Báo cáo bài tập lớn môn giải tích 1 cơ sở lý thuyết và ứng dụng của phương trinh vi phân cấp 1 và 2

HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA ĐIỆN-ĐIỆN TỬ BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN: GIẢI TÍCH 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRINH VI PHÂN CẤP 1 VÀ 2 GVHD: Lê Thị Yến Nhi Tp...

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

KHOA ĐIỆN-ĐIỆN TỬ

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

MÔN: GIẢI TÍCH 1

CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRINH

VI PHÂN CẤP 1 VÀ 2

GVHD: Lê Thị Yến Nhi

Tp HCM, 6/4/2024

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

KHOA ĐIỆN-ĐIỆN TỬ

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN: GIẢI TÍCH 1

CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

Sinh viên thực hiện:

2

MỤC LỤC

MỤC LỤC 3

LỜI MỞ ĐẦU 4

LỜI CẢM ƠN 4

CHƯƠNG 1:CƠ SỞ LÝ THUYẾT 5

CHƯƠNG 2: CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP 6

CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG TRONG CÁC BÀI TẬP 9

CHƯƠNG 4:KẾT LUẬN .11

LỜI MỞ ĐẦU

Giải tích 1 là môn học đại cương có vai trò rất quan trọng đối với sinh viên ĐH Bách Khoa TP.HCM mà sinh viên Khoa Điện-Điện tử cũng không ngoại lệ Vì đây là môn học của những bước đầu để học tốt các môn học khác trong chương trình đào tạo.

Vì thế, việc đặt nhiều tâm huyết và thời gian vào môn này là điều rất cần thiết.

LỜI CẢM ƠN Theo suốt quá trình từ những bài học đầu tiên đến bài tập lớn hiện tại nhóm chúng em rất may mắn khi gặp cô Nhi được cô chỉ dạy, quan tâm chúng em hết mình Nhóm chúng em chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô thân yêu Lê Thị Yến Nhi đã dành hết tâm huyết để giảng dạy và hướng dẫn chúng em chi tiết để chúng em thực hiện bài tập lớn của môn Có lẽ nếu để lại hình ảnh của chúng em trong cô thì điều khó vì một khoá cô đã gắn bó rất nhiều sinh viên nhưng đối với chúng em môn giải tích 1 thì chỉ có một cô Nhi nên hình ảnh cô luôn khắc sâu trong chúng em Nhớ

có cô nhiệt tình giúp đở và truyền đạt kiến thức những kinh nghiệm để chúng em học tốt môn Bài tập lớn này chắc sẽ không trọn vẹn mà có nhiều sai sót chúng em trân thành mong chờ những đóng góp của cô để chúng em cải thiện lên từng ngày Cuối lời chúng em xin chân thành cảm ơn và chúc

cô ngày càng xinh đẹp, thành công

4

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

I Phương trình vi phân cấp 1

Cơ sở lý thuyết phương trình vi phân là một lĩnh vực quan trọng trong toán học và các ngành khoa học khác như vật lý, kỹ thuật, kinh tế, Phương trình vi phân bậc 1 là một trong những loại phổ biến nhất trong lớp các phương trình vi phân

Một phương trình vi phân bậc 1 thường có dạng như sau:

dy

dx=f ( x , y )

Trong đó y là hàm chưa biết,x là biến độc lập và f(x,y)là hàm đã biết,Để giải phương trình này cần tìm hàm y sao cho đạo hàm của nó theo x bằng f(x,y) Điều này thường liên quan đến các phương pháp giải bài toán cụ thể hoặc sử dụng các kỹ thuật như phân phối đều và điều kiện ban đầu

Phương trình vi phân bậc 1 còn bao gồm các khái niệm về hàm giải, tồn tại và duy nhất, cũng như các phương pháp giải như phương pháp phân rã Euler, phương pháp Runge-Kutta, và phương pháp tích phân hữu hạn Đặc biệt, khi có điều kiện ban đầu (initial condition), ta cần tìm hàm giải thỏa mãn cả phương trình vi phân và điều kiện ban đầu

II Phương trình vi phân cấp 2

Phương trình vi phân bậc 2 là một phần quan trọng của lý thuyết phương trìnhvi phân, và nó

có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật

Phương trình vi phân cấp 2 là phương trình có dạng:

F(x , y,y ',y ' ') = 0 hay y ' ' = f(x , y , y ') (1)

Chương 2: CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

I Phương trình vi phan cấp 1:

Cấp của một phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm hoặc vi phân của hàm phải tìm có mặt trong phương trình vi phân đó

Phương trình vi phân thường cấp n có dạng tổng quát như sau:

F(x,y,y', ,y n) =0 (1) Trong đó F là một hàm số của n+2 biến số x,y,y', ,y n

Phương trình vi phân thường cấp 1 là phương trình được biểu diễn một trong các dạng sau:

-Dạng tổng quát: F(x , y , dy

dx)=0 (2) trong đó: x là biến số độc lập; y là hàm phải tìm; y' là đạo hàm cấp một của y

Dạng đã giải theo đạo hàm: dy

dx=f (x , y ) (3)

Dạng đối xứng:

M (x , y ) dx+N ( x , y ) dy=0 (4)

Ở dạng (2) và (3) thay cho kí hiệu dy

dx Ta có thể dùng kí hiệu y'

Ví dụ: Phương trình: y '

y y '+x2+y2=0 là những phương trình vi phân cấp 1

II Phương trình vi phân cấp 2:

1 Phương trình Euler-Cauchy: Đây là một dạng phổ biến của phương trình vi phân cấp 2

trong hệ phương trình tuyến tính Nó có dạng:

Trong đó a, b và f (x) là các hàm cho trước Phương trình này thường được giải bằng phương

pháp giả sử hoặc phương pháp sử dụng các hàm đặc biệt như hàm Bessel

2 Phương trình vi phần tuyến tính có hệ số hằng: Dạng phổ biến nhất của phương trình vi

phân cấp 2 là phương trình có dạng:

ay (x)+by'(x)+cy(x) =f(x

Trong đó a, b và c là các hệ số hằng, f (x) là một hàm cho trước Phương trình này có thể

được giải bằng nhiều phương pháp khácnhau, bao gồm phuong pháp giả sử và phương pháp

sử dụng các hàm đặc biệt như hàm giải tích

III Hệ phương trình vi phân

1 Định nghĩa:

- Hệ phương trình vi phân là một hệ các phương trình dạng:

y ' i=f i(x , y1,… , y n), i=1 , …,n (1)

6

Trong đó, f i là những hàm số (n+1) biến y i, là những hàm chưa biết của biến x Giải (hay tích

phân) hệ trên có nghĩa là tìm tất cả các bộ n hàm số y i ( x) , i n=1 , … ,n thỏa mãn (1) Nếu cho trước

điểm x0và các giá trị b1, … , b n ∈ R thì một nghiệm y1(x), … , y n(x) của hệ (1) thỏa mãn điều kiện

(khởi đầu):

y i(x0)=b i , i=1 , … , n được gọi là nghiệm riêng của hệ.

a Hệ tuyến tính thuần nhất:

Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất n hàm số là hệ có dạng:

y i '

=a1i

(x) y1+…+a n i(x ) y n , i=1 ,… ,n (*)

trong đó a j i là những hàm số (xác định trên khoảng I∈ R).

Giả thiết i a j i liên tục trên I Nếu ký hiệu Y là vectơ cột và A là ma trận chứa a j i

:

Y =[y1

⋮

y n], A=[a1

1

(x )

a1n(x) ⋯ a n n(x)]

thì hệ (*) được viết dưới dạng ma trận:

Y '=AY

Với giả thiết về tính liên tục của các hàm hệ sốa j i , cho trước x0∈I và b∈ R n, tồn tại duy nhất một

nghiệm Y(x) của hệ (*) thỏa mãn điều kiện khởi đầu Y(x0¿=b Ngoài ra các nghiệm của hệ (*) tạo

thành một không gian n chiều

b Hệ tuyến tính không thuần nhất:

- Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất là hệ phương trình dạng:

Y '

trong đó A là ma trận cấp m×n, B(x) là vectơ cột n tọa độ.

Giả thiết Y0là nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất (*) và Y Plà một nghiệm nào đó của hệ không thuần nhất Khi ấy nghiệm tổng quát của hệ không thuần nhất có dạng:

Y ( x )=Y0( x)+Y P(x )

Ngoài ra, nếu ta biết được giải thức θ(x , x0)của hệ (*), thì nghiệm của hệ không thuần nhất thỏa mãn

điều kiện khởi đầu Y(x0¿=b sẽ được tính theo công thức:

Y ( x )=ϕ x , x0[b+∫

x0

x

c Ứng dụng:

Hệ phương trình vi phân có nhiều ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực khoa học và kỹ thuật, bao gồm:

a Vật lý và kỹ thuật:

- Mô tả các quá trình động học và cơ học như dao động, chuyển động, truyền nhiệt, điện từ,

…

- Thiết kế và phân tích các hệ thống điều khiển tự động

- Mô hình hóa các hệ thống kỹ thuật như mạch điện, hệ thống nhiệt, cơ khí,…

b Sinh học và y học:

- Mô tả các quá trình sinh học như tăng trưởng, di truyền, phản ứng hóa học,…

- Phân tích và dự đoán sự phát triển của các bệnh và tác dụng của các loại thuốc

- Mô hình hóa các hệ thống sinh học phức tạp như hệ thống thần kinh, hệ tuần hoàn,…

c Kinh tế và tài chính:

- Mô tả và dự đoán các xu hướng kinh tế như tăng trưởng, lạm phát, thất nghiệp,…

- Phân tích và tối ưu hóa các quá trình kinh doanh như sản xuất, tiếp thị, tài chính,…

d Khí tượng học và địa lý:

- Mô tả và dự đoán các hiện tượng khí hậu như nhiệt độ, lượng mưa, gió,…

- Phân tích và mô hình hóa các quá trình địa lý như dòng chảy, xói mòn,…

Tóm lại, hệ phương trình vi phân là một công cụ toán học mạnh mẽ để mô tả, phân tích và

dự đoán các hệ thống động học phức tạp trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật.

8

CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG TRONG CÁC BÀI TẬP

Bài tập 1: Một bể chứa 20kg muối hòa tan trong 5000 lít nước Nước biển có chứa 0,03kg

muối trong 1 lít nước được bơm vào bể với tốc dộ 25 lít/phút Dung dịch được khuấy đều

và bơm ra ngoài với tốc dộ tương tự Hỏi sau nửa giờ trong bể bao nhiêu muối?

Giải

 Gọi y(t) là lượng muối trong bể thời điểm t

 Tốc độ muối chảy vào 0,03 (kg/lít) x 25 (lít/phút) = 0,75 (kg/phút)

 Tốc độ muối chảy ra y (t)

5000(kg lít)x 25(phút lít )=y (t )

200(phút kg )

Tốc độ thay đổi của muối= Tốc độ muối chảy vào – Tốc độ muối chảy ra

Khi đó: dy

dt=0.75−

1

200 y (t ) hay dy

dt+

1

Giải PTVP tuyến tính trên, ta được:

e∫

1

200dt

[ ∫0.75 e∫

1

200dt dt+C]=e−t /200[0.75∫e

−t

200dt +C]

¿e

−t

200(150 e

−t 200

+C)=C e

−t

200+150

Lượng muối ban đầu: y(0) = 20 ⇒C e0

+150=20 ⇒C=−130

⇒y(t) = -130e200−t+150

Vậy sau nửa giờ bể chứa khoảng y(30) = -130e200−t+150 ≈ 38.1 kg muối

Bài tập 2: Có mô hình về sự lây lan của một bệnh dịch , trong đó tốc dộ lây lan tỷ lệ với số

người bị nhiễm bệnh và số người không bị nhiễm bệnh Ở một thị trấn hẻo lánh có 5000 cư dân, số người mắc bệnh dịch vào đầu tuần là 160 và con số này đã tăng lên đến 1200 vào cuối tuần Hỏi phải mất bao lâu thì 80% cư dân thị trấn đều bị nhiếm bệnh?

Giải

- Gọi y (t) (người) là số người bị nhiễm bệnh vào thời điểm t (ngày) Chọn mốc thời gian là

đầu tuần

Ta có: y (0)=160

*Chú ý: Số người nhiễm bệnh tăng thêm từ ngày thứ t1 đến ngày thứ t2là:

y(t2)−y(t1)

Số người nhiễm bệnh trung bình trong 1 ngày: y(t2)−y(t1)

t2−t1 =

Δ y Δt

Do đó: lim

∆ t →0

Δ y

'(t1 )

=dy

dt (t1): Tốc độ nhiễm bệnh tại thời điểm t1 hay thời điểm hay tốc

độ lây lan dịch bệnh tại thời điểm t1

- Tại thời điểm t: tốc độ lây lan dịch bệnh dy

dt; số người bị nhiễm bệnh y(t) ; số người không

bị nhiễm bệnh là 5000- y (t)=M − y (t)

- Vì tốc độ lây lan tỷ lệ với số người bị nhiễm bệnh và số người không bị nhiễm bệnh nên ta

có phương trình:

dt =k y (t ) (M − y (t )) (1)

là phương trình vi phân có biến số phân ly (k: hằng số)

Chú ý: 1

( M − y ) y=

M− y+ y

( M − y ) y 1

1

M[(M − y ) y M− y +

y

( M − y ) y]= 1

M(1y+

1

M∫ (1y+

1

M (ln|y|−ln|M− y|)+C1=kt+C2

⇔ ln|M− y y |=kMt+C3 (C3=M(C2−C1) )

⇔|M− y y |=ⅇMkt +C3⇔ y

C3.ⅇMkt

=C4 e Mkt

C4 e Mkt

1+C4 e Mkt

*Tỷ lệ thức: a

c

c

d +c

1

1

C4 e

−Mkt

+1

1+C e−Mkt

1+ C e−5000kt(3)

Ta có: 160¿y (0)= 5000

1+C e0⇔1+C=5000

160 =

500

16 =

125 4

4 −1=

121 4 Vào cuối tuần: t = 7; y(7) = 1200 nên:

1+C e−5000 k 7⇔ 1+C e−5000.k 7

=5000

1200=

50

12=

25 6

⇔C e−35000 k

=25

6 −1=

19

6 ⇔ e−35000 k

=19

6 :C=

19

6 :

121

4 =

38 363

35000 ln(36338 )

80% cư dân = 80

100.5000=4000

1+C e−5000kt⇔ 1+C e−5000kt

=5000

4000=

5 4

⇔C e−5000 kt

=5

4−1=

1

4⇔121

4 e

−5000kt

=1 4 10

⇔ e−5000kt

= 1

121=−ln (121)

⇔t=ln(121)

5000 k =

ln(121)

5000 1

35000 ln(36338 )

=7 ln (121)

ln(36338 ) ≈ 14,875

Vậy, sau khoảng 15 ngày thì 80% cư dân đều bị nhiễm bệnh

CHƯƠNG 4: KẾT LUẬN

Môn Giải Tích 1 không chỉ là một phần quan trọng của chương trình học, mà còn là nền tảng vững chắc cho sự phát triển toàn diện trong lĩnh vực khoa học và kỹ thuật Qua hành trình học, chúng em đã nhận thức rõ về tầm quan trọng của việc nắm vững những khái niệm cơ bản như đạo hàm, tích phân, và chuỗi số

Việc thực hiện Bài Tập Lớn không chỉ là cơ hội để áp dụng kiến thức mà còn là dịp

để rèn luyện kỹ năng làm việc nhóm, giao tiếp, và giải quyết vấn đề Chúng em đã học cách tận dụng sức mạnh của nhóm để vượt qua thách thức và đạt được kết quả tốt

Khám phá những ứng dụng thực tế của Giải Tích 1 đã mở ra cánh cửa cho sự hiểu biết sâu sắc và tăng cường khả năng giải quyết vấn đề Môn học không chỉ là việc thu thập thông tin và giải bài tập, mà còn là hành trình tự khám phá và phát triển khả năng tư duy phê phán

Cuối cùng, Giải Tích 1 không chỉ giúp chúng em xây dựng nền tảng vững chắc cho những môn học chuyên sâu hơn mà còn là nguồn động viên để nuôi dưỡng niềm đam mê và

sự tò mò trong lĩnh vực toán học và khoa học tự nhiên Điều này không chỉ là hành trình học tập, mà là chặng đường hình thành nhân cách và tri thức