Khóa luận khai triển fourier

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————————————– LÊ THỊ HƯƠNG KHAI TRIỂN FOURIER KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP THANH HÓA, 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————– * ——————— LÊ THỊ HƯƠNG KHAI TRIỂN FOURIER KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Giảng viên hướng dẫn: LÊ ANH MINH THANH HÓA, 2018 i LỜI CẢM ƠN Khóa luận hồn thành Khoa Tự Nhiên, Trường Đại học Hồng Đức Thanh Hóa dự hướng dẫn Thầy Lê Anh Minh Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới dạy Thầy Em chân thành cảm ơn thầy tổ Giải tích bạn sinh viên khoa nhiệt tình góp ý giúp đỡ em suốt thời gian học tập nghiên cứu để hồn thành khóa luận Do trình độ chun mơn cịn hạn chế nên nội dung khóa luận cịn tồn nhiều thiếu sót Em kính mong nhận phê bình góp ý thầy tồn thể bạn để nội dung khóa luận trở nên hồn thiện Thanh Hóa, tháng năm 2018 Lê Thị Hương ii MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i MỤC LỤC ii MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ TỪ VIẾT TẮT iii MỞ ĐẦU Chương TÍCH PHÂN SUY RỘNG Chương : KHAI TRIỂN FOURIER KẾT LUẬN 33 Tài liệu tham khảo 34 iii MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ TỪ VIẾT TẮT • R: Tập hợp số thực; • C: Tập hợp số phức; • F: Khai triển Fourier; • G {R}: Khơng gian tuyến tính R; • δ : Hàm δ -Dirac; • E: Tổng lượng; • φ : Đại diện cho biên độ pha F tương ứng MỞ ĐẦU Giải tích ngành quan trọng toán học mang nhiều ứng dụng thực tế sống Trong sống gặp nhiều tượng có tính chất quay vịng, chu kì Tốn học gọi vấn đề liên quan đến khái niệm hàm số tuần hoàn Một hàm tuần hoàn thường xét hàm số y = Asin(ωx + a) Việc trực tiếp xét tượng tương đối khó Bởi vậy, để đơn giản hóa vấn đề này, nhà toán nπx nπx sin Từ học nghĩ cách biểu diễn chúng qua hàm lượng giác cos l l xuất khái niệm chuỗi Fourier sử dụng để tạo khai triển Fourier hàm số Để làm sáng tỏ điều đó, tơi chọn đề tài " Khai triển Fourier" Khóa luận chia thành 02 chương với nội dung sau đây: Chương 1: Tích phân suy rộng Trình bày, hệ thống hóa số kiến thức như: định nghĩa, định lý dấu hiệu hội tụ tích phân suy rộng làm sở cho chương sau Chương 2: Khai triển Fourier Trong chương này, trình bày định nghĩa khai triển Fourier Đồng thời nghiên cứu tính chất khai triển Fourier Đây nguồn gốc cho ứng dụng khoa học, đặc biệt xử lý tín hiệu Vai trị khai triển Fourier việc giải phương trình đạo hàm riêng Chương 1: 1.1 TÍCH PHÂN SUY RỘNG Tích phân suy rộng loại Định nghĩa 1.1.1 Cho hàm f : [a, +∞) → R khả tích tên đoạn hữu hạn [a, A] xác định Z +∞ Z A f (x) dx f (x) dx = lim A→+∞ a Z +∞ a (1) f (x) dx hội tụ Trong trường hợp Nếu giới hạn (1) tồn hữu hạn, ta nói a Z +∞ f (x) dx phân kỳ ngược lại ta nói a Ví dụ 1.1.2 Z +∞ Tính e−x dx Với số thực b > 0, ta có Z b e−x dx = (−e−x )|b0 = − e−b ; Z b lim b→+∞ e−x dx = lim (1 − e−b ) = b→+∞ R Do 0+∞ e−x dx hội tụ Z +∞ e−x dx = Z +∞ Tính dx + x2 Z +∞ dx = lim + x2 b→+∞ Z b dx + x2 = lim arctan b b→+∞ = Π Z +∞ Xét tích phân suy rộng sinx dx Tích phân Z b sinx dx = − cosb khơng có giới hạn b → +∞ Do Z +∞ sinx dx phân kỳ Xét Z +∞ dx xα , α số thực cho trước – Nếu α = với b ∈ R, b > 0, ta có Z b dx x = lnb b → +∞ Z +∞ dx = +∞ giả sử α 6= Khi đó, với b > 0, ta có Do xα Z b dx x( − α) < +∞ dx ≤ x x2 1 Z Vậy Z +∞ sinx x dx hội tụ * Dấu hiệu Aben Diriclê Định lý 1.2.3 Dấu hiệu Aben: Nếu Z +∞ f (x) dx hội tụ, a) Hàm số f liên tục khoảng tích phân a b) Hàm số g đơn điệu bị chặn khoảng [a, +∞) Z +∞ f (x)g(x) dx hội tụ Khi a Định lý 1.2.4 Dấu hiệu Diriclê Giả sử a) Hàm f (x) khả tích đoạn [a, A], A > a và: Z +∞ ≤K f (x) dx a b) Hàm g(x) đơn điệu dần tới x → +∞ Z +∞ f (x)g(x) dx hội tụ Khi a Ví dụ 1.2.5 Xét hội tụ tích phân Z +∞ cos(x ) dx Z +∞ sin(x2 ) dx Hàm số x → cos(x2 ) liên tục [0, +∞) Ta chứng minh √ t Với b ≥ 1, ta có phép đổi biến số t = x2 ⇐⇒ x = Z b 1 cos(x ) dx = 2 Theo dấu hiệu Điriclê, tích phân Z b2 cost √ dt t cos(x2 ) dx hội tụ Thực (1) Z +∞ cost √ dt hội tụ Do t lim Z +∞ Z b2 cost √ dt = t b→+∞ Z +∞ cost √ dt t Do từ (1) suy Z b lim b→+∞ Z +∞ cos(x ) dx = 2 Z +∞ cost √ dt t cos(x ) dx hội tụ Nó bán hội tụ tích phân Vậy tích phân Z +∞ cost √ dt bán t hội tụ Z +∞ Tương tự, tích phân sin(x2 ) dx bán hội tụ Xét hội tụ tích phân ( với a, λ > ) Z +∞ sinx a xλ dx Z +∞ cosx a xλ dx Ta có Z A