CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN2.1 Tích diện tích hợp bởi các đường cong và chiều dài của đường cong 2.1.1 Ứng dụng của tích phân tính chiều dài của đường cong Để tính độ dài của đường cong c
ĐẦU
Đề tài
Ứng dụng của tích phân
Phương pháp nghiên cứu
Tìm hiểu trong sách và tài liệu trên mạng
Mục tiêu
Tìm hiểu được lý thuyết và ứng dụng của tích phân
CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Tích diện tích hợp bởi các đường cong và chiều dài của đường cong
Để tính độ dài của đường cong chúng ta có thẻ kẻ đoạn thẳng từ điểm đầu của đường cong đến điểm cuối của đường cong sau đó đo độ dài đó nhưng độ chính xác của nó không cao Để tính chính xác hơn độ dài của đường con ta chia thành 3 điểm rồi sau đó kẻ từ điểm đầu đến điểm giữa , sau đó kẻ từ điểm giữa đến điểm cuối sau đó đo 2 đoạn thẳng đó rồi cộng lại Nếu ta tăng dần các điểm lên đến n điểm thì độ chính xác sẽ tiến dần đến độ dài của đường cong
Nếu đường cong là một hình tròn chúng ta có thể dễ dàng tìm được độ dài của nó chúng ta chỉ cần nối các điểm trên đường cong thành một đa giác cộng tất cả cả đoạn thẳng tạo thành đa giác như chúng ta thấy các đỉnh đa giác càng lớn thì độ dài của nó dần tiến tới độ dài của đường tròn.như trong hình 2.
Giả sử ta có một đường cong C , trong đó f liên tục trên khoảng chúng ta có thể tính chính xác đường cong C bằng cách chia khoảng thành n đoạn bằng nhau.
Như ta thấy nếu càng chia n đoạn thì giá trị L tính xấp xỉ tiến gần bằng đến chiều dài của đường cong C
Ta có (1) Áp dụng định lí giá trị trung bình cho f trong khoảng giá trị trung bình , ta thấy rằng giá trị nằm giữa và là: thế vào (1) ta được công thưc tính chiều dài của một cung là (2) Vd: Để viền cổ áo đẹp , không bị bai dão hay dúm, chúng ta cần phải tính chính xác được chiều dài đường cổ áo Ví dụ khi hạ cổ áo hình tim với chiều dài là 16 cm, chiều rộng là 4 cm thì đường cổ áo chính là parabol với đơn vị
Vậy chiều dài của cổ áo xấp xỉ bằng 27,8 cm
2.2.2 Ứng dụng của tích phân tính diện tích giữa các đường cong
Dùng tích phân để tìm diện tích của miền nằm giữa hai đồ thị của hàm số Xét miền S nằm giữa hai đường cong và và giữa hai đường thẳng đứng x = a và x = b, trong đó f và t là các hàm số liên tục và f(x) ≥ g(x) với mọi x thuộc [a, b] (Xem hình1.)
Giống như ta đã tìm diện tích bên dưới đường cong trong, ta chia S thành n mảnh có chiều rông bằng nhau và rồi ta tính xấp xỉ mảnh thứ i bằng hình chữ nhật có cạnh đáy
x và chiều cao f(xi * ) – g(xi * ) Xem hình 2
Theo như ta thấy chính là xấp xỉ hiện tích S của hình 1
Giá trị xấp xỉ này càng lúc càng tốt hơn khi n Do đó ta định nghĩa diện tích A của miền S là giá trị giới hạn của tổng diện tích các hình chữ nhật xấp xỉ này Ta có công thức
Ta nhận ra giới hạn của (1) chính là tích phân xác định của f – g Do đó ta có công thức sau để tính diện tích A của miền giới hạn bởi đường cong
Và các đường x=a,x=b trong đó f và t liên tục và mới mọi x thuộc là
Nếu ta được yếu cầu tìm diện tích giữa hai đường cong y = f(x) và y = g(x) trong đó f(x) ≥ g(x) trong khoảng này và g(x) ≥ f(x) trong khoảng kia, thế thì ta phải chia miền cần tìm thành vài miền nhỏ S1, S2, có diện tích A1, A2, như trong Hình 9 Khi đó diện tích của miền S là tổng diện tích các miền nhỏ hơn S1, S2, , tức là, A = A1 + A2 + Vì
Diện tích giữa các đường cong y=f(x) và y=g(x) và giữa x=a và x=b là
Vd Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40cm được thiết kế như hình bên dưới Diện tích mỗi cánh hoa bằng?
Diện tích mỗi cánh hoa là:
Vậy diện tích mỗi cánh hoa là
Tích thể tích khối tròn xoay và diện tích khối tròn xoay
2.2.1 Tính diện tích khối tròn xoay
Một bề mặt quay được tạo thành khi một đường cong quay quanh một đường thẳng Một bề mặt như vậy là ranh giới bên của một khối quay Chúng ta muốn định nghĩa diện tích của một bề mặt quay sao cho nó tương ứng với trực giác của chúng ta Nếu diện tích bề mặt là , chúng ta có thể tưởng tượng rằng việc sơn bề mặt A đó sẽ yêu cầu cùng lượng sơn như một khu vực phẳng có diện tích A.
VD: Diện tích bề mặt bên của một hình trụ tròn có bán kính r và chiều cao h được coi là A=2 π r h vì chúng ta có thể tưởng tượng cắt hình trụ và làm phẳng nó (như trong Hình 1) để thu được một hình chữ nhật có kích thước 2 π r và Tương tự, chúng ta có thể lấy h một hình nón tròn có bán kính đáy r và chiều dài đường nghiêng , l cắt nó dọc theo đường nét đứt trong Hình 2 và làm phẳng nó để tạo thành một phần của một hình tròn có bán kính và trung tâml Xét bề mặt được hiển thị trong dưới đây, được thu bằng cách quay đường cong: quanh trục x, trong đó f là dương và có đạo hàm liên tục Định nghĩa: Khi là một số nào đó trong khoảng Khi nhỏ, ta có và cũng Vì f liên tục, nên:
Giá trị này sẽ trở nên tốt hơn nếu ta có :
Ta có công thức tính diện tích đường cong quanh trục x là
Nếu đường cong được mô tả bằng quanh trục x ta có S là
Suy ra Đối với bề mặt được quanh quanh trục y, ta có
Ta có thể sử dụng công thức: hoặc
2πx hoặc 2πy là chu vi của 1 đường tròn được vẽ bởi điểm (x, y) trên đường cong khi nó quay quanh trục x hoặc trục y tương ứng.
Tương tự với thể tích khối tròn xoay ta chia hình 4 thành cách đĩa đặt nhỏ có chiều dày dx bằng nhau ta tính được thể tích của khối tròn xoay là tổng tất cả các đĩa tròn lại ta được công thức tính thể tích khối tròn xoay như sau
(đối với trục x) và ( đối với trục y)
Vd tính diện tích khối tròn xoay xung quanh trục x ,với
Có một vật thể là hình tròn xoay có dạng giống như một cái ly như hình vẽ dưới đây
Người ta đo được đường kính của miệng ly là 4cm và chiều cao 6cm Biết rằng thiết diện của chiếc ly cắt bởi mặt phẳng đối xứng là một parabol Tính thể tích V của vật thể đã cho
Chọn gốc tọa độ O trùng với đỉnh I của parabol (P) Vì parapol (P) đi qua các điểm A(-2;6), B(2;6) và I(0;0) nên parabol (P) có phương trình
Ta có Khi đó thể tích của vật thể đã cho là V
Tính moment và trọng tâm của khối lượng
Các thợ lặn biển sâu nhận ra rằng áp lực nước tăng lên khi họ lặn sâu hơn Điều này là do trọng lượng của nước phía trên chúng tăng lên Nói chung, giả sử rằng một tấm ngang mỏng có diện tích A mét vuông bị chìm trong chất lỏng có mật độ ở độ sâu d mét dưới bề mặt chất lỏng như trong Hình 1 Chất lỏng ngay phía trên tấm có thể tích , vì vậy khối lượng của nó là Do đó lực tác dụng của chất lỏng lên tấm là gia tốc do trọng lực g là ở đâu Áp suất P trên tấm được xác định là lực trên một đơn vị diện tích
Một nguyên tắc quan trọng của áp suất chất lỏng là thực tế đã được xác minh bằng thực nghiệm rằng tại bất kỳ điểm nào trong chất lỏng, áp suất là như nhau theo mọi hướng (Một thợ lặn cảm thấy áp lực giống nhau trên mũi và cả hai tai.) Do đó, áp suất theo bất kỳ hướng nào ở độ sâu trong chất lỏng có mật độ khối lượng được cho bởi Điều này giúp chúng ta xác định lực thủy tĩnh đối với một tấm thẳng đứng hoặc tường hoặc đập trong chất lỏng Đây không phải là một vấn đề đơn giản vì áp suất không đổi mà tăng khi độ sâu tăng lên.
Vd: Một tấm thẳng đứng được nhúng chìm (hoặc ngập một phần) trong nước và có hình dạng như đã chỉ định Giải thích cách tính gần đúng lực thủy tĩnh tác dụng lên một mặt của tấm bằng tổng Riemann Sau đó biểu diễn lực dưới dạng tích phân và tính giá trị của nó.
Thiết lập một trục x dọc như được hiển thị , khi đó diện tích của dải hình chữ nhật thứ i là Áp suất lên dải là , vì vậy lực thủy tỉnh trên tấm
Tiếp theo chúng ta sẽ đi tìm moment và trọng tâm
Mục tiêu chính của chúng tôi ở đây là tìm điểm mà một tấm mỏng có hình dạng nhất định nào cân bằng theo chiều ngang như trong Hình 5 Điểm này được gọi là khối tâm (hoặc trọng tâm) của tấm
Trước tiên, chúng ta xem xét tình huống đơn giản được minh họa trong Hình 6, trong đó hai khối lượng và được gắn vào một thanh có khối lượng không đáng kể ở các mặt đối diện của điểm tựa và ở khoảng cách và từ điểm tựa Thanh sẽ cân bằng nếu Đây là một thực tế thử nghiệm được phát hiện bởi Archimedes và được gọi là Định luật đòn bẩy (Hãy nghĩ về một người nhẹ hơn đang cân bằng một người nặng hơn trên bập bênh bằng cách ngồi xa trung tâm hơn.)
Bây giờ giả sử rằng thanh nằm dọc theo trục x với tại và tại và khối tâm tại Nếu chúng ta so sánh Hình 6 và 7, chúng ta thấy rằng và vì vậy Phương trình 2 cho
Các số và được gọi là mômen của khối lượng và (đối với nguồn gốc), và Phương trình 3 nói rằng khối tâm thu được bằng cách cộng các mômen của khối lượng và chia cho tổng khối lượng
Nói chung, nếu chúng ta có một hệ thống các hạt có khối lượng nằm tại các điểm trên trục x, có thể chỉ ra tương tự rằng khối tâm của hệ nằm ở
(4) tổng của các mômen riêng lẻ
M được gọi momen có thể được viết lại thành , trong đó nói rằng nếu tổng khối lượng được coi là tập trung ở khối tâm , thì mômen của nó sẽ giống với mômen của hệ thống Bây giờ chúng ta xem xét một hệ thống các hạt có khối lượng nằm tại các điểm ,, , trong mặt phẳng xy như trong Hình 8 Bằng cách tương tự với trường hợp một chiều, chúng ta xác định mômen của hệ về trục y là và mômen của hệ thống về trục x là
Tiếp theo chúng ta xem xét một tấm phẳng (được gọi là phiến) với mật độ đồng đều chiếm một vùng của mặt phẳng Chúng tôi muốn xác định vị trí khối tâm của tấm, được gọi là tâm của R Khi làm như vậy, chúng tôi sử dụng các nguyên tắc vật lý sau: Nguyên lý đối xứng nói rằng nếu đối xứng về một đường thẳng, thì tâm của nằm trên (Nếu R được phản chiếu xung quanh I, thì vẫn giữ nguyên R để tâm I của nó vẫn cố định Nhưng những điểm cố định duy nhất nằm ở đó.) Do đó tâm của hình chữ nhật là tâm của nó Các khoảnh khắc nên được xác định sao cho nếu toàn bộ khối lượng của một vùng tập trung ở khối tâm, thì các mômen của nó vẫn không thay đổi Ngoài ra, thời điểm kết hợp của hai vùng không chồng lên nhau phải là tổng của các khoảnh khắc của các vùng riêng lẻ.
Giả sử rằng vùng thuộc loại được thể hiện trong Hình 10 (a); nghĩa là R, nằm giữa các đường thẳng và , phía trên trục x, và bên dưới đồ thị của f, trong đó f là một hàm liên tục chia khoảng thời gian thành n khoảng con với các điểm cuối và chiều rộng bằng nhau Chúng tôi chọn điểm mẫu là điểm giữa của khoảng phụ R, nghĩa là Điều này xác định xấp xỉ đa giác R như thể hiện trong Hình 10 (b) Tâm của hình chữ nhật gần đúng là tâm của nó
Diện tích của nó là , vì vậy khối lượng của nó là
Mômen của khoảng trục R quanh trục y là tích của khối lượng của nó và khoảng cách từ đến trục y
Thêm các mômen này, chúng ta thu được mômen của xấp xỉ đa giác với, và sau đó bằng cách lấy giới hạn khi chúng ta thu được mômen của chính nó về trục y
Theo cách tương tự chúng tôi tính mômen của khoảng trục x là tích của khối lượng của nó và khoảng cách từ đến trục x
Một lần nữa, chúng tôi thêm những momen này và lấy giới hạn để có được momen khoảng trục x
Cũng giống như đối với các hệ thống hạt, khối tâm của tấm được xác định sao cho và Nhưng khối lượng của tấm là sản phẩm của mật độ và diện tích của nó:
( trong đó A là diện tích của đường cong với trục ox) và vì vậy
Vị trí của khối tâm không phụ thuộc vào mật độ Tóm lại, khối tâm của tấm (hoặc tâm của R) nằm tại điểm , nơi mà
Vd: tìm trọng tâm của diện tích giới hạn bằng các đường sau Giải:
Ứng dụng vào kinh tế và sinh học
2.4.1 Ứng dụng của tích phân vào kinh tế Ứng dụng vào lĩnh vực kinh tế học và sinh học
Giá bán của sản phẩm sẽ thay đổi phụ thuộc vào sản lượng Q
Thặng dư người tiêu dùng(ở đây có thể hiểu là số lượng/giá trị của một mặt hàng còn dư sau khi các yêu cầu đã được đáp ứng.) hàm cầu p(x) là giá mà 1 công ty phải tính để có thể bán x đơn vị hàng hóa Thường thì để có thể bán ra 1 lượng hàng lớn hơn thì cần phải hạ giá xuống để hàm cầu trở thành 1 hàm giảm Đồ thị của 1 hàm cầu điển hình được gọi là đường cầu, được biểu hiện ở biểu đồ 1 Nếu X là số lượng hàng hóa hiện có thì P=p(X) là giá bán hiện tại
Ta có diện tích hình phía trên đường màu hồng chính là thặng dư tiêu dùng Ta tính bằng cách tích diện tích của đường cong từ 0 đến X rồi trừ cho hình chữ nhật bên dưới là
Từ đó ta tính được công thức thặng dư tiêu dùng là theo công thức 1
Ví dụ: Nhu cầu của khách hàng về mặt sản phẩm được tính theo biểu thức như sau (đơn vị: USD):
Tìm thặng dư tiêu dùng khi mức bán là 1000
Cách giải: vì số lượng sản phẩm được bán là X00, giá tiền tương ứng sẽ là:
Do đó, theo định lý 1, thặng dư người tiêu dùng: đô
2.4.2 Ứng dụng của tích phân vào sinh học
Huyết động học( hay còn được gọi là tần số của dòng máu là lượng máu được tim bơm đi trong 1 đơn vị thời gian) Ở ví dụ 7 phần 3.7, chúng ta đã thảo luận về định lý dòng chảy tầng theo công thức:
( giải thích công thức như sau)
Khi chúng ta xem xét dòng chảy của máu qua mạch máu, chẳng hạn như tĩnh mạch hoặc động mạch, chúng ta có thể mô hình hóa hình dạng của mạch máu bằng một ống hình trụ có bán kính và chiều dài như minh họa trong Hình 8
Do ma sát ở thành ống, vận tốc của máu lớn nhất dọc theo trục trung tâm của ống và giảm khi khoảng cách r từ trục tăng lên cho đến khi trở thành 0 tại thành Mối quan hệ giữa v và r được đưa ra bởi định luật dòng chảy tầng được phát hiện bởi bác sĩ người Pháp Jean-Louis-Marie Poiseuille vào năm 1840 Luật này quy định rằng là độ nhớt của máu và P là chênh lệch áp suất giữa các đầu ống Nếu P và l không đổi, thì v là một hàm của r với miền.
Ta có diện tích gần đúng của vòng (hoặc vòng đệm) với bán kính trong và bán kính ngoài là với
(Xem biểu đồ 4) Nếu nhỏ thì vận tốc dường như không đổi trong suốt vòng này và có thể xấp xỉ v(r) Do đó thể tích của máu trong 1 đơn vị thời gian mà nó chảy qua thì xấp xỉ: và tổng thể tích máu chảy qua mặt cắt trong một đơn vị thời gian rơi vào khoảng
Khi ta lấy giới hạn biểu thức trên thì ta có thể biết chính xác giá trị của dòng chảy, nơi mà thế tích của máu đi qua mặt cắt ngang trên một đơn vị thời gian và cuối cùng ta có phương trình:
Phương trình trên được gọi là định luật Poiseuille; nó cho thấy dòng chảy tỉ lệ thuận với lũy thừa bậc 4 của bán kính mạch máu.
Sử dụng phương pháp pha loãng thuốc nhuộm Thuốc nhuộm được tiêm vào tâm nhĩ phải và thông qua tim chảy vào động mạch chủ 1 đầu dò được đưa vào động mạch chủ để đo nồng độ thuốc nhuộm ở trong tim trong một khoảng thời gian [0,T] cho đến khi thuộc nhuộm hết hẳn Gọi c(t) là nồng độ của thuốc nhuộm tại thời điểm t Nếu ta chia [0,T] thành những khoảng con với những độ dài bằng nhau , lượng thuốc nhuộm mà nó chảy qua điểm đo trong khoảng thời gian từ đến xấp xỉ
(nồng độ)x(thể tích)Với F là tỉ lệ của dòng chảy mà ta đang xác định Do đó tổng lượng thuốc nhuộm là khoảng và để ta có thể tìm ra lượng thuốc nhuộm
Do đó tần số của dòng máu được tính theo công thức: trong đó lượng thuốc nhuộm A đã biết và tích phân có thể tính gần đúng từ nồng độ
Ví dụ: 1 liều thuốc nhuộm 5mg được tiêm vào tâm nhĩ phải Nồng độ của chất đó (mg/l)được đo ở động mạch chủ được đo trong khoảng thời gian 1 giây được thể hiện ở trên bảng Tính tần số của dòng máu.
Cách giải: ta có A=5, , T Ở đây ta sẽ áp dụng quy tắc Simpson để tính xấp xỉ tích phân nồng độ:
Sử dụng công thức số 3 để tính tần số của dòng máu, ta có
Bài tập luyện thêm
Bài tập về tính diện tích và thể tích khối tròn xoay
1 Một nhà sản xuất tấm lợp tôn muốn sản xuất các tấm rộng 28 inch và dày 2 inch bằng cách xử lý phẳng tấm kim loại như hình vẽ tấm lợp có dạng sóng hình sin Chứng minh rằng đường cong có phương trình sin và tìm chiều rộng của một tấm kim loại phẳng cần thiết để làm bảng điều khiển 28 inch (Sử dụng máy tính của bạn để tính tích phân đúng đến bốn chữ số có nghĩa.)
Sóng hình sin có biên độ 1 và chu kỳ 14, vì nó trải qua hai chu kỳ trong khoảng cách
28 in, vì vậy phương trình của nó là Chiều rộng w của tấm kim loại phẳng là chiều dài vòng cung của đường cong hình sin từ x = 0 đến x = 28 Ta dùng tích phân để tính w bằng công thức độ dài với
Ta dung máy tính cầm tay sẽ tính được inches
2 (a) Thiết lập tích phân cho diện tích bề mặt thu được bằng cách xoay đường cong quanh (i) trục x và (ii) trục y
(b) Sử dụng khả năng tích phân số của máy tính để đánh giá diện tích bề mặt chính xác đến bốn chữ số thập phân.
3 Một nhóm kỹ sư đang xây dựng một đĩa vệ tinh parabol có hình dạng sẽ được hình thành bằng cách xoay đường cong về trục y Nếu đĩa có đường kính 10 ft và độ sâu tối đa là 2 ft, tìm giá trị a và diện tích bề mặt của món ăn
Nói chung, nếu parabol được xoay quanh trục y, diện tích bề mặt mà nó tạo ra là ở đây 2c ft và ac 2 =2 ft , vậy c=5 và a=25 2 Do đó, diện tích bề mặt là
= kết quả xấp xỉ 90,01 ft 2
4 Tìm diện tích bề mặt thu được bằng cách xoay vòng tròn quanh Giải:
Nữa trên của hình xuyến được tạo bằng cách xoay đường cong quanh trục oy do đó
[ Vì số nguyên đầu tiên là lẻ còn số thứ 2 là số chẵn]
(a) Hình elip được xoay quanh trục x để tạo thành một bề mặt được gọi là ellip- soid, hoặc hình cầu prolate Tìm diện tích bề mặt của ellipsoid này
(b) Nếu hình elip ở phần (a) được xoay quanh trục phụ của nó (trục y), thì hình elip thu được được gọi là hình cầu phẳng Tìm diện tích bề mặt của ellipsoid này.
Diện tích của mặt cầu dẹt gấp đôi diện tích được tạo ra bằng cách xoay gốc phần tư thứ nhất quanh trục y
6 Sử dụng Quy tắc Simpson với để tính gần đúng diện tích của bề mặt thu được bằng cách xoay đường cong quanh trục x So sánh câu trả lời của bạn với giá trị của tích phân được tạo bởi máy tính của bạn
Kết quả trên tương đường 24,145807
7.Bổ dọc một quả dưa hấu ta được thiết diện là hình elip có trục lớn 28cm, trục nhỏ 25cm Biết cứ 1000 3 dưa hấu sẽ làm được cốc sinh tố giá 20.000đ Hỏi từ quả dưa hấu trên có thể thu được bao nhiêu tiền từ việc bán nước sinh tố? Biết rằng bề dày vỏ dưa không đáng kể
Gắn hệ trục toạ độ như hình vẽ khi đó phương trình của Elip là
Phương trình nửa đường Elip nằm phía trên trục hoành là
Thể tích của quả dưa hấu là
Vậy từ quả dưa hấu có thể thu được số tiền là 20.000 ×9.1623.000 đồng.
Bài tập về lực thủy tĩnh và tìm momen và trung điểm của vật
1 Một tấm thẳng đứng được nhúng chìm (hoặc ngập một phần) trong nước và có hình dạng như đã chỉ định Giải thích cách tính gần đúng lực thủy tĩnh tác dụng lên một mặt của tấm bằng tổng Riemann Sau đó biểu diễn lực dưới dạng tích phân và tính giá trị của nó.
Thiết lập một trục x dọc như được hiển thị Sau đó diện tích của dải chữ nhật thứ i là
[Bằng tam giác tương đồng nên ] Áp suất trên dải là , vì vậy lực thủy tĩnh trên dải là và là lực thủy tĩnh
2 Một máng chứa đầy chất lỏng có khối lượng riêng 840 Kết thúc của máng là các hình tam giác đều có cạnh dài 8 m và đỉnh ở phía dưới Tìm lực thủy tĩnh ở một đầu của cái máng.
Bằng hình tam giác tương tự diện tích của dải hình chữ nhật là và áp lực lên nó là
3 Các khối lượng được đặt tại các điểm dưới đây, tìm moment và trọng tâm của hệ
Vậy khối lượng trung bình là
4 Tìm tâm của vùng được giới hạn bởi các đường cong đã cho
5 Một tấm thẳng đứng được nhúng chìm (hoặc ngập một phần) trong nước và có hình dạng như đã chỉ định Giải thích cách tính gần đúng lực thủy tĩnh tác dụng lên một mặt của tấm bằng tổng Riemann Sau đó biểu diễn lực dưới dạng tích phân và tính giá trị của nó.
Thiết lập một trục x dọc như được hiển thị , khi đó diện tích của dải hình chữ nhật thứ i là
[Bằng tam giác tương đồng, nên ] Áp suất lên dải là , vì vậy lực thủy tỉnh trên tấm
6 Sử dụng quy tắc simpson để ước tính tâm của vùng được hiển thị
7 Tìm tâm của vùng được giới hạn bởi các đường cong và phác thảo khu vực và vẽ biểu đồ tâm để xem câu trả lời của bạn có hợp lý không.Giải:
8 Một hình chữ nhật có cạnh và được chia thành hai phần R1 và R2 bởi một cung parabol có đỉnh trùng với nhau góc và đi qua góc đối diện Tìm trọng tâm của cả hai R1 và R2.
parabol có phương trình: và đi qua điểm có tọa độ (a,b), từ đó ta có biểu thức
Vì R là diện tích của phần ab, R là phần diện tích của phần A =2 2
Tọa độ trọng tâm của R là 1
Tọa độ trọng tâm của R là2
Bài tập ứng dụng của tích phân trong sinh học và kinh tế
1 Hàm chi phí cận biên được định nghĩa là đạo hàm của hàm chi phí Chi phí cận biên để sản xuất gallon nước cam là (đo bằng đô la mỗi gallon) Chi phí ban đầu cố định là Sử dụng Định lý Thay đổi ròng để tìm chi phí sản xuất 4000 gallon nước trái cây đầu tiên.
2 Một đường cầu được đưa ra bởi Tìm thặng dư tiêu dùng khi giá bán là
3 Hàm cung cho một loại hàng hóa là mối quan hệ giữa giá bán và số lượng hàng mà đơn vị sản xuất sẽ sản xuất ở mức giá đó Với giá cao hơn, nhà sản xuất sẽ sản xuất nhiều hàng hơn, vì thế là một hàm tăng của x Cho X là lượng hàng hóa hiện tại đã sản xuất được và cho là giá cả hiện tại Một vài nhà sản xuất sẵn sàng làm và bán hàng hóa với một mức giá thấp hơn và vì thế nhận được nhiều hơn mức giá tối thiểu của họ Khoảng dư ra được gọi là thặng dư sản xuất Lập luận tương tự, ta được một hàm tích phân cho thặng dư tiêu dùng (comsumer surplus):
Tính thặng dư sản xuất cho hàm cung được bán ở mức X Minh họa bằng cách vẽ đường cong cung ứng và xác định thặng dư sản xuất bằng một diện tích.
4 Định luật thu nhập của Parteto nói rằng số người có thu nhập giữa x = a và x=b là trong đó A và k là đồng nghĩa với và Thu nhập trung bình của những người này là tính
5 Huyết áp cao là kết quả của sự co thắt động mạch.Để duy trì tốc độ dòng chảy (thông lượng) bình thường, tim phải bơm cứng hơn, do đó làm tăng huyết áp Sử dụng
Poiseuille Định luật chứng tỏ rằng nếu và là giá trị bình thường của bán kính và áp lực trong động mạch và các giá trị bị hạn chế là R và , sau đó để thông lượng không đổi và có liên quan bởi phương trình
Nếu vẫn không đổi, thì
Vậy huyết áp tăng hơn gấp ba lần
6 Sau khi tiêm 5,5 mg thuốc nhuộm, kết quả đo nồng độ thuốc nhuộm, tính bằng ,trong khoảng thời gian hai giây như được hiển thị trong bàn Sử dụng Quy tắc Simpson để ước tính cung lượng tim.
Giải: chúng tôi sẽ ước tính cung lượng tim bằng cách sử dụng quy tắc simpson với
7 Đường cong nhu cầu Với đường cong cầu và đường cong cung
, hãy tìm thặng dư tiêu dùng và thặng dư của nhà sản xuất Minh họa bằng cách phác thảo các đường cong cung cầu và xác định thặng dư dưới dạng khu vựcGiải:
8 Biểu đồ của hàm nồng độ c(t) được hiển thị sau khi tiêm thuốc nhuộm 7 mg vào tim.
Sử dụng Quy tắc Simpson để ước tính cung lượng tim.