Báo cáo bài tập lớn phương pháp tính để dự trữ v=5 4m (đơn vị m3) nước cho một căn nhà, người ta dùng 1 bể nước hình cầu lượng nước v chứa trong bể nước cho bởi công thức

Chứng minh rằng sai số của x n theo công thức hậu nghiệm luôn nhỏ hơn sai số của x n theo công thức tiên nghiệm.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM

oOo BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP TÍNH

Họ và tên : Lê Đình Minh Hiếu MSSV : 2113348

Nhóm : 8

Bài 1 Để dự trữ V=5.4M (đơn vị: m3) nước cho một căn nhà, người ta dùng 1 bể

nước hình cầu Lượng nước V chứa trong bể nước cho bởi công thức:

2

3

trong đó V: thể tích nước (đơn vị: m3),

h: chiều cao (đơn vị :m), M: bán kính bể nước (đơn vị :m)

Dùng phương pháp Newton với giả thiết giá trị mực nước xuất phát ban đầu h0 = 2 (đơn vị :m) Tìm sai số của h2 (sau 2 lần lặp) theo sai số tổng quát khi xét trong khoảng cách ly nghiệm [0.5, 2.0] (đơn vị :m)

(Đáp số với 4 số lẻ)

Bài giải

 Ta có:

f ( h)= 3.14 h

2

(3 M−h)

⟹ f '

(h)=6.28 M h−3.14 h2

Theo đề bài, ta có: h0=2 (m)

 Theo phương pháp Newton, ta có:

h n=h n−1−f(h n−1)

f '

(h n −1)=h n−1−

Ta có: m= min h∈[0.5,2.0]{|f '(h)|}=|f '(0.5)|=6.756966

 Sai số của h n được đánh giá như sau:

|h n−´h|≤|f(h n)|

2 1.469998124 0.0004

Bài 2 Cho công thức lặp theo phương pháp Gauss-Seidel của hệ 2 phương trình, 2

ẩn là :

{ x1(k+1)

x2(k+1)

+d biết x( 0 )

Tìm các giá trị a,b,c,d (Đáp số với 4 số lẻ)

Bài giải

Ta có: { x1(k+1)

x2(k+1)

 Thay x( 0 )

10 ] vào (*) ta được:

{x1( 1 )

x2( 1 )

+d ⇒{ M5 =a 0.5+b(1)

5 +d (2)

 {x1( 2 )

x2( 2 )

10=c 0.125+d(4)

 Từ (1) và (3), ta được hệ phương trình:

{ M5 =a 0.5+b

0.125=a 0.75+b

⇒{a ≈−1.4215 b ≈ 1.1911

 Từ (2) và (4), ta được hệ phương trình:

M

10=c 0.125+d

⇒{d ≈ 0.0609 c ≈ 1.4345

 Vậy:

{a ≈−1.4215 b ≈ 1.1911

c ≈1.4345

d ≈ 0.0609

Bài 3 Hàm cầu là hàm thể hiện sự phụ thuộc của số lượng sản phẩm bán ra theo

giá của sản phẩm đó Một của hàng bán bánh ngọt có số liệu như sau:

x: Giá

(đơn vị : đồng)

4500 5000 5400 6000 6600 7000 8000

y: Sản phẩm

(đơn vị : chiếc)

3980 3650 3500 3360 3150 3000 400M

Bằng phương pháp bình phương cực tiểu, xây dựng hàm cầu y=a+bx là hàm tuyến

tính Hãy ước lượng số sản phẩm bánh ngọt được bán ra nếu bán với giá 5800 đồng và ước lượng giá bánh ngọt nếu muốn bán được 3000 chiếc

(sản phẩm bánh ngọt làm tròn đến hàng đơn vị , giá sản phẩm làm tròn đến đơn vị

trăm đồng )

Bài giải

 Hàm cầu thể hiện sự phụ thuộc của số lượng sản phẩm bánh ngọt bán ra theo

giá của sản phẩm đó có dạng y=a+bx

 Theo phương pháp bình phương cực tiểu, ta có:

k=1

n

x k)b=∑

k=1

n

y k

( ∑

k=1

n

x k)a+( ∑

k=1

n

x k2

)b=∑

k=1 n

x k y k

Trong đó:

n=7

∑

k =1

n

k=1

n

∑

k =1

n

k=1

n

⟹Ta được hệ phương trình:

Vậy hàm cầu cần tìm là y =7467.924484−0.7217579149x

 Nếu bán với giá 5800 đồng thì số sản phẩm bánh ngọt được bán ra là:

⇒ y ≈ 3282 (chiếc)

 Nếu muốn bán được 3000 chiếc thì giá bánh ngọt là:

⇒ x ≈ 6200 (đồng)

Bài 4 Tọa độ hai hàm f(x) và g(x) trên mặt phẳng cho bởi bảng sau :

Dùng công thức Simpson tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi hai đồ thị này và hai đường thẳng x=1 , x=2.2 (Đáp số với 2 số lẻ)

Bài giải

 Miền phẳng được chia 6 đoạn

1

2.2

f (x)dx= h

k =0

n−1

k=0

2

¿ 0.2

¿ 0.2

∫

1

2.2

g(x )dx = h

k=0

n−1

k=0

2

¿ 0.2

¿ 0.2

737 150

 Vậy

S=∫

1

2.2

[g(x )−f (x)]dx¿∫

1

2.2

g(x )dx−∫

1

2.2

f (x)dx¿ 737

5

Giả sử ta có thể dùng phương pháp lặp để giải phương trình x=φ ( x ) , trong khoảng cách ly nghiệm [a,b] Từ x0 ban đầu , ta tính nghiệm x n Chứng minh rằng sai số của x n theo công thức hậu nghiệm luôn nhỏ hơn sai số của x n theo công thức tiên nghiệm

Bài giải

Ta có: x=φ ( x ) , x ∈[a , b]

Công thức sai số:

Gọi nghiệm chính xác của phương trình là α, ta có sai số của x n so với α là :

|x n−α|

Theo tiên nghiệm: |x n−α|≤ q

n

q

Trừ (1) và (2) vế theo vế ta có:

x n−x n−1=φ(x n−1)−φ(x n−2) (3)

Ta có công thức Lagrange như sau: Cho hàm số g(x) liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trong (a,b) Khi đó tồn tại c ∈(a , b )sao cho g (b)−g (a)=g '(c ) (b−a)

Đề cho khoảng cách ly nghiệm [a,b] nên suy ra phương trình x=φ ( x )liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trong (a,b)

Áp dụng công thức Lagrange vào vế phải của (3) ta có:

x n−x n−1=φ '(c )(x n−1−x n−2) với ∃ c ∈( a ,b )

Từ đây suy ra

|x n−x n−1|=|φ '(c )||x n −1−x n−2|

Mặt khác vì

|φ '(x )|≤q <1 , x ∈(a , b )

Do đó

|x n−x n−1|=|φ(x n−1)−φ(x n−2)|

¿|φ '(c )||x n−1−x n−2|≤ q|x n−1−x n−2| (4) Tương tự ta có: |x n−x n−1|≤ q2

|x n−2−x n−3| (5)

Từ (4) và (5) suy ra |x n−x n−1|≤ q n−1

|x1−x0| (6)

Nhân 2 vế của (6) cho 1−q q thì ta được:

q

Từ đó ta suy ra được sai số của x n theo công thức hậu nghiệm luôn nhỏ hơn sai số của x n theo công thức tiên nghiệm (điều cần chứng minh)