BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 HỆ SỐ HẰNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINHTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINHTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

TÓM TẮT BÀI BÁO CÁO

Trình bày tóm tắt đề tài:

- Giới thiệu phương trình vi phân cấp 2 hệ số hằng thuần nhất, tổng quát, mối liên hệ, các định lí, nguyên lí chồng chất nghiệm Giới thiệu phương pháp biến thiên hằng số.

Yêu cầu:

1 Làm việc nhóm

2 Đánh máy file word hoặc tex:

 Trang bìa :

+ Tên trường, logo trường,

+ Tên đề tài ( theo số thứ tự nhóm)

+ Giáo viên hướng dẫn: THS Đoàn Thị Thanh Xuân.

Bảng phân công nhiệm vụ:

Nguyễn Thảo HânThiết kế và thực hiện báo cáo Vòng Lương Thái TuấnTóm tắt và trình bày lý thuyết Lê Thành ChươngThực hành bài tập

Nguyễn Trần Kim HoàngThực hành bài tậpTrần Ngọc TrâmThực hành bài tậpLê Minh NhậtThực hành bài tậpVõ Đặng Thanh BìnhThực hành bài tậpMai Phú TrọngThực hành bài tập

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT

- Định lý: nếu y x0  là nghiệm của phương trình thuần nhất (1) và y xR  là một nghiệm riêng của phương trình tổng quát (2) thì nghiệm tổng quát của phương trình (2)  Nghiệm tổng quát của (PTTTTN):

Nếu y x1( ),y x2( ) là 2 nghiệm riêng ĐLTT của phương trình thuần nhất (1)

Nếu y x1( ),y x2( ) là 2 nghiệm riêng ĐLTT của phương trình thuần nhất (1) trên ( a,b) và y0 là một nghiệm riêng của phương trình (2) thì nghiệm tổng quát

Vậy hàm y e kx là nghiệm của phương trình (3) khi và chỉ khi k là nghiệm của phương trình (*) Phương trình (*) gọi là phương trình đặc trưng của phương trình (3) - Tóm tắt các bước giải pttt cấp 2 hệ số hằng thuần nhất

B1: Lập và giải phương trình đặt trưng: 2

1.1.2 Xét phương trình tổng quát

( )

yp yq yf x p q R,  (4)

- Nghiệm tổng quát của phương trình (4) là tổng

o Nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất o Nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không thuần nhất.

1 1( ) 2 2( )

y C y x C y x ,C C1, 2R

Giả sử ta tìm được nghiệm y(x) của phương trình thuần nhất (3), tiếp đến ta sẽ tìm nghiệm riêng của phương trình (4)

Nghiệm riêng của PTTT không thuần nhất Phương pháp hệ số bất định

TH1 Nếu f x ( )e P xx( )thi x s( )r

ye x Q x

 Nếu không là nghiệm của ptdt (k k1, 2) thì s = 0

 Nếu  là nghiệm đơn của ptdt ( k1hoặc  k2) thì s =1  Nếu  là nghiệm kép của ptdt ( k1 k2) thì s = 2

Với Q x( )là đa thứ cùng bậc với P x( )

 Nếu  i không là nghiệm của ptdt thì s=0  Nếu  i là nghiệm của ptdt thì s = 1

( )n

Q x ,Q xm( )là đa thức cùng bậc với đa thức bậc lớn nhất trong P xn( ),P xm( )

TH3 Nếu f x( )f x1( )f x2( ) ta dùng nguyên lý chồng chất nghiệm:

Khi đó, y x1( )và y x2( )lần lượt là nghiệm riêng của phương trình (a) và (b) thì nghiệm riêngy x0( )của phương trình (c) là:

Giả sử ytn C y x1 ( )1 C y x2 ( )2 là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (2.1) Khi đó nghiệm tổng quát của pt (2.2) có dạng

Tìm C x C x1( ), 2( ) rồi suy ra C x C x1( ), 2( ) ta tìm được nghiệm của phương trình tổng quát (2.2) Phương pháp trên gọi là phương pháp biến thiên hằng số Phương pháp này giúp ta giải quyết các bài toán với hàm ( )x tổng quát.

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:

cos sin sin cos 2 sin sin cos 2 cos

Vì   i  0 i k1k2 không là nghiệm của phương trình đặc trưng => S = 0:

Đề bài: Cho một con lắc lò xo có khối lượng m = 0.5kg, hệ số ma sát b=0.5, hệ số đàn hồi của lò xo k=10N/m Con lắc lò xo chịu tác dụng của 1 ngoại lực là một hàm thay đổi theo thời gian F t( ) 10 cos( )t Thiết lập phương trình chuyển động và tìm phương

2.3 Phương pháp biến thiên hằng số

Đề bài 1: Tìm nghiệm của tổng quát của phương trình sau: