào vùng lân cận của P Chúng tơi sẽ trình bày trong Ví dụ 2a trường vectơ F là “phân kỷ” tại P; nghĩa là, sự phân kỷ của E tại P là dương

YA

Hình la - Trường vectơ F(x y) =a +9]

Trang 14

Hình Ib - Dịng chảy qua vùng lân cận của P (Được phĩng to, khơng theo tỉ lệ)

b Hình 2a cho biết trường vector FL+:!) ='Ï chọ x >0 và ” =9 Quan sát dịng

chảy song song với trục x - và độ dài của các mũi tên trên mỗi đường ngang là khơng đổi Chúng ta cĩ thê coi như F mơ tả dịng chảy của sơng gần bờ Vận tốc của dịng chảy gần bằng 0 ở gần bờ sơng (trục x) và tăng lên khi chúng di chuyên ra xa Ta cĩ thê thấy trong Hình 2b rằng lượng chất lỏng chảy vào vùng lân cận N của P khớp với lượng thốt ra N Do đĩ, sự phân kì ở P bằng khơng Chúng ta sẽ chỉ ra trường hợp này trong Ví dụ 2b

YA

Y Y

Trang 15

Hinh 2b - Dong chay qua vùng lân cận của P (Được phĩng to, khơng theo tỉ lệ) c Hình 3a biểu diễn trường vectơ Với x>0 và y #0, Quan sát rằng các đường thăng song song với trục x, ta thay độ dài của các mũi tên trên mỗi đường ngang sẽ nhỏ hơn khi Y tăng đân Từ Hình 3b, bạn cĩ thê thấy rằng “địng” vào một vùng lân cận N của P lớn hơn dịng chảy xuất hiện từ N Trong trường hợp này, nhiều dịng chảy đi vào vùng lân cận hơn là thốt ra, do đĩ “sự phân kỳ” là âm Chúng tơi sẽ chứng minh trực giác của minh la đúng trong Vi du 2 P ' "141111 © Hình 3a - Trường vectơ r+]

Trang 16

Hinh 3b - Dịng chảy qua vung lân cận của P (Được phĩng to, khơng theo tỉ lệ) Cho đến nay, chúng ta chỉ xem khái niệm “phân kỳ” bằng trực giác Sự phân kỳ của trường vectơ cĩ thê được định nghĩa như sau:

“ Định nghĩa sự phân kì của một trường vectơ

Cho Ftt3sz) =ØÍ+ Ĩ]+ RK ya một trường vectơ trong khơng gian, trong đĩ P, Q, và R cĩ đạo hàm riêng cấp một ở một số vùng T Sự phân kỳ của F là hàm vơ hướng được xác định bởi

OPQ OR

Cx C) Cz (1)

Trang 17

cf of of =—(x.9',z)Ì* —(x.1'.z)j+ — (4 2)K CX († ( là gradient của Ý Nếu chúng ta lấy tích vơ hướng của V với trường vector F(x ,2) =Pit+ Oj + RK „ ta CĨ V -F =| —i+—j+—k| ứi+Oj+ &k) CX (1 CZ ( ( cl CO vat = P+ ()+ R= — +

là sự phân kỳ của trường vector F Vì vậy, chúng ta cĩ thế viết ký hiệu sự phân kỳ của F như sau: divF=V-F Hãy áp dụng định nghĩa phân kỳ cho các trường vectơ mà chúng ta đã thảo luận 6 phan Vi dụ I ® Ví dụ2 oe F(xy)= a+ yj Fixvy=vi 22 F(x, yF I Tìm sự phân kỷ của (a) ` `" 13] (b) › ”, Và (C) vel, Điều chỉnh kết quả của bạn bằng những quan sát trực quan được thực hiện ở Ví dụ I

Cách giải:

livF =—(x)+—(y) =1+1 =2 cĩ

a ø Ở đây, dìY F >0 đúng như mong đợi

Ly div F = —(y)+—(0) =0

b O day F vi Oj vay œ 9 Trong truong hop nay ,

div F~ 0 như đã thực hiện trong Ví du Lb

c.Với FUN!) '*" tạ thấy,

(

div F= —(x+1l)° +—(0) =-(v +41)

OX Cì (x +1)

va d!v F =0 nhự chúng ta đã kết luận băng trực giác trong Ví dụ lc

Bây giờ chúng ta chuyên sang một ví dụ liên quan đến trường vectơ cĩ đường

thẳng khĩ hình dung

® Ví dụ3

Trang 18

An Tờ oo F(x, 1z) =vlzÍl+v 1 z| + K ,.: ;Ã L2 Tim sw phan ky cua J "K tai didm L2), Cách giải: C C ( div F =—(+\z)+—(x 9 z)+—( 7) cx (1 (1 =\z+2xY 1z Đặc biệt, tại điểm ~ |2) ta thấy div (T1, - 1.2) =(- 12) +201) (- 1)(2) =-0 Sw phan ky cua truong vecto Fx y) =yi trong Vi du lb va 2b bang khong Tổng quát, nếu đív F =Ũ_ thị F khơng thể co giãn Trong lý thuyết điện từ, trường vectơ F thỏa mãn V'F=0 được gọi là cảm biến điện từ Ví dụ, điện trường E trong vi dụ 4 là cảm biên điện từ ® Vidụ4 () E(x.9',z) =——F , š 2 Lo ` ` I Chứng minh rắng sự phân kỳ của điện trường | , trong do “ vỉ +" + rk * ^ r1) “K _ bằng khơng Cách giải:

Đâu tiên ta viết: kĨ\ k@\ k@= E(x.!',=) = = i+ = j> = k (x +p +2 xẻ +1 +=}] (x ty +2) Sau do: ( \ ( | C Z || div E = kQ; — — +— ox | (eo +> +27) ov] (xo ty #+z } ! œ|(x +g +z)”| Nhưng: ( \ ( — =—| x(A +) +2) | CX ( +, +2 ) Cx

=(v tyot2r) +e -]-—](e + 42°) ^y) =(v ++ +z} |(xv+r +z]-3a