Báo cáo bài tập lớn môn đại số tuyến tín đề tài ứng dụng của khai triển fourier để khử nhiễu âm thanh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TPHCMTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚNMôn: Đại Số Tuyến Tín

Đề tài: Ứng dụng của khai triển Fourier để khử nhiễu âm thanhGVHD: T.s Đặng Văn Vinh

Lớp: L18

Thành Phố Hồ Chí Minh, Tháng 5-2023

CHƯƠNG I: TÓM TẮT BÀI BÁO CÁO

Bài báo cáo của nhóm sẽ gồm những nội dung liên quan đến đề tài cách sử dụng biến đổi Fourier hữu hạn để khử nhiễu âm thanh cho một file âm thanh có chứa đựng những tạp âm không mong muốn Bài viết sẽ chỉ ra cách sử dụng Fourier và các bước lập trình code để khử nhiễu âm thanh trên phần mềm lập trình (MATLAB/Python/C++) Từ đó, có được những hiểu biết cần thiết và kinh nghiệm trong việc xử lí tình huống, khả năng làm việc nhóm hiệu quả hơn và có được một số hiểu biết về công cụ MATLAB/Python/C++ cũng như cách sử dụng công cụ MATLAB/Python/C++ để diễn tả các bài toán một cách cụ thể và ngắn gọn, súc tích, dễ hiểu Qua đó, cũng biết cách xử lí một đoạn âm thanh và hiểu thêm một vài khía cạnh của lập trình

CHƯƠNG II: NỘI DUNG BÁO CÁO

1 ĐẶT VẤN ĐỀ VÀ MỤC TIÊU

Âm thanh là một phần không thể thiếu trong cuộc sống và việc truyền phát âm thanh trong thời đại công nghệ hiện nay ảnh hưởng rất lớn đến mọi mặt của đời sống con người, từ công việc cho đến giải trí Một yếu tố ảnh hưởng rất lớn đến chất lượng truyền phát âm thanh, đó là những tiếng ồn không cần thiết trong quá trình thu hay phát, hay còn được gọi là nhiễu Do đó, việc xử lý loại bỏ nhiễu là vô cùng cần thiết

Đã có rất nhiều phương pháp loại bỏ nhiễu được nghiên cứu và áp dụng trong thực tế, sử dụng biến đổi Fourier hữu hạn là một trong những phương pháp đó Báo cáo của nhóm sẽ tiến hành giới thiệu và thực nghiệm phương pháp trên

2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT

2.1 Định nghĩa ánh xạ tuyến tính

Cho X và Y là hai tập khác rỗng tùy ý Ánh xạ f giữa X và Y là quy tắc cho tương

Cho X, Y là hai không gian trên cùng trường số K Ánh xạ f: X → Y được gọi là

ánh xạ tuyến tính (AXTT) nếu:

f (x + y) = f (x) + f (y)

f (ax) = a f(x)

2.2 Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

Nhân (Ker) của f là không gian con của X Ảnh (I,f) của f là không gian con của Y và di,

(Ker f) + di, (I,f) = di, (X)

2.2.3 Định lý 2.2.2

Cho ánh xạ tuyến tính f: X → Y

Ảnh của tập sinh là tập sinh của ảnh:

X = {e1, e2, e3, … , en} => Im f = <f(e1), f(e2), f(e3), … , f(e3)>

2.4 Biến đổi Fourier và biến đổi Fourier rời rạc (DFT) 2.4.1 Mục đích

Mục đích của biến đổi Fourier là tách tín hiệu dạng sóng thành các tần số riêng lẻ tạo ra nó Cụ thể hơn, biến đổi Fourier tách hàm số thành tổng các hàm sin và cos, mỗi hàm có tần số khác nhau.

2.4.2 Biến đổi Fourier rời rạc

Trong toán học, phép biến đổi Fourier rời rạc (DFT ) là một biến đổi trong giải tích Fourier cho các tín hiệu thời gian rời rạc Đầu vào của biến đổi này là một chuỗi rời rạc các số thực hoặc số phức, làm cho biến đổi này trở thành một công cụ lý tưởng để xử lý thông tin trên các máy tính Đặc biệt, biến đổi này được sử dụng rộng rãi trong xử lý tín hiệu và các ngành liên quan đến phân tích tần số chứa trong một tín hiệu, để giải phương trình đạo hàm riêng, và để làm các phép như tích chập Biến đổi này có thể được

tính nhanh bởi thuật toán biến đổi Fourier nhanh (FFT) Biến đổi Fourier là một công thức toán học liên hệ một tin hiệu được lấy mẫu trong thời gian hoặc không gian với cùng một tín hiệu được lấy mẫu tần số Trong xử lý tín hiệu, thuyết biến đổi Fourier có thể tiết lộ các đặc tính quan trọng của tín hiệu cụ thể là các thành phần tần số.

2.4.3 Các tính chất của DFT

2.4.3.1 Tính tuyến tính và khả nghịch

ký hiệu tập số phức Nói cách khác, với mọi N > 0, mọi vectơ phức N chiều đều có một DFT và một IDFT (biến đổi Fourier rời rạc ngược), chúng đều là các vectơ phức N chiều.

Nếu x1(n ) và x2(n ) có các DFT lần lượt là X1(k ) và X2(k ) như biểu diễn dưới đây thì:

Nếu như ta tính biểu thức định nghĩa DFT tại mọi số nguyên k thay vì chỉ cho k=0, , N-1, thì dãy số nhận được là một mở rộng tuần hoàn của DFT, và có chu kì N:

X(k+ N)=Xk

2.4.4 Các ứng dụng của DFT

DFT có rất nhiều ứng dụng khoa học, ví dụ như trong vật lý, số học, xử lý tín hiệu, xác suất, thống kê, mật mã, âm học, hải dương học, quang học, hình học và rất nhiều lĩnh vực khác Trong xử lý tín hiệu và các ngành liên quan, DFT thường được nghĩ đến như sự chuyển đổi tín hiệu thành các thành phần biên độ và tần số để khử nhiễu cũng như làm

cho hình ảnh rõ nét hơn Trên thế giới, biến đổi Fourier rời rạc đã được áp dụng trong y học để định lượng bằng quang phổ hấp thụ phân tử dựa trên nguyên lý: phổ tỷ đối của chất phân tích có thể triển khai như một chuỗi Fourier hữu hạn từ thập niên 1990 Kỹ thuật này đã được ứng dụng thành công để định lượng hỗn hợp thuốc có chứa 2, 3 thành phần.

3 Ứng dụng khai triển Fourier để khử nhiễu âm thanh:

1 Ứng dụng:

- Khai triển Fourier (FT) là một kỹ thuật toán học được sử dụng để phân tích tín hiệu theo các thành phần tần số của chúng Trong lĩnh vực xử lý tín hiệu âm thanh, mở khai triển Fourier có nhiều ứng dụng, bao gồm cả khử nhiễu âm thanh.Tiếng ồn âm thanh là một tín hiệu không mong muốn có thể ảnh hưởng đến chất lượng và độ rõ của bản ghi hoặc truyền âm thanh Sự hiện diện của tiếng ồn có thể làm giảm độ rõ của lời nói, làm giảm chất lượng âm nhạc và gây khó khăn cho việc phân biệt giữa các nguồn âm thanh khác nhau.Việc sử dụng FT để khử nhiễu âm thanh là một trong những ứng dụng phổ biến của nó Khi tín hiệu âm thanh bị nhiễu, nó có thể bao gồm các thành phần tần số

không mong muốn Để loại bỏ các thành phần này, chúng ta có thể sử dụng một bộ lọc tần số để loại bỏ các thành phần này Bằng cách phân tích các thành phần tần số của tín hiệu âm thanh, chúng ta có thể xác định và cô lập các tần số nhiễu, cho phép chúng ta loại bỏ chúng một cách có chọn lọc.

- Một phương pháp phổ biến sử dụng mở rộng Fourier để khử nhiễu là áp dụng các bộ lọc cho tín hiệu Các bộ lọc này được thiết kế để loại bỏ các thành phần tần số nằm ngoài dải tần số mong muốn, cho phép chúng ta loại bỏ nhiễu trong khi vẫn giữ lại các thành phần thiết yếu của tín hiệu.Để áp dụng các bộ lọc này một cách hiệu quả, trước tiên chúng ta cần phân tích các thành phần tần số của tín hiệu âm thanh bằng cách sử dụng khai triển Fourier Điều này liên quan đến việc chia nhỏ tín hiệu thành các tần số cấu thành của nó và phân tích biên độ và pha của từng thành phần tần số.

+ Vecto B chứa các hệ số βt trong ∑

n −1

βtsin2 πit

Như vậy, dùng phép biến đổi Fourier rời rạc, ta chuyển tín hiệu X ở miền thời gian thành

n và sin2 πit

2 Ưu điểm và nhược điểm: - Ưu điểm:

+ Hiệu quả: Phương pháp khử nhiễu âm thanh bằng khai triển Fourier được coi là một trong những phương pháp hiệu quả nhất Nó cho phép xác định tần số của các thành phần âm thanh không mong muốn và loại bỏ chúng khỏi tín hiệu âm thanh, giúp cải thiện chất lượng và sắc nét của âm thanh.

+ Không ảnh hưởng đến tín hiệu: Việc sử dụng phương pháp khai thác Fourier để khử nhiễu âm thanh chỉ loại bỏ các tần số âm thanh không mong muốn mà không làm thay đổi tín hiệu ban đầu Điều này giúp đảm bảo độ chính xác và trung thực của tín hiệu gốc.

+ Độ chính xác cao: Phương pháp khai triển Fourier là một phương pháp tính toán độ chính xác cao, cho phép phân tích tần số của tín hiệu với độ chính xác cao Do đó, nó

được sử dụng phổ biến trong các ứng dụng cần độ chính xác cao như âm nhạc, ghi âm và sản xuất phim.

- Nhược điểm:

+ Sử dụng các bộ lọc: Việc sử dụng phương pháp khai triển Fourier để khử nhiễu âm thanh yêu cầu sử dụng các bộ lọc để loại bỏ các tần số âm thanh không mong muốn Tuy nhiên, việc sử dụng các bộ lọc có thể dẫn đến việc làm mất mát tần số âm thanh quan trọng và làm giảm chất lượng của tín hiệu âm thanh.

+ Có thể ảnh hưởng đến các thành phần tần số khác: Nếu áp dụng bộ lọc sai cách, nó có thể loại bỏ không chỉ các thành phần âm thanh không mong muốn mà còn loại bỏ các thành phần âm thanh quan trọng khác, gây ra ảnh hưởng đến chất lượng tín hiệu âm thanh.

4 Biến đổi Fourier hữu hạn để khử nhiễu âm thanh trong matlab:

1 Các bước dùng phép biển đổi Fourier hữu hạn để khử nhiễu: Bước 1: Số hóa một file âm thanh, ta có một vecto:

[y, fs]=audioread(‘filename.wav’);

Bước 2: Phân tích Fourier rời rạc vecto y: Y=fft(y); %Biến đổi Fourier hữu hạn

Bước 3: Vẽ tín hiệu ban đầu Phân tích tần số của tín hiệu để biết được tần sô của tín hiệu chính và tín hiệu bị nhiễu:

plot(abs(Y)); %Vẽ đồ thị ban đầu

Bước 4: Lọc bỏ bớt các tần số của tín hiệu nhiễu, chỉ giữ lại tần số của tín hiệu chính.

sound(ythresh); %Nghe lại tín hiệu sau khi khử nhiễu 2 Đoạn CODE được sử dụng trong matlab:

3 Ví dụ minh họa:

Đoạn code sử dụng trong ví dụ

Đồ thị của âm thanh được sử dụng (phần màu xanh là phần đã được lọc nhiễu, phầnmàu đỏ là phần chưa lọc nhiễu)

CHƯƠNG III: KẾT LUẬN

Thông qua bài tập lớn này, cùng với sự phân công và tinh thần trách nhiệm của mỗi thành viên nhóm, nhóm em đã hoàn thành bài tập lớn này với kết quả đúng như mong đợi, thu được những thành quả tốt như:

- Biết cách viết một đoạn code sử dụng MATLAB để lọc nhiễu một đoạn âm thanh bất kì.

- Hiểu rõ về ứng dụng cũng như cách sử dụng môn học Đại số tuyến tính trong thực tế cũng như các môn học sau này.

- Biết cách làm việc nhóm hiệu quả, mang lại lợi ích cho cả bản thân và những thành viên nhóm khác.

Tài Liệu Tham Khảo

[1]Đặng Văn Vinh, (2021) Giáo trình Đại số tuyến tính, Trường Đại học Bách khoa, ĐHQG.HCM - NXB Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh

[2]Wikipedia, (2021) Biến đổi Fourier rời rạc:

https://vi.wikipedia.org/wiki/Biến_đổi_Fourier_rời_rạc#Một_số_cặp_biến_đổi_Fouri er_rời_rạc