Báo cáo bài tập lớn giải tích 1 tìm hiểu về xấp xỉ bằng “phương pháp newton”

Giải tích 1 là chương trình nâng cao với những kiến thức nền tảng chúng ta đã được học từ những năm cấp 3, trong đó Phương pháp Newton thuộc chương trình này là một đề tài hay và thú vị

BO GIAO DUC VA DAO TAO TRUONG DAI HOC BACH KHOA TP.HCM

DH QUOC GIA TP HỎ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC VÀ ỨNG DỤNG

BAO CAO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 1

DE: 4 Giảng viên hướng dẫn: VÕ TRẢN AN

Nhóm: 4

TP Hồ Chí Minh, ngày 22 tháng 12 năm 2021

BO GIAO DUC VA DAO TAO TRUONG DAI HOC BACH KHOA TP.HCM

DH QUOC GIA TP HỎ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC VÀ ỨNG DỤNG

Phân 1: Tìm hiểu về xắp xi bằng “Phương pháp Newton”

Phân 2: Làm các bài tập phan 3.8

Lớp L19 - Nhóm 4

GV hướng dân: Thây Võ Trần An

TP.HCM, 12/2021 Lớp L19_Nhom 4

Danh sách thành viên

Vũ Minh Hiéu

Trương Việt Hoàng

Nguyễn Khắc Thanh Hòa

Nguyễn Trung Hiếu

Phân công công việc

Cơ sở lý thuyết + Bài tập

Cơ sở lý thuyết + Bài tập

Vẽ đồ thị + Bài tập

Cơ sở lý thuyết + Bài tập

Cơ sở lý thuyết + Bài tập

Giải tích 1 là chương trình nâng cao với những kiến thức nền tảng chúng ta đã được học

từ những năm cấp 3, trong đó Phương pháp Newton thuộc chương trình này là một đề tài hay và thú vị mang giá trị nghiên cứu cũng như mang tính học thuật cao Cùng với sự yêu thích bộ môn Giải tích l cũng như mong muốn tìm tòi học hỏi chính là lý do nhóm em quyết định thực hiện đề tài này

Đề tài được yêu cầu tìm hiểu những kiến thức từ cơ bản, mang tính nền tảng đến nâng cao về một phương pháp tính — phương pháp Newton, từ đó giải quyết các sỐ liệu, bài tập

đi kèm Đề có thê thực hiện tốt các tiêu chí đã đề ra, cũng như là giải quyết yêu cầu đề tài, nhóm em cần tìm hiểu cặn kẽ những tài liệu bằng cả tiếng Việt lẫn tiếng Anh đề có một cái nhìn bao quát nhất về đề tài Song song cũng cần vận dụng những kiến thức đã được các thầy cô giảng dạy để có thê hoàn thành đề tài một cách tốt nhất

Sau khi thực hiện đề tài, nhóm em đã có cái nhìn sâu sắc hơn về sự gắn kết giữa lý thuyết

và thực tế Bên cạnh đó cũng góp phan củng cô kiến thức về chuyên đề Phương pháp Newton, vé cach lam việc nhóm, về cách sử dụng phối hợp những phần mềm liên quan cho bài thuyết trình lẫn báo cáo, nâng cao hiểu biết phục vụ cho công việc học tập sau này

LỜI MỞ ĐẦU

Giải tích 1 là môn học có tầm quan trọng đối với sinh viên ĐH Bách Khoa TPHCM nói riêng và sinh viên các ngành khối khoa học kỹ thuật — công nghệ nói chung Do

do, việc dành cho môn học này một khối lượng thời gian nhất định và thực hành là

điều tất yếu đề giúp cho sinh viên có được cơ sở vững chắc về các môn KHTN va lam tiền dé dé học tốt các môn khác trong chương trình đào tạo

Trong suốt quá trình thực hiện bài tập lớn nói trên, nhóm chúng em đã nhận được rất nhiều sự quan tâm và ủng hộ, giúp đỡ tận tình của thdy cô, anh chị và bạn bè Ngoài

ra, nhóm cũng xin gửi lời trì ân chân thành đến Thây V6 Thần An, là giảng viên hướng dân cho đề tài này Nhờ có thay hét long chi bao mà nhóm đã hoàn thành tiểu luận đúng tiễn độ và giải quyết tốt những vướng mắc gặp phải Sự hướng dân của thây đã là chìa khóa cho mọi hành động của nhóm và phát huy tôi đa được mỗi quan

hệ hỗ trợ giữa thầy và trò trong môi trường giáo dục

Lời cuối, xin một lần nữa gửi lời biết ơn sâu sắc đến các cá nhân, các thay cô đã

dành thời gian chỉ dân cho nhóm Đây chính là niềm tin, nguôn động lực to lớn đề nhóm có thê đạt được kết quả này

Chương 2: Cơ sở lý thuyết:

1 Khái niệm cơ bản: 9

2 Áp dụng vào đề tài: 12 Chương 3: Ứng dụng giải quyết các bài toán: 15 Chương 4: Kết luận: 4l

Danh muc hinh anh minh hoa

minh hoa ly thuyét

ý tưởng đẳng sau phương pháp Newton

minh họa cho công thức tính

trường hợp đặc biệt mình họa cho ví dụ Ì mình họa cho ví dụ 2 cà cà Ằ

12

13 14

Chương 1: Mo dau

1.1- Geogebra

Một mặt, Geogebra là một phần mềm hình học động, hỗ trợ giảng dạy trong trường học, ta có thê định nghĩa các điểm, vectơ, đoạn thăng, đường thang, cing nhu ham

sô và thay đôi chúng một cách linh động Mặt khác, phương trình và tọa độ có thê

được nhập trực tiệp Vì the, GeoGebra có thê xử lý biên s6, vecto va diém, tim dao

hàm và tích phân của hàm sô và đưa ra những lệnh như nghiệm hay cực trị, cho phép

tính toán va vẽ đồ thị hàm số

1.2- Yêu cầu đề bài:

© Phan 1: Tim hiéu về xấp xi bằng “Phương pháp Newton” (tham khảo 3.8)

e Phan 2: Lam cac bai tap phân 3.8

1.3- Điều kiện:

e _ Sinh viên cần có kiến thức nền tảng về phương pháp tính Newton

¢ Tim hiéu cac vi du minh hoa tir do ap dung giải quyết các bài toán được đặt ra

1.4- Nhiệm vụ:

e - Xây dựng cơ sở lí thuyết từ phương pháp tính Newton

® - Giải bài tập liên quan

Chương 2: Cơ sở lý thuyết

2.1-Khái niệm cơ bản:

Giá sử I đại lý bán xe hơi cho bạn với giá 18000 đô la hoặc cho bạn trả góp mỗi tháng

375 đô la trong vòng 5 năm Bạn có muôn biết lãi suât hàng tháng của đại lý khi bán xe cho bạn? Hãy tìm câu trả lời băng việc giải phương trình ( lây ví dụ từ câu 39 phân bài

tập )

48x(- +1 =0(1)

Làm thể nào đề giải được phương trình trên? (câu 39 phần bài tập)

1a biết rằng phương trình bậc hai đã có công thức nghiệm, phương trình bậc ba và bậc bôn cũng có cách giải nhưng rât phức tạp Nhưng nêu phương trình bậc 5 hoặc cao hơn thì không có cách giải cụ thể Ta cũng không có công thức giải l phương trình siêu việt như cosx=x

Tuy nhiên, ta có thê tìm được l cách giải gần đúng cho phương trình (1) bằng công cụ vẽ

đồ thị, ta có được | phan do thi ham về trai của (1)

Vậy thì nguyên lí của những phương pháp này là gì? Ta có thê dùng rất nhiều phương

pháp, nhưng thử mà ta có thể tận dụng triệt để nhất tính hiệu quả của nó chính là phương

pháp Newton hay còn gọi là phương pháp Newton — Raphson Ta sẽ tiễn hành phân tích phương pháp này, | phan la dé tìm hiệu xem chuyện gì sẽ xảy ra trong quá trình tính toán bên trong những chiếc máy tính cầm tay, và 1 phần nữa xem như đây là ứng dụng của khái niệm về xấp xỉ tuyến tính

( Hình 2 )

Từ hình vẽ cho ta thay gia sử nghiệm cần tìm lar Ta bat dau với xap xi, có thê tìm được bằng việc lấy xấp xi, hoặc suy đoán dựa trên đồ thị của f Xét tiếp tuyến L của đường cong y= f(x) tai điểm P(, Ñ)) và giao điểm của L với Ôx, ký hiệu là: ý tưởng đẳng sau phương pháp Newton chính là đường tiếp tuyến L gần với đường cong y = f{x), và vì vậy giao điểm của L với Ox( cũng gần với giao điểm của đường cong và trục Ox ( chính là nghiệm r mà ta cần tìm) Vì tiếp tuyến là I đường thẳng, nên ta có thê dễ dàng tìm được giao điểm của nó

Đường thăng L có phương trình:

y=f((x- +

L cắt trục Ox tại điểm (,0) vì điểm (,0) thuộc L nên ta có:

0=f(- +f

10

Mặc dù chuỗi các phép xấp xi liên tiếp đều hội tụ đến nghiệm mong muốn cho các hàm

thuộc loại được minh họa trong hình 3, nhưng trong một số trường hợp, chuối có thê sẽ không hội tụ Ví dụ, hãy xem trường hợp như ở hình sau:

( Hình 4 )

Ta có thé thay rang, là một xấp xi tuyến tính xấu hơn Đây thường là trường hợp khi tiễn đến 0 Nó thậm chí còn có thê xảy ra khi 1 xấp xi ( như trong hình 4 ) nằm ngoài miền giá trị của f Trong trường hợp đó, phương pháp Newton sẽ không còn phù hợp và I giá trị xấp xi ban đầu khác nên được chọn ( Tham khảo bài 29-32 cho những trường hợp

sử dụng phương pháp Newton sẽ không thực sự mang lại hiệu quả )

2.2- Áp dụng lí thuyết để phân tích đề tài:

VDI: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình cosx = -x, với độ chính xác đến 6 chữ số thập phân

Đề dự đoán l giá trị phù hợp cho , ta xem xét đồ thị của y = cosx vả y = -x trong ( Hình 5

) Có vẻ như là chúng cắt nhau tại I điệm có tọa độ x lớn hơn -l một chút, vì thê chúng ta

hãy lây như I xâp xi đâu tiên đề dễ dàng trong việc tính toán

( Hinh 6 ) Nếu ta chọn là xấp xi ban đầu, ta sẽ thu được

Chwong 3: Ung dụng để giải quyết các bài toán

Bail:

a) Duong tiép tuyén tại x=l cắt trục x tai diém x 2,3 vi thé 2,3

Duong tiép tuyén tai x=2,3 cat truc x tai diém x 3 vi thé 3,0

b) Lấy xấp xỉ sẽ không phải là l xấp xi đẹp hơn bởi đường tiếp tuyến của nó gần như song song với trục hoành

Bài 2:

Đường tiếp tuyến tại x=9 cắt trục x tại điểm x 6,0 vi thế 6,0

Đường tiếp tuyến tại x=6,0 cắt trục x tại điểm x 8,0 vi thế 8,0

Bài 3:

Vì đường thắng là tiếp tuyến của đường cong tại điểm

(2,5),tacó , và (hệ số góc của đường tiếp tuyến)

Do đó, theo công thức, ta có:

Bài 4:

a)

Néu =0 thi sé mang gia tri âm, từ đó dễ dàng tính được gia trị của sẽ càng nhỏ hơn nữa

=> chuỗi xấp xỉ sẽ không hội tụ và phương pháp Newton sẽ không sử dụng được trong trường hợp này

Nếu =4, thì đường tiếp tuyến sẽ song song với truc hoành và phương pháp Newton lai không sử dụng được

e)

Nếu =5, thì sẽ lớn hơn 6 và chuỗi xấp xỉ sẽ hội tụ tại x=6 Lúc này phương pháp

Newton da co thê áp dụng được

Bai 6:

17

19

Bai 12:

Bang viéc vé dé thi, ta dé dang chon dugc = 1,05, ta tinh dugc

1,04748471 1,04713448 1,04712855 1,04712855 Vay 1,04712855

Bai 13:

Ta phải tim I xấp xi gần đúng với độ chính xác 6 chữ số thập phân Trong đoạn [1,2] giả

su ta chon = 1,5, ta tinh dugc

1,2625 1,218808 1,217563 1,217562 1,217562 Vay 1,217562 la nghiém ta can tim

Bài 14:

20

Trong đoạn [1,2] gia strta chon ,5, ta tinh được

-1,425369 -1,405499 -1,404124 -1,404118 -1,404118 => nghiém can tim Bai 15:

Bai 16:

Vay nghiệm của phương trình theo phương pháp Newton là 2,278863

Vay nghiệm của phương trình theo phương pháp New-tơn là

Từ đồ thị, ta có thé dé dàng thấy được 4 giao điểm xuất hiện co thé lay lam gia tri xap xi

Nếu chọn thì 0 => đường tiếp tuyến sẽ trùng với trục hoành

Đông nghĩa với việc tìm băng cách chia cho 0

Nhìn vào đồ thi ta có thê thấy rằng, đường tiếp tuyến ứng với dẫn đến 1 chuỗi xấp

xi liên tiếp hội tụ khá nhanh chóng ( )

với => l,5, 1,34783, 1,32520

1,32472

Đường tiếp tuyến ứng với thì gần với trục hoành vi thế lớn hơn khá nhiều

Nhưng vẫn hội tụ dù chậm hơn ( khoảng )

Cuối cùng thì vẫn rất gần trục hoành và cũng như giá trị 0,6 thì vẫn lớn hơn khá nhiều,

vả vân hội tụ dù chậm hơn rât đáng kê ( khoảng )

Vì thế phương pháp Newton rất nhạy cảm với việc chọn giá trị xấp xỉ ban đầu Bài 31:

Và =2

Bài 32:

f> nghiệm cua fix) =0 lax =0

Vi thé ta co thé thay rang voi bat ki gia tri nao thì xâp xỉ tiếp theo của nó cũng sẽ xen kế giữa và - và không bao giờ tiên tới nghiệm

Từ đồ thị, ta có thể thấy rằng f '(x) = 0 tại những điểm xấp xỉ x = -1,3,

- 0,4 và 0,5

Vậy Xx = -1,293227 , -0,441731 , 0,507854 là những nghiệm ta cần tìm b) Từ đồ thị, ta thấy có 2 vị trí mà tại đó f ' chuyển từ âm sang dương, vì thế f chuyển từ nghịch biến sang đồng biến

UỤ = C083 — 28inz

Từ đồ thị ta có thé thay rang x = 0,9 la 1 xap xỉ ban đầu tốt

g(x) = cosx — xsinx => g’(x) = -2sinx -xcosx

Từ đồ thị , ta có thể thấy được rằng x = 1,5 là 1 xấp xỉ lí tưởng để tim tọa độ điểm uốn, áp dụng phương pháp Newton ta thu được:

Vậy tọa độ điểm uốn là (1,519855 , 2,306966)

Bài 36:

f(x) = -sinx => f “(x) = -cosx

voi x =a, thi hệ số góc của phương trình tiếp tuyến sé la f ‘(a) = -cos a

Gọi đường thăng qua gốc tọa độ (0, 0) và điểm (a, f(a)) co dang y=Ax+B

Vậy d(0,410245) 0,537841 là khoảng cách ngắn nhất từ điểm trên đường cong có tọa độ là (0,410245., 0,347811)

Bài 39: ( giải chỉ tiết hơn so với phần ví dụ trong cơ sở lí thuyết )

Đặt f (x) =

Áp dụng phương pháp Newton:

Chọn lãi suất xấp xỉ ban đầu x = 1%

Vậy người đó sẽ chịu 1 mức lãi suất 0,76286% 1 tháng ( 9,55% 1 năm ) Bài 40:

a)

Thayr , ta thấy < khoảng cách từ Mặt Trời đến Trai Dat = 1 AU

Vì thế ta chọn = 0,95 là xấp xỉ ban đầu từ đó ta thu được

Vậy nằm ở vị trí cách Mặt Trời 0,98999 AU ( hoặc cách Trái Đất 0,01001 AU )

b)

37

Thayr , ta thấy > khoảng cách từ Mặt Trời đến Trai Dat = 1 AU

Vì thế ta chọn = 1,05 là xấp xỉ ban đầu từ đó ta thu được

Vậy nằm ở vị trí cách Mặt Trời 1,01008 AU ( hoặc cách Trái Đất 0,03992 AU )

Chương 4: Kết luận

Qua đề tài tìm hiểu về Phương pháp Newton, nhóm chúng em đã có cái nhìn sâu sắc hơn

về sự gắn kết giữa lý thuyết và thực tế ở bộ môn Giải tích I Trong quá trình thực hiện dé tài, nhóm chúng em đã tìm hiểu và trang bị cho mình những kiến thức bô ích và sâu sắc

về

ý tưởng, lý thuyết, công thức của phương pháp Newton cũng cách sử dụng hay những

mặt

có ích, những phần chưa được hiệu quả của phương pháp

Bên cạnh đó, nhóm chúng em còn được tìm hiệu và sử dụng phần mềm Geogebra, một phần mềm chuyên dùng đề tính toán và vẽ đồ thị Việc sử dụng phần mềm Geogebra như một công cụ học tập đã giúp nhóm em nâng cao kỹ năng về công nghệ, ở đây là sự kết

hợp

giữa mạng Internet và kiến thức nền tảng của bộ môn Việc tìm hiểu một phần mềm mới,

cũng như một đề tài mới đã khiến chúng em gặp nhiều khó khăn, đó vừa là thử thách nhưng

cũng vừa là động lực thúc đây chúng em cô gắng hơn mỗi ngày Việc sử dụng thành thạo phần mềm ở mức độ cơ bản đã giúp chúng em tiết kiệm thời gian trong việc minh họa cho

38

bài toán một cách rõ ràng, sinh động hơn rất nhiều

Việc được chọn vào cùng một nhóm bài tập lớn khiến chúng em gặp nhiều bỡ ngỡ Nhưng

sau đó, chúng em đã học được cách phân chia nhiệm vụ cùng nhau, học được tính trách

nhiệm cùng tinh thần làm việc trong một tập thẻ, song song với đó là sự cô gắng không ngừng nghí nhằm hoàn thiện bản than là hoàn thành trách nhiệm của mình Một lần nữa,

xin cam on cac thay, cô đã tạo điều kiện cho chúng em có cơ hôi để làm việc và phát triển

cùng nhau, giúp đỡ nhau cùng tiến bộ trên con đường học tập

Tài liệu tham khảo:

[I] Bộ môn Toán ứng dụng — Khoa Khoa học ửng dụng: Cáo trình Cải Tích I (Tài liệu lưu hành nội bộ),

trường ĐH Bách Khoa — DH Quốc gia TPHCM

[2] Calculus — 7” edi2Bon

- James Stewart -

39