BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 HỆ SỐ HẰNG

TÓM TẮT BÀI BÁO CÁOTrình bày tóm tắt đề tài:- Giới thiệu phương trình vi phân cấp 2 hệ số hằng thuần nhất, tổng quát, mối liên hệ, các định lí, nguyên lí chồng chất nghiệm.. CHƯƠNG 1 CƠ

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng

- Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng thuần nhất có dạng

- Định lý (tính ĐLTT của hàm số): hai hàm y x 1 ( ), y x 2 ( ) ĐLTT trên khoảng (a,b) khi và chỉ khi định thức Wronsky W y y ( , ) 0 1 2  , tức là

- Định lý: nếu y x0   là nghiệm của phương trình thuần nhất (1) và y xR   là một nghiệm riêng của phương trình tổng quát (2) thì nghiệm tổng quát của phương trình (2) có dạng

- Các định lý về cấu trúc nghiệm:

 Nghiệm tổng quát của (PTTTTN):

Nếu y x 1 ( ),y x 2 ( ) là 2 nghiệm riêng ĐLTT của phương trình thuần nhất (1) trên (a,b) thì có dạng:

 Nghiệm tổng quát của (PTTTKTN):

Nếu y x 1 ( ),y x 2 ( ) là 2 nghiệm riêng ĐLTT của phương trình thuần nhất (1) trên ( a,b) và y 0 là một nghiệm riêng của phương trình (2) thì nghiệm tổng quát của phương trình (2) có dạng:

Các phương pháp giải

1.1.1 Xét phương trình thuần nhất

Ta đi tìm nghiệm của phương trình (3) ở dạng y e kx , thay vào phương trình (3) ta có

Vậy hàm y e kx là nghiệm của phương trình (3) khi và chỉ khi k là nghiệm của phương trình (*) Phương trình (*) gọi là phương trình đặc trưng của phương trình (3).

- Tóm tắt các bước giải pttt cấp 2 hệ số hằng thuần nhất

B1: Lập và giải phương trình đặt trưng: k 2  k p q   0 ( ) 

TH1 PTDT ( )  có 2 nghiệm thực k 1  k 2 ta có

TH2 PTDT ( )  có 1 nghiệm thực k 1  k 2  k ta có

TH3 PTDT ( )  có nghiệm phức k   i ta có

B2: Nghiệm tổng quát của phương trình (3) là

1.1.2 Xét phương trình tổng quát

- Nghiệm tổng quát của phương trình (4) là tổng o Nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất. o Nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không thuần nhất.

Giả sử ta tìm được nghiệm y(x) của phương trình thuần nhất (3), tiếp đến ta sẽ tìm nghiệm riêng của phương trình (4)

Nghiệm riêng của PTTT không thuần nhất

Phương pháp hệ số bất định

 Nếu không là nghiệm của ptdt (  k k 1 , 2 ) thì s = 0

 Nếu  là nghiệm đơn của ptdt (  k 1 hoặc   k 2 ) thì s =1

 Nếu  là nghiệm kép của ptdt (  k 1  k 2 ) thì s = 2

Với Q x ( )là đa thứ cùng bậc với P x ( )

 Q x ( )bậc 2 có dạng Ax 2  Bx C 

( ( ) cos( ) ( )sin( )) x n m e  P x x  P x x thìy r  e x Q x  x s ( n ( ) cos(x )  Q x m ( )sin(x ))

 Nếu   i không là nghiệm của ptdt thì s=0

 Nếu   i là nghiệm của ptdt thì s = 1 n ( )

Q x ,Q x m ( )là đa thức cùng bậc với đa thức bậc lớn nhất trong P x n ( ),P x m ( )

TH3 Nếu f x ( )  f x 1 ( )  f x 2 ( ) ta dùng nguyên lý chồng chất nghiệm:

Xét các phương trình vi phân

( ) ( ) ( ) ( ) y py qy f x y py qy f x y py qy f x f x

Khi đó, y x 1 ( )và y x 2 ( )lần lượt là nghiệm riêng của phương trình (a) và (b) thì nghiệm riêngy x 0 ( )của phương trình (c) là:

1.2 Phương pháp biến thiên hằng số

Giả sử y tn C y x 1 ( ) 1 C y x 2 ( ) 2 là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (2.1). Khi đó nghiệm tổng quát của pt (2.2) có dạng

Ta tìm hàm C x C x 1 ( ), 2 ( ) bằng cách thế y TQ , y TQ  , y TQ  vào pt (2.2)

Từ pt (2.2) và sử dụng tính chất y x 1 ( ) , y x 2 ( ) là nghiệm của pt (2.1), ta suy ra

Tìm C x C x 1 ( ), 2 ( ) rồi suy ra C x C x 1 ( ), 2 ( ) ta tìm được nghiệm của phương trình tổng quát (2.2) Phương pháp trên gọi là phương pháp biến thiên hằng số Phương pháp này giúp ta giải quyết các bài toán với hàm  ( ) x tổng quát.

Phương pháp biến thiên hằng số

Đề bài 1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sau:

Nghiệm của phương trình thuần nhất:

Vì = -1 không là nghiệm của phương trình đặc trưng => S = 0

BÀI TẬP

Bài tập giáo trình GT1

Đề bài 1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sau:

Nghiệm của phương trình thuần nhất:

Vì = -1 không là nghiệm của phương trình đặc trưng => S = 0

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:

    Đề bài 2: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sau:

      Nghiệm của phương trình thuần nhất :

Vì α = 0 không là nghiệm của phương trình đặc trưng => S = 0

Theo đề ra ta có:

 Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:

     Đề bài 3: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sau:

      Nghiệm của phương trình thuần nhất:

Vì   0 là nghiệm của phương trình đặc trưng => S = 1

Theo đề bài ta có:

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:

    Đề bài 4: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sau:

2 2 1 0 1 k  k   k Nghiệm của phương trình thuần nhất là:

Vì α = 1 là nghiệm kép của phương trình đặc trưng => S = 2

Theo đề ra ta có:

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:

1 2 x x x yTQC e C xe x e Đề bài 5: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sau:

      Nghiệm của phương trình thuần nhất:

Vì 0i là nghiệm của phương trình đặc trưng  s 1

( cos sin ) cos sin sin cos

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:

    Đề bài 6: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sau:

Nghiệm của phương trình thuần nhất :

Vì α = 2 là nghiệm kép của phương trình đặc trưng => S = 2

R y x e A y Axe Ax e y Ae Axe Axe Ax e

Theo đề ra ta có:

Vì α = 0 không là nghiệm của phương trình đặc trưng => S = 0

Theo đề ra ta có:

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:

      Đề bài 7: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sau:

'' 5 ' 6 22cos 2 6sin 2 y  y  y  x x Phương trình đặc trưng:

Nghiệm của phương trình thuần nhất:

Vì   i       0 2 i 2 0 i 3 0 i không là nghiệm của phương trình đặc trưng => S = 0 cos 2 sin 2 ' 2 cos 2 2 sin 2 '' 4 cos 2 4 sin 2

     Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:

1 x 2 x cos 2 2sin 2 yTQ C e C e  x x Đề bài 8: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sau:

       Nghiệm của phương trình thuần nhất:

Vì    2 không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng => S = 0

Theo đề bài ta có:

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:

    Đề bài 9: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sau:

2 4 4 0 2 k  k    k Nghiệm của phương trình thuần nhất:

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình:

 Đề bài 10: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sau:

'' 4 ' 5 8sin 16 cos y  y  y x x Phương trình đặc trưng:

Nghiệm của phương trình thuần nhất:

Vì   i  0 i k 1 k 2 không là nghiệm của phương trình đặc trưng => S = 0: cos sin

Theo đề ra ta có:

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:

    Đề bài 11: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sau:

'' 4 ' 3 4 2 x y  y  y xe Phương trình đặc trưng:

Nghiệm của phương trình thuần nhất:

Vì α = 2 không là nghiệm của phương trình đặc trưng => S = 0

R y e Ax B y e Ax B Ae y e Ax B Ae Ae

Theo đề ra ta có:

   Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là

1 x 2 x 4 x yTQ C e C e  xe Đề bài 12: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sau:

       Nghiệm của phương trình thuần nhất:

Vì α = 0 không là nghiệm của phương trình đặc trưng => S = 0

Theo đề ra ta có:

Vì α = 1 không là nghiệm của phương trình đặc trưng => S = 0

Theo đề ra ta có:

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:

Bài tập thực tế

Đề bài: Cho một con lắc lò xo có khối lượng m = 0.5kg, hệ số ma sát b=0.5, hệ số đàn hồi của lò xo kN/m Con lắc lò xo chịu tác dụng của 1 ngoại lực là một hàm thay đổi theo thời gian F t ( ) 10 cos( )  t Thiết lập phương trình chuyển động và tìm phương trình li độ (tìm nghiệm tổng quát).

- Phương trình vị trí, vận tốc, gia tốc có dạng: y  y t v ( ),  y t '( ), a  y ''( ) t

- Nghiệm của phương trình thuần nhất:

- Vì   i  0 i k 1 k 2 nên nghiệm riêng có dạng: cos sin

- Vậy phương trình li độ hay nghiệm tổng quát là:

Phương pháp biến thiên hằng số

Đề bài 1: Tìm nghiệm của tổng quát của phương trình sau:

Ta có nghiệm của phương trình thuần nhất là:

0 1 2 x x y  C e C e Nghiệm tổng quát của phương trình có dạng:

C x xe dx du dx u x dv e dx v e

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:

2 4 x x y TQ  C x  C x e  x   x e Đề bài 2: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sau:

Ta có nghiệm của phương trình thuần nhất là:

0 1 cos 2 sinx y C x C Nghiệm tồng quát của phương trình có dạng:

( ) cos s inx cos cos cos cos

1 cos cos cos cos 1 sin

C x dx dx dx xdx dx x x x x x x

1 1 1 1 1 1 1 s inx s inx cos ln ln

2 1 s inx xdx dt t t dt xdx I dt t t t t

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình có dạng:

1 1 sinx cos sin cos ln

 Đề bài 3: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sau:

Ta có nghiệm tổng quát của phương tình thuần nhất là:

0 1 2 x x y  C e   C e  Nghiệm tổng quát của phương trình có dạng:

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:

1 x 2 x 4 x yTQC e  C e   e  Đề bài 4: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sau:

Ta có nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là:

0 1 2 x x y  C e C e Nghiệm tổng quát của phương trình có dạng:

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:

2 x x x x yTQ  C e C e  xe  e Đề bài 5: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sau:

Ta có nghiệm tổng quát của phương trình đặc trưng là:

0 1 2 x x y  C e C e Nghiệm tổng quát của phương trình là: