Ngoài ra, không thể không nhắc đến sự quan tâm giúp đỡ của các anh chị, các bạn sinh viên trong cộng đồng sinh viên trường Đại học Bách Khoa nói riêng và ĐHQG-HCM nói chưng, những đóng g
Trang 1DAI HaC QUOC GIA THÀNH PHÓ Hà CHÍ MINH TRƯàNG ĐẠI HàC BÁCH KHOA KHOA KHOA HàC ỨNG DỤNG
BÓ MÔN GIẢI TÍCH ỨNG DỤNG
#*Œ4 @3£t)%G@
a c)
Dé tai: UNG DUNG CUA VI PHAN VA TICH PHAN
GV dạy Lý thuyết : Lê Xuẩn Dai
GV day Bai tập : Phan Thị Khánh Vân
Lịp : CN02
Nhóm sinh viên thực hiện :
6 Nguyễn Quốc Huy 2153387
Cham điểm bài tập lin GiAi tich 1:
Diem nip va gui wks - eRe
File bài đ ‘ing hon Diem hinh thức | Điểm ni dung T ẳng điểm
(1 điểm) (2 điểm) (2 điểm)
Fie
Powerpoint
File Word
TP Hồ Chí Minh ngày 3 tháng 1 năm 2022
Trang 2LỜI CÁM ƠN Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 3 thang 1 năm 2022
Lời nói đầu tiên, nhóm ching em xin duoc gui loi cam ơn dén Thầy Lê Xuân Đại và Cô Phan Thị
Khánh Vân, là hai giảng viên đã giúp nhóm thực hiện bài tập lớn này Nhờ sự giúp đỡ tận tình của Quý
Thây Cô, chứng em đã vượt qua những khúc mắc, khó khăn trong suốt quá trình thực hiện bài tập, từ
đó hoàn thanh cing tiễn độ của môn học và cho ra sản phẩm chất lượng
Ngoài ra, không thể không nhắc đến sự quan tâm giúp đỡ của các anh chị, các bạn sinh viên trong cộng đồng sinh viên trường Đại học Bách Khoa nói riêng và ĐHQG-HCM nói chưng, những đóng góp to lớn của các anh, chị và các bạn đã giúp chúng em nắm chắc hơn nên tảng tính toán khoa
hoc mà nhóm lần đẫu tiên được tiếp cận trong học kỳ đều tiên theo học á môi trường Đại học Cuối cùng, nhóm chúng em xin gửi lời cảm ơn một lần nữa đến các tập thể, cá nhân đã giúp đỡ
và truyền cảm hứng cho nhóm trong suốt quá trình thực hiện dự án bài tập lớn này
LỜI MỞ ĐẦU Giải Tích 1 là môn học đại cương đóng vai trò chủ đạo trong quá trình xây dựng nên tảng kiến thức của sinh viên thuộc ngành Khoa học Công nghệ nói chung và sinh viên trường Đại học Bách Khoa nói riêng Do đó, việc dành thời gian cho môn học này, kế cả trau đôi về mặt lý thuyết và thực hành thực tiễn là rất tất yếu để giúp cho sinh viên có được nên tảng kiến thức vững chắc về các môn Khoa học Tự nhiên, từ đó sinh viên có thể học tốt hơn các môn học khác trong chương trình đào tạo Trong thời đại phát triển công nghệ 4.0 hiện nay, toán tin quan trọng gân như bậc nhất trong sự phát triển của đời sống Việc ứng dụng toán tin đóng vai trò vô cùng to lớn trong quá trình giải thích các cơ sá dữ liệu
à tiểu luận lần này, nhóm chúng em được phân công thực hiện nội dung “Giải tích và ứng dụng trong thực tế” Qua bài tiểu luận trên bọn em đã được tìm hiểu sâu hơn về các phép toán như dao ham,
vỉ phân, tích phân và khám phá được nhiều ứng dụng thú vị của giải tích trong thực tế
Trang 3MỤC LỤC
0051019)/68511/40.7 905 5434+2“Œ.,,.,, ),.)H,)HÀẬH,.Ỏ 1 1.1 Vi phân của hàm số một biến sỐ - 2£ 52522222 SE£2EE£EEESEE22E222122322132222212 22-22, 1
1.2.1 Định luật phân rã phóng xạ - -Ă + + 12113131511 13 1111111113113 H1 mg 1 1.2.2 Phương trình vi phân cho các mạch điện . - 5: 5< 5 2£ +2 ££>££sEeseseeseeserze 2
CHƯƠNG2: TÍCH PHÂN
2.1 Tich phan xác định
2.1.1 _ Khái niệm tích phân xác định -2-2+2222-++2k222E22E22222212212221222222xe2 3 2.1.2 Ý nghĩa hình học 2-©22£S22SEESEE2SE11212221221121121.2112112211221 21.20, 4
2.2 Ứng dụng của tích phân .- 2-2 =+22£Sk+2E12214211E2112112211211211E211211112111 211.211 22L e2 4
2.2.1 Bài toán trọng tâm bể mặt ¿ 22 ++©22+Ek+2E22212211221221221221222122122.2e, 4 2.2.2 Lực của áp suất chất lỏng -¿-©2+©7++2+222222E42E12212211221222127121111 212221 21e2 6
2.2.3 Công sinh ra bái lực biến thiên 2-52 52222+S2222E2EE222E22122222212212 22122222 7 PIN? naá%HgH ,), HẬH,H),.,ÔỎ 8 2.2.5 Dùng tích phân để tính điện tích -2 2©2++2E2E222EE2EE2221221222222222222xe2 9 2.2.6 Dùng tích phân tình diện tích dưới 2 đường cong . -c+-csecsecses 11
2.2.7 Sử dụng tích phân để tích độ dài đường cong -2 52cz+2s+zxcczsecsee 12
Trang 4CHUONG 1: VI PHAN
1.1 Vi phân của hàm sị mịt biến si
Vi phan cap 1 Dinh nghia 2.1 Vi phan cap 1 cua ham sé C = f B) tai diém Bo 1a:
FF(B 0) = f (Bo)FB
Vi phan cap 2 Định nghĩa 2.2 Vi phan cap 2 cua ham sé C = f B) tai diém By la:
F?f (Bo) = f (Bo) FB?
Vi phâncấpn Định nghĩa 2.3 Vi phân cấp Ð của hàm số € = ƒ (B) tai diém By 1a:
F© f (Bo) = f (Bo) FBS
1.2 Ứng dụng của vi phân
1.2.1 Định luật phân rã phóng xạ
Khi phóng xạ số hạt nhân chưa bị phân rã sẽ giảm theo thời gian Ta hãy thiết lập định luật phân rã đó
Giả sử á thời điểm £, số hạt nhân phóng xạ chưa bị phân rã là A Sau thời gian Ft, số đó trá thành A 2
FA vì có FA hạt nhân đã phân rã Độ giám số hạt nhân chưa phân rã 2FA rõ ràng tỉ lệ với A và Ft:
Gọi A(t) là số lượng nguyên tử phóng xạ tai thời điểm £ của một mẫu vật liệu cho trước Với @| > 0
Ta co phương trình vị phân mô tả lượng nguyên tử phóng xạ (Với ©ăhg a là hằng số phóng xạ, trong
đó @Ƒ[È là chu kì bán rã)
FA ale) 2© A(:)
Thực hiện phép tích phân ta được:
Fale) 2@ãIL A(t) part 2©äI rFt Tích phân 2 về phương trình, lấy cận dưới tại thời điểm € = 0 và cận trên là thời điểm D = t,
126) _ 2ƒ @äll.Ft D In[A(£)] 2 In[4(0)] = 2@5l: + @5I 0 A(t)
ehlIz(@®%)1 /CC ehnlf(@8)]2m|r(0)] = eronedt Day = eo rOHOR A Al), 2@5l©51 D A(t) = Aye2@HOR
Vi dy 2: Ban dau c6 5 (g) *”? BDIA chat phóng xạ với chu ky bán rã @Ƒ# = 3,8 ngày Hãy tính
a) S6nguyén tử có trong 5 (g) BCFED
b) Số nguyên tử còn lại sau thời gian 9, ° ngày
5
Giai: a) Ta có số CEB của BD là D =—= =
1
Trang 5Khi đó số nguyên tử ban dau cia BD là Ay = D 6,02.107? = 1,356.10?2 (Nguyên tử)
b) Số nguyên tử còn lại sau 9,5 ngày tính bái:
lạ2
A(t) = Ag.e?©5l©% = 1,356.10?8E”5 = 2,39.1021 (Nguyên tử)
1.2.2 Phương trình vi phân cho các mạch điện
Xét mạch điện gộm một điện trá R, một cuộn cảm $>L] và một tụ ŒC mắc nói tiếp
Trong mạch, ta cho một dòng điện chạy qua mỗi nhánh Gọi Com Co Coz lần lượt là các dòng điện chạy qua
B,@TT và €C Định luật về dòng cám của Krichhoff nói rằng tổng dòng điện chạy vào một nút bằng tổng dòng chạy ra khỏi nút đó, tức là:
Trạng thái của mạch điện được đặc trưng bái dòng điện C va điện áp qua mỗi nhánh Kí hiệu các điện
áp này lần lượt là le Ác, Aeg la có:
4e mg + Ac2 4, =0
Tiếp theo, ta xét sự chuyên tiếp theo thời gian của trạng thái vật lí
(CŒ),AŒ)) = (Ce(Œ), CcŒ),Cem(£),Aeg(t),Ac(t), dom)
FC (t)
OFF A(t)
Trong đó @L] là một hằng số dương, gọt! là độ tự cảm
Cuộn cảm xác định rang:
Mặt khác, tụ điện xác định rằng: FAgg (t)
C Ft = Cog (¢)
Trong đó € là một hằng số dương, gọi là điện dung
Do Ce m= Co = 2Com, ta có:
Đề đơn giản, ta coi @L[ = 1,€ = 1 và nếu kí hiệu B = Cẹ,C = Aẹg ta có hệ phương trình vi phân của mạch điện:
Ví dụ: Một mạch B 2 L] nỗi tiếp gồm một điện trá và một cuộn cảm L] mắc vào nguồn điện có hiệu điện thế 4, cường độ dòng điện €.
Trang 6
FC
Ta có
FC Agapeaica = Ag m t+ Ac /CCA= BC + @H
Khi đóng nguồn điện cường độ dòng điện sẽ thay đổi theo thời gian £ Xét ví dụ cụ thé sau:
B =50(0),@TT = 10 (€),A = 1004); t = 0(g) tại thời điểm đóng mạch
a) Viét phương trình vi phân mô phỏng
b)_ Giải phương trình này Tìm € tại thời điểm t = 0,5(g)
Giải a) Phương trình vi phân mô phỏng: 100 = 50€ + 1092 (1)
b) Xét(1) C a +5C=10
Tim @83(t) = ef POS! = 0 5O8
Tính f @88(t)A(t) Ft = ƒ 10e5% rị = 2e5®5 + c
Nghiệm tông quát C(t) =e 2+ Cc?25©ã
Khi £ = 0 thì C(0) = 0
2+ Ce?5®%Ä — 0 CC = 22
Nên C(t) = 22 e?5®# (2)
(2) C C(0,5) = 1,836
CHUONG 2: TICH PHAN
2.1 Tich phan xac dinh
2.1.1 Khái niệm tích phân xác định
Cho hàm số ƒ(B) xác định trên đoạn [C; D](C < D) Chia đoạn [C; D] thành Ð phần nhỏ hữu hạn [esa1: Bạ«@].(C = 1 , Ð) bái những điểm
Trên mỗi phần nhỏ này [eza+; Bẹz+] chọn bắt kỳ một điểm @Rile € [Bạaz¡; Bạ] và thành lập tổng @Š
»esf(©Bles)AH¿ABe 2 = Bo 2 2 Bear > 0 Ký hiéu @B = max{ABge,C = 1, ,D}.
Trang 7Định nghĩa 2.1 Tổng @ŠŠ sà- ¡ ƒ(@Rledr)8lðgklà tổng tích phân của hàm số ƒ(B) trên đoạn [C; DỊ
Tổng này còn được gọi là tổng Riemann
Định nghĩa 2.2 Số hữu hạn D € IR được gọi là giới hạn của tổng tích phân @ŠŠ khi @#| ¬ 0 (@ 5l 2 max ABg > 0) Nếu như với mọi D > 0,3€ = CÍD) > 0 sao cho đoạn [€; D] bị chia thành những đoạn nhỏ với độ dài AĐ@ < Œ, có nghĩa là 5l < €, luôn có bát đẳng thức |@ŠŠ 2 D| < D không phụ thuộc vào
cách chia đoạn [Œ; D] thành những đoạn nhỏ và cách chọn điểm ©Ele trên những đoạn nhỏ [Bee›¡; Bez) 1 này ta viết 1m Oe =D
Định nghĩa 2.3 Nếu tổng tích phân @ŠŠ có giới hạn hữu hạn khi @#j| > 0 có nghija la@BE = D thi D được
gọi là tích phân xác định của hàm số ƒ (B) trong khoang [C; Ð] Trong trường hợp này những số C, D
được gọi là cận trên và cận dưới của tích phân Như vậy
C
J Ƒ(B)tB= D= đo ~ TOR Ble = )ABox 2.1.2 Ý nghĩa hình học
Ý nghĩa hình học của tích phân xúc định: Nêu hàm số ƒ (B) > 0 trén doan [C; D] thi tich phan xác định ƒ _ Ƒ (B)F Bcó ý nghĩa hình học là diện tích hình phẳng được giới hạn bái đường cong
€ =ƒ(B),B =C,B=D,C=0
2.2.Ung dung cua tich phan
2.2.1 Bài toán trọng tâm bé mat
I Van dé dién hinh (Canh thang)
Trong cấu trúc xây dựng tilt - slab, ta có bức tường bê tông (với cửa chính và cửa số rời) và ta cần đặt
bức tường này vào đúng chỗ Chúng ta không muốn bức tường bị nứt khi đặt xuống, vậy ta cần biết đến
trọng trọng tâm của bức tường Làm cách nào ta có thể tìm được trọng tâm của một vật có hình thù
không bằng phẳng?
Trang 8
II Moment
Moment của một vật có tác dung ước lượng khuynh hướng xoay quanh một điểm của vật thể Hiển
nhiên, vật có khối lượng càng lớn (và khoảng cách so với điểm càng xa), khuynh hướng xoay sẽ lớn
Công thức tính moment:
Moment = khối lượng - khoảng cách từ một điểm
Il Trang tam
Bây giờ ta sẽ đi tim trọng tâm của hệ và điều này sẽ giúp ta đưa đến nhiều kết quá tổng quát
Ví dụ 2.2.1: Ta có 3 vật có khối luong 14 10 Ag; 5 Ag va7 Ag, vat trudc cach vật sau một khoang lần lượt là 2 C; 2 € và 1 € như hình sau:
Ta thay thế 3 vật trên bằng 1 vật sao cho vật đó tạo ra moment tương đương với 3 vật kia Vậy ta nên dat vat ay a dau?
Trả lời ví dụ 2 Tổng moment: 10.2 + 5.4+ 7.5 = 75 Ag.C
Nếu ta cộng hết khối lượng các khối, ta được khối lượng tổng: 10 + 5 + 7 = 22 Ag
Dé duoc gid tri moment trong duong, ta can: 22 x F = 75
Voi F 1a khoảng cách từ trọng tâm đến tâm quay Giải phương trình trên, ta được:
Fea a * 3,4C€
Vậy hệ tương đương (với vật có khdéi lwong 22 Ag) la:
3.4m
O
5
Trang 9IV Tráng tâm hình phắng
Trọng tâm nằm ngay giữa hình chữ nhật, tức điểm (2; 1)
Một số hình phức tạp:
+ Ta chia hình phức tạp ra thành các hình chữ nhật và tìm (giá trị hoành độ B của trọng tâm) và Œ
(giá trị tung độ € của trọng tâm) bằng cách lấy moment trên 2 trục này một cách độc lập
+ Vì ta có hình phẳng nên ta có thê dùng diện tích dé tính moment
Ví dụ 2.2.2: Tìm trọng tâm của hình sau:
| (14) (3,4) (-2.2)
-
Giai: Ta chia miền phẳng thành 2 hình chữ nhật va giá sử khối lượng của hình chữ nhật tập trung á giữa
Trong tam(-1 /2, 1) Ỉ Trọng lâm
Hình chữ nhật trái: Diện tích = 3.2 = 6 đơn vị?
Hình chữ nhật phái: Diện tích = 2.4 = 8 đơn vị?
Lay moment theo truc C, ta dugc: 6 (2 3) + 8(2) = (6 + 8)C DC= a
Tương tự với trục B: 6(1) + 8(2) = (6+ 8)C DB = —
Vay trong tam nam a (=; =
Ta có thể sử dụng quy trình này dé giải quyết van dé cau tric tilt — slab đã dé cập a đầu bài
Một cách tổng quát, ta có thê nói:
_ (Tổng moment theo hwéng B) C= (Tổng moment theo hvéng C)
Chú thích:
Cấu trúc xây dựng tilt — slab là một dạng kỹ thuật xây dựng, sử dụng các tắm bê tông có khoét vi tri đặt
cửa số, cửa chính, giúp cho việc xây dựng trá nên nhanh chóng
2.2.2 Lực của áp suất chất lỏng
Lực F trong một miền phẳng 4 tại độ sâu Œ trong một chát lỏng có tỷ trọng A xác định bái công thức:
F=ACA
Lực sẽ tăng nếu như tỷ trọng tăng, hay độ sâu tăng hay diện tích miền phẳng tăng
6
Trang 10Vậy tổng lực tác động lên chiếc đĩa xác định bái công thức:
D F=Af CB FC
C Voi: | + B la chiéu dai (theo C) cua phan tử trong đĩa (xác định theo €)
+ € là độ sau (theo C) cua phan tir trong dia
+ A là tỉ trọng chat long (theo 4C23) Đối với nước, tỉ trọng này là 4 = 9800A4C?3
+ € là độ sâu phân cao nhất của đĩa, đề cập trong câu hỏi (theo €)
+ D là độ sâu phân thấp nhất của đĩa, đề cập trong câu hỏi (theo €)
Ví dụ 2.2.3: Tìm độ lớn của lực tác dụng vào một cạnh của thùng đựng hàng hình hộp có cạnh dài
6 EC Biết rằng thùng hàng này chứa đầy thủy ngân và thủy ngân có trọng lượng riêng là 133 4A/€3 Giải: Điều này tương tự như ta có chiếc đĩa hình vuông, cạnh dài 6 £€ chứa đầy thủy ngân
1
y
b
ị
Đây là ví dụ hết sức cơ bản khi độ rộng của chiếc đĩa không thay đối khi ta nhúng đĩa
xuống nước, nó luôn có giá trị là B = 6
Đồng thời, độ sâu của cạnh trên cùng chiếc đĩa là 0, vậy € = 0
Để áp dụng công thức, ta có: 8 = 0,06 C
€ là biến tích phân
A = 133 AA/C3 = 133 000 A/Œ,(€ = 0,D = 0,06)
Vậy ta được:
Luc =Af BC FC=133000f 0,06C FC=7980f C FC =7980 (>I =14,4A
2.2.3 Công sinh ra bái lực biến thiên
Công sinh ra bái lực Ÿ không đổi tác động vào một vật làm vật đó chuyển động một khoảng F được xác định bái công thức:
B=F.F
L Công sinh ra bởi lực biến thiên
Nếu lực là một giá trị biến thiên (như nén lò xo), ta cần dùng tích phân để tính công sinh ra Nếu lực xác định bái hàm # (B) thì công sinh ra theo trục B từ € đến D là:
B=f F(B) FB