báo cáo bài tập lớn môn giải tích 1 chủ đề 10 mặt tròn xoay

Sau hơn 2 tháng học tập ở trường Đại học Bách khoa – ĐHQG TP.HCM, thầy đã hướng dẫn hết lòng, truyền đạt cho chúng em nhiều kiến thức quý giá và bổ ích cũng như giải đáp mọi thắc mắc để

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến thầy Nguyễn Đình Dương, người thầy đã dẫn dắt chúng em ở bộ môn Giải tích 1 này Sau hơn 2 tháng học tập ở trường Đại học Bách khoa – ĐHQG TP.HCM, thầy đã hướng dẫn hết lòng, truyền đạt cho chúng em nhiều kiến thức quý giá và bổ ích cũng như giải đáp mọi thắc mắc để chúng em có thể hoàn thành đề tài bài tập lớn đúng tiến độ Sự hướng dẫn của thầy không chỉ giúp nhóm em vượt qua những khó khăn do điều kiện học tập gặp trở ngại trong tình hình dịch Covid hiện nay mà còn là hành trang vững chắc trước khi chúng em bước vào kiến thức chuyên ngành và xa hơn đó là bước vào đời

Đây là lần đầu làm bài tập lớn của nhóm em kể từ khi bước chân vào môi trường đại học nên không thể tránh khỏi sai sót, rất mong nhận được sự nhận xét, ý kiến đóng góp, phê bình từ thầy để chúng em có thể học hỏi thêm kinh nghiệm và hoàn thiện bài báo cáo một cách tốt nhất

Một lần nữa, chúng em xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến thầy vì đã tận tình chỉ dẫn cho nhóm Sự quan tâm của thầy đã tạo nên sự gần gũi và là động lực để chúng em cố gắng phát triển hơn từng ngày

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 1

PHẦN 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ MẶT TRÒN XOAY 2

1.1 Khái niệm 2

1.2 Các tính chất 2

1.3 Diện tích mặt tròn xoay 3

1.4 Tham số hóa mặt tròn xoay 4

PHẦN 2: NỘI DUNG VÀ KẾT QUẢ THỰC HIỆN TRÊN MAPLE 6

2.1 Khai báo hàm 6

2.2 Vẽ đồ thị trong xOy 6

2.3 Vẽ mặt được cho dưới dạng tham số 7

2.4 Một số thay đổi đoạn code mẫu trong chủ đề và nhận xét 9

PHẦN 3: MỞ RỘNG VÀ ÁP DỤNG 13

3.1 Diện tích mặt tròn xoay cho bởi phương trình tham số 13

3.2 Mở rộng về code trên maple 13

3.3 Một số ví dụ 15

PHẦN 4: KẾT LUẬN 19

TÀI LIỆU THAM KHẢO 20

DANH MỤC HÌNH ẢNH

Hình 1.1 Ví dụ mặt tròn xoay 2

Hình 1.2 Mặt tròn xoay 3

Hình 1.3 Mặt tròn xoay khi quay f(x) quanh trục Ox 3

Hình 1.4 Tọa độ điểm M trên mặt tròn xoay 4

Hình 2.1 Khai báo hàm 𝑓(𝑥) = √𝑥, 𝑔(𝑥) = 𝑥2 và tính giá trị f(4), g(3) 6

Hình 2.2 Đồ thị của 𝑦 = √𝑥 với 𝑥 ∈ [1,2] 7

Hình 2.3 Đồ thị 𝑦 = √𝑥 và 𝑦 = 𝑥2 với 𝑥 ∈ [1,2] 7

Hình 2.4 Mặt tròn xoay khi quay đường 𝑓(𝑥) = √𝑥 quanh trục Ox, x ∈ [0,1] 8

Hình 2.5 Mặt tròn xoay khi quay đường 𝑓(𝑥) = √𝑥 quanh trục Oy, x ∈ [0,1] 8

Hình 2.6 Đường 𝑓(𝑥) = √𝑥 và đường y=k=−12 8

Hình 2.7 Mặt tròn xoay khi quay đường 𝑓(𝑥) = √𝑥 quanh đường y=k=−12 8

Hình 2.8 Đường 𝑓(𝑥) = √𝑥 và đường x=k=−12 9

Hình 2.9 Mặt tròn xoay khi quay đường 𝑓(𝑥) = √𝑥 quanh đường x=k=−12 9

Hình 2.10 Đoạn code và đồ thị f(x)=√𝑥 9

Hình 2.11 Đoạn code và đồ thị f(x)=𝑥2 9

Hình 2.12 Quay f(x)= √𝑥 quanh hai trục 10

Hình 2.13 Quay f(x)=𝑥2 quanh hai trục 10

Hình 2.14 Đồ thị hàm 𝑓(𝑥), 𝑓−1(𝑥)và đường y =x 10

Hình 2.15 Quay 𝑓(𝑥) quanh Ox và 𝑓−1(𝑥) quanh Oy 11

Hình 2.16 Quay 𝑓(𝑥) quanh Oy và 𝑓−1(𝑥) quanh Ox 11

Hình 2.17 Khai báo hàm y=f(x) và tìm hàm x=g(y) 11

Hình 2.18 Vẽ mặt tròn xoay quanh trục Ox của f(x) và g(y) trên Maple 12

Hình 3.2 Mặt tròn xoay khi quay f quanh Ox (ví dụ 3.1.1) 13

Hình 3.3 Diện tích mặt tròn xoay khi quay 𝑦 = √𝑥 quanh Ox với x∈[0,1] 14

Hình 3.4 Gọi gói lệnh và lệnh “SurfaceOfRevolutionTuTor();” 14

Hình 3.5 Tính diện tích mặt tròn xoay bằng lệnh “SurfaceOfRevolutionTuTor();” 15

Hình 3.6 Đồ thị hàm số f (ví dụ 3.3.1) 15

Hình 3.7 Mặt tròn xoay khi quay f quanh trục Ox(ví dụ 3.3.1) 15

Hình 3.8 Đồ thị 𝑦 = 𝑥2 16−𝑥2 khi 𝑦 ∈ [0,11] (ví dụ 3.3.2) 16

Hình 3.9 Tìm hàm x=g(y)(ví dụ 3.3.2) 16

Hình 3.10 Mặt tròn xoay và diện tích mặt của đường cong 𝑦 = 𝑥2 16−𝑥2, 𝑦 ∈ [0,11] 17

Hình 3.11 Tính diện tích mặt trong ly bằng lệnh có sẵn (ví dụ3.3.2) 17

Hình 3.12 Tọa độ cực 18

Hình 3.13 Vẽ đồ thị tọa độ cực(ví dụ 3.3.3) 18

Hình 3.14 Chuyển tọa độ cực về tọa độ Descartes (ví dụ 3.3.3) 18

Hình 3.15 Mặt tròn xoay và diện tích khi xoay đường cong 𝑟 = 2𝑐𝑜𝑠𝜑 (𝜑 ∈ [0,𝜋 2]) quanh trục Ox trên maple 18

LỜI NÓI ĐẦU

Đối với việc xử lí một bài toán, chúng ta có rất nhiều cách Thông thường, cách đơn giản nhất và cũng là thao tác quen thuộc nhất mà chúng ta hay làm là giải tay Mặc

dù giải tay rất tiện lợi và nhanh chóng nhưng đôi khi không tránh được sai sót Nhất là đối với các bài toán cần mô phỏng một cách chính xác hình dạng đồ thị khi quay các hàm số quanh một trục bất kì Do đó những công cụ, phần mềm hỗ trợ giải toán xuất hiện và đóng một vai trò vô cùng quan trọng, giúp chúng ta kiểm tra lại kết quả giải tay cũng như thực hiện những bài toán có quy mô lớn, mô phỏng hình dáng một cách chính xác

Để thực hiện đề tài Mặt tròn xoay (Surface of Revolution) này, chúng em chọn Maple (một phần mềm có chức năng đa dạng có thể giải quyết các vấn đề từ hầu như bất kỳ nhánh nào của toán học hoặc lĩnh vực dựa vào toán học, như tích phân, đại số, phương trình vi phân, …) là công cụ để mô phỏng hình dáng đồ thị khi quay một đường cong bất kì xung quanh một trục cố định bằng hình ảnh động 2-D hoặc 3-D tùy chỉnh Hơn thế là tính được diện tích của nó trong trường hợp thường lẫn trường hợp mở rộng

PHẦN 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ MẶT TRÒN XOAY

1.1 Khái niệm

đường cong (đường sinh) xung quanh một trục cố định

một hình được gọi là mặt tròn xoay

Hình 1.1 Ví dụ mặt tròn xoay

1.2 Các tính chất

kinh tuyến (meridional sections) Bất kỳ tiết diện kinh tuyến nào cũng được coi là phần

tử sinh trong mặt phẳng xác định bởi tiết diện và trục quay

đường tròn

phần) và elip paraboloit (elliptic paraboloid) là những mặt tròn xoay Đây là những mặt bậc hai mà tiết diện vuông góc với trục quay là đường tròn

𝑦𝑖− 𝑦𝑖−1 = 𝑓′(𝑥𝑖∗)(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1) = 𝑓′(𝑥𝑖∗)∆𝑥𝑖Trong đó 𝑥𝑖∗ ∈ (𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖)

𝑆 = ∫ 2𝜋|𝑥|√1 + (𝑑𝑥

𝑑𝑦)2𝑑𝑦

𝑓(𝑏)

⟹ 𝑆 = ∫𝑓(𝑎)𝑓(𝑏)2𝜋|𝑥(𝑦)|√1 + 𝑥′2(𝑦)𝑑𝑦, trong đó 𝑓(𝑥) đơn điệu trên (a,b) (1.2)

1.4 Tham số hóa mặt tròn xoay

là 𝑓(𝑥0) , một điểm M nằm trên đường tròn (C) có vecto vị trí là 𝑟⃗𝑀 như hình vẽ

Hình 1.4 Tọa độ điểm M trên mặt tròn xoay

Khi chiếu đường tròn xuống mặt phẳng yOz ta xác định được tọa độ của của điểm

⟹ Tập hợp M (𝑥, 𝑓(𝑥) cos 𝜑 , 𝑓(𝑥)𝑠𝑖𝑛𝜑) khi x đi từ a đến b và 𝜑 đi từ 0 đến 2𝜋

PHẦN 2: NỘI DUNG VÀ KẾT QUẢ THỰC HIỆN TRÊN

(Xem thêm các option bằng cách nhập lệnh [>?plot option;)

Lúc đó, đồ thị hàm 𝑦 = 𝑓(𝑥) được vẽ trong phạm vi hình chữ nhật [a,b] × [c,d] Nếu không khai báo các phạm vi thì máy sẽ tự vẽ theo một tọa độ thích hợp

Hình 2.2 Đồ thị của 𝑦 = √𝑥 với 𝑥 ∈ [1,2]

[>plot([f1(x), f2(x),…, fn(x)], x=a b, y=c d, color=[c1, c2, ,cm], option);

Hình 2.3 Đồ thị 𝑦 = √𝑥 và 𝑦 = 𝑥2 với 𝑥 ∈ [1,2]

2.3 Vẽ mặt được cho dưới dạng tham số

Giả sử mặt S được cho bởi hệ:

[> plot3d([x(u,v), y(u,v), z(u,v)], u=a b, v=c d, option);

(Xem các option ta dùng lệnh [>?plot3d option;)

Hình 2.4 Mặt tròn xoay khi quay đường

Hình 2.7 Mặt tròn xoay khi quay đường

2

ta nhập:

2.4 Một số thay đổi đoạn code mẫu trong chủ đề và nhận xét

2

Hình 2.12 Quay f(x)= √𝑥 quanh hai trục Hình 2.13 Quay f(x)=𝑥2 quanh hai trục

thị của chúng sẽ đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x (hình 2.14), cũng từ đó có thể kết luận rằng khi quay đường đường ℎ(𝑥) quanh trục Ox (Oy) với x ∈ [𝛼, 𝛽] và đường 𝑔(𝑥) quanh trục Oy (Ox) với x ∈ [ℎ(𝛼), ℎ(𝛽)] thì ta được hai mặt tròn xoay đối xứng với nhau qua mặt phẳng y = x (hình 2.15, 2.16)

Hình 2.14 Đồ thị hàm 𝑓(𝑥), 𝑓−1(𝑥)và đường y =x

Hình 2.15 Quay 𝑓(𝑥) quanh Ox và

Hình 2.16 Quay 𝑓(𝑥) quanh Oy và

hai mặt tròn xoay, ta có thể quay đường 𝑦 = 𝑓(𝑥) và đường 𝑥 = 𝑔(𝑦) quanh cùng một trục cũng sẽ tạo ra hai mặt tròng xoay giống như trường hợp quay 𝑓(𝑥) quanh hai trục bằng cách hiện thay đổi đoạn code trên maple như sau:

[>plot3d([x, f(x)*cos(t), f(x)*sin(t)], x=𝛼 𝛽, t=0 2*Pi);

[>plot3d([y, g(y)*cos(t), g(y)*sin(t)], y=𝑓(𝛼) 𝑓(𝛽), t=0 2*Pi);

[>plot3d([x*cos(t), f(x), x*sin(t)], x=𝛼 𝛽, t=0 2*Pi);

[>plot3d([y*cos(t), g(y), y*sin(t)], y=𝑓(𝛼) 𝑓(𝛽), t=0 2*Pi);

Lưu ý: 𝑓(𝑥) phải đơn điệu trên (𝛼, 𝛽)

Ví dụ:

Hình 2.18 Vẽ mặt tròn xoay quanh trục Ox của f(x) và g(y) trên Maple

PHẦN 3: MỞ RỘNG VÀ ÁP DỤNG

3.1 Diện tích mặt tròn xoay cho bởi phương trình tham số

𝑦(𝑡), 𝑡 ∈ [𝛼, 𝛽], 𝑦(𝑡) liên tục và 𝑥(𝑡) đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên [𝛼, 𝛽] Diện tích mặt tròn xoay F khi 𝑓 xoay quanh :

Hình 3.1 Đồ thị hàm f Hình 3.2 Mặt tròn xoay khi quay f quanh Ox

𝑆𝑂𝑥 = 2𝜋 ∫ sin3(𝑡)√[−3 cos2(𝑡) sin(𝑡)]2+ [3 sin2(𝑡) cos(𝑡)]2𝑑𝑡

𝜋 2

[> diff(hàm số, x); (dùng Diff thì cho công thức hình thức)

[>int(f(x), x=a b); (Nếu dùng Int thì cho công thức hình thức);

quanh trục Ox Nếu 𝑓(𝑥) khả vi liên tục ta có thể tính diện tích của F bằng cách thực hiện hai lệnh:

Hình 3.4 Gọi gói lệnh và lệnh “SurfaceOfRevolutionTuTor();”

Sau khi nhấp ENTER sẽ hiện lên cửa sổ:

Hình 3.5 Tính diện tích mặt tròn xoay bằng lệnh “SurfaceOfRevolutionTuTor();”

3.3 Một số ví dụ

Ví dụ 3.3.1 Cho hàm tham số 𝑓: {𝑥 = 𝑡2− 1

𝑦 = 𝑡3 , t > 0 Tính diện tích mặt tròn xoay khi quay 𝑓 quanh trục Ox trên đoạn [0,3]

Giải:

Khi x đi từ 0 đến 3 thì t đi từ 1 đến 2:

Hình 3.6 Đồ thị hàm số f Hình 3.7 Mặt tròn xoay khi quay f quanh

trục Ox

Nhập hàm

Cận dưới Cận trên

Sau đó nhấn Display

sẽ hiện ra kết quả

Ví dụ 3.3.2 Lòng trong của một chiếc cốc thủy tinh có dạng như một phần của

16−𝑥2 quay quanh trục Oy (Xem hình 3.8) Đơn vị trên các trục là centimet (cm) Chiều sâu của lòng trong cốc là 11cm tính diện mặt trong của chiếc ly Giải:

Hình 3.8 Đồ thị 𝑦 = 𝑥2

16−𝑥2 khi 𝑦 ∈ [0,11]

Khi muốn tính diện tích mặt tròn xoay khi quay đường cong 𝑦 = 𝑓(𝑥) quanh trục

Oy đầu tiên ta tìm hàm 𝑥 = 𝑔(𝑦) Sử dụng các lệnh sau để tìm hàm 𝑥 = 𝑔(𝑦) trong maple (hình 3.9):

Khai báo hàm

Giải phương trình f(x)=y để tìm x=x(y)

Ta chỉ cần lấy giá trị x dương khi khai báo hàm g(y)

Hình 3.9 Tìm hàm x=g(y)

Hình 3.10 Mặt tròn xoay và diện tích mặt của đường cong

2

Hình 3.11 Tính diện tích mặt trong ly bằng lệnh có sẵn

Ví dụ 3.3.3 Tìm diện tích mặt tạo bởi khi xoay đường cong 𝑟 = 2𝑐𝑜𝑠𝜑 quanh trục 𝜑 =

0 với 𝜃 = 0 tới 𝜃 =𝜋 , trong đó 𝜑 = (𝑖⃗, 𝑟⃗)

Hình 3.12 Tọa độ cực

Trong tọa độ cực ta có: {𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑦 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜑

Giải bài toán trên maple

Hình 3.13 Vẽ đồ thị trong tọa độ cực Hình 3.14 Chuyển tọa độ cực về tọa độ

Descartes

Hình 3.15 Mặt tròn xoay và diện tích khi xoay đường cong 𝑟 = 2𝑐𝑜𝑠𝜑

𝑟⃗

𝜑Giải:

PHẦN 4: KẾT LUẬN

Chủ đề 10 “ Surfaces Of Revolution” đã giúp ta hình dung rõ hơn về mặt tròn xoay, cũng như biết cách vẽ mặt tròn xoay bằng tay và bằng Maple – một phần mềm chuyên dụng cho việc giải các phương trình toán học, xác định hình dạng đồ thị cũng như việc tính toán các thông số phức tạp của chúng Đề tài này còn tạo cơ hội cho chúng em tìm hiểu và xử lí các thông tin, mở rộng, nâng cao và vận dụng những kiến thức đã học một cách hiệu quả nhất để giải quyết một vấn đề như việc thực hiện bài tập lớn đã được giảng viên giao cho Không những vậy, chúng em còn nâng cao được khả năng trình bày, soạn thảo cũng như thuyết trình powerpoint Vì thế thông qua cơ hội được làm việc nhóm này, chúng em đã học hỏi thêm được cách tổ chức, phân chia công việc và kết hợp làm việc với nhau hiệu quả để cho ra một kết quả tốt nhất có thể

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Đình Huy (2013) Giải tích 1 NXB Đại học Quốc gia TPHCM

[2] Huỳnh Thế Phùng (2010) Huong dan su dung maple Retrieved from slideshare:

https://by.com.vn/GlARKR