Báo cáo bài tập lớn giải tích 2 Đề tài 2 Đạo hàm riêng

Suy ra, hàm gT miêu tả sự thay đổi của chỉ số nóng bức I khi tăng nhiệt độ thực T ở ều kiện độ ẩtế đi m 70%... Đạo hàm của P theo L ???? là mức độ thay đổi của sản phẩm theo số lượng lao

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

-

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2

Giáo viên hướng dẫn: TS Đào Huy Cường

Nhóm: GT2 – L08 – 02

2

DANH SÁCH THÀNH VIÊN

2210475 Phạm Thị Huyền Diệu Tổng hợp lý thuyết, viết báo cáo

3

MỤC L C Ụ

I Lý thuyết 4

1 Khái niệm 4

2 Một số ký hiệu của đạo hàm riêng 4

3 Ý nghĩa của đạo hàm riêng 4

a) Ý nghĩa hình học 4

b) Ý nghĩa khác 5

4 Hàm có nhiều hơn hai biến 6

5 Cách tìm đạo hàm riêng 6

6 Đạo hàm riêng cấp cao 7

7 Định lý Clairaut 8

8 Phương trình vi phân từng phần 8

9 Hàm sản xuất Cobb – Douglas 9

II Bài tập 9

1 Bài 1 9

2 Bài 3 11

5 Bài 5 14

6 Bài 10 14

7 Bài 11 15

8 Bài 57 16

9 Bài 70 17

10 Bài 71 18

11 Bài 90 19

III Tổng kết 21

IV Tài liệu tham khảo 21

4

I Lý thuyết

1 Khái niệm

- Ta có f(x,y) là hàm theo hai biến x và y

- Nếu cho y=b (b là một hằng số), ta có một hàm mới theo biến x: g(x) = f(x,b) Khi đó, nếu g(x) có đạo hàm tại a thì ta gọi đó là đạ hàm riêng của f theo x tạo i điểm (a,b) Ký hiệu: fx(a,b)

f x (a,b) = g’(a), với g(x) = f(x,b) (1)

- Theo khái niệm đạo hàm, ta có: g'(a)= lim

h→0 g(a+h) - g(a) h

Suy ra, (1) trở thành: f x (a,b) = lim

h→0 f(a + h, b) - f(a,b) h

- Tương tự đối với đạo hàm riêng của f theo y tại điểm (a,b), ký hiệu fy(a,b):

f y (a,b) = lim

h→0 f(a, b + h) - f(a,b) h

2 Một số ký hiệu của đạo hàm riêng

Giả sử z = f(x,y), ta viết:

cong S như hình bên, cho P (a,b,c) là điểm

thuộc mặt cong S (hay f(a,b) = c )

- Cho mặt cong S giao với mặt phẳ y = b, ng

ta được đường cong C Như vậy, đường cong 1

C1 là đồ thị của hàm số z = f(x,b) = g(x) Ta

có, đường thẳng T là tiếp tuyến của đường 1

cong C tại điểm P(a,b,c) Suy ra hệ số góc 1

của đường thẳng T là g’(a) = f1 x(a,b)

5

- Tương tự, ta có h’(b) = f (a,b) là hệ số góc tiếp tuyến T tại P(a,b,c) của đường y 2

cong C là đồ ị của hàm số z = f(a,y) = h(y)2 th

- Vậy đạo hàm riêng f (a,b) và f (a,b) của hàm số (S): z = f(x,y) có thể ểu theo x y hi

ý nghĩa hình học là hệ số góc tiếp tuyến tại P(a,b,c) của giao tuyến giữa mặt cong

S và lần lượt hai đường thẳng x = a và y = b

b) Ý nghĩa khác

- Cho hàm hai biến z = f(x,y):

+ ∂z ∂x là tốc độ thay đổi có z theo x khi y được cố định

+ ∂z

∂y là tốc độ thay đổi có z theo y khi x được cố định

- Ví dụ:

+ Chỉ số nóng bức I (heat index), hay nhiệt độ biểu kiến, là nhiệt độ mà cơ thể con

người cảm nhận trong một điều kiện độ ẩm tương đối H và nhiệt độ không khí thực tế ất định Vậy, I là một hàm theo hai ến T và H, ta viết: I = f(T, H).T nh bi+ Xét cột màu vàng ứng với độ ẩm tương đối là 70%, khi đó ta có thể cho rằng I

là hàm một biến theo T, viết lại thành I = f(T, 70) = g(T) Suy ra, hàm g(T) miêu

tả sự thay đổi của chỉ số nóng bức I khi tăng nhiệt độ thực T ở ều kiện độ ẩtế đi m 70% Đạo hàm của g(T) tại T = 96 F là tốc độ thay đổi của I theo T khi T = 96o oF:

g’(96) = f (a,b) = x lim

h→0 f(96 + h; 70) - f(96; 70) h

cho h = 2 và h = −2, ta được:

g’(96) ≈ f(96+2; 70 - f 96; 70) (2 ) = 133 - 125

2 = 4 g’(96) ≈ f(96 - 2; 70 - f 96; 70-2) ( ) = 118 - 125

6

Lấy trung bình cộng của hai kết quả trên, ta đượ G’(96) ≈ 3,75 Điều này có c nghĩa là tại điều kiện độ ẩm 70%, nhiệt độ ực tế th 96oF, nhiệt độ ểu kiến I tăng bikhoảng 3,75oF đối với từng phần trăm tăng của nhiệt độ ực tế.th

+ Xét hàng ngang màu vàng ứng với nhiệt độ ực tế th 96oF, khi đó ta có thể cho rằng I là hàm một biến theo H, viết lại thành I = f(96; H) = G(H) Vậy hàm I miêu

tả sự thay đổi của nhiệt độ ểu kiến I khi độ ẩm tương đối H tăng trong điều kiệbi n nhiệt độ ực tế T = 96 F Đạo hàm của G(H) tại H = 70% là tốc độ thay đổi của I th o

-5 = 0,8 Lấy trung bình cộng của hai kết quả trên, ta được G’(70) ≈ 0,9 Điều này có nghĩa

là khi nhiệt độ ực tế là 96 F và độ ẩm tương đối là 70%, nhiệt độ ểu kiến tăng th o bikhoảng 0,9 F đối với từng phần trăm tăng của độ ẩm tương đốo i

4 Hàm có nhiều hơn hai biến

Đạo hàm riêng cũng có thể ợc định nghĩa cho hàm ba biến hoặc nhiều hơn đư

Ví dụ, cho hàm số f(x, z), đạo hàm riêng của nó theo biến x, y, z lần lượt là:y,

fx(x, y, z) = lim

h →0

f(x + h, y, z - f(x, y, z) ) h

fy(x, y, z) = lim

h →0

f(x, y + h, z - f(x, y, z) ) h

fz(x, y, z) = lim

h →0

f(x, y, z + h - f(x, y, z) ) h

Nếu w = f(x, y, z), khi đó fx = ∂w

∂x có thể ợc hiểu là tốc độ thay đổi của w khi x đưthay đổi còn y và z cố đị , tương tự với f vnh y à fz Tuy nhiên, không thể ải thích giđạo hàm riêng của hàm f theo ý nghĩa hình học bởi đồ ị của hàm f nằm trong thkhông gian 4 chiều

Tổng quát, nếu u = f(x1, x2, …, x ), đạo hàm riêng của nó theo x là:n i

- Tổng quát: Để tìm đạo hàm riêng theo một biến nào đó, ta coi các biến còn lại

là những hằng số và lấy vi phân theo biến đó

- Ví dụ: Tìm fx, f , fy z của hàm số sau: f(x; y; z ) = ln (x2 + 2yz) + xe y – z

• Tìm f : coi y và z là những hằng số ấy vi phân f theo x ta đượx , l c:

6 Đạo hàm riêng cấp cao

Nếu f là hàm hai biến, thì đạo hàm riêng của nó f và f cũng là hàm hai biến nên x y

ta có thể ảo sát đạo hàm riêng củ chúng (f , (f , (f , (f , hay còn gọi là kh a x)x x)y y)x y)y

đạo hàm riêng cấp 2 của f

Cho z = f(x, y), đạo hàm riêng cấp hai của z có những ký hiệu sau:

• Tìm fxx:

Định lý Clairaut cũng có thể áp dụng đối với đạo hàm cấp 3 hoặc cao hơn Ví dụ:

fxyy = fyxy = f nếu những hàm này liên tục.yyx

∂y 2 = 0 hay còn gọi là phương trình Laplace, nghiệm của phương trình này

là những hàm điều hòa, có vai trò quan trọng trong những vấn đề liên quan đến truyền nhiệt, dòng chất lỏng và điện thế

Ví dụ: Chứng minh rằng hàm u(x, y) = 𝑒𝑥siny là một nghiệm của phương trình Laplace

Vậy u thỏa mãn phương trình Laplace

9 Hàm sản xuất Cobb – Douglas

Hàm sản xuất Cobb – Douglas là hàm tổng sản lượng P theo số ợng lao động L lư

và vốn đầu tư K, viết như sau: P L ( , K)

Đạo hàm của P theo L 𝜕𝑃𝜕𝐿 là mức độ thay đổi của sản phẩm theo số lượng lao động, hay còn được gọi là năng suấ cận biên của nhân công Tương tự, đạo hàm của P t theo K 𝜕𝑃𝜕𝐾 là mức độ thay đổi của sản phẩm theo vốn đầu tư, hay còn được gọi là năng suất cận biên theo vốn Từ ững thuật ngữ này, Cobb và Douglas đưa ra nhnhững giả định phát biểu như sau:

+ Nếu cả nhân công và vốn biến mất thì sản lượng cũng biến mất

+ Năng suất cận biên theo nhân công tỉ lệ thuận với số sản lượng trên một đơn vị nhân công: 𝜕𝑃

𝜕𝐿= ∝𝑃𝐿 đối với một vài hằng số Nếu ta cho vốn đầu tư K là mộ∝ t hằng số, phương trình vi phân từng phần trên trở thành: 𝑑𝑃

10

Nhiệt độ T tại một vị trí ở Bắc Bán cầu phụ thuộc vào kinh độ x, vĩ độ y và thời gian t nên t viết T = f(x, y, t)

a) – Đạo hàm riêng của T theo x 𝜕𝑇 𝜕𝑥/ có nghĩa là tốc độ thay đổi của nhiệt độ

T khi kinh độ x thay đổi, vĩ độ và thời gian t được cố địy nh

– Đạo hàm riêng của T theo y 𝜕𝑇 𝜕𝑦/ có nghĩa là tốc độ thay đổi của nhiệt độ T khi vĩ độ y thay đổi, kinh độ x và thời gian t được cố định

– Đạo hàm riêng của T theo t 𝜕𝑇 𝜕𝑡/ có nghĩa là tốc độ thay đổi của nhiệt độ T khi thời gian t thay đổi, kinh độ x và vĩ độ y được cố định

b)

– Ban đầu, tại kinh độ 158 Tây, vĩ độ o 21o Bắc, vào lúc 9 giờ sáng ngày 1 tháng 1, không khí ở phía Tây và Nam ấm áp, ở phía Bắc và phía Đông mát mẻ hơn

- Theo kinh độ:

+ Gió thổi theo chiều từ Tây sang Đông => kinh độ x giảm (1)

+ Ở phía Tây ấm hơn ở phía Đông => theo hướng từ Tây sang Đông nhiệt độ giảm (2)

Từ (1) và (2) => Hàm nhiệt độ T theo biến x đồng biến => f (158, 21,9) mang dấx u dương

- Theo vĩ độ:

+ Gió thổi theo hướng từ Nam đến Bắc => vĩ độ y tăng (3)

12

Lấy trung bình cộng hai kết quả trên ta được f (-15, 30) ≈ 1,3 Điều này có nghĩa T

là khi nhiệt độ là -15oC và tốc độ gió là 30km/h thì chỉ số gió lạnh W đang tăng 1,3 đối với từng đơn vị nhiệt độ tăng

– Ta có: f (-15, 30) = v lim

h→0 f( -15; 30 + h) - -15; 30) f(

là khi nhiệt độ là -15oC và tốc độ gió là 30km/h thì chỉ số gió lạnh W đang giảm 0,15 đối với từng đơn vị tốc độ gió tăng

b) Tổng quát:

+ Ký hiệu 𝜕𝑊 𝜕𝑇/ có nghĩa là tốc độ thay đổi của chỉ số gió lạnh W khi nhiệt độ

T thay đổi và tốc độ gió v được cố định

+ Ký hiệu 𝜕𝑊 𝜕𝑣/ có nghĩa là tố độ thay đổi của chỉ số gió lạnh W khi tốc độ c gió v thay đổi và nhiệt độ T được cố định

13

3 Bài 4

a) - 𝜕ℎ/𝜕𝑣 có nghĩa là tốc độ thay đổi của độ

cao sóng h khi tốc độ gió v thay đổi và thời

gian t được cố định

- 𝜕ℎ/𝜕𝑡 có nghĩa là tốc độ thay đổi của độ cao

sóng h khi thời gian t thay đổi và tốc độ gió v

được cố định

b) – Ta có: f (40, 15) = v lim

h→0 f(40 + h; 15) - f(40; 15) h

– Ta có: ft(40 15, ) = lim

h→0 f(40; 15 + h) - f(40; 15) h

là khi tốc độ gió là 40 hải lý/h thổ trong vòng 15 giờ thì độ cao của sóng đang i tăng khoảng 0,7 feet đối với từng đơn vị tăng của khoảng thời gian

c) Khi cố định v, ta thấy giá trị của f tăng ngày càng ít và gần như bằng một hằng

số khi t tăng Do đó, tốc độ thay đổi của f gần như bằng 0 khi t ngày càng tăng, suy ra: lim𝑡→∞𝜕ℎ𝜕𝑡= 0

0.6

15

+ Nếu chúng ta tiếp cận điểm (2, 1) từ bên trái di chuyển theo hướng x dương thì giá trị tăng từ 8 lên 10 với mức tăng khoảng 0.9 đơn vị, tương ứng với tốc độ trung bình là thay đổi 2

0.9

=> f (2, 1) sẽ là giá trị trung bình của hai giá trị này, vì vậy f (2, 1) 8 x x 

+ Tương tự, f (2, 1) là tốc độ thay đổi của f tại (2,1) theo hướng y dương Tiếy p cận (2,1) từ bên dưới, giá trị ảm từ 12 xuống 10 với một sự thay đổi trong y xấgi p

xỉ 1 đơn vị, tương ứng với tốc độ thay đổi trung bình là -2 Bắt đầu từ (2, 1) và di chuyển theo hướng y dương, giá trị ảm từ 10 xuống 8 sau khoảng 0,9 đơn vịgi , tốc độ thay đổi là −20.9 Tính trung bình hai kết quả này, ước tính f (2,1) -2.1y 

Hình 7.1

18

a) Nếu chúng ta cố định y và thay đổi x, các đường mức cho biết giá trị của f giảm khi chúng ta di chuyển qua P theo hướng chiều dương của trục x, do đó fx mang dấu âm tại P

b) Nếu chúng ta cố định x và thay đổi y, các đường mức cho biết giá trị của tăng f khi chúng ta di chuyển qua P theo hướng y dương, do đó fymang dấu dương tại

P

c) 𝑓𝑥𝑥=𝜕𝑥𝜕(𝑓𝑥), vì vậy nếu chúng ta cố định y và thay đổi x, 𝑓𝑥𝑥 là tốc độ thay đổi của 𝑓𝑥 khi x tăng Ta thấy: tại các điểm bên phải của P, các đường mức cách nhau xa hơn so với các đường bên trái của P, chứng tỏ rằng f giảm chậm hơn đối với x ở bên phải của P Vì vậy, khi chúng ta di chuyển qua P theo hướng x dương thì giá trị âm của fx tăng, do đó 𝜕

𝜕𝑥(𝑓𝑥) 𝑓 = 𝑥𝑥mang dấu dương tại P

d) 𝑓𝑥𝑦=𝜕𝑦𝜕(𝑓𝑥), vì vậy nếu chúng ta cố định x và thay đổi y, 𝑓𝑥𝑦 là tốc độ thay đổi của 𝑓𝑥 khi y tăng Ta thấy: các đường mức gần nhau hơn tại các điểm ở phía trên P so với các điểm bên dưới P, chứng tỏ rằng f giảm ở nhanh hơn đối với x cho các giá trị y ở phía trên P Vì vậy, khi chúng ta di chuyển qua P theo hướng y dương, giá trị âm của 𝑓𝑥 giảm, do đó 𝑓𝑥𝑦mang dấu âm

e) 𝑓𝑦𝑦=𝜕𝑦𝜕(𝑓𝑦), vì vậy nếu chúng ta cố định x và thay đổi y, thì 𝑓𝑦𝑦 là tốc độ thay đổi của 𝑓𝑦 khi y tăng Các đường mức gần nhau hơn tại các điểm trên P so với các điểm bên dưới P, chứng tỏ rằng tăng nhanh hơn đối với y trên P Vì vậy, khi f chúng ta di chuyển qua P theo hướng y dương thì giá trị dương của 𝑓𝑦 tăng, do

 = T' cho ta biết được tốc độ thay đổi nhiệt độ tại 1 thời điểm cụ x

thể khi di chuyển sâu vào lòng đất

 = T' cho ta biết tốc độ thay đổi nhiệt độ tại một độ sâu cụ ể t th

khi thời gian trôi qua

c) Chứng minh rằng T thoải mãn phương trình nhiệt T = k.T (*) với một hằng t xx

-x: x biểu thị độ sâu trong môi trường Khi x tăng lên, chúng ta di chuyển sâu vào môi trường và thuật ngữ -λx trong sin(ωt - λx) xác định sự dịch chuyển pha của hàm số sin Nó biểu thị cách nhiệt độ biến thiên không gian khi chúng ta di chuyển đến các độ sâu khác nhau Thuật ngữ -λx điều khiển vị trí các đỉnh và đáy nhiệt

độ trên trục độ sâu Khi x tăng, đối số của sin(ωt- λx) tăng, gây ra dịch chuyển pha của biến thiên nhiệt độ

- Tóm lại, thuật ngữ -λx trong sin(ω - λx) ảnh hưởng đến biến thiên không gian t của nhiệt độ theo độ sâu Nó xác định tốc độ thay đổi nhiệt độ theo độ sâu (được điều khiển bở λ) và dịch chuyển pha của biến thiên nhiệt độ khi chúng ta di i chuyển sâu vào môi trường

21

III Tổng kết

- Nhóm đã hiểu rõ hơn về bản chất đạo hàm riêng, biết cách giải các bài toán liên quan đạo hàm riêng và ứng dụng của nó Biết cách dùng ứng dụng online Geogebra để vẽ đồ thị

- Tuy nhiên, các thành viên chưa biết dùng những công cụ như Matlab/Octave, Python,… để ểm tra bài làm của mình.ki

IV Tài liệu tham khảo

- James Stewart (2008), Calculus Early Transcendental (6th edition), Thomson Brook/Cole page 878 – 891

- Thầy Đào Huy Cường, Slide Bài giảng 1, truy cập tại đường link: learning.hcmut.edu.vn/pluginfile.php/388129/mod_resource/content/1/Bai%20giang%201.pdf

https://e Cô Lê Nguyễn Hạnh Vy, file BT CO BAN GT2, truy cập tại đường link: https://e-

learning.hcmut.edu.vn/pluginfile.php/463614/mod_resource/content/0/BT%20CO%20BAN%20GT2.pdf